Пелих А.С., Терехов Л.Л., Терехова Л.А. Экономико-математические методы и модели в управлении производством

Подождите немного. Документ загружается.

При построении системы уравнений нужно учитывать, что,

помимо влияний, показанных на рисунке, каждая анализируе-

мая переменная может испытывать воздействие oднoйJили не-

скольких экзогенных переменных. Пусть

обозначает экзо-

генные факторы переменной

Xj ^;

соответственно для

х^^; х^^; х^^

введем агрегированные экзогенные переменные z^

z^^,

Тог-

да с учетом всех взаимосвязей имеем в общем виде следующую

систему уравнений:

"^ЗД ""Л'^2Д'

-^^4,1-1'

^ЗУ»

•^4,1 ~Л(^2Д' -^З.!-!»

^АУ-

В этой системе четко различаются три группы переменных:

1) эндогенные переменные х,

х^

определение ко-

торых требует решения приведенной системы уравнений;

2) запаздывающие эндогенные переменные:

х^

^ х^ ^,; х^^^;

jc^

р для /-Г0 периода они считаются известными, определен-

ными либо на основе статистической информащш, либо в ре-

зультате решения аналогичной системы уравнений, составлен-

ной для (/ ~ 1)-го периода;

3) экзогенные переменные

определяемые за

рамками данной системы уравнений.

Переменные второй

третьей групп имеют

то

общее, что их

значения предопределены внешними по отношению к системе

уравнений факторами; влияя на переменные /-го периода, они

сами не подвержены их обратному влиянию. Переменные вто-

рой и третьей групп будем называть предопределенными. Ко-

личество предопределенных переменных в уравнениях имеет

существенное значение для решения системы эконометрических

уравнений.

Частным случаем, упрощающим расчеты, является система

уравнений в виде причинной цепочки зависимостей при отсут-

ствии обратных связей между переменными. Пример такой си-

стемы зависимостей показан на рис. 1.2.

Как видим, любая цепочка связей приводит в конечном сче-

те к переменной

л:^^

последовательно и без возвратов. Данная

Рис. 1.2. Причинная цепь взаимосвязей переменных

цепь взаимосвязей с добавлением экзогенных переменных дает

систему уравнений:

^2,t"" ^v-^l.t'

-^a.t-l' •^4,t-l'

^2У»

•^3,t ~ 4v^l,t' \ t' ^4, M' ^3.t^»

•^4,t~ ^nV-^2,t' -^3,t' W*

Такие системы уравнений в виде однозначной причинной

цепи называются рекурсивными (рекуррентными) системами.

Уравнения в них решаются не одновременно, а последователь-

но.

Так, в приведенной системе вначале решается первое урав-

нение ~ определяется

х^

как функция только предопределен-

ных переменных. Затем из второго уравнения получаем

х^^

как

функцию предопределенных переменных

уже вычисленной

х^

Далее последовательно получаем

х^^

из третьего уравнения и

х^^

из последнего уравнения системы. Здесь расчеты в первых

трех уравнениях являются, в сущности, подготовительными

этапами для решения четвертого уравнения, в котором пере-

менная

х^^

может в конечном счете рассматриваться как слож-

ная функция всех остальных переменных системы. В этом смыс-

ле рекурсивные системы занимают промежуточное положение

между производственными функциями, состоящими из одного

уравнения, и системами эконометрических уравнений, требую-

щих одновременного решения.

Макроэкономические модели в

виде

систем эконометричес-

ких

уравнений составлялись практически

во

всех

развитых стра-

нах. Число уравнений

моделях колебалось от нескольких еди-

ниц, десятков до сотен и даже тысяч. Так, последние модели

для США насчитьгоали

346 и 608

уравнений, Японии -

691

урав-

нение, Франции -

2000,

Великобритании - 2552 уравнения.

Приведем для примера небольшую по числу уравнений мо-

дель,

разработанную в свое время в Германии:

Y^= 18,50 + 1,453

+ 0,717

Y^_j,

I^= -18,92 + 0,123

+1,293 Q^,

С = 32,98 +

0,540

+0,157

Ц_^

0,272

P^,

= -13,98 + 0,145

Q,_,+0,425

R^.

Здесь

Y^ J, Y^

- национальный доход;

\ - чистые капиталовложения;

C^p

- личное потребление;

Qt-i.Qt" прибыль;

Pj - индекс стоимости жизни;

- индекс производительности в промышленности.

Запаздывающие

эндогенные

(S) <i)=_c^

Рис.

1.3.

Граф взаимосвязи переменных модели

Как видим, это динамическая модель со всеми тремя разно-

видностями переменных величин. Изобразим их взаимосвязь в

форме графа

(рис.

1.3).

Итак, национальный доход

период / зависит от

его

объема

в период (/ ~1) и капиталовложений в период t.

