Новиков А.И. Тригонометрические функции, уравнения и неравенства. Пособие для поступающих
Подождите немного. Документ загружается.
Определение 1.2. Косинусом угла
х
называется число
x
a ,
равное абсциссе конца
x
M единичного радиуса
x
OM
,
образующего угол
x
с положительным направлением оси x
~
O .
Обозначается это число
x
cos
.
Таким образом, xcosa,xsinb
xx
== .
Каждому действительному числу
x
(углу в
x
радиан)
отвечают единственное число
xsin
и единственное число
x
cos
, поэтому отображения
xsinx
→
и
x
cos
x
→
,
R
x
∈
являются функциями.
Свойства функций
xsin
и
x
cos
1. Область определения:
(
)
RfD = .
2. Область значений:
(
)
[
]
1;1fE −= .
3. Периодичность: периодические с основным (наименьшим
положительным) периодом
π
2
.
4. Четность и нечетность:
xsin
- нечетная функция;
x
cos
-
четная.
5. Интервалы монотонности:
xsin
возрастает при ;Zn,n2
2
;n2
2
x ∈
π+
π
π+
π
−∈
убывает при .Zn,n2
2
3
;n2
2
x ∈
π+
π
π+
π
∈
x
cos
возрастает при
(
)
;Zn,n2,n2x ∈ππ+π−∈
убывает при
(
)
Zn,n2,n2x ∈π+ππ∈ .
6. Экстремальные значения:
1xsinmax
Rx
=
∈
и достигается в точках n2
2
x π+
π
= ,
Z
n
∈
;
1xsinmin
Rx
−=
∈
в точках ;Zn,n2
2
x ∈π+
π
−=
1xcosmax
Rx
=
∈
в точках ;Zn,n2x
∈
π
=
1xcosmin
Rx
−=
∈
в точках Zn,n2x
∈
π
+
π
=
.
7. Для любого угла
x
:
1xcosxsin
22
=+
.
8. Графики функций
xsin
и
x
cos
приведены на рис. 1.2 и 1.3
соответственно.
1.1.2. Функции тангенс и котангенс
Определение 1.3. Тангенсом угла
x
называется отношение
ординаты
x
b точки
x
M (рис. 1.1) к абсциссе
x
a и обозначается
tgx
.
Поскольку ,xcosa,xsinb
xx
== то
Zn,n
2
x,
x
cos
xsin
tgx ∈π+
π
≠= . (1.1)
Определение 1.4. Котангенсом угла
x
называется
отношение абсциссы
x
a точки
x
M (рис. 1.1) к ординате
x
b и
обозначается
сtgx
.
Поскольку xcosa,xsinb
xx
== , то
Zn,nx,
x
sin
xcos
сtgx ∈π≠= . (1.2)
Свойства функций
tgx
и
ctgx
1. Область определения:
( )
∈π+
π
≠∈= Zn,n
2
x,RxxtgxD
;
(
)
{
}
Zn,nx,RxxctgxD ∈π≠∈= .
2. Область значений:
(
)
RtgxE = ,
(
)
RctgxE = .
3. Периодичность: периодические с основным
периодом
π
.
4. Четность и нечетность: нечетные функции.
5. Интервалы монотонности:
tgx
строго возрастает на каждом интервале
;Zn,n
2
;n
2
∈
π+
π
π+
π
−
сtgx
строго убывает на каждом интервале
(
)
.Zn,n,n ∈π+ππ
6. Экстремальные значения: нет.
7. Для всех допустимых
x
: 1ctgxtgx
=
⋅
.
8. Графики функций
tgx
и
ctgx
приведены на рис. 1.4 и
1.5 соответственно.
1.1.3. Функции секанс и косеканс
Функции секанс
x
sec
y
=
и косеканс
x
ec
cos
y
=
определяются формулами
x
cos
1
xsec =
x
sin
1
xeccos =
(1.3)
Их свойства
1. Область определения:
( )
∈π+
π
≠∈= Zn,n
2
x,RxxxsecD
;
(
)
{
}
.Zn,nx,RxxecxcosD ∈π≠∈=
2. Область значений:
(
)
(
]
[
)
+∞∪−∞−= ;11;fE для
x
sec
и
x
ec
cos
.
3. Периодичность: периодические с периодом
π
2
.
4. Четность и нечетность:
x
sec
- четная функция,
x
ec
cos
- нечетная.
