Паничев В.В., Соловьев Н.А. Компьютерное моделирование

Подождите немного. Документ загружается.

В основе статистического эксперимента лежит метод статистических

испытаний (метод Монте-Карло). Суть его состоит в том, что результат

испытания зависит от значения некоторой случайной величины,

распределенной по заданному закону. Поэтому результат каждого

отдельного испытания также носит случайный характер. Проведя серию

испытаний, получают множество частных значений наблюдаемой

характеристики (выборку). Полученные статистические данные

обрабатываются и представляются в виде численных оценок интересующих

исследователя величин (характеристик системы).

Теоретической основой метода статистических испытаний являются

предельные теоремы теории вероятностей (теорема Чебышева, теорема

Бернулли, теорема Пуассона). Принципиальное значение предельных теорем

состоит в том, что они гарантируют высокое качество статистических оценок

при весьма большом числе испытаний.

В качестве примера

рассмотрим применение метода статистических

испытаний для вычисления площади круга заданного радиуса[3]. Данная

задача явно относится к классу детерминированных задач. Пусть круг имеет

радиус r=5, и его центр находится в точке с координатами (1,2). Уравнение

соответствующей окружности имеет вид:

25)2()1(

=−+− ух

Для решения задачи методом Монте-Карло впишем круг в квадрат. Его

вершины будут иметь координаты (-4,-3), (-4,7), (6,7). Любая точка внутри

квадрата или на его границе должна удовлетворять неравенствам -4<x<6 и -

3<y<7.При решении задачи естественно исходить из того, что все точки в

этом квадрате могут появляться с одинаковой вероятностью, то есть

x и y

распределены равномерно со следующими плотностями вероятности:

f(x)=1/10 для -4≤x≤6 и f(x)=0 – в противном случае;

f(y)=1/10 для -3≤y≤7 и f(y)=0 – в противном случае.

Проведя некоторое количество испытаний (то есть, получив множество

случайных точек, принадлежащих квадрату), подсчитаем число точек,

попавших внутрь круга или на

окружность. Если выборка состоит из n

наблюдений и m точек попали внутрь круга, то оценку площади круга можно

получить из соотношения:

./* nmSS

KBKP

В табл.2.1. приведены оценки S

кр

, полученные для разных значений n,

причем для каждого n выполнялось 5 прогонов (точное значение S

кр

= 78,54

см).Прогоны отличаются друг от друга последовательностями случайных

чисел, из которых формировались координаты точек (рис.3.1).

Рисунок 2.1 - Различные результаты двух прогонов при неизменном

количестве точек (n=13). Слева показан результат первого прогона, справа –

второго.

На основании полученных результатов могут быть сделаны выводы,

которые справедливы для любого имитационного эксперимента независимо

от физической природы и типа моделируемой системы:

каждый прогон модели можно рассматривать как одно наблюдение в

проводимом

эксперименте на модели;

Таблица 2.1 - Результаты статистических испытаний

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Номер прогона Оценки площади круга S(кр)

Объем испытаний (n)

100 200 1000 5000 10000

__________________________________________________________________

1 78 79,5 78,8 78,22 78,77

2 70 77,0 77,3 78,6 78,23

3 81 79,5 80,2 77,72 78,88

4 70 77,0 79,5 77,76 78,63

5 79 77,0 79,8 79,0 78,21

Среднее 75,6 78,0 79,12 78,26 78,544

Дисперсия 27,3 1,88 1,29 0,3 0,1

__________________________________________________________________

с увеличением продолжительности прогона (то есть наблюдения или

объема испытаний) отклонение измеряемой величины от ее точного

значения уменьшается, поскольку наблюдаемая

система переходит в

стационарное состояние;

влияние переходных условий можно уменьшить, если увеличить

количество прогонов модели (то есть количество экспериментов);

существует предел, за которым увеличение продолжительности прогона

модели уже не дает существенного повышения точности результата,

измеряемой дисперсией.

