Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы
Подождите немного. Документ загружается.
110
Глава
з.
Математические
модели
вход-состояние-выход
u
Рис.
3.12.
Модель
канонической
(диагональной)
формы
к
диагональной
форме
приводятся
системы
с
некратными
вещественными
полю
сами
Pi
=
Лi{А}.
При
этом
(см.
свойство
3.1
и
3.1.3)
матрицы
основной
и
преоб
разованной
системы
связаны
соотношением
А
=
ТЛт-
1
,
(3.122)
т.
е.
матрица
преобразования
нах'одится
как
(3.123)
Модель
полностью
управляемой
системы
(см.
5.3.1)
может
быть
приведена
к
управ
ляемой
(фробениусовой)
канонической
форме
(рис.
3.13):
Хl
=
Х2,
Х2
=
Хз,
(3.124)
Хn-l
=
Х
N
,
Х
N
=
-аnХl
-
a
n
-lХ2
-
...
-
alX
n
+
и
И
у
=
ЬпХl
+ b
n
-
1
X
2
+ ... + b1x
n
,
(3.125)
где
ai
И
b
i
-
коэффициенты
полиномов
уравнения
(3.108).
Этой
форме
соответ-
3.4.
Эквивалентные
преобразования
и
канонические
представления
111
u
Рис.
3.13.
Модель
канонической
управляемой
формы
ствуют
векторно-матричные
уравнения
(3.114)-(3.115),
в
которых
О
1
О
О
О
01
1
О
О
1
О
О
А*
=
----
В*
а
Т
О О
О
1
О
-а
n
-а
n
-l
-а
n
-2
-аl
1
С*
=
I
Ь
n
Ь
n
-
1
...
Ь
2
b
1
1,
где
а
Т
=
[-а
n
-
а
n
-l
...
-
а2
-
аl],
о
=
[О
О
...
О
о]Т,
1 -
единичная
матрица
размера
(11,-1)
х
(n-1).
Матрица
состояния
А*
называется
сопровождающей
матрицей
полинома
а(р),
или
фробениусовой
матрицей.
Матрица
преобразования
к
канонической
управляемой
форме
находится
как
(3.126)
где
И
и
U* -
так
называемые
матрицы
управляемости
(см.
5.3.1)
исходной
(3.48)-(3.49)
и
канонической
(3.124)-(3.125)
моделей
соответственно.
Для
случая
n = 3
имеет
место:
О О
1
U* =
О
1
1
-al
Модель
полностью
наблюдаемой
системы
(см.
5.3.2)
может
быть
приведена
к
на
блюдаемой
(фробениусовой)
канонической
форме
(рис.
3.14):
112
Глава
З.
Математические
модели
вход-состояние-выход
Хl
=
-аnх
n
+
Ь'п
и
,
Х2
=
хl
-
an-lХn
+ b
n
-
1
и,
(3.127)
Xn-l
=
Х
n
-2
-
а2Хn
+
Ь
2
и,
Х
N
=
х
n
-l
-
аlХn
+ b
1
U
И
у
=
х
n
·
(3.128)
Этой
канонической
форме
соответствуют
векторно-матричные уравнения
(3.114)-
(3.115),
где
А*
-
сопровождающая
(фробениусова)
матрица
вида
о
о о
-а
n
Ь
n
оТ
1
1
О О
-аn-l
Ь
n
-
1
А*
=
---1
а
=
В*
1
1
о о
о
-а2
Ь
2
О О
1
-аl
Ь
1
С*
= 1
о
...
о
1
1.
u
Рис.
3.14.
Модель
канонической
наблюдаемой
формы
~атрица
преобразования
находится как
(3.129)
где
Q
и
Q*
-
так
называемые
матрицы
наблюдаемости
(см.
5.3.2)
исходной
и
канонической
моделей.
для
случая
n = 3
имеет
место:
Q*
=
о о
о
1
1
-al
1
Глава
4.
Построение
моделей
систем
управления
Напомним,
что
система
управления
состоит
из
двух
основных
блоков
(см.
1.2.3):
объекта
управления
(представленного
управляемым
процессом,
измерительными
и
исполнительными
устройствами)
и
устройства
управления,
которое
по
опреде
ленным
алгоритмам
осуществляет
обработку
текущей
информации
об
объекте
и
рассчитывает
управляющее
воздействие.
