Пелих А.С., Терехов Л.Л., Терехова Л.А. Экономико-математические методы и модели в управлении производством

Подождите немного. Документ загружается.

2.2.

Методы управления хозяйственной

деятельностью предприятий

Экономико-математическая модель оптимизации производ-

ственной программы предприятия требует определения этой

про-

изводственной программы

предприятия,

то есть

объема производ-

ства продукции в натуральном и стоимостном вьфажении за оп-

ределенный период

(как

правило,

за

год).

План производства

про-

дукции разрабатывается в рамках бизнес-плана предприятия обыч-

ным, традиционным

методом.

Однако

математическое моделиро-

вание позволяет

не

только проверить и уточнить производствен-

ную программу, но и оптимизировать ее величину с учетом всех

имеющихся ресурсов и выбранной целевой функции.

Суть оптимизационной задачи сводится к следующему.

Имеется номенклатурно-ассортиментный набор различных ви-

дов продукции. Из этого набора предприятию необходимо

сформировать план производства продукции с учетом имею-

щихся ограничений, чтобы доход от реализации этой продук-

ции оказался наибольшим.

В общем виде экономико-математическая модель оптими-

зации производственной программы предприятия вьп^лядит

следующим образом.

x.>N^(i=l,2,3,...n)

jc.<N.

у 3J

Е^Л^^«

(i=l,2,3,...m)

z = S<:^x.—>тах,

где

х.—объем производствау-ой продукции

натуральном вы-

ражении;

N^—договоры

по

производству

у-ой

продукции

натураль-

ном выражении;

N^.

— объем >ой продукции по заявкам потребителей;

—

номенклатура ограниченных используемых ресурсов;

а.J—норма

расхода /-го ресурса на единицу>ой продукции;

в^

— объем выделенного г-го ресурса;

— целевая функция;

— прибыль предприятия от реализации единицы у-ой

продукции.

Краткая характеристика модели. Данная модель относится

к разряду экономико-математических, оптимизационных мо-

делей. Она описывает статическую, детерминированную систе-

му с линейной зависимостью между зависимыми и независи-

мыми переменными и предназначена для краткосрочного

(в пределах одного года) планирования.

Информационное обеспечение модели. В модели можно чет-

ко выделить три вида информации, полнота и точность кото-

рой во многом определяют успешное решение задачи. Это, во-

первых, информация об объеме производства продукции; во-

вторых, информация о ресурсах и нормах их расхода на едини-

цу продукции; в-третьих, информация о доходах и расходах

предприятия от производства к реализации каждого вида про-

дукции.

Значения показателя

N^.

принимаются по данным сформи-

рованного портфеля заказов предприятия, поступивших заявок

от многочисленных потребителей на каждый вид продукции,

заявок торгующих организаций и т. п.

В систему ограничений модели целесообразно включать

только те виды ресурсов, которые являются ограниченными и

дефрщитными. Это позволяет значительно сократить количе-

ство уравнений системы и снизить трудоемкость вычислитель-

1п>1х

операций. Одновременно устанавливается и номенклату-

ра ресурсов, включаемых в систему, т. е. показатель т.

Значения каждого вида ограниченных ресурсов

в.

определя-

ется по расчетным данным самого предприятия в зависимости

от режимных условий его работы, количества и состава дей-

ствующего оборудования, профессионального и квалификаци-

онного состава кадров. Нормы расхода ресурсов

а.,

устанавли-

ваются предприятием.

Особое значение придается целевой функции модели. Это

может быть максимум прибыли (как представлено в данной

модели), но может быть и минимум затрат (себестоимости) на

производство продукции. В отдельных случаях в качестве це-

левой функции могут быть приняты и другие критерии, напри-

мер,

максимум производительности труда, максимум фонда

материального поощрения, минимум расхода какого-нибудь

ресурса, максимум рентабельности производства и т. д.