Из рассмотренного примера следует, что имитационное моделирование

не ограничивается разработкой модели и написанием соответствующей

программы, а требует подготовки и проведения статистического

эксперимента. В связи с этим результаты имитационного моделирования

следует рассматривать как экспериментальные данные, требующие

специальной обработки и анализа. В частности, для любого модельного

эксперимента необходимо ответить на перечисленные ниже вопросы

Какова должна быть продолжительность прогона для достижения

стационарных условий?

Как получить статистически независимые наблюдения?

Сколько наблюдений необходимо для обеспечения требуемой точности?

Ответы на эти вопросы будут даны в последующих разделах.

2.1.2. Формирование базовой последовательности случайных чисел

Поскольку имитационная модель позволяет исследовать поведение

различных систем с учетом влияния случайных факторов, то

эти факторы, в

зависимости от их природы, могут быть отражены в модели как случайные

события, случайные величины (дискретные или непрерывные) или как

случайные функции (процессы).

Например, если с помощью создаваемой имитационной модели

предполагается исследовать надежность вычислительной системы, то

возникновение отказа будет представлено в модели как случайное событие.

Если же модель

предназначена для оценки временных параметров процесса

обслуживания клиентов в банке, то интервал времени до появления

очередного клиента удобнее всего описать как случайную величину,

распределенную по некоторому закону.

Методы генерации случайных чисел. В основе всех методов и

приемов моделирования случайных факторов лежит использование

случайных чисел имеющих равномерное распределение на интервале (0,1).

«Истинно

» случайные числа формируются с помощью аналого-

цифровых преобразователей на основе сигналов физических генераторов,

использующих естественные источники случайных шумов (радиоактивный

распад, шумы электронных и полупроводниковых устройств и т.п.).

Случайные числа, генерируемые аппаратно или программно на ЭВМ,

3 Эксперимент с моделью. Обработка результатов

моделирования

3.1 Планирование экспериментов

3.1.1 Методы теории планирования

После разработки и отладки ИМ переходят к экспериментальным

исследованиям свойств системы. Основная проблема, возникающая при этом,

заключается в том, как за конечное время получить достоверную и точную

информацию о свойствах системы. Решение этой проблемы осуществляют

планированием эксперимента. Попутно решается ряд частных задач,

важнейшими из которых являются:

снижение

затрат машинного времени;

обеспечение точности и достоверности получаемых результатов;

проверка адекватности модели исследуемой системе.

В ходе планирования разрабатывают план эксперимента, который

определяет объем и порядок проведения вычислений на ЭВМ, а также

приемы накопления и статистической обработки результатов.

Рассмотрим процесс планирования эксперимента применительно к такой

цели моделирования как отыскание функциональной зависимости

между

переменными модели. В зависимости от своей роли каждая переменная

может быть либо фактором, либо реакцией. Если изучается влияние

переменной x на переменную y, то x – фактор, а y – реакция.

Каждый фактор

kix

,...,2,1, = может принимать в эксперименте несколько

значений – уровней. Каждый из факторов имеет верхний и нижний уровни,

расположенные симметрично относительно некоторого нулевого уровня.

Точка в факторном пространстве, соответствующая нулевым уровням всех

факторов, называется центром плана. Интервалом варьирования фактора

называется некоторое число J, прибавление которого к нулевому уровню

дает верхний уровень, а вычитание –

нижний.

Фиксированный набор уровней факторов в одном из опытов

эксперимента представляет собой лишь одну комбинацию уровней факторов,

которая определяет одно из возможных состояний системы. Каждому

фиксированному набору уровней факторов соответствует точка в

многомерном пространстве, называемом факторным пространством.

Из-за временных ограничений эксперимент выполняют не во всех точках

факторного пространства, а лишь

в точках допустимой области. Для этого

находят минимальное число испытаний (число точек факторного

пространства), которое обеспечивает выявление функциональной

зависимости

()

xxxfy ,...,,

с требуемой точностью и достоверностью.

