Новиков А.И. Тригонометрические функции, уравнения и неравенства. Пособие для поступающих
Подождите немного. Документ загружается.
(
)
(
)
(
)
(
)
01xsinxsin1xсosxcos
1k221n22
=−+−⇔
−−
. (4.15)
Поскольку
(
)
01xсos
1n2
≤−
−
и
(
)
01xsin
1k2
≤−
−
, то
уравнение (4.15.) равносильно каждой из систем:
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
⇔
=
=
=
=
⇔
=−
=−
−
−
−
−
,1xcos
,0xsin
,1xsin
,0xcos
,01xsinxsin
,01xcosxcos
1n2
1k2
1k22
1n22
Zn,
2
n
x
.1xcos
,0xsin
,1xsin
,0xcos
∈
π
=⇔
±=
=
±=
=
⇔
.
Способ 2. Легко видеть, что значения
x
, при которых
1xcos
±
=
или ,1xsin
±
=
т.е. Zn,
2
n
x ∈
π
= , являются
решением уравнения а).
Покажем, что других решений уравнение не имеет. Если
,Zn,
2
n
x ∈
π
≠ то 1xcos < и .1xsin < Поэтому
<
<
xsinxsin
;xcosxcos
2k2
2n2
(4.16)
при
2
n
≥
и
2
k
≥
. Сложив неравенства (4.16), получим
1xsinxcosxsinxcos
22k2n2
=+<+
, т.е. для всех
Zn,
2
n
x ∈
π
≠ ,
1xsinxcos
k2n2
<+
и потому уравнение
а) других решений, кроме
2
n
x
π
= ,
Z
n
∈
, не имеет;
б) решите самостоятельно обоими способами.
Ответ: а)
2
n
x
π
= ,
Z
n
∈
;
б)
n
x
π
=
,
z
n
∈
; Zm,m2
2
x ∈π+
π
= .
4.6. Решение уравнений вида
(
)
0x2sin,xcosxsinR =±
Положим
xcosxsint
+
=
. Тогда
(
)
1tx2sinx2sin1xcosxsint
2
2
2
−=⇒+=+= .
В результате уравнение
(
)
0x2sin,xcosxsinR =+ сводится к
рациональному уравнению относительно переменной t
(
)
(
)
,0tR
~
01t,tR
2
=⇔=−
где
(
)
⋅R
~
- рациональная функция переменной
t
.
Пример 4.23. Решите уравнение
01x2sinxsinxcos
33
=−−+
.
Решение. Преобразуем левую часть уравнения:
(
)
(
)
=+−+=+ xsinxsinxcosxcosxsinxcosxsinxcos
2233
( )( ) ( )
. x2sin
2
1
1 xsinxcosxsinxcos1 xsinxcos
−+=−+=
В результате исходное уравнение равносильно следующему:
( )
. 01sin2xx2sin
2
1
1xsinxcos =−−
−+
Пусть
txsinxcos
=
+
, соответственно
1tx2sin
2
−=
, и
тогда последнее уравнение примет вид
(
)
(
)
011t1t
2
1
1t
22
=−−−
−−
или
(
)
(
)
1 t,3 t,0 t 01t3tt
321
=−==⇒=−+ .
Получили, что исходное уравнение равносильно
совокупности однотипных уравнений:
−=+
=+
=+
.3xsinxcos
,1xsinxcos
,0xsinxcos
Поскольку
=+
−
π
=+ xsinx
2
sinxsinxcos
=
−−
π
⋅
+−
π
=
2
xx
2
cos
2
xx
2
sin2
π
−=
−
ππ
=
4
xcos2x
4
cos
4
sin2 ,
то последняя совокупность уравнений равносильна уравнениям:
>∅
∈π+
π
±=
π
∈π+
π
=
π
⇔
−=
π
−
=
π
−
=
π
−
.1
2
3
кактак,
,Zm,m2
44
-x
Z,n ,n
24
-x
,
2
3
4
xcos
,
2
1
4
xcos
,0
4
xcos
Окончательно имеем
Ответ: ;Zn ,n
4
3
x ∈π+π= Zm ,m2
2
x ∈π+
π
= ;
Zk ,k2x
∈
π
=
.