Модель определения производственной мощности промыш-

ленного предпршпгия. Производственная мощность предприя-

тия представляет собой величину максимально возможного

вьшуска продукщ1И в единицу времени (обычно за год) при ус-

ловии наиболее полного использования средств труда, приме-

нения новой техники, прогрессивной технологии и совершен-

ствования организации производства.

Производственная мощность предприятия — это один из

важнейших показателей промышленного предприятия, на базе

которого устанавливается ее производственная программа, вы-

являются существующие диспропорции между отдельными

структурными подразделениями предприятия, определяются

резервы возможного увеличения выпуска продукции (рис. 2.1).

Моишость

ведущей п>уппЦ

рб^удования

Мощность

Ьредприятия

1 2 3 4 в 5 6 ... п

Рис.

2.1.

Диаграмма соотношения лроизводавенной мощноаи

оборудования и мощности предприятия в целом

Модель определения производственной мощности промьпп-

ленного предприятия выглядит следующим образом:

x>N, (i=l,2,3,...n)

(i =

l,2,3,...m)

z= 2J их-

•

max.

где X.—объем производства>ой продукции

натуральном вы-

ражении;

N^—договоры по производствуу-ой продукции

натураль-

ном выражении;

в^

— величина ресурсов ведущей группы оборудования, час;

а^— норма затрат времени ведущей группы оборудования

на производство единицы у'-ой продукции;

а..

— норма затрат времени /-ой группы оборудования (кро-

ме ведущей) на производство единицы у-ой продукции;

в.

— величина ресурса /-ой группы оборудования (кроме ве-

дущей);

ц.

— договорная цена реализации единицыу-ой продукции.

После определения производственной мощности предпри-

ятия можно установить плановый уровень ее использования

по формуле:

К J-^

"^ м'

где К^ — плановый коэффициент использования производ-

ственной мощности предприятия;

Р^

— плановый объем реализации продукции, который при-

нимается

соответствии с оптимальной производственной про-

граммой предприятия;

М — величина производственной мощности предприятия,

соответствующая максимуму целевой функции рассматривае-

мой модели.

Характеристика модели и ее информационное обеспечение

совпадают с моделью оптимальной производственной програм-

мы предприятия.

Модель оптимизации рецептуры смеси. Широкое распрост-

ранение в промышленности получила модель оптимизации ре-

цептуры смеси. Эта модель используется на предприятиях ме-

таллургической, машиностроительной, химической, нефте-

перерабатывающей и пищевой промышленности.

в зависимости от того, где и на каком предприятии приме-

няется указанная модель, ее название несколько видоизменяет-

ся.

Очень часто подобного рода задачи называют задачей оп-

тимизации соединений (в химии), задачей оптимального раци-

она (в пищевой промышленности)

и т.

д. Все эти задачи по сво-

ей сущности аналогичны и решаются с помощью одной и той

же математической модели.

с.х.-^тгх,

где

с.

—

стоимость единицы у-го сырья;

—

объем у-го сырья;

п — количество различных

видов

сырья,

которые могут быгь

использованы для получения необходимой продукции;

— минимизируемая целевая функция.

Характеристика данной модели совпадает с моделью опти-

мизации производственной программы предприятия. Решение

поставленной задачи может быть осуществлено в двух аспек-

тах. Во-первых, на основе данных службы материально-техни-

ческого снабжения можно установить оптимальную рецептуру

смеси

только имеющихся

наличии на предприятии различных

видов сырья. Во-вторых, оптимальную смесь можно составить

из тех видов сырья, которые производятся промышленностью,

но по каким-либо причинам в данный момент на предприятии

отсутствуют. Тогда решение задачи и нахождение наиболее

рациональных видов сырья для получения готовой продукции

позволяет наметить программу материально-технического обес-

печения производства с целью сокращения его затрат. Таким

образом, в зависимости от характера решаемой задачи уста-

навливается величина

(л),

то

есть

количество различных исполь-

зуемых видов сырья. Количество единиц каждого полезного

вещества, содержащегося в единице каждого сырья

(а..),

можно

определить по данным ГОСТа (или ТУ) либо установить в ре-

зультате проведенного лабораторного анализа.