Чистые капиталовложения зависят от национального дохо-

да

прибыли

период

Личное потребление определяется объе-

мом национального дохода, личным потреблением прошлого

периода, а также отрицательным влиянием индекса стоимости

жизни. Прибыль зависит от ее величины в прошлом периоде и

от индекса производительности в промьппленности.

Основные термины и понятия

• экономико-математическая модель;

• эконометрика;

• корреляционно-регрессионный анализ;

• метод наименьших квадратов;

• методы исследования операций;

• производственная функция;

• эластичность в производственных функциях;

• системы эконометрических уравнений;

• эндогенные и экзогенные переменные;

• запаздывающие эндогенные переменные.

0л

Упражнения

Задача 1.

На основании статистических данных по народному хозяй-

ству России за 1995-2003 гг. о национальном доходе Y, основ-

ных производственных фондах F и трудовых ресурсах L была

получена производственная функция:

Y=1,058F°'6«7L^'5»^

Требуется проанализировать указанную производственную

функцию по таким показателям:

• средняя эффективность затрат труда;

• предельная эффективность затрат труда;

• средняя фондоотдача;

• предельная фондоотдача;

• эластичность национального дохода по затратам труда;

• эластичность национального дохода

по

производственным

фондам;

• предельная норма замещения ресурсов.

Задача 2.

В одном из исследований была принята следующая форму-

ла корреляционной связи между показателями по труду и тем-

пом снижения себестоимости:

Т = AT ^Т

^^Y

с п 3 3 '

где Т^ - индекс себестоимости 1 руб. товарной продукции в

действующих ценах;

Т^ ~ индекс производительности труда в расчете на одного

трудящегося;

Т^ - индекс средней заработной платы на одного трудяще-

гося;

Y^ - удельный вес заработной платы в затратах на произ-

водство базисного периода;

А,

flj,

а^, а^

- постоянные величины.

результате расчетов по данным некоторых машинострои-

тельных предприятий были получены значения постоянных ве-

личин модели:

А = 0,972; л^ = -

0,873;

а^

= 0,139;

а^

= --0,048.

Пользуясь приведенной

формулой,

необходимо рассчитать

вероятную величину индекса себестоимости, если в плановом

периоде предусматривается рост производительности труда на

15%,

средней заработной платы - на

10%,

а удельный вес зара-

ботной платы в затратах на производство базисного периода

составил 30%.

Сделать выводы о характере и степени влияния показате-

лей - факторов на величину индекса себестоимости.

Тесты

Разделы математики, наиболее широко используемые в

эконометрике:

а) дифференциальное и интегральное исчисление;

б) корреляционно-регрессионный анализ;

в) теория вероятности и математическая статистика.

Для чего в эконометрике применяется метод наименьших

квадратов?

а) для расчета параметров уравнений регрессии;

б)

для расчета скорости движения астрономических- объектов;

в)

для определения ошибок выборочной совокупности данных.

Что

позволяет

изучать анализ

производственных

функций:

а) эффективность основных производственных ресурсов;

б) способы повышения производительности труда;

в) эффект расширения масштабов производства;

г) воздействие на производство научно-технического про-

гресса.

Каково различие между эндогенными

экзогенными пере-

менными

системах эконометрических уравнений?

а) различие определяется экономическим содержанием си-

стемы уравнений;

б) различие в расчете переменных при решении или до ре-

шения системы уравнений;

в) определяется характеристикой самих переменных.

Контрольные вопросы

Дайте определение экономико-математической модели.

Приведите классификацию экономико-математических

моделей.

3. Охарактеризуйте сущность и область применения корре-

ляционно-регрессионного анализа.

4. Опишите содержание и возможные приложения метода

наименьших квадратов.

5. Дайте определение производственной функции.

6. Приведите средние и предельные показатели, вытекаю-

щие из производственной функции.

7. Охарактеризуйте содержание систем эконометрических

уравнений.

8. Раскройте смысл эндогенных и экзогенных переменных в

системах эконометрических уравнений.

ЛАВА

ОПТИМИЗАЦИЯ

УПРАВЛЕНР1Я

ПРОИЗВОДСТВОМ

2.1.

Основы математического программирования

Если проанализировать производство какого-либо опреде-

ленного вида продукции, то, как правило, выявится возмож-

ность получения этого продукта несколькими технологически-

ми способами с применением различных взаимозаменяемых

средств производства. Так, существует несколько способов вы-

плавки стали (мартеновский, конверторный, в электропечах),

добьгш угля (шахтный, открытый, гидравлический), производ-

ства электроэнергии (на гидростанциях, на тепловых электро-

станциях, на атомных электростанциях, с использованием энер-

гии приливов и отливов). Нередко сходные продукты получа-

ются с

применением не только различных технологических

спо-

собов, но и разных видов исходного сьфья (например, получе-

ние натурального и искусственного волокна). В ряде произ-

водств допустимы замена одних материалов другими (напри-

мер,

металлов пластмассами), использование различных видов

топлива

(твердого,

жидкого,

газообразного). Продукция может

вьшускаться в различные периоды времени, а произведенная

продукция может доставляться потребителям не одним, а не-

сколькими (на выбор) видами транспорта, причем сам марш-

рут доставки также не является единственно возможным.