В первую очередь при планировании эксперимента определяют

основные свойства факторов, поскольку они могут быть управляемые и

неуправляемые, наблюдаемые и ненаблюдаемые, количественные и

качественные, фиксированные и случайные. Из них отбирают те, которые

удовлетворяют требованию управляемости и оказывают непосредственное

воздействие на объект исследования. При изменении нескольких факторов по

уровням важна их совместимость (осуществимость их комбинаций) и

независимость (возможность установления факторов на любом уровне

независимо от уровней других факторов).

Кроме того, факторы могут влиять друг на

друга, поэтому при

проведении машинного эксперимента необходимо создать условия,

способствующие выявлению такого влияния. Таким образом, для

планирования эксперимента необходимо:

1.Выделить факторы, влияющие на искомые характеристики и на их

основе описать исследуемую функциональную зависимость;

2.Установить диапазон изменения выделенных факторов

()

maxmin

,...,

xx ;

3.Определить координаты точек факторного пространства, в которых

необходимо провести эксперимент;

4.Оценить необходимое число реализаций и их порядок в эксперименте.

Решение первых трех задач, позволяющее отыскать фиксированное

число опытов для получения наиболее достоверного значения функции

()

xxxfy ,...,,

= , называют стратегическим планированием. Решение

четвертой задачи называют тактическим планированием, поскольку

требуется определить минимальное число испытаний, при котором

статистическая оценка искомой функции может быть получена с заданной

точностью.

3.1.2 Стратегическое планирование эксперимента

Отыскание комбинаций уровней внешних и внутренних факторов, при

которых может быть получена наиболее полная и достоверная информация о

поведении

системы составляет ядро данного вида планирования.

Для этого должны быть решены две основные задачи:

- идентификация факторов;

- выбор уровней факторов.

Из опыта известно, что для большинства систем 20% факторов

определяют 80% свойств системы, а остальные 80% факторов определяют

лишь 20% свойств системы [1].

Поэтому при идентификации факторов производится их ранжирование

по степени влияния на значение

наблюдаемой переменной (показателя

эффективности).

По итогам идентификации все факторы делят на две группы –

первичные и вторичные. Первичные – это те факторы, в исследовании

влияния которых экспериментатор заинтересован непосредственно.

Вторичные факторы не являются предметом исследования, но влиянием их

нельзя пренебречь.

Выбор уровней факторов главным образом связан с определением

интервалов между уровнями каждого из факторов [7]. Критерием выбора

величины интервалов выступает и относительная точность данных на

различных участках области исследуемых значений, и характер

экспериментальной функции. Кроме того, при определении числа уровней

факторов учитывают возможный диапазон изменения факторов и объем

моделирования, который не должен

быть чрезмерным.

Способы построения стратегического плана. Эксперимент, в

котором реализуются все возможные комбинации уровней факторов,

называется полным факторным экспериментом (ПФЭ).

Общее число N различных комбинаций уровней в ПФЭ для k факторов

можно вычислить как:

llllN

⋅

......

где

l – число уровней i-го фактора.

Если число уровней для всех факторов одинаково, то

LN = (L – число

уровней).

Недостаток ПФЭ – большие временные затраты на подготовку и

проведение эксперимента. Например, если в модели отражены 3 фактора,

влияющие на значение выбранного показателя эффективности, каждый из

которых имеет 4 возможных уровня (значения), то план проведения ПФЭ

будет включать 64 эксперимента. Если при этом каждый из них длится хотя

бы

одну минуту (с учетом времени на изменение значений факторов), то на

однократную реализацию ПФЭ потребуется более часа.

Поэтому использование ПФЭ целесообразно только в том случае, если в

ходе имитационного эксперимента исследуется взаимное влияние всех

факторов, фигурирующих в модели.

Если взаимное влияние факторов отсутствует или их эффектом можно

пренебречь, то проводят

частичный факторный эксперимент (ЧФЭ). К ним

относятся [3]:

рандомизированный план;

латинский план;

классический план;

дробный факторный эксперимент.

Рандомизированный план – предполагает выбор сочетаний уровней для

каждого прогона случайным образом. При использовании этого метода

отправной точкой в формировании плана является число экспериментов,

которые считает возможным (или необходимым) провести исследователь.