5. Интервалы монотонности:
x
sec
убывает на каждом
интервале
Zn,n2;n2
2
,n2
2
;n2 ∈
ππ+
π
−
π+
π
−π+π− ;
и возрастает на каждом интервале
,n2
2
;n2
π+
π
π ,n2;n2
2
π+ππ+
π
Zn
∈
;
x
ec
cos
убывает на каждом интервале
,n2,n2
2
ππ+
π
− ,n2
2
;n2
π+
π
π ;Zn
∈
и возрастает на интервалах
,n2;n2
2
π+ππ+
π
,n2
2
3
;n2
π+ππ+π Zn
∈
.
6. Локальные экстремумы:
x
sec
: точки локального минимума Zn,n2x
∈
π
=
(
)
1n2sec =π ,
точки локального максимума Zn,n2x
∈
π
+
π
=
(
)
(
)
1n2sec −=π+π ;
x
ec
cos
: точки локального минимума Zn,n2
2
x ∈π+
π
=
=
π+
π
1n2
2
eccos
,
точки локального максимума Zn,n2
2
x ∈π+
π
−=
1n2
2
eccos =
π+
π
− .
7. Графики функций
x
sec
и
x
ec
cos
приведены на рис. 1.6 и
1.7 соответственно.
1.1.4. Знаки тригонометрических функций
1.1.5. Формулы приведения
Формулы приведения (см. табл.1.1) позволяют выразить
значения тригонометрических функций любого аргумента
x
через значения тригонометрических функций аргумента
π
∈α
2
;0 , лежащего в первой четверти. Однако справедливы
эти формулы для любого допустимого значения аргумента
α
.
Таблица 1.1
Формулы приведения
Угол Три
гоно
мет
рич
еска
я
фун
кци
я
α−
π
2
α+
π
2
α
−
π
α
+
π
α−π
2
3
α+π
2
3
α−π2
sin
α
cos
α
cos
αsin
α−sin
α
−
cos
α
−
cos
α−sin
cos
αsin
α−sin
α
−
cos
α
−
cos
α−sin
αsin
α
cos
tg
α
ctg
α
−
ctg
α
−
tg
α
tg
α
ctg
α
−
ctg
α
−
tg
ctg
α
tg
α
−
tg
α
−
ctg
α
ctg
α
tg
α
−
tg
α
−
ctg
Для вычисления значений тригонометрических функций
произвольного аргумента
x
при 2x π> рекомендуется
руководствоваться следующим алгоритмом.
1. Если аргумент
x
функций
xsin
и
x
cos
больше
π
2
, т.е.
Zn,n2tx
∈
π
+
=
, где
π
<
<
2t0
, то переходят к этим же
функциям аргумента
:
t
(
)
tsinn2tsin =π+ ;
(
)
tcosn2tcos =π+ .
В этом случае говорят, что «отбрасывают» наибольшую,
кратную числу
π
2
, часть числа
x
.
Аналогично для функций
tgx
и
ctgx
. Если
π
>
x
, т.е.
Zn,ntx
∈
π
+
=
, где
π
<
<
t0
, то переходят к
t
tg
и
t
ctg
:
(
)
,ttgnttg =π+
(
)
tctgntctg =π+ .
2. Если
2
t0
π
<< , то дополнительные преобразования не
требуются. Если же π<<
π
2t
2
, то это число можно
представить в зависимости от величины
t
в виде α+
π
2
;
α
±
π
;
α±π
2
3
;
α
−
π
2
. Затем необходимо воспользоваться
формулами приведения (табл. 1.1).
3. Запоминать формулы приведения в виде набора тождеств
из таблицы 1.1 неудобно и нецелесообразно. Рекомендуется
использовать следующие правила:
а) при переходе через углы
2
π
и π
2
3
наименование
тригонометрической функции меняется на кофункцию (
sin
на
cos
,
cos
на
sin
,
tg
на
ctg
,
ctg
на
tg
). При переходе через
углы
π
и
π
2
наименование функции сохраняется;
б) знак перед приведенной функцией определяется знаком
приводимой функции в зависимости от четверти, которой
принадлежит ее аргумент
t
.
Например, α=
α+
π
cos
2
sin , α−=
α+
π
sin
2
cos ,
α−=
α+
π
ctg
2
tg . Наименования функций изменены на
кофункции, так как аргумент α+
π
=
2
t содержит слагаемое
2
π
.
Знаки в правых частях формул соответствуют знакам функций
xsin
,
x
cos
,
tgx
соответственно во второй четверти.
Пример 1.1. Вычислите
а)
0
570sin ; б)
0
420cos ; в)
0
750tg ; г)
0
1140sin ;
д)
0
1035ctg ; е) π
6
23
sin ; ж) π
3
20
cos ; з) π
4
29
tg .
Решение.
а)
(
)
==+=
0000
210sin210360sin570sin
(
)
2
1
30sin30180sin
000
−=−=+= ;
б)
(
)
2
1
60cos60360cos420cos
0000
==+= ;