Пример 4.24. Решите уравнение
3
x
cos
x
sin
1
x
cos
1
x
sin
1
=+− .
Решение. Область допустимых значений переменной x
определяется условиями
∈
∈
π
≠
⇔
∈
≠
≠
.Rx
,Zn ,n
2
x
,Rx
,0xcos
,0xsin
На ОДЗ исходное уравнение равносильно следующему:
01xsinxcos3xsinxcos
=
+
−
−
.
Пусть
txsinxcos
=
−
, тогда
(
)
txsinxcos
2
2
⇔=−
2
t1
xcosxsintxcosxsin21
2
2
−
=⇒=−⇔ .
В результате имеем уравнение
(
)
01t2t301t1
2
3
t
22
=−+⇔=+−− .
Его корни:
3
1
t ,1t
21
=−= .
Уравнение 1xsinxcos
−
=
−
имеет две серии корней
Zn ,n2
2
x ∈π+
π
= и Zm ,m2x
∈
π
+
π
−
=
.
Однако обе серии корней не принадлежат ОДЗ уравнения.
Уравнение
3
1
xsinxcos =− решим методом введения
вспомогательного угла:
⇔=−⇔=−
23
1
xsin
2
1
xcos
2
1
3
1
xsinсosx
.Zk,k2
23
1
arccos
4
x
23
1
4
xcos ∈π+±
π
−=⇔=
π
+⇔
Ответ:
.Zn ,n2
23
1
arccos
4
x ∈π+±
π
−=
4.7. Решение уравнений с использованием основных
тригонометрических формул
Тригонометрические тождества, позволяющие
преобразовывать сумму (разность) тригонометрических
функций в произведение [формулы(2.27)-(2.31)]; произведения
,mxcoskxsin ,mxsinkxsin
mxcoskxcos
- в сумму
основных тригонометрических функций [формулы (2.24)-
(2.26)], являются эффективным средством решения многих
тригонометрических уравнений.
Решение отдельных уравнений осуществляется с помощью
домножения обеих частей уравнения на некоторое выражение с
последующим применением названных и других формул из
раздела 2.
Пример 4.25. Решите уравнение
.x3sinxcosxsinx5cos
−
=
+
Решение. Преобразуем уравнение к виду
(
)
(
)
0x3sinxsinxcosx5cos =++−
и применим к выражениям в скобках формулы разности
косинусов и суммы синусов
0xcosx2sin2x2sinx3sin2
=
+
−
или
(
)
0x3sinxcosx2sin =− ,
откуда
=−
=
.0x3sinxcos
,0x2sin
Корни первого уравнения Zn,n
2
x ∈
π
= .
Второе уравнение решим с помощью формулы
(
)
4.4 .
Поскольку
−
π
= x
2
sinxcos , то
⇔
∈π+−π=−
π
∈π+=−
π
⇔=
−
π
,Zk,k2x3x
2
,Zm,m2x3x
2
x3sinx
2
sin
∈π+
π
=
∈
π
+
π
=
⇔
.Zk,k
4
x
;Zm,m
28
x
Ответ: ;Zn,n
2
x ∈
π
= ;Zm,m
2
8
x ∈
π
+
π
=
.Zk,k
4
x ∈π+
π
=
Пример 4.26. Решите уравнение
16
1
x4cosx2cosxcos
2
x
сos = .
Решение. Умножим обе части на .
2
x
sin16 Получим
уравнение
2
x
sinx4cosx2cosxcos
2
x
cos
2
x
sin16 = ,
равносильное исходному на множестве
{
}
ZR ∈π≠∈= k,k2x,xxX . Действительно, корни
Z
∈
π
=
k,k2x уравнения 0
2
x
sin = не являются корнями
исходного уравнения и потому должны быть исключены из
множества решений полученного уравнения.
Учитывая, что
,xsin
2
x
cos
2
x
sin2 = ,x2sinxcosxsin2
=
,x4sinx2cosx2sin2
=
,x8sinx4cosx4sin2
=
получаем уравнение 0
2
x
sinx8sin =− или
2
x
sinx8sin = .
Отсюда в соответствии с формулой (4,4) получаем
∈π+π=
∈π=
⇔
∈π+−π=
∈π+=
.Zm,m
17
4
17
2
x
,Zn,n
15
4
x
,Zm,m2
2
x
x8
,Zn,n2
2
x
x8
Исключим посторонние корни
Z
∈
π
=
k,k2x из
полученных серий. Для этого решим уравнения k2n
15
4
π=π и
k2m
17
4
17
2
π=π+π на множестве целых чисел
k
,
m
,
n
. Первое
уравнение имеет решение k
2
15
n = . Отсюда следует, что для
первой серии корней Z∈π= n,n
15
4
x , но
Z
∈
≠
k,k15n . Второе
уравнение не имеет целочисленных решений
(
1k17m2
−
≠
для
любых
)
Z
∈
k,m .
Ответ: n
15
4
x π= ,
;
Z
n
∈
k15n
≠
, Zm,m
17
4
17
2
x ∈π+π= .
Пример 4. 27. Решите уравнение
0
4
x2cos
4
3
x5cos
8
5
x2cos
8
xsin =
π
−
π++
π+
π
− .
Решение. Преобразуем каждое слагаемое данного
уравнения из произведения тригонометрических функций в
сумму:
=
π−−+
π
+=
π+
π
−
4
3
xsin
2
x3sin
2
1
8
5
x2cos
8
xsin
π+−=
4
3
xsinx3cos
2
1
;
( )
=
π++
π
+=
π
−
π+ x3cos
2
x7cos
2
1
4
x2cos
4
3
x5cos
( )
x3cosx7sin
2
1
+−= .
В результате уравнение примет вид
.0
4
3
xsinx7sin =
π++
Преобразовав сумму в произведение, получим
равносильную совокупность уравнений
=
π−
=
π+
,0
8
3
x3cos
,0
8
3
x4sin
решением которой являются серии корней
Zn,n
4
32
3
x ∈
π
+π−= и Zm ,m
3
24
7
x ∈
π
+π= .
Ответ: Zn,n
4
32
3
x ∈
π
+π−= ; Zm ,m
3
24
7
x ∈
π
+π= .
Пример 4.28. Решите уравнение
2x4cosx3cosx2cosxcos
2222
=+++
.
Решение. Применив формулы понижения степени
2
kx2cos1
kxcos
2
+
= ,
получим равносильное уравнение
0x8cosx6cosx4cosx2cos
=
+
+
+
.
Преобразовав суммы
(
)
x8cosx2cos + и
(
)
x6cosx4cos + в
произведения, получим следующее равносильное уравнение
0xcosx5cosx3cosx5cos
=
+
.
Это уравнение еще одним применением формулы суммы
косинусов сводится к совокупности уравнений:
=
=
=
.0x5cos
,0x2cos
,0xcos
Ее решением являются серии корней:
;Zn,n
2
x ∈π+
π
= ;Zk ,k
2
4
x ∈
π
+
π
= Zm ,m
5
10
x ∈
π
+
π
= .
Покажем, что корни первой серии содержатся в серии
Zm ,m
5
10
x ∈
π
+
π
= . Для этого решим уравнение
Zn ,Zm ,m
5
10
n
2
∈∈
π
+
π
=π+
π
,
считая m параметром, а n – зависимой переменной. Получим
Zn ,Zm ,
5
m2
n ∈∈
+
−
= .
Очевидно, что при Zm
~
,m
~
52m
∈
⋅
+
=
, получатся
целочисленные значения
m
~
n
=
(при ;
2
x xи 0n ,2m :0m
~
21
π
=====
при
7m :1m
~
=
=
,
1
n
=
и π==
2
3
xx
21
и т.д.).
Ответ: Zm ,m
5
10
x ∈
π
+
π
= ; Zk ,k
2
4
x ∈
π
+
π
= .
4.8. Замена переменной
2
x
tgt =
(универсальная подстановка)
Замена
2
x
tgt = применяется при решении уравнений
вида
(
)
0xcos,xsinR = , (4.17)