Михалевська Т.В., Ісаєнко В.М., Гроза В.А. Основи статистичного обліку і банки інформації в екології. НАУ-друк, 2009

Подождите немного. Документ загружается.

Якщо відомо число груп, то довжину проміжку обчислюємо за

формулою

h = (Х

maх

– Х

mіn

) / K.

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. Поясніть суть статистичного групування.

2. На які типи ділиться статистичне групування залежно від мети

дослідження?

3. Як визначається число груп в інтервальному варіаційному ряді?

3.8. Статистичні таблиці

У статистиці існує три основні способи представлення спостере-

жуваних даних: у текстовому вигляді, у вигляді статистичних таблиць

або у вигляді графіків. Найефективнішою формою викладення ре-

зультатів спостережуваних статистичних даних є статистичні таблиці.

Статистична таблиця — це така таблиця, в якій наведено наз-

ву та значення спостережуваної ознаки у такі послідовності i зв’язку,

щоб вони були показані найбільш точно, раціонально й системно.

Обов’язкові атрибути статистичної таблицi: загальнi i внутрiшнi

заголовки, підсумковий рядок, цифровi дані. Загальний заголовок

таблицi вiдображає назву статистичної сукупностi або її вибірки,

ознаки, числовi данi яких наведенi в таблиці, до якої територiї нале-

жать спостережуванi данi, на який час i в яких одиницях виміру на-

ведені. Внутрiшнi заголовки розмiщуються як зверху, так і збоку

таблицi. Заголовки граф містять назву показникiв та їх одиниці ви-

міру. Якщо кожена графа має однакові

одиницi вимiру, вони наво-

дяться у загальному заголовку. Цифровi дані записуються з одним i

тим же ступенем точності у межах однієї графи.

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. Дайте визначення статистичної таблиці.

2. Що є обов’язковими атрибутами статистичної таблиці?

4.1. Середні величини

До загальної властивості статистичної сукупності належить така

статистична характеристика як середнє значення.

Метод середніх величин — один із найпоширеніших статистич-

них прийомів узагальнення.

Середня величина — це узагальню-

вальна характеристика сукупності однотипних одиниць за певною

кількісною ознакою. Вона характеризує типовий рівень варіюючої

ознаки і відображає те спільне, характерне, що об’єднує всю масу

елементів статистичної сукупності. За допомогою середньої величи-

ни відбувається вирівнювання відмінностей величини ознаки, які

виникають з тих чи інших причин в окремих одиниць

спостережен-

ня. Середня величина — величина абстрактна, бо характеризує зна-

чення ознаки абстрактної одиниці і може не збігатися з жодним із

індивідуальних значень ознаки. Абстрагуючися від індивідуальних

особливостей окремих елементів, можна виявити те загальне, типо-

ве, що притаманне всій сукупності в конкретних умовах місця і часу.

Слід пам’ятати, що середня відображає

типовий рівень ознаки

лише в тому випадку, коли статистична сукупність якісно однорід-

на. Це одна з основних умов наукового застосування середніх у ста-

тистиці. Саме тому застосування методу середніх в статистиці

пов’язують із методом групування. Крім того, типовий рівень озна-

ки, що вивчається, проявляє себе лише у випадку узагальнення

ма-

сових фактів. У цьому випадкові відхилення індивідуальних вели-

чин від загальної тенденції взаємно погашаються в середній величи-

ні. Ця вимога стосовно обчислення середніх величин пов’язує метод

середніх із законом великих чисел.

Обчислення середніх величин є складовою багатьох статистич-

них методів: групувань, рядів динаміки, індексних розрахунків, по-

казників варіації, вибіркового

методу тощо. За допомогою середніх

величин проводять порівняльний аналіз у часі і просторі, вивчають

тенденції та закономірності розвитку явищ, їх інтенсивність та харак-

тер коливань, досліджують зв’язки і залежності між явищами.

ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ

СТАТИСТИЧНОЇ СУКУПНОСТІ

РОЗ

ІЛ

У практиці статистичної обробки інформації використовують та-

кі види середніх величин:

¾ арифметична;

¾ геометрична;

¾ квадратична;

¾ гармонійна.

У випадку арифметичної, квадратичної, гармонійної середніх

розрізняють величину просту і зважену. Прості середні знаходять

для сукупності індивідуальних значень ознак (варіант). Для згрупова-

них статистичних даних знаходять зважені середні. Позначимо через

,1,2,,

i ... n= ,

індивідуальні значення ознаки (або незгруповані статистичні дані), а

відповідний дискретний варіаційний ряд має вигляд:

…

Тоді середні значення обчислюються за наведеними нижче фор-

мулами (табл. 4.1).