Латинский план (или «латинский квадрат

») – используется в том случае,

когда проводится эксперимент с одним первичным фактором и несколькими

вторичными. Суть такого планирования состоит в следующем. Если

первичный фактор А имеет 1 уровней, то для каждого вторичного фактора

также выбирается 1 уровней. Выбор комбинации уровней факторов

выполняется на основе специальной процедуры, которую мы рассмотрим на

примере.

Пусть в эксперименте используется первичный фактор А и два вторичных

фактора – В и С, число уровней факторов 1 равно 4. Соответствующий план

можно представить в виде квадратной матрицы размером 1х1 (4х4)

относительно уровней фактора А. при этом матрица строится таким образом

чтобы в каждой строке и в каждом столбце данный уровень фактора А

встречался только один раз:

__________________________________________________________________

_________

Значение фактора В Значение фактора С

С1 С2 С3 С4

__________________________________________________________________

___________

В1 А1 А2 А3 А4

В2 А2 А3 А4 А1

В3 А3 А4 А1 А2

В4 А4 А1 А2 А

__________________________________________________________________

В результате имеет место план, требующий 4х4=16 прогонов, в отличие от

ПФЭ, для которого нужно 4 ³ = 64 прогона.

Классический план – это эксперимент с изменением факторов по

одному. Суть его состоит в том, что один из факторов «пробегает» все l

уровней, а остальные k-1 факторов поддерживаются постоянными. Такой

план

обеспечивает исследование эффектов каждого фактора в отдельности.

Он требует всего

lllN

++= ...

прогонов (l

– число уровней i-го фактора).

Для рассмотренного выше примера (3 фактора, по 4 уровня каждый)

N=4+4+4=12. Еще раз подчеркнем, что такой план применим (как и любой

ЧФЭ) только при отсутствии взаимодействия между факторами.

Дробный факторный эксперимент. Каждый фактор имеет два уровня –

нижний и верхний, поэтому общее число вариантов эксперимента N=2

, где

k – число факторов. Матрица плана для k=2 приведена ниже.

Матрица плана для k=2

__________________________________________________________________

Номер эксперимента Значение факторов

__________________________________________________________________

1 0 0

2 0 1

3 1 0

4 1 1

__________________________________________________________________

Планы, построенные по такому принципу, обладают свойствами:

симметричности, нормированности и ортогональности, что обеспечивает

повышение качества проводимых экспериментов.

3.1.3 Обеспечение точности и достоверности результатов

моделирования

Тактическое планирование эксперимента с машинной моделью

системы связано с вопросами эффективного использования выделенных для

эксперимента машинных ресурсов и определением конкретных способов

проведения испытаний модели, намеченных планом эксперимента,

построенным при стратегическом планировании. Тактическое планирование

машинного эксперимента связано, прежде всего, с решением следующих

проблем [2]:

определение начальных условий и их влияния на достижение

установившегося результата при моделировании;

обеспечение точности и достоверности результатов моделирования;

уменьшение дисперсии оценок искомых характеристик;

выбор правил автоматической остановки имитационного эксперимента

с моделями систем.

Первая проблема при проведении машинного эксперимента возникает

вследствие искусственного характера процесса функционирования модели,

которая в отличие от реальной системы работает эпизодически, т. е. только

когда экспериментатор запускает машинную модель и проводит наблюдения.

Поэтому всякий раз, когда начинается очередной прогон модели процесса

функционирования системы, требуется определенное время для достижения

условий равновесия, которые соответствуют условиям функционирования

реальной системы.

Таким образом, начальный период работы машинной модели

искажается из-за влияния начальных условий запуска модели. Для решения

этой проблемы либо исключается из рассмотрения информация о модели,

полученная в начальной части периода моделирования, либо начальные

условия выбираются так, чтобы сократить время достижения

установившегося режима. Все эти приемы позволяют только уменьшить, но

не свести к нулю время переходного процесса при проведении машинного

эксперимента с моделью.

Обеспечение точности и достоверности. Решение второй проблемы

тактического планирования машинного эксперимента связано с оценкой

точности и достоверности результатов моделирования при заданном числе

реализаций или с необходимостью оценки необходимого числа реализаций

при заданных значениях точности и достоверности результатов

моделирования системы.