Устройство
управления,
в
свою
очередь,
состоит
из
регулятора
и
задающего
блока
(генератора
задающих
воздействий).
Регулятор
производит
расчет
управляющих
сигналов
САУ
на
основании
анализа
текущих
значений
выходных
переменных
(и/или
переменных
состояния),
задаю
щих
воздействий
и
возмущающих
воздействий,
поступающих
от
внешней
среды.
В
этом
разделе
рассматриваются
модели
наиболее
распространенных
типов
элек
тромеханических
объектов
управления
(п.
4.1),
задающие
блоки
и
модели
внешней
среды
(п.
4.2),
а
затем
-
основные
типы
регуляторов
и
моделей
замкнутых
систем
управления
(п.
4.3).
4.1.
Модели
электромеханических
объектов
Типовой
электромеханический
объект
(ЭМО)
содержит
многоканальный
исполни
тельный
электропривод
(ЭП,
см.
1.2.2)
и
управляемый
кинематический
меха
низм
(КМ).
В
качестве
кинематических
механизмов
электромеханических
систем
выступают
многокоординатные
механизмы
станков,
роботов,
поточных
линий,
ру
левые
устройства
летательных
аппаратов
и
транспортных
средств,
подвижные
эле
менты
автоматического
оборудования
и
приборов.
Электропривод
служит
для
пре
образования
маломощных
электрических
сигналов,
поступающих
от
устройства
управления
(управляющей
ЭВМ),
в
Механические
воздействия
(силы
и
моменты)
достаточной
мощности,
прикладыв~емые
к
нагрузке,
т.
е.
к
кинематическому
ме
ханизму.
Каждый
канал
привода
(см.
рис.
4.1
и
4.6)
обеспечивает
поступательное
или
вращательное
движение
соответствующего
звена
кинематического
механизма
114
Глава
4.
Построение
моделей
систем
управления
и
содержит
усилитель
мощности
входного
сигнала
У,
электродвигатель
ЭД
и
редуктор.
4.1.1.
Элементы
и
структурная
схема
эма
(=
-М
С
1
__
__
~
Рассмотрим
одноканальный
электромеханический
объект,
в
состав
которого
входит
одно
вращательное
звено
ме
ханизма
и
одноканальный
электропривод
(рис.
4.1).
Вы
ходом
такого
объекта
служит
угловое
перемещение
КМ
у
=
а,
а
его
входом
-
управляющий
сигнал.
и.
Момент
сопротивления
fvl
c
,
приложенный
к
валу
нагрузки,
выступает
в
качестве
возмуща
ющего
воздействия:
f =
-l\!I
с
.
Для
построения
математической
модели
рассматриваемого
объекта
используются
известные
из
физики
уравнения,
описывающие
его
функциональные
элементы.
Рис.
4.1.
Электромеханический
объект
Кинематический
механизм
«<нагрузка»)
описывается
уравнениями,
полученными
на
основании
второго
закона
Ньютона:
(J),
Jw
(4.1)
(4.2)
где
(J)
-
скорость
вращения
вала
КМ,
А1
н
-
вращающий
момент,
приложенный
к
валу
(нагрузке),
М
с
-
приведенный
момент
сопротивления,
J -
приведенный
момент
инерции.
На
структурной
схеме
(рис.
4.2)
механизм
представлен
двумя
интегрирующими
звеньями
и
пропорциональным
звеном
с
коэффициентом
1/
J.
Редуктор
обеспечивает
преобразование
(обычно
усиление)
момента
двигателя
А1
д
в
момент
нагрузки
М
Н
по
формуле
(4.3)
4.1.
Модели
электромеханических
объектов
115
u
Рис.
4.2.
Структурная
схема
эма
где
k
p
-
коэффициент
передачи
(передаточное
отношение)
редуктора.
При
этом
скорости
вращения
ЭД
Wд
и
вала
КМ
w
связаны
соотношением
На
структурной
схеме
редуктор
представлен
пропорциональными
звеньями.
Модель
электродвигателя
задается
моментной
характеристикой
(4.4)
(4.5)
где
!я
-
ток
якоря,
СМ
-
механическая
постоянная,
и
уравнением
якорной
цепи
(4.6)
где
и
-
напряжение,
приложенное
к
якорю
ЭД
(выход
усилителя
мощности),
Е -
противо-ЭДС,
R
и
L -
сопротивление
и
индуктивность
якорной
цепи
соот
ветственно.
Последнее
выражение
удобно
привести
к
виду
(4.7)
где
Т
д
=
L/
R -
постоянная
времени,
а
!(д
=
1/
L -
коэффициент
передачи
якорной
цепи.
Противо-ЭДС
определяется
известной
формулой
(4.8)
где
Се
-
электрическая
постоянная.
На
структурной
схеме
электродвигатель
представляется
апериодическим
звеном
(4.7)
и
двумя
пропорциональными
звеньями
с
коэффициентами
передачи
Се
И
СМ.
Усилитель
мощности
является
апериодическим
звеном,
описываемым
уравнением
(4.9)
где
Ту
и
К
у
-
постоянная
времени
и
коэффициент
усиления
соответственно.
116
Глава
4.
По~троение
моделей
систем
управления
4.1.2.
Построение
моделей
ВВ
и
ВСВ
с
использованием
методов
преобразования
структурных
схем
(см.
п.
2.4)
по
урав
нениям
(4.1)-(4.9)
может
быть
найдена
связь
выхода
объекта у
=
о:
И
его
входов
и
И
f =
-М
с
•
т.
е.
операторная
модель
вход-выход
эма
вида
(2.33):
(р4
+
аlРЗ
+
а2р2
+
азр)у(t)
= bu(t) +
(d
Op
2 + d
1
P + d
2
)f(t),
(4.10)
где
аl.
а2.
аз.
Ь.
d
o
•
d
1
•
d
2
-
постоянные
коэффициенты.
Модель
(4.10)
приводится
к
виду
(2.34),
т.
е.
y(t) = W(p)u(t) +
Wf(p)f(t),
(4.11)
где
W(p)
и
Wf(p) -
передаточные
функции
по
управляющему
воздействию
и
возмущению.
определяемые
выражениями
Модель
вход-состояние-выход
(ВСВ)
строится
либо
на
основе
модели
(4.10).
либо
непосредственно
с
использованием
полученных
ранее
уравнений
функциональных
}Jt)!t!!!tJ~tJPJJt)jl~
g JAfjJj/)jJ
)ШС~
4,2,
В
ПОСЛejJнем
случае
Jуавнения
(4.1)-(4.9)
f1РИВОДЯТСЯ
к
системе
4-х
дифференциальных
уравнений
(форме
Коши)
вида:
а
=
ц),
(4.12)
w
=
а2з1я
+
dАl
и
,
(4.13)
jя
=
аЗ2Ц)
+
азз
I
я
+
аЗ4
И,
(4.14)
И
=
а44U
+
Ьu,
(4.15)
где
aij.
Ь.
d -
постоянные
коэффициенты.
Вектор
состояния
определяется
как
Хl
о:
Х2
ц)
х
=
I
я
,
ХЗ
(
4.16)
Х4
И
а
возмущающее
воздействие
- f =
-М
С
•
После
этого
уравнения
состояния
(4.12)-
(4.15)
записываются
в
векторно-матричной
форме
(3.54),
а
уравнение
выхода
(3.55)
получается
из
выражения
у
=
Хl·
Типовые
переходные
процессы
системы
при
единичном
входном
воздействии
и
=
=
l(t)
(переменные
состояния
и
само
входное
воздействие)
представлены
на
рис.
4.3.
4.1.3.
Приближенная
модель
эма
Для
слу~ая,
когда
инерционность
электрических
процессов
в
электродвигателе
и
усилителе
мощности
незначительна
по
сравнению
с
инерционностью
механических
4.1.
Модели
электромеханических
объектов
117
у=а
U
(о
I
я
1
u
О
t
Рис.
4.3.
Переходные
процессы
электромеханического
объекта
процессов,
соответствующими
постоянными
времени
Ту
и
Т
д
можно
пренебречь.
Полагая
Ту
=
Т
д
=
О,
перепишем
уравнения
(4.7), (4.9)
в
виде
кд(и
-
Е),
Куи
..