Более глубокий анализ обнаруживает, что и одноименные

ресурсы и средства производства не являются вполне однород-

ными, а отличаются теми или иными особенностями. Так, теп-

лотворная способность

иные свойства угля зависят от бассей-

на, где он добывался; производительность однотипных стан-

ков

—

от времени вьшуска, конструктивных особенностей, сте-

пени изношенности; плодородие различных участков земли

даже в

пределах одного хозяйства

— от

месторасположения этих

участков, свойств почвы, близости водоемов и

пр.

Таким обра-

зом,

если

на первый взгляд для каждого продукта имеется впол-

не определенный способ получения и затрачиваются вполне

определенные ресурсы, то в действительности существует мно-

жество возможных вариантов решения производственных воп-

росов, начиная от выбора сырья до перевозки готовой продук-

ции,

на практике всегда приходится выбирать одни варианты

и отбрасывать другие.

Естественно, что различные варианты плана требуют нео-

динаковых затрат и приносят в конечном счете неодинаковый

экономический эффект. Если затраты и результаты производ-

ства по всем вариантам могут быть точно подсчитаны

сопо-

ставлены, то следует, конечно, отобрать более эффективные

варианты и отбросить менее эффективные. Окончательно эта

задача суживается до выявления единственного варианта, ко-

торый в данных условиях эффективнее всех остальных. Если

определены ресурсы, которыми мы располагаем, то самым эф-

фективным будет вариант, дающий при этих ресурсах наибо-

лее высокий производственный результат (например, наиболь-

ший выпуск

натуральном или стоимостном выражении); если

же заранее задан результат производства (например, объем

выпуска продукции), то наиболее эффективным считается ва-

риант, требующий наименьших затрат

средств или

ресурсов для

достижения этого результата. Самый эффективный вариант

называется оптимальным вариантом. Таким образом, опти-

мальным является план, обеспечивающий заданный производ-

ственный результат

при

минимальных затратах

или

максималь-

ный производственный эффект при заданном объеме ресурсов.

Выявление оптимального плана представляет собой, как

правило, довольно сложную задачу. Дело в том, что количе-

ство возможных вариантов плана обычно весьма велико

отыс-

кание наиболее эффективного из них путем простого их срав-

нения может потребовать колоссальных затрат времени и тру-

да, во много раз превьппающих величину самого эффекта, по-

лучаемого

за счет

оптимального планирования. Поэтому

прак-

тике планирования приходится останавливаться лишь на более

или менее удачных вариантах плана, не зная даже, насколько

они далеки от оптимальных. С другой

стороны,

условиях мощ-

ного высокоразвитого современного производства неоптималь-

ность плановых решений грозит все более ощутимыми потеря-

ми и ущербом. Если принятый фактически вариант плана тре-

бует хотя бы на один процент меньше продукции, чем обеспе-

чил бы при тех же условиях оптимальный вариант, то в абсо-

лютном выражении потерянный при этом эффект измеряется

зачастую многими миллионами рублей.

Значит, оптимальное планирование — сложная экономичес-

кая проблема. До постановки математической задачи необхо-

димо решить ряд экономико-математических проблем, к кото-

рым можно отнести: выбор критерия эффективности плана,

масштабы и степень детализации построения модели, очеред-

ность решения и использование результатов решения, эконо-

мико-математических моделей для различных звеньев народ-

ного хозяйства и экономических проблем, взаимосвязь и взаи-

мозависимость этих моделей и др.

Определив исходные предпосьшки, можно приступать к по-

строению модели. Наиболее общей моделью определения по-

казателей оптимального плана является общая задача матема-

тического программирования

/(х,,

х^,..., х) ->max(min),

при соблюдении условий

(X,

х^,...,

X.,) < в^, j

2,...,

J ,

Xj>0,

/=1,2,..., I,

где X. — показатели технико-экономических характеристик

плана (объем выпуска продукции, степень использования обо-

рудования и т. д.),

— функция, определяющая величину у-го лимитирующе-

го план показателя в зависимости от технико-экономических

характеристик плана (затраты сырья, трудовых ресурсов, вы-

пуск продукции, объем полученной прибыли и т. д.);

в.

—

величина

j-ro

лимитирующего план показателя;

/(х) — оптимизируемая величина (критерий оптимальнос-

ти плана).

Одним из наиболее эффективных, глубоко разработанных и

широко проверенных на практике методов решения задач оп-

тимального планирования является линейное программирова-