Как уже отмечалось, статистическое моделирование системы это

эксперимент с машинной моделью. Обработка результатов подобного

имитационного эксперимента принципиально не может дать точных

значений показателя эффективности Е системы в лучшем случае можно

получить только некоторую оценку Е такого показателя. При этом

экономические вопросы затрат людских и машинных ресурсов,

обосновывающие целесообразность статистического моделирования вообще,

оказываются тесно связанными с вопросами точности и достоверности

оценки показателя эффективности Е системы на ее модели.

Таким образом, количество реализаций N при статистическом

моделировании системы должно выбираться исходя из двух основных

соображений: определения затрат ресурсов на машинный эксперимент с

моделью (включая построение модели и ее машинную реализацию) и оценки

точности и достоверности результатов эксперимента с моделью системы

(при заданных ограничениях не ресурсы). Очевидно, что требования

получения более хороших оценок и сокращения затрат ресурсов являются

противоречивыми и при планировании машинных экспериментов на базе

статистического моделирования необходимо решить задачу нахождения

разумного компромисса между ними.

Из-за наличия стохастичности и ограниченности числа реализаций N в

общем случае

≠

. При этом величину

называют абсолютной точностью

оценки. Вероятность того, что неравенство

<− EE

, (3.1)

выполняется, называется достоверностью оценки, т.е.

{

}

<−= EEPQ

. (3.2)

Величина

/Е называется относительной точностью оценки, а

достоверность оценки соответственно будет иметь вид

{PQ

|(Е-

)/Е|<

Для того, чтобы при статистическом моделирование системы по

заданным Е (или Е

) и Q определить количество реализаций N или, наоборот,

при ограниченных ресурсах (известном N) найти необходимые Е и Q, следует

детально изучить соотношение (3.2). Сделать это можно не во всех случаях,

так как закон распределения вероятностей величины |Е-

| для многих

практических случаев исследования систем установить не удается либо в

силу ограниченности априорных сведений о системе, либо из-за сложности

вероятностных расчетов. Основным путем преодоления подобных

трудностей является выдвижение предположений о характере законов

распределения случайной величины

, т. е. оценки показателя

эффективности системы.

Рассмотрим взаимосвязь точности и достоверности результатов с

количеством реализаций при машинном эксперименте, когда в качестве

показателей эффективности Е выступают вероятность р, математическое

ожидание а и дисперсия

Пусть цель машинного эксперимента с моделью некоторой системы —

получение оценки

вероятности появления р=Р(А) некоторого события А,

определяемого состояниями процесса функционирования исследуемой

системы. В качестве оценки вероятности p в данном случае выступает

частота

=m/N, где т — число положительных исходов.

Тогда соотношение (3.2), связывающее точность и достоверность оценок

с количеством реализаций, будет иметь вид

QpNmpPQNmpP

−

}/{,}|/{|

. (3.3)

Для ответа на вопрос о законе распределения величины

=m/N

представим эту частоту в виде

∑

xNNmp

)/1(/

так как количество наступлений события А в данной реализации из N

реализаций является случайной величиной

, принимающей значения х

= 1 с

вероятностью р и х

=0 с вероятностью 1 - р.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

будут таковы:

[]

;)1(01)1(

ppppxpxM

−

[] []

[

]

).1()1()0()1()1()()(

222

pppppppMxpMxD −=−−+−=−−+−=

ξξξ

Тогда

[] [ ] []

.)/1()/1(/

pNMNxMNNmMpM

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∑

Это соотношение говорит о несмещенности оценки

для вероятности

р. С учетом независимости значений величин

x получим

[] [ ] []

./)1()/1()/1(/

NppNDNxDNNmDpD

−==

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∑

В силу центральной предельной теоремы теории вероятностей частоту

m/N при достаточно больших N можно рассматривать как случайную

величину, описываемую нормальным законом распределения вероятностей с

математическим ожиданием р и дисперсией p(1-p)/N. Поэтому соотношение

(5.3) можно переписать так: