Поротов Г.С. Разведка и геолого-экономическая оценка месторождений полезных ископаемых: Учебник

Подождите немного. Документ загружается.

недопустимо применять выводы об изменчивости объекта,

полученные для конкретного уровня его изучения, для решения

практических задач иного уровня. Например, степень и характер

изменчивости содержания полезного компонента, установленные по

секционным пробам, не могут служить основанием для выбора

густоты сети опробования  для решения этой задачи необходимо

проанализировать изменчивость содержаний по разведочным

пересечениями.

Способы анализа изменчивости многообразны. Условно  по

ведущему принципу изучения  их можно объединить в две группы:

геологические и математические способы. В основе каждой из этих

групп лежит тип моделей, используемых для отображения

изменчивости параметров объекта.

Геологические способы

Для выражения геологических представлений о существе

объекта и изменчивости его признаков используют различные виды

геометрических моделей. Эти модели чаще всего являются

плоскостными графическими материалами, хотя могут быть

применены также объемно-макетные модели скульптурного,

рельефного, скелетного и других типов. В качестве примеров можно

назвать планы в изолиниях (мощности, содержаний, метропроцентов,

гипсометрические и др.), разрезы, погоризонтные планы, графики

изменения геолого-промышленных параметров по каким-либо

направлениям (скважинам, горным выработкам и др.), блок-

диаграммы. На графических материалах наглядно отображаются

степень, характер и структура изменчивости любого параметра

месторождения или их совокупностей по определенным сечениям, на

определенной площади или в пределах определенного объема.

Универсальность, хорошая геологическая обоснованность и

наглядность таких моделей делают их незаменимыми для изучения и

прогнозирования изменчивости геологических объектов. Они были и

остаются ведущим способом обоснования систем разведки

месторождений.

Однако геологическое моделирование представляет собой

сложную творческую задачу, которая зачастую допускает несколько

различных ее решений. Причина этого кроется, с одной стороны, в

131

сложности геологических процессов, которые в ряде случаев до конца

не познаны, с другой стороны, в дискретности сети наблюдений

геологических объектов. Изученные объемы их обычно несоизмеримо

малы по сравнению с теми объемами, на которые распространяются

результаты наблюдений, поэтому неизбежно возникает проблема

выбора наиболее достоверной геологической модели.

Кроме того, геометризация геологических объектов и их

признаков выполняется главным образом на основе представлений о

простом (прямолинейном) характере изменения признаков между

точками наблюдения, что далеко не всегда соответствует

действительности. И, наконец, геологические методы не дают

количественных показателей изменчивости изучаемых параметров и

количественной оценки достоверности разведки. Следовательно,

математическое обоснование геологической модели, математический

анализ изменчивости геолого-промышленных параметров теми или

иными способами в рамках выбранной модели являются совершенно

необходимыми.

Тем не менее, всякий прогноз изменчивости геологического

объекта должен начинаться именно с геологического прогноза.

Только создав удовлетворительную геологическую модель объекта,

можно приступать к математическому анализу изменчивости, ибо эта

модель определяет разделение объекта на блоки с разными типами

изменчивости, которые должны быть изучены раздельно. В

противном случае окажутся неучтенными тектонические смещения

тел полезных ископаемых, первичная и вторичная зональность этих

тел, их эпигенетические изменения и другие особенности, что сделает

математическую оценку изменчивости неверной.

Математические способы

Математические методы, применяемые для изучения и

прогноза изменчивости геологических объектов, достаточно

многочисленны и разнообразны. Объем и задачи учебника не

позволяют подробно рассмотреть все методы, да в этом и нет

необходимости, поскольку имеется целый ряд учебных и научных

материалов, в которых соответствующие вопросы освещены с

надлежащей полнотой и детальностью. Задача состоит в том, чтобы

дать общее представление об основных направлениях математического

132

решения рассматриваемой проблемы, кратко охарактеризовать наиболее

распространенные математические способы изучения изменчивости,

указать области их применения и оценить практическую значимость

получаемых результатов.

Геологические объекты относятся к так называемым "плохо

организованным природным системам", что объясняется сложностью

породивших их геологических процессов. Вследствие этого они не

поддаются точному количественному описанию и, как правило,

взаимосвязь между их параметрами не может быть выражена строгим

законом  его обычно заменяет модель, дающая лишь приближенное

представление о строении объекта или динамике процесса. На базе

геологических моделей создаются различные математические модели,

которые можно сгруппировать следующим образом:

#детерминированные модели;

#статистические модели;

#модели геостатистические;

#разностные модели;

#модель на основе стационарных случайных функций;

#модели на основе нестационарных случайных функций.

Детерминированные модели основаны на допущении, что

состояние или поведение системы пространственной переменной

полностью определяется ее начальным или граничным состоянием. Эти

модели полностью игнорируют случайную составляющую

изменчивости, представляя ее как закономерную  прямолинейную при

обычной интерполяции и экстраполяции фактических данных за

пределы точек наблюдения или плавную криволинейную при

использовании для этого кубических сплайн-функций. Их используют

при построении изображений геологических объектов, но они играют

второстепенную роль при математическом анализе изменчивости

геолого-промышленных параметров.

Статистические модели относятся к числу наиболее

распространенных и давно применяемых в практике геолого-

разведочных работ. Они, в свою очередь, могут быть подразделены на

одно-, двух- и многомерные. В первом случае решается задача

обобщения результатов наблюдения какого-либо одного признака

геологического объекта, а в остальных случаях выясняются

взаимоотношения между несколькими признаками.

Применение одномерной статистической модели основано на

предположении независимости значений изучаемого признака, т.е.

133

полного отсутствия связи между наблюдаемыми его значениями и

положением точек наблюдения в геологическом пространстве. В общем

случае можно лишь считать, что чем выше степень изменчивости

признака, тем полученные результаты ближе к статистической

совокупности. Например, опыт показывает, что формулы

математической статистики дают достаточно достоверные результаты

при изучении изменчивости месторождений золота, платины, алмазов,

редких и отчасти цветных металлов, мусковита и др., но оказываются

совершенно ненадежными при оценке изменчивости залежей многих

осадочных полезных ископаемых.

В практике разведочных работ одномерные статистические

модели используются главным образом для численной оценки

степени изменчивости геолого-промышленных параметров тел

полезных ископаемых и месторождений, а также оценки точности

полученных результатов. Важнейшими характеристиками таких

моделей являются среднее значение изучаемого параметра x

ср

дисперсия 

, среднеквадратичное отклонение  и коэффициент

вариации V#=#/х

ср

Поскольку у реальных геологических объектов мы

имеем дело с сочетанием случайной и закономерной

изменчивости, статистические модели, считающие все

изменения случайными, дают в таких случаях

завышенную оценку изменчивости геолого-

промышленных параметров. Во избежание этого

необходимо выделять и исключать закономерную

составляющую и рассчитывать коэффициент вариации

только по случайной составляющей изменчивости.

Следует заметить, что при разведке

месторождений чаще всего имеют дело с небольшими

по размеру выборками значений изучаемого

параметра, в силу чего оценка его среднего значения

является случайной величиной и не соответствует

математическому ожиданию, которое и представляет

собой истинное среднее значение этого параметра для

генеральной совокупности  геологического объекта в

целом. Поэтому одной из важнейших задач является

выбор наилучшего способа вычисления этой оценки и

определение степени ее точности.

134

Известно, что статистические оценки могут быть точечными

(они выражаются определенным числом) и интервальными

(указывается некоторый интервал значений, в пределах которого

находится истинное значение величины при заданной вероятности

этого события).

Точечной оценкой истинного среднего является

среднеарифметическое значение параметра x

ср

. Интервальная оценка

заключается в определении интервала, в котором находится истинное

значение х

ист

. Этот интервал выражается соотношением

, txxtx

сристср

где t  коэффициент вероятности; # среднеквадратичная случайная

погрешность среднего значения,

;n/

n#– количество

наблюдений в выборке.

Коэффициент вероятности t зависит от вероятности p

совпадения истинного и вычисленного среднего значения параметра.

Значения коэффициента t при малом количестве наблюдений берутся

из таблиц распределения Стьюдента при количестве степеней

свободы k#=#n#–#1 (см. табл.18 в подразделе 3.11), а при большом  из

таблиц нормального закона. Практически при количестве наблюдений

более 30 можно пользоваться следующими соотношениями,

вытекающими из нормального закона распределения:

Вероятность р 0,67 0,82 0,954 0,997

Коэффициент t 1 1,5 2 3

При сравнении изменчивости параметров различной

размерности наряду с абсолютной используют относительную

величину (коэффициент вариации), обычно выражаемую в процентах:

100)/(

ср

xV 

Коэффициент вариации имеет смысл при оценке изменчивости

лишь тех геолого-промышленных параметров, для которых важны их

средние значения и погрешности определения при разведке. Поэтому

статистическая модель с успехом применяется для изучения изменчивости

содержания компонентов в рудах и мощностей тел полезных ископаемых,

но она непригодна для анализа условий залегания этих тел, их

внутреннего строения и изменчивости качества нерудных полезных

ископаемых, используемых как порода в целом (известняк, доломит, гипс

и др.).

135

Двухмерные статистические модели позволяют выявить

статистические связи между двумя случайными величинами и оценить

их силу. Один параметр оруденения определяется по другому

известному параметру, если между ними имеется сильная статистическая

зависимость. Надежное прогнозирование осуществляется с помощью

уравнения линейной регрессии, если коэффициент корреляции

превышает 0,87,

)(

срср

xxryy



При использовании уравнения следует учитывать

погрешность прогноза, которая зависит от дисперсии прогнозируемой

величины, степени связи между величинами и принимаемой

доверительной вероятности:

1σδ rt



Двухмерные статистические модели чаще всего применяют

для определения показателей качества полезных ископаемых по

косвенным данным (содержания попутных компонентов полезных

ископаемых в зависимости от содержания главных компонентов), для

обработки результатов контроля геолого-разведочных работ, для

уточнения параметров тел полезных ископаемых по данным их

отработки и для решения других практических задач.

Многомерные статистические модели используются для

прогноза значений какой-либо величины, корреляционно связанной с

двумя и более величинами, а также для типизации и группировки

геологических объектов (факторный и кластерный анализы).

Помимо рассмотренных выше классических статистических

моделей существует еще ряд способов анализа изменчивости,

использующих статистические идеи, т.е. независимость значений

изучаемого параметра от положения точек наблюдения в

пространстве. Бóльшая их часть основана на определении различных

соотношений.

Чаще всего используется соотношение

промышленных и непромышленных участков в теле

полезного ископаемого, что позволяет в определенной

мере охарактеризовать степень изменчивости

изучаемых параметров. Одним из таких способов

является расчет коэффициента рудоносности как

136

отношения суммарных длин или площадей участков

полезного ископаемого, отвечающих показателям

кондиций, к общей мощности или площади рудоносного

горизонта по тем же выработкам. В случае нерудных

полезных ископаемых этот показатель называют

коэффициентом кондиционности. Общепринятой

классификации тел полезных ископаемых по значению

таких коэффициентов пока не существует, но на основе

имеющихся публикаций можно рекомендовать такую

их группировку:

Тела

Коэффициент рудоносности

(кондиционности)

Выдержанные >0,95

Относительно выдержанные 0,75-0,95

Невыдержанные 0,50-0,75

Весьма невыдержанные <0,50

Другим способом является определение показателя

устойчивости тел полезных ископаемых в проекции на какую-либо

плоскость. Показатель представляет собой отношение суммарной

площади тела, в пределах которой оно имеет промышленную

мощность, к общей площади тела на проекции. По значению

показателя устойчивости выделяют четыре группы тел:

Тела Показатель устойчивости

Устойчивые (непрерывные) 1

Относительно устойчивые (слабо

прерывистые)

0,75-1

Неустойчивые (прерывистые) 0,50-0,75

Крайне неустойчивые (сильно прерывистые) <0,50

Третьим способом следует считать определение

контурного модуля, дающего представление о

сложности формы тела полезного ископаемого в

проекции на какую-либо плоскость. Такой модуль

может быть вычислен либо как отношение площади

тела к длине его контура, либо как отношение

фактической длины контура тела к теоретической

длине контура равновеликой простой фигуры.

137

В первом случае получается величина, характеризующая ширину

полосы, примыкающей к контуру тела, причем по мере усложнения

формы проекции тела эта ширина уменьшается, что позволяет

использовать такой показатель для классификации объектов по

изменчивости их формы.

Во втором случае в качестве равновеликой фигуры может

быть выбран круг, эллипс или прямоугольник. При этом формулы для

вычисления теоретической длины контура таких фигур L

имеют

следующий вид: для круга, эллипса и прямоугольника соответственно

;2 SL 

);1(/5,1  aaSL

,)1(/2  bbSL

где S  площадь тела; a  отношение большой и малой полуосей

эллипса; b  отношение длинной и короткой сторон прямоугольника.

Измерив фактическую длину контура тела L, несложно

рассчитать контурный модуль по формуле K

#=#L/L

. По значению

контурного модуля можно выделить четыре группы тел:

Номер группы Форма Контурный модуль K

I Простая 1,0-1,2

II Относительно простая 1,2-1,5

III Сложная 1,5-2,0

IV Весьма сложная >2,0

Геостатистические модели основаны на предположении, что

результаты наблюдений зависят от расположения пунктов наблюдений.

При смещении начального пункта наблюдений результаты измерений

меняются, и по этой причине их рассматривают как случайные

величины. Однако средний квадрат разности измеренных значений

зависит только от расстояния между пунктами наблюдений. Главной

характеристикой геостатистических моделей служит вариограмма#–

функция среднего квадрата разности от расстояния между пунктами

наблюдений (шага измерений). В зависимости от способа

аппроксимации вариограммы различают несколько видов моделей:

сферическая, логарифмическая, показательная и др. [3,10,15].

Разностные модели изменчивости основаны на изучении

приращений значений признака между соседними точками

наблюдения и имеют целью исключение влияния закономерной

138

составляющей изменчивости для более правильной характеристики

случайной изменчивости.

Модель со вторыми разностями впервые была предложена

Д.А.Казаковским [9] и нашла широкое практическое применение.

Впоследствии на ее базе была разработана видоизмененная модель

З.Д.Низгурецкого, а Е.И.Попов применил вторые разности для оценки

площадной изменчивости при построении гипсометрических планов.

Метод Д.А.Казаковского разработан для правильных

квадратных сетей и позволяет оценивать изменчивость геолого-

промышленных параметров, которые могут быть изображены в виде

топографических поверхностей, главным образом для изучения

изменчивости мощности тел полезных ископаемых. Сначала

вычисляют первые разности значений признака по соседним точкам:

1 iii







а затем находят вторые разности как приращения соседних первых

разностей:

211 













iiii

Абсолютной мерой изменчивости является показатель

сложности топографической поверхности 

, который представляет

собой среднее значение абсолютной величины вторых разностей:











где k  количество вторых разностей.

Относительная изменчивость признака оценивается с

помощью показателя изменчивости , который представляет собой

выраженное в долях единицы отношение показателя сложности

поверхности  к среднему значению изучаемого параметра 

ср

Д.А.Казаковский установил экспериментальную зависимость

между показателем изменчивости объекта и степенью его изученности:

R#=#n/1000, где n  количество наблюдений изучаемого параметра.

При доверительной вероятности 0,67 показателю

разведанности соответствуют следующие значения относительной

погрешности статистической оценки среднего значения параметра:

Показатель разведанности, доли единицы 0,29 0,14 0,05 0,02

Относительная погрешность среднего значения, % 2 4 10 15

139

Вторая разность  является аналогом второй

производной функции пространственной переменной и

связана с кривизной поведения параметра в

пространстве. Если параметр меняется по закону

прямой линии, то вторая разность (и вторая

производная) равна нулю. Чем больше значения

параметра отклоняются от прямой линии, тем больше

вторая разность.

Одно из преимуществ модели на основе вторых

разностей перед статистическими состоит в том, что

она устраняет влияние закономерной изменчивости на

степень случайной изменчивости. Когда шаг между

пунктами наблюдений мал, вторые разности близки к

нулю (рис.18). Это значит, что при малом шаге

наблюдений поведение параметра между точками

наблюдений практически прямолинейное,

следовательно, сеть наблюдений позволяет

исчерпывающим образом изучить поведение параметра

в пространстве, а прямолинейная интерполяция его

значений достаточно точно характеризует поведение

параметра между точками наблюдений.

По мере увеличения шага наблюдений, начиная с шага h

min

вторые разности растут, т.е. наблюдается зависимость между вторыми

разностями и шагом наблюдений. Начинает сказываться

криволинейность в поведении значений параметра. Линейная

интерполяция лишь приближенно отражает поведение параметра в

пространстве, а значения параметра представляют собой зависимые

случайные величины.

140

Рис.18. Зависимость средней

второй разности  от шага

наблюдений h



пр

min

max