Таблиця 4.1

СЕРЕДНІ ВЕЛИЧИНИ

Середня Проста Зважена

Арифметична

∑

Гармонійна

гарм

∑

гарм

∑

Квадратична

кв

∑

кв

∑

Середня геометрична обчислюється лише для незгрупованих ста-

тистичних даних за такою формулою:

геом 12

xx x= …

Середні величини в статистиці належать до класу степеневих

середніх, які описує формула:

∑

де

— варіанти; n — їх число; m — показник степеня середньої.

Зміна степеня середньої величини визначає її вигляд:

при

= 1 — середня арифметична;

при

m = –1 — середня гармонійна;

при

m = 2 — середня квадратична.

У статистиці найчастіше використовують середню арифметичну,

рідше — середню гармонійну, середню геометричну — тільки для

обчислення середніх темпів динаміки, а середню квадратичну — для

розрахунків показників варіації. Співвідношення між середніми ве-

личинами однієї й тієї ж статистичної сукупності має вигляд:

гарм геом арифм кв

xx x≤≤ ≤

і називається правилом середніх величин.

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. У чому полягає суть і значення середніх величин?

2. Назвіть основні види середніх величин.

3. Яка різниця між середньою арифметичною простою і зваженою?

4.2. Структурні середні величини

Структуру статистичних сукупностей характеризують особливи-

ми показниками, які у статистиці називають структурними, або по-

рядковими, середніми величинами. До них належать мода і медіана.

Мода (Мо) — значення варіанти, що повторюється у ряді розпо-

ділу найчастіше.

Медіана (Ме) — значення варіанти, що є серединою впорядко-

ваного варіаційного ряду розподілу, тобто ділить його на дві рівні

частини: одна частина має значення варіюючої ознаки менше ніж

середня, а друга — більше.

Знайти моду і медіану в дискретному ряді розподілу не становить

труднощів, оскільки варіанти відповідають конкретним значенням

ознаки (певним числам). У тому

випадку, коли сума частот — парне

число і номер медіани відповідно є дробовим числом, медіана ле-

жить у середині сусідніх варіант.

Для інтервальних варіаційних рядів для обчислення моди необ-

хідно спочатку визначити модальний інтервал як такий, якому від-

повідає найбільша частота, а потім використати формулу:

()()

mm mm

Mo x h

ff ff

−

−+

−

−+−

де

— початок модального інтервалу; h — довжина модального

інтервалу;

mm m

−+

— частоти передмодального, модального і

післямодального інтервалів відповідно.

Для знаходження медіани у випадку інтервального варіаційного

ряду необхідно визначити медіанний інтервал як такий, що включає

середнє значення варіант, а потім скористатися формулою

1/2

Me x h

−

де

— початок медіанного інтервалу; h — його довжина;

−

— накопичена частота для передмедіанного інтервалу; /

n — від-

нос-на частота медіанного інтервалу.

Величина моди і медіани, як правило, відрізняється від величини

середньої і збігається з нею тільки у випадку симетрії варіаційного

ряду. Це пояснюється тим, що на величину моди і медіани не впли-

вають значення варіант, не характерних для даної сукупності, на-

приклад, надмірно малі чи

надмірно великі. При обчисленні серед-

ньої арифметичної до уваги беруться усі без винятку варіанти. Саме

через це мода і медіана в окремих випадках мають свої переваги пе-

ред середньою арифметичною та використовуються при вирішенні

деяких практичних завдань.

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. Які види узагальнювальних показників статистичної сукупності на-

зивають структурними середніми?

2. Що таке мода і медіана?

3. В яких випадках застосовуються структурні середні?

4.3. Показники варіації

Варіацією

в статистиці називають кількісні зміни величини до-

сліджуваної ознаки в межах однорідної сукупності, зумовлені впли-

вом дії різних факторів.

Середні величини як узагальнювальні показники характеризують

сукупність за варіюючої ознакою, вказують на її типовий рівень у

розрахунку на одиницю однорідної сукупності. Проте середня вели-

чина не пояснює, як групуються навколо неї окремі значення. В од-

них сукупностях індивідуальні значення ознаки щільно групуються

навколо центра розподілу, в інших — значно відхиляються. Чим мен

ші відхилення, тим однорідніша сукупність, а отже, тим більш типо-

ві середні характеристики розподілу. Коливання окремих значень

ознаки характеризують показники варіації.