Модель оптимизации раск1юя материалов. Предполагается,

что значительная часть различных материалов поступает на

промышленные предприятия в виде стандартных полуфабри-

катов определенного профиля, габаритов, размеров. Впослед-

ствии для получения необходимых производству заготовок этот

материал приходится раскраивать.

На предприятиях разных отраслей промьшшенности исполь-

зуются различного вида стандартные материалы (металличес-

кие трубы, стальные листы, бумага, картон, стекло, фанера,

доски и т. п.).

Раскроить поступающий на предприятие материал с таким

расчетом, чтобы полностью удовлетворить производство не-

обходимьвш заготовками в требуемом количестве и получить

при этом наименьшие отходы, — это очень важная задача, ре-

шение которой позволяет значительно снизить материалоем-

кость продукции, удешевить ее производство. Для этой цели

используется следующая математическая модель:

-tt

где/;

—

количество различных видов стандартного материала,

используемого при раскрое;

п^

—

количество различных вариантов раскроя из единицы

Ц'ТО

вида стандартного материала;

х^—количество стандартных единиц материала

ц-го

вида,

раскраиваемых поу-му варианту;

ц^

—

цена единицы стандартного материала

ц-то

вида;

Z —

целевая функция.

В случае, если при раскрое используется только один вид

стандартного материала (т. е. когда/?=1), математическая мо-

дель значительно упрощается и вьп^лядит следующим образом:

= 2JX. -> min или

= 2jc.x.-»min,

где

— количество различных вариантов раскроя;

— количество стандартных единиц материала, раскраи-

ваемых по>му варианту;

с.

—

величина отхода приу-ом варианте раскроя;

Z —

целевая функция.

Характеристика данной модели совпадает с моделью опти-

мизации производственной программы предприятия.

Информационное обеспечение

модели.

Оптимизация раскроя

материала всецело зависит от полноты информации о возмож-

ных вариантах раскроя и количестве получаемых различных

заготовках при каждом из них. Получить такую информацию

при линейном раскрое (т. е. при раскрое материалов в одном

измерении) не представляет особого труда. Для этого последо-

вательно рассматриваются все реально возможные варианты

раскроя, а затем

—

нерациональные варианты отбрасываются.

По оставшимся вариантам и производится поиск оптимально-

го решения.

Значительно сложнее обстоит дело, когда раскрой осуще-

ствляется в двух измерениях, а количество различных видов

заготовок, получаемых из данного стандартного материала,

больше

двух.

Тогда количество разнообразных вариантов рас-

кроя может оказаться очень значительным и перебрать их все

бывает затруднительно.

таких случаях прибегают к услугам

ЭВМ, которая по заранее заданной программе находит все ра-

циональные варианты раскроя, т.

е.

такие варианты,

которых

отходы материала не превысят наперед установленной величи-

ны.

Отобранные варианты и включаются в математическую

модель, решение которой обеспечивает оптимальный раскрой

материала.

Рациональность раскроя проверяется по показателю,

характеризующему уровень использования стандартного мате-

риала. Этот показатель определяется по формуле:

гг __Qn

где

К^

—

коэффициент использования стандартного материала;

Q^ — количество полезно используемого стандартного ма-

териала для изготовления требуемых заготовок в натуральном

выражении (в т, кг,

м^

и т. п.);

—

общее количество израсходованного стандартного ма-

териала для изготовления требуемых заготовок в натуральном

выражении.

2.3.

Модель оперативно-календарного

планирования производства на предприятии

Необходимость равномерного и ритмичного производствен-

ного

процесса обусловливает применение

на

предприятиях опе-

ративно-календарного планирования, при котором обеспечи-

вается согласованность действий всех структурных подразде-

лений.

Опыт

показывает,

что

обеспечить эффективное оперативно-

календарное планирование

на

предприятии

бывает порой

чрез-

вычайно сложно. И

этом вопросе неоценимую помощь могут

оказать математические методы.

Само по себе

моделирование процесса оперативно-календар-

ного планирования должно рассматриваться как комплексная

проблема,

при

которой

решаются

следующие взаимосвязанные

задачи:

• составление наиболее рациональных технологических

маршрутов обработки различных деталей и изделий;

• оптимальное распределение

закрепление детале-опера-

ций между станками внутри выделенных групп взаимо-

заменяемого оборудования;

• определение оптимального размера партии обрабатыва-

емых деталей;

• обеспечение оптимальной очередности запуска деталей

обработку;

• обеспечение выпуска готовой продукции

необходимом

объеме и

требуемые сроки.

Решение этих задач в рамках единой комплексной матема-

тической модели пока еще не реализовано из-за чрезвычайно

большой сложности

самой

проблемы. Поэтому каждую задачу

решают

отдельности с учетом специфических условий произ-

водства, применяя хорошо зарекомендовавшие себя традици-

онные

методы.

При этом

очень часто

пользуются математичес-

кой

моделью, которая позволяет

решить

последнюю

из

указан-

ных задач, т. е. позволяет обеспечить выпуск готовой продук-

ции

необходимом объеме, требуемой номенклатуры

и в

уста-

новленные сроки при минимальных запасах незавершенного

производства и нереализованной продукции (рис. 2.2).

о. ??

S Н

5« 2

{

1-й

N„

N3,

Плановые периоды

2-й 3-Й

4-й 5-й 6-й

N,2

N^.

N„.

N„

N2,

N„

N,4

N34

N,s

N,5

N,6

N2.

N„

Рис.

2.2.

Иллюстрация математической модели

оперативно-календарного планирования

В цехе (на участке, в бригаде) изготавливаются три различ-

ных

детали.

Известна потребность этих деталей

смежных под-

разделениях (плановая поставка деталей) в каждом из шести

плановых периодов. Необходимо спланировать количество

производимых в каждом отрезке времени деталей всех наиме-

нований (хр с

з^етом

безусловного удовлетворения имеющей-

ся в них потребности.

При этом детали проходят обработку на оборудовании че-

тырех различных групп. Каждая группа оборудования в каж-

дом плановом периоде располагает определенным фондом ра-

бочего времени -

в.^.

Поэтому количество обрабатываемых и

изготавливаемых деталей каждого наименования по плановым

периодам не должно превьпыать возможностей установленно-

го в цехе оборудования. Отсюда становится

ясно,

что в каждом

плановом периоде, учитывая ограниченные возможности обо-

рудования, необходимо планировать переходящий запас по

каждой

детали—Zj.,

величину которого следует стремиться ми-

нимизировать. Но при этом следует иметь в виду, что на нача-

ло 1-го планового периода и на конец последнего периода по

каждой детали, как правило, для обеспечения ритмичности их

поставок создается переходящий запас готовых деталей -

A^j

\m+iy Величина этих запасов определяется по условию задачи.

Такая модель выглядит следующим образом:

^«-2a = N„-Ai,

^/,+^,-2,0*1) = N«

Xi„

••"

Z. = N. + А;,„.,,

im im im i(m-ri)

(i=l,2,3,..

0 = 2,3.4,.

(k =

1,2,3,..

.. m-1)

•P)

^a.^x..<b^Q=l,2,3, ...m)

n m

/= Z/ Xc^z -^min.

где n — номенклатура изготовляемых видов продукции;

т — количество отдельных отрезков времени (например,

месяцев,

декад,

недель,

дней,

рабочих смен

и т.

д.)

течение пла-

нового периода;

Nj.

— потребность (производственная программа) выпуска

/-ЫХ

изделий ву-ом отрезке времени;

Ajj и

A^^^jj

—

количество готовых /-ых изделий (или незавер-

шенное производство) соответственно на начало 1-го и (т+1)-

го отрезка времени;

—

количество изготовляемых /-ых изделий ву-ом отрезке

времени;

z.j^

— количество готовых /-ых изделий (или незавершенное

производство) на начало у-го отрезка времени;