Лобасова М.С. Тепломассообмен
Подождите немного. Документ загружается.
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 5. Теплопроводность цилиндрической стенки при наличиивнутренних источников тепла
Тепломассообмен. Курс лекций 51
22
2
внут
01
c1
10 0
() 2ln
4
v
qr r r r
trt
rr r
. (5.7)
Запишем максимальные перепады температур во внешнем и внутрен-
нем слоях:
1ln2
4
0
2
2
0
2
2
0
20
r
r
r
r
rq
tt
v
c
, (5.8)
1ln2
4
1
0
2
0
1
2
0
10
r
r
r
r
rq
tt
v
c
. (5.9)
Вычитая, соответственно, левые и правые части двух последних урав-
нений, получаем выражение для перепада температур через цилиндрическую
стенку, в котором единственной неизвестной величиной останется координа-
та радиуса цилиндра, для которого тепловой поток равен нулю:
22
2
000
21
c1 c2
00 2 1
2ln 2ln
4
v
qr r r
rr
tt
rr r r
.
Это уравнение необходимо решить относительно
r
0
:
22
2 1 c1 c2
2
0
2
1
4( )
2ln
v
v
qr r t t
r
r
q
r
. (5.10)
Подставив вычисленное из уравнения (5.10
) значение r
0
в выражение
(5.8
) или (5.9), найдем максимальную температуру t
0
в рассматриваемой
стенке. Для определения распределения температуры во внутреннем слое
в уравнение (5.7
) подставляются значения текущей координаты r
1
< r < r
0
, а
для нахождения распределения температуры во внешнем слое в уравнение
(5.6
) подставляются значения текущей координаты r
0
< r < r
2
.
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 5. Теплопроводность цилиндрической стенки при наличиивнутренних источников тепла
Тепломассообмен. Курс лекций 52
К
К
о
о
н
н
т
т
р
р
о
о
л
л
ь
ь
н
н
ы
ы
е
е
в
в
о
о
п
п
р
р
о
о
с
с
ы
ы
1. Запишите дифференциальное уравнение теплопроводности при на-
личии внутренних источников тепла в цилиндрической системе координат.
2. Поясните метод решения стационарного дифференциального урав-
нения теплопроводности с внутренними источниками тепла в цилиндриче-
ской системе координат и приведите его решение, если температура меняется
только по радиусу.
3. Запишите решение дифференциального уравнения теплопроводности
для однородного цилиндрического стержня.
4. Что общего и в чем отличие решения дифференциального уравнения
теплопроводности при наличии тепло
выделений для однородного цилиндри-
ческого стержня и для цилиндрической стенки?
5. Запишите решение дифференциального уравнения теплопроводности
для однородной цилиндрической стенки, если тепло отводится только через
внутреннюю поверхность; только через наружную поверхность; через обе
поверхности.
6. Поясните методику определения радиуса
r
0
, в котором температура
цилиндрической стенки с внутренними источниками тепла максимальна, ес-
ли тепло отводится через обе поверхности.
7. Могут ли быть одинаковыми значения плотности теплового потока
для наружной и внутренней поверхностей цилиндрической стенки без внут-
ренних источников тепла и при наличии в ней тепловыделений?
8. Запишите выражения для определения постоянных интегрирования в
уравнении (5.2
) для цилиндрического стержня и цилиндрической стенки, в
которой тепло отводится только через внутреннюю поверхность, только че-
рез наружную поверхность, через обе поверхности.
9. Схематически изобразите распределение температуры в цилиндриче-
ском стержне при наличии внутренних источников тепла, если задана темпе-
ратура поверхности стержня, если задана температура жидкости и условия
охлаждения.
10. Схематически изобразите распред
еление температуры в цилиндри-
ческой стенке при наличии внутренних источников тепла, если тепло отво-
дится только через внутреннюю поверхность, только через наружную по-
верхность, через обе поверхности.
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Тепломассообмен. Курс лекций 53
Л
Л
е
е
к
к
ц
ц
и
и
я
я
6
6
.
.
И
И
н
н
т
т
е
е
н
н
с
с
и
и
ф
ф
и
и
к
к
а
а
ц
ц
и
и
я
я
т
т
е
е
п
п
л
л
о
о
п
п
е
е
р
р
е
е
д
д
а
а
ч
ч
и
и
Интенсификация теплопередачи за счет увеличения коэффициентов
теплоотдачи. Упрощенный расчет через оребренную стенку. Интенсифика-
ция теплопередачи за счет оребрения поверхности. Виды ребристых поверх-
ностей. Одномерное температурное поле в плоском ребре. Коэффициент
эффективности ребра, коэффициент эффективности оребрения для пло-
ской стенки. Треугольные ребра. Круглое ребро прямоугольного профиля.
И
И
н
н
т
т
е
е
н
н
с
с
и
и
ф
ф
и
и
к
к
а
а
ц
ц
и
и
я
я
т
т
е
е
п
п
л
л
о
о
п
п
е
е
р
р
е
е
д
д
а
а
ч
ч
и
и
з
з
а
а
с
с
ч
ч
е
е
т
т
у
у
в
в
е
е
л
л
и
и
ч
ч
е
е
н
н
и
и
я
я
к
к
о
о
э
э
ф
ф
ф
ф
и
и
ц
ц
и
и
е
е
н
н
т
т
о
о
в
в
т
т
е
е
п
п
л
л
о
о
о
о
т
т
д
д
а
а
ч
ч
и
и
Из уравнения теплопередачи следует, что
QkF t
. Поэтому при
заданных размерах стенки и температурах жидкостей величиной, определяю-
щей теплопередачу, является коэффициент теплопередачи k. Так как теплопе-
редача – явление сложное, то правильное решение можно найти только на ос-
нове анализа частных составляющих, характеризующих процесс [11
, 18].
Для тонкой плоской стенки с большим коэффициентом теплопроводно-
сти коэффициент теплопередачи обратно пропорционален сумме термиче-
ских сопротивлений теплоотдачи от ее поверхностей:
12
1
12
12 1221
11
11 11
11
kk
.
Отсюда следует, что он не может быть больше самого малого из коэф-
фициентов теплоотдачи.
Если значения коэффициентов теплоотдачи значительно отличаются
друг от друга, то увеличение большего из них практически не дает увеличе-
ния коэффициента теплопередачи. Увеличение же меньшего из них в не-
сколько раз приводит почти к такому же увеличению коэффициента теплопе-
редачи. Пусть коэффициенты теплоотдачи равны
1
= 40
)Км/(Вт
2
и
2
= 5000
)Км/(Вт
2
, тогда коэффициент теплопередачи k = 39,7
)Км/(Вт
2
. Уве-
личим в два раза значение большего коэффициента теплоотдачи
2
= 10000
)Км/(Вт
2
, тогда k = 39,8
)Км/(Вт
2
. Увеличим в два раза значение
меньшего коэффициента теплоотдачи
1
=
)Км/(Вт
2
, сохранив первоначаль-
ное значение большего коэффициента теплоотдачи
2
= 5000
)Км/(Вт
2
, тогда
k = 78,7
)Км/(Вт
2
.
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 6. Интенсификация теплопередачи
Тепломассообмен. Курс лекций 54
У
У
п
п
р
р
о
о
щ
щ
е
е
н
н
н
н
ы
ы
й
й
р
р
а
а
с
с
ч
ч
е
е
т
т
ч
ч
е
е
р
р
е
е
з
з
о
о
р
р
е
е
б
б
р
р
е
е
н
н
н
н
у
у
ю
ю
с
с
т
т
е
е
н
н
к
к
у
у
При передаче тепла через цилиндрическую стенку величина линейных
термических сопротивлений теплоотдачи
11
1/( )d
и
22
1/( )d определяется
не только величиной коэффициентов теплоотдачи, но и размерами самих по-
верхностей. Отсюда следует, что если значение коэффициента теплоотдачи
мало, то термическое сопротивление теплоотдачи можно уменьшить путем
увеличения соответствующей поверхности. Например, для плоской стенки
одну из ее поверхностей можно увеличить путем оребрения. Последнее об-
стоятельство и положено в основу интенсификации теплопередачи за сч
ет
оребрения. При этом тепловые сопротивления станут обратно пропорцио-
нальны произведению коэффициента теплоотдачи на площадь
поверхности
11
1/( )F и
22
1/( )F
.
Если коэффициенты теплоотдачи различны, на-
пример,
12
, то следует оребрять поверхность со
стороны меньшего коэффициента теплоотдачи
1
до
тех пор, пока
11
F не достигнет значения
22
F
. Даль-
нейшее увеличение площади поверхности с этой сто-
роны нецелесообразно. Рассмотрим следующий при-
мер (рис. 6.1
). Дана плоская металлическая тонкая
стенка, по разные стороны которой находятся жидкие
среды с существенно различающимися коэффициента-
ми теплоотдачи
1
= 1000
)Км/(Вт
2
и
2
= 10
)Км/(Вт
2
.
Увеличим площадь одной из поверхностей за счет ее
оребрения. Тогда коэффициент теплопередачи
k через
такую стенку будет
11
122122
11
1111
k
FF
FF
.
Пусть
1
2
1
F
F
, тогда
9,9
01,1
10
1,0001,0
1
k
)Км/(Вт
2
.
Пусть
5
1
2
1
F
F
, тогда
48
05,1
50
2,01,0001,0
1
k
)Км/(Вт
2
.
Рис. 6.1
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 6. Интенсификация теплопередачи
Тепломассообмен. Курс лекций 55
Пусть
5
2
1
F
F
, тогда
2
002,1
2
51,0001,0
1
k
)Км/(Вт
2
.
В результате расчета получаем, что во втором случае коэффициент те-
плопередачи увеличился почти в пять раз по сравнению с гладкой стенкой,
а в третьем случае – уменьшился.
И
И
н
н
т
т
е
е
н
н
с
с
и
и
ф
ф
и
и
к
к
а
а
ц
ц
и
и
я
я
т
т
е
е
п
п
л
л
о
о
п
п
е
е
р
р
е
е
д
д
а
а
ч
ч
и
и
з
з
а
а
с
с
ч
ч
е
е
т
т
о
о
р
р
е
е
б
б
р
р
е
е
н
н
и
и
я
я
п
п
о
о
в
в
е
е
р
р
х
х
н
н
о
о
с
с
т
т
и
и
.
.
В
В
и
и
д
д
ы
ы
р
р
е
е
б
б
р
р
и
и
с
с
т
т
ы
ы
х
х
п
п
о
о
в
в
е
е
р
р
х
х
н
н
о
о
с
с
т
т
е
е
й
й
Из закона Фурье следует, что чем больше поверхность теплосъема, тем
большее количество теплоты пройдет через нее и рассеется в окружающей
среде. Этот факт часто используется при решении вопросов охлаждения дви-
гателей внутреннего сгорания, в холодильных установках и т. п.
Поверхность тела увеличивается с помощью ребер, например, прямых
(рис 6.2, а
) и кольцевых (рис. 6.2, б). В поперечном сечении ребра могут
иметь профиль самой различной геометрической конфигурации (прямо-
угольник, круг, треугольник и другие фигуры, в том числе неправильной
геометрической формы).
Ребристые поверхности изготавливаются в виде сплошных отливок или
отдельных ребер, прикрепленных к поверхности. Как правило, наиболее эф-
фективное оребрение определяется формой, размерами, стоимостью и т. п.
каждой конкретной установки и выбирается индивидуально.
Рассмотрим прямо
е ребро произвольного профиля (
рис. 6.3
). Будем
считать, что распределение температуры по толщине ребра равномерное, т. е.
температура изменяется только по координате
х. В этом случае количество
Рис. 6.2
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 6. Интенсификация теплопередачи
Тепломассообмен. Курс лекций 56
теплоты, проходящее через сечение реб-
ра, может быть подсчитано по закону
Фурье (2.1):
1
2 λ ()
dt
QLfx
dx
, где f(x) –
половина толщины ребра в сечении
a' b'
c' d'
. При стационарном режиме такое же
количество теплоты будет отдаваться в
окружающую среду конвекцией. Если
положить, что элементарная поверхность
теплосъема равна 2Ldx, то
тепловые потери могут быть определены
по закону Ньютона – Рихмана (2.7):
20
2( )dQ L t t dx , где t
0
– температура
окружающей ребро среды. Тогда диффе-
ренциальное уравнение, характеризующее
теплообмен в прямом ребре произвольно-
го профиля, запишем из равенства нулю суммы количеств теплоты dQ
1
и dQ
2
:
0
2()2()0,
ddt
LfxdxLttdx
dx dx
2
0
2
()
() ( ) 0.
dt df x dt
fx t t
dx dx dx
(6.1)
О
О
д
д
н
н
о
о
м
м
е
е
р
р
н
н
о
о
е
е
т
т
е
е
м
м
п
п
е
е
р
р
а
а
т
т
у
у
р
р
н
н
о
о
е
е
п
п
о
о
л
л
е
е
в
в
п
п
л
л
о
о
с
с
к
к
о
о
м
м
р
р
е
е
б
б
р
р
е
е
.
.
К
К
о
о
э
э
ф
ф
ф
ф
и
и
ц
ц
и
и
е
е
н
н
т
т
э
э
ф
ф
ф
ф
е
е
к
к
т
т
и
и
в
в
н
н
о
о
с
с
т
т
и
и
р
р
е
е
б
б
р
р
а
а
,
,
к
к
о
о
э
э
ф
ф
ф
ф
и
и
ц
ц
и
и
е
е
н
н
т
т
э
э
ф
ф
ф
ф
е
е
к
к
т
т
и
и
в
в
н
н
о
о
с
с
т
т
и
и
о
о
р
р
е
е
б
б
р
р
е
е
н
н
и
и
я
я
д
д
л
л
я
я
п
п
л
л
о
о
с
с
к
к
о
о
й
й
с
с
т
т
е
е
н
н
к
к
и
и
Рассмотрим распространение
тепла в прямом стержне с посто-
янным по длине поперечным сече-
нием (рис. 6.4
). Длина ребра l, ши-
рина b, толщина 2 много меньше
двух других размеров. Стержень
находится в среде с постоянной
температурой t
ж
, коэффициент те-
плоотдачи от поверхности стержня
к окружающей среде будем счи-
тать постоянным для всей поверх-
ности. Коэффициент теплопроводности стержня достаточно велик, а попе-
Рис. 6.3
Рис. 6.4
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 6. Интенсификация теплопередачи
Тепломассообмен. Курс лекций 57
речное сечение очень мало по сравнению с его длиной, поэтому будем пре-
небрегать изменением температуры по ширине стержня. Температура осно-
вания стержня t
0
. В стационарном случае, без внутренних источников тепла,
с учетом f(x) = дифференциальное уравнение теплопроводности (6.1
) за
пишется в следующем виде:
2
ж
2
()0
dt
tt
dx
. (6.2)
Обозначим
2
m
и перейдем к избыточной температуре
ж
tt
,
тогда уравнение (6.2
) запишем в виде
2
2
2
0.
d
m
dx
(6.3)
Граничные условия
при x = 0
00ж
tt ;
при x = l
0.
x
(6.4)
Решением уравнения (6.3
) является следующее выражение:
12
exp( ) exp( )CmxC mx
. (6.5)
Подставим решение (6.5
) в граничные условия (6.4) и определим по-
стоянные интегрирования
С
1
и С
2
:
при x = 0
012
CC ;
при x = l
)exp()exp(0
21
mlmCmlmC
. (6.6)
Решение системы уравнений (6.6) дает выражения для С
1
и С
2
:
102
CC ,
02
exp( ) (exp( ) exp( ))mmlCm ml ml , откуда
0
2
exp( )
exp( ) exp( )
ml
C
ml ml
,
10
exp( )
1
exp( ) exp( )
ml
C
ml ml
.
Тогда решение уравнения (6.3
) будет следующим:
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 6. Интенсификация теплопередачи
Тепломассообмен. Курс лекций 58
() ()
0
00
1.
ml
ml m l x m l x
mx mx
ml ml ml ml ml ml
e
eee
ee
ee ee ee
Так как
ch
2
x
x
ee
x
, то окончательно решение задачи (6.3) будет та-
ким:
0
ch ( )
ch( )
ml x
ml
. (6.7)
Для конца ребра при x = l получаем:
0
min
ch( )
l
ml
.
Для разных значений m и
0
получаем зависимость, представ-
ленную схематически на рис. 6.5
, из
которой сделаем следующие выво-
ды. Чем меньше m, тем больше теп-
ла будет рассеивать стержень (реб-
ро) в окружающую среду. Наиболь-
шее количество тепла в окружаю-
щую среду отдает идеальное ребро,
для которого m = 0. Идеальное реб-
ро – ребро, у которого коэффициент
теплопроводности стремится к бес-
конечности.
Из представленных на рис. 6.5
случаев лучшим является ребро
с
m = 1, а худшим, соответственно, ребро с m = 3.
Количественная оценка потерь тепла может быть произведена на осно-
вании закона Фурье:
p
00
xx
dt d
Qff
dx dx
, (6.8)
где
2
f
b – площадь поперечного сечения ребра.
Из уравнения (
6.7) получаем:
0
sh ( )
ch( )
ml x
d
m
dx ml
. (6.9)
Рис. 6.5
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 6. Интенсификация теплопередачи
Тепломассообмен. Курс лекций 59
Подставив значение производной (6.9) в уравнение (6.8), при x = 0 по-
лучаем количество тепла, отданное ребром в окружающую среду:
p0
th( ) 2 .Qmmlb
(6.10)
Для идеального ребра на основе закона Ньютона – Рихмана с учетом
того, что периметр ребра
2+4ub
, а площадь боковой поверхности
1
,
f
ul
получаем количество отданного идеальным ребром тепла:
и
p0 10
(2 4 )Qf bl
. (6.11)
Коэффициентом тепловой эффективности ребра называется отношение
количеств тепла, отданных в окружающую среду реальным ребром и идеаль-
ным ребром:
и
pp
/
E
QQ
. (6.12)
Подставим в (6.12
) выражения (6.10) и (6.11), тогда
0
0
th( ) 2
th() th()
2
2( 2) ( 2)
1+
mmlb
mmlb mml
E
bl bl
l
b
.
Так как
2
m
, а
2b
по условию, то окончательно коэффици-
ент тепловой эффективности ребра
th( )ml
E
ml
. (6.13)
Графически выражение (6.13
)
представлено на рис. 6.6
. Заштрихован-
ная область соответствует условию, что
коэффициент тепловой эффективности
ребра стремится к единице. Это условие
определяет эффективную длину ребра в
зависимости от величины
m. Чем боль-
ше
m, тем короче должно быть ребро,
чтобы теплоотдача в окружающую среду
была близка к идеальной.
Перечислим основные требования к ребристым поверхностям:
Рис. 6.6
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 6. Интенсификация теплопередачи
Тепломассообмен. Курс лекций 60
1. Ребра целесообразно выполнять из материала с высоким коэффици-
ентом теплопроводности (медь, алюминий, латунь).
2.
Ребра целесообразно выполнять на той поверхности, где коэффици-
ент теплоотдачи минимальный, например, со стороны воздуха, а не воды.
Определяющим критерием является коэффициент теплоотдачи, а не величи-
на температуры.
3.
Нецелесообразно делать ребра большой длины (высоты).
4.
Необходимо ребристую поверхность поддерживать в чистоте.
Т
Т
р
р
е
е
у
у
г
г
о
о
л
л
ь
ь
н
н
ы
ы
е
е
р
р
е
е
б
б
р
р
а
а
Для ребра этой формы (рис. 6.7
)
f(x) = (x/l). Значит, уравнение (6.1), записанное
для избыточной температуры, будет таким:
2
2
2
0.
dd
xml
dx dx
(6.14)
Дифференциальное уравнение (6.14
) пред-
ставляет собой одну из форм модифицированного
уравнения Бесселя. Его общим решением может
служить функция вида
10 2 0
(2 ) (2 ),CI m lx CK m lx
где
)2(
0
lxmI
и
)2(
0
lxmK
– модифицированные функции Бесселя нуле-
вого порядка, I и II рода, аргумента
lxm2
[15].
Тогда, применяя граничные условия (6.4
), как и для предыдущей зада-
чи, получаем:
0
0
0
(2 )
.
(2 )
I
mlx
I
ml
Полный тепловой поток, проходящий через ребро треугольного профи-
ля, вычисляется по формуле
Рис. 6.7