Для вимірювання й оцінки варіації використовуються абсолютні

та відносні характеристики.

До абсолютних характеристик належать:

• розмах варіації, що характеризує межі, в яких змінюється зна-

чення ознаки, й обчислюється як різниця між максимальним і міні-

мальним значенням ознаки:

max min

Rx x=−

;

• середнє лінійне відхилення;

• середнє квадратичне відхилення;

• дисперсія (середній квадрат відхилень).

Формули для розрахунків цих характеристик у випадку незгру-

пованих та згрупованих даних наведено у табл. 4.2 (використані по-

значення підрозділу 4.1).

Таблиця 4.2

АБСОЛЮТНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАРІАЦІЇ

Назва показників варіації Для незгрупованих даних

Для згрупованих даних

Середнє лінійне

відхилення

−

∑

yy f

−

∑

Дисперсія

(середній квадрат

відхилень)

()

−

σ=

∑

()

yyf

−

σ=

∑

Середнє квадратичне

відхилення

()

−

σ=

∑

()

yyf

−

σ=

∑

Розмах варіації використовують, як правило, для попередньої оцін-

ки варіації, оскільки надійність цієї простої характеристики невисока:

вона базується на двох крайніх значеннях ознаки, які часто не типові

для сукупності.

Середні відхилення та дисперсія є мірилом надійності середньої.

Чим менші значення цих характеристик, тим об’єктивніше середня

арифметична відображає всю сукупність.

Абсолютні показники варіації мають розмірність вихідних даних.

А це означає, що безпосередньо порівнювати абсолютні показники

варіації у варіаційних рядах різних явищ не можна. Для того щоб

забезпечити їх порівняння, використовують

відносні характеристи-

ки варіації, які виражаються у відсотках.

Відносні характеристики варіації подані такими коефіцієнтами:

¾ лінійний коефіцієнт варіації;

¾ квадратичний коефіцієнт варіації;

¾ коефіцієнт осциляції.

Формули для їх розрахунку подано у табл. 4.3.

Таблиця 4.3

ВІДНОСНІ КОЕФІЦІЄНТИ ВАРІАЦІЇ

Коефіцієнт варіації Формула

Лінійний

100

⋅

Квадратичний

100

σ⋅

Осциляції

100

⋅

Коефіцієнти варіації дають змогу порівнювати варіацію різних

ознак або варіацію однієї ознаки в різних сукупностях. Для порів-

няння варіацій найчастіше використовують квадратичний коефіці-

єнт варіації. Цей показник вживається для оцінки однорідності су-

купності, тобто надійності і типовості середньої величини. Розріз-

няють такі значення відносних коливань:

10 %V < — незначне коливання;

10 % 30 %V =÷ — середнє коливання;

30 %V > — велике коливання.

Статистичний ряд вважається однорідним, коли %33

<V .

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. Що розуміють під варіацією ознаки?

2. Які показники використовують для вимірювання варіації?

3. Що таке дисперсія?

4. Як визначити коефіцієнт варіації і яке його практичне застосування?

5. Коли статистичний ряд є однорідним?

4.4. Види дисперсій. Дисперсійний аналіз

Варіація ознаки формується під впливом різних факторів. При

вивченні поведінки досліджуваної ознаки в межах певної сукупності

можна виділити три показники коливання ознаки: загальну диспер-

сію, міжгрупову дисперсію і середню з групових дисперсій.

Загальна дисперсія характеризує загальну варіацію ознаки під

упливом усіх факторів, що зумовили цю варіацію. Обчислюється

загальна дисперсія за формулами, вказаними у табл. 4.2.

Для визначення впливу постійного фактора на розмір варіації по-

трібно розбити всю сукупність на групи та знайти, як змінюється

результат під дією чинника, покладеного в основу групування. Для

цього попередньо

для кожної групи необхідно обчислити середню

величину ознаки, групові (часткові) дисперсії, середню з групових

та міжгрупову дисперсію.

Групова дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень

окремих значень ознаки всередині групи від середньої арифметичної

відповідної групи:

()

−

σ=

∑

()

iki

yyf

−

σ=

∑

де

k — номер групи; ,

nN — кількість елементів в k-й групі для

випадків незгрупованих і згрупованих даних відповідно, сумування

проводиться за елементами відповідної групи.

Групова дисперсія відображає варіацію ознаки лише за рахунок

умов і причин, що діють всередині групи.

Середня з групових дисперсій — це середня арифметична зваже-

на з групових дисперсій:

σ=

∑

Тут сумування виконується за всіма підгрупами,

K — число під-

груп.

Міжгрупова дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень

групових середніх від загальної середньої арифметичної:

()

−

δ=

∑

Міжгрупова дисперсія характеризує варіацію результатів ознаки

за рахунок групувальної ознаки.

Між різними видами дисперсії існує певне співвідношення: зага-

льна дисперсія дорівнює сумі середньої з групових дисперсій та

міжгрупової дисперсії:

222

.σ=σ+δ

Це співвідношення називають

правилом додавання дисперсій, за

яким, знаючи два види дисперсій, можна визначити третій.

На цьому співвідношенні також оснований дисперсійний аналіз.

Суть дисперсійного аналізу полягає у зіставленні (порівнянні) різ-

них видів дисперсій: міжгрупової та загальної, загальної та внутріш-

ньогрупової, міжгрупової та внутрішньогрупової. Чим більша частка у

загальній дисперсії належить міжгруповій, тим більший вплив на

ознаку

в цілому має фактор, за яким проведено групування. І навпа-

ки, якщо частка міжгрупової дисперсії у загальній незначна, то ви-

ділений фактор, за яким проведено групування, не є суттєвим у ва-

ріації ознаки статистичної сукупності.

Для вимірювання тісноти (щільності) зв’язків між ознаками за-

стосовується кореляційний метод, суть якого полягає у

визначенні

спеціальних співвідношень, що базується на додаванні дисперсій.

Відношення міжгрупової дисперсії до загальної розглядається як

міра щільності зв’язку і називається

коефіцієнтом детермінації:

η=

Іншим параметром щільності зв’язку є емпіричне

кореляційне

відношення

η=

Кореляційне відношення змінюється від 0 до 1. Якщо 0η= , то

міжгрупова дисперсія дорівнює нулю. Це можливе лише за умови,

коли всі групові середні однакові і кореляційний зв’язок між озна-

ками відсутній. При 1η= міжгрупова дисперсія дорівнює загальній,

а середня з групових — нулю. В цьому випадку кожному значенню

факторної ознаки

відповідає своє значення результативної ознаки,

тобто зв’язок між ознаками функціональний.

У дисперсійному аналізі вводять ще одну характеристику тісноти

зв’язку між показником і фактором, який називається

індексом ко-

реляції

і визначається формулою:

=−

За своїм значенням індекс кореляції збігається з кореляційним

відношенням. Тобто, чим ближче R до одиниці, тим тісніший

зв’язок між ознаками.

Слід зазначити, що відмінне від нуля значення коефіцієнта детер-

мінації не є доказом наявності кореляційного зв’язку між ознаками.

Таке значення може з’явитись і при випадковому розподілі сукупно-

сті

на групи. Перевірка істотності відхилень групових середніх здій-

снюється за допомогою критеріїв математичної статистики. Вона

ґрунтується на порівнянні фактичного значення

з так званим

критичним. Останнє є тим максимально можливим значенням коре-

ляційного відношення, яке може виникнути випадково за відсутнос-

ті кореляційного зв’язку. Якщо фактичне значення

більше кри-

тичного, то зв’язок між результативною і факторною ознакою вва-

жається істотним. У противному разі наявність кореляційного

зв’язку між ознаками не доведена і зв’язок вважається неістотним.

Для оцінки надійності кореляційних характеристик використо-

вують критерій Фішера або критерій Стьюдента.

Критерій Фішера (F-критерій) визначається за формулою:

де

1; kK knK=− =− — ступені вільності для міжгрупової і се-

редньої з групових дисперсій. Тут n — кількість елементів дослі-

джуваної сукупності; K — число груп, на які поділена сукупність.

Фішер знайшов розподіл відношень дисперсій і розробив відпо-

відні математичні таблиці, в яких наводиться F-критерій теоретич-

ний

теор

при ймовірностях 0,95 і 0,99. Якщо F >

теор

, то з прийнятим

ступенем достовірності можна стверджувати про наявність впливу фа-

ктора, який вивчається. Якщо F <

теор

, то різниця між дисперсіями

зумовлена впливом випадкових факторів. Теоретичне значення крите-

рію Фішера для будь-яких значень ймовірності можна знайти за допо-

могою програмного пакета EXCEL, викликавши стандартну вбудовану

функцію FРАСПОБР з відповідними параметрами.

Надійність кореляційного відношення за критерієм Стьюдента

(t-критерієм) визначається за допомогою параметра

де

— середня похибка кореляційного відношення:

−η

μ=