Пустовит А.В. История европейской культуры
Подождите немного. Документ загружается.
341
1793. Ôðàíöèÿ: Ðîáåñïüåð,
òåððîð. Âòîðîé ðàçäåë
Ïîëüøè
1795. Ôðàíöèÿ:
Äèðåêòîðