Наумова Ж.Л. Начертательная геометрия: Учебное пособие
Подождите немного. Документ загружается.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Построить точку пересечения
прямой общего положения a с
горизонтально проецирующей
плоскостью Т (∆ ABC).
2. Построить линию пересечения
плоскости общего положения
Г (а ∩ b) с горизонтально
проецирующей плоскостью Т (Т
1
).
3. Построить точку пересечения
горизонтально проецирующей
прямой а с плоскостью общего
положения Σ (∆ АВС).
4. Определить линию пересечения
фронтальной плоскости уровня
Г (Г
1
) с фронтально проецирующей
плоскостью Т (Т
2
).
5. Построить линию пересечения
двух плоскостей общего положения
Г (∆ АВС) и Т (a ∩ b).
6. Построить точку пересечения
прямой общего положения а с
плоскостью общего положения
Σ (c║b). Определить видимость
прямой.
B
2
A
2
C
2
A
1
B
1
C
1
a
2
a
1
a
2
a
1
b
2
b
1
T
1
B
2
A
2
A
1
B
1
C
2
C
1
a
2
a
1
Т
2
Г
1
B
2
C
2
a
2
A
2
b
2
C
1
b
1
a
1
A
1
B
1
c
2
a
2
b
2
b
1
c
1
a
1
ЗАДАЧИ
1. Построить точку пересечения трёх плоскостей: Г (Г
1
), Т (Т
2
), Σ (а║b).
План решения:
2. Через точку А провести прямую а, пересекающую обе скрещивающиеся
прямые b и с. План решения:
3. Построить линию пересечения плоскости Σ (∆ АВС) с плоскостью
Г (∆ DEF).Определить их взаимную видимость.
План решения:
a
2
b
2
a
1
b
1
T
2
Г
1
A
2
A
1
b
2
b
1
c
2
c
1
D
2
B
2
E
2
C
2
A
2
F
2
A
1
F
1
B
1
E
1
D
1
C
1
c
b
a
A
K
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ
И ПЛОСКОСТЕЙ
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых,
лежащих в этой плоскости.
Плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые
одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым
другой плоскости. Линии уровня параллельных плоскостей взаимно
параллельны.
Плоскости частного положения параллельны, если параллельны их
проекции, вырожденные в
прямые линии.
Прямой линейный угол проецируется на плоскость проекций без
искажения, если одна из его сторон параллельна, а другая не перпендикулярна
плоскости проекций (рис. 7).
Линиями наибольшего уклона плоскости к плоскостям проекций П
1
, П
2
,
П
3
называются прямые, лежащие в ней и перпендикулярные соответственно
горизонталям, фронталям или профильным прямым плоскости.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум
пересекающимся прямым этой плоскости. Прямая, перпендикулярная
плоскости, перпендикулярна всем прямым, лежащим в плоскости, в том числе и
линиям уровня. На комплексном чертеже её горизонтальная проекция
перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали
, а фронтальная
проекция перпендикулярна фронтальной проекции фронтали этой плоскости
(рис. 8).
Две прямые взаимно перпендикулярны, если одна из них лежит в
плоскости, перпендикулярной другой прямой.
Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит
через перпендикуляр к другой плоскости или параллельна этому
перпендикуляру.
Рис. 7 Рис. 8
t
1
h
t
h
1
Г
П
1
90°
90°
t
2
h
2
h
1
t
1
90°
90°
h
f
t
t
1
f
1
f
2
h
1
h
2
t
2
УПРАЖНЕНИЯ
1. Через точку А провести прямую а,
скрещивающуюся с прямой h под
углом 90° и проходящую над ней.
2. В плоскости Г (f, А) провести
линию наибольшего уклона к
фронтальной плоскости проекций.
3. На каких чертежах изображена прямая а, перпендикулярная плоскости
Σ (h ∩ f)?
а) б) в) г)
___________________________
4. На каких чертежах плоскости взаимно перпендикулярны?
а) б) в)
___________________________
A
2
h
2
h
1
A
1
A
2
f
2
f
1
A
1
f
2
a
2
h
2
f
1
h
1
a
1
f
2
h
2
f
1
h
1
a
1
a
2
f
2
a
2
h
2
f
1
h
1
a
1
a
2
T
2
a
1
f
1
a
b
2
f
2
a
1
b
1
h
2
h
1
Σ
2
T
1
Σ
1
∆
1
5. Через точку А провести прямую t,
перпендикулярную плоскости
Т (a ∩ b).
6. Через точку А провести плоскость
Т, перпендикулярную прямой t.
7. Через прямую АВ провести
плоскость Г, параллельную прямой
l.
8. Найти проекции и натуральную
величину перпендикуляра,
опущенного из
точки А на заданную
плоскость.
A
2
9. Через вершину А треугольника
АВС провести плоскость Σ,
перпендикулярную плоскости этого
треугольника и параллельную
прямой а.
10. Через скрещивающиеся прямые a
и b провести взаимно параллельные
плоскости.
a
2
b
2
a
1
b
1
A
1
A
2
A
1
t
2
t
1
A
2
B
2
A
1
B
1
l
2
l
1
∆
2
A
2
A
1
B
1
A
2
B
2
C
2
A
1
C
1
a
2
a
1
b
2
a
2
a
1
b
1
ЗАДАЧИ
1. Построить точку В,
симметричную точке А
относительно плоскости
Σ (h ∩ f).
План решения:
2. Найти точку В, симметричную
точке А относительно прямой l.
3. В точке К прямой а восставить
перпендикуляр t к этой прямой,
параллельный плоскости Ω (∆ АВС).
План решения:
4. Построить А
1
В
1
С
1
треугольника
АВС, перпендикулярного плоскости
Σ (h ∩ f).
B
2
h
2
f
2
B
1
h
1
B
2
f
1
A
2
C
2
B
1
f
2
h
2
f
1
h
1
A
2
B
2
C
1
l
2
l
1
A
2
A
1
B
C
A
K
f
h
a
t
T
Г
K
f
l
A
B
h
K
2
C
2
a
2
C
1
a
1
A
1
K
1
B
1
СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ
Заменой плоскостей проекций можно придать заданным геометрическим
фигурам частное положение и этим упростить решение многих задач.
При переходе от одной системы плоскостей проекций к другой
необходимо выполнять следующее правило: расстояние от новой оси до
новой проекции точки должно равняться расстоянию от преобразуемой
(заменяемой) проекции точки до
предыдущей оси (рис. 9).
А
1
П
2
П
4
А
4
А
4
А
2
А
х
14
П
1
х
12
П
4
П
2
П
1
П
1
А
2
А
4
А
1
х
14
х
12
Рис. 9
Заменой одной плоскости проекций можно:
1. Прямую общего положения преобразовать в линию уровня (основная
задача № 1), если новую плоскость проекций выбрать параллельно прямой. На
комплексном чертеже ось новой системы плоскостей проекций будет
параллельна соответствующей проекции прямой.
2. Линию уровня преобразовать в проецирующую, если новую
плоскость проекций расположить
перпендикулярно к ней. На комплексном
чертеже новая ось пройдёт под прямым углом к той проекции прямой, которая
является её натуральной величиной.
3. Плоскость общего положения преобразовать в проецирующую
(основная задача № 3), если новую плоскость проекций провести
перпендикулярно линии уровня плоскости (см. пункт 2).
4. Проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня, если
новую
плоскость проекций провести параллельно заданной. На комплексном
чертеже ось новой системы плоскостей проекций будет параллельна проекции
плоскости, вырожденной в прямую линию.
Последовательной заменой двух плоскостей проекций можно:
5. Прямую общего положения преобразовать в проецирующую
(основная задача № 2) – выполняются последовательно пункты 1 и 2.
6. Плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня
(основная
задача № 4) – последовательно выполняются пункты 3 и 4.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Определить натуральную
величину отрезка АВ и углы наклона
его к плоскостям проекций П
1
и П
2
(решение основной задачи 1).
2. Заменить плоскость проекций
новой так, чтобы вертикальные
проекции параллельных прямых
слились в одну линию (решение
основной задачи 3).
3. Определить натуральную
величину двугранного угла при
ребре АВ.
(решение основной задачи 2)
C
2
B
2
B
2
D
2
A
2
B
1
A
2
D
1
A
1
B
1
C
1
A
1
4. Построить проекции
точки
пересечения высот треугольника
АВС (решение второй части
основной задачи 4).
B
2
a
2
A
2
b
2
C
2
A
1
B
1
C
1
b
1
a
1
ЗАДАЧИ
1. Определить угол между прямой l и плоскостью T.
План решения:
2. Определить А
2
В
2
отрезка АВ, параллельного отрезку СD и удалённого от
него на 15 мм.
План решения:
l
l
2
T
1
l
1
T
t
t T
α
φ
α
C
2
C
1
D
2
D
1
A
1
B
1
x
3. Построить А
1
В
1
С
1
треугольника АВС, зная, что двугранный угол при ребре
АВ равен 30
°
.
План решения:
4. Найти точку М, симметричную точке N относительно прямой l.
План решения:
A
2
B
2
C
2
D
2
A
1
B
1
C
1
х
l
2
l
1
N
2
N
1
x