(4.17)
(4.18)
Тогда
уравнение
(4.2)
после
подстановки
выражений
(4.3), (4.5), (4.6), (4.17)
и
(4.18)
принимает
вид
или
Tw + (.V =
I(u
-
KjM
c
,
где
Т,
К,
К!
-
постоянные
коэффициенты.
f=-MC~
u
::~~
Тр+1
р
Рис.
4.4.
Схема
приближенной
модели
эма
(4.19)
(4.20)
Таким
образом,
приближенная
модель
эма
описывается
уравнениями
(4.1), (4.20)
и
представлена
интегрирующим,
апериодическим
и
двумя
пропорциональными
зве
ньями
(рис.
4.4).
Модель
вход-выход
описывается
операторным
уравнением
вида
(р2
+
ар)
y(t) =
ь
u(t) + d
f(t),
(4.21)
где
а
=
l/Т,
Ь
=
К/Т,
d =
К!
/Т
-
постоянные
коэффициенты,
и
приводится
к
виду
(4.11),
где
ь
w _ d
W
(р)
=
р2
+
ар'
j -
р2
+
ар'
118
Глава
4.
Построение
моделей
систем
управления
Переходные
процессы
упрощенной
модеJIИ
эма
при
единичном
входном
воздей
ствии
и
=
l(t)
представлены
на
рис.
4.5.
у=а
L-----(O
1.......,~~-----и
о
t
Рис.
4.5.
Переходные
процессы
приближенной
модели
эма
Для
получения
модели
ВСВ
определяется
вектор
состояния
и
уравнения
(4.1), (4.20)
переписываются
в
виде
-аХ2
+
Ьu
+ df.
Далее
система
уравнений
(4.22), (4.23),
а
также
уравнение
выхода
переписываются
в
'векторно-матричном
виде:
х
= I
~
~a
I
х
+ I
~
I
и
+ I
~
I
j,
у
=
11
О
1
х.
4.1.4.
эма
с
поступательным
механизмом
(4.22)
(4.23)
(4.24)
(4.25)
(4.26)
Для
обеспечения
движения
поступательного
кинематического
механизма
в
состав
стандартной
схемы
эма
(см.
рис.
4.1)
включается
червячная
или шарико-винтовая
передача
(рис.
4.6).
Выходом
такого
объекта
служит
линейное
перемещение
км
у
=
s,
а
в
качестве
возмущающего
воздействия
выступает
сила
сопротивления:
f =
-Ре.
Кинематический
механизм
описывается
уравнениями
s
mV
v,
Р
Н
-f"""'c,
(4.27)
(4.28)
4.1.
Модели
электромеханических
объектов
119
Рис.
4.6.
эма
с
поступательным
кинематическим
механизмом
где
V -
cKOpqcTb
движения
механизма,
р
н
-
движущая
сила,
приложенная
к
км
(нагрузке),
m -
его
приведенная
масса.
При
этом
скорость
вращения
ЭД
(.uд
И
скорость
движения
км
V
связаны
соотношением
(.uд
= k
p
V,
(4.29)
где
k
p
-
совокупный
коэффициент
передачи
редуктора
и
механической
передачи,
а
движущая
сила
рассчитывается
по
формуле
( 4.30)
Структурная
схема
э~а
с
поступательным
механизмом
идентична
приведенной
на
рис.
4.2,
связь
выхода
объекта
у
=
о:
и
его
входов
и
и
f =
-Р
е
(модель
вход
выход
эма
вида
(2.3»
задается
уравнениями
(4.10)
или
(4.11).
Полная
модель
(ВСВ)
содержит
4
дифференциальных
уравнения,
аналогичных
(4.12)-(4.15),
и
может
быть
представлена
в
векторно-матричной
форме
(3.54)-(3.55),
где
вектор
состояния
определяется
как
х
s
V
I
я
И
(4.31)
Приближенное
описание
эма
с
поступательным
механизмом
дается
уравнениями
(4.27)
и
(4.32)
Тогда
модель
вход-выход
описывается
операторными
уравнениями
вида
(4.21)
или
(4.11),
а
модели
ВСВ
-
уравнениями
(4.22)-(4.23)
или
в
матричном
виде
(4.25)-
(4.26),
где
вектор
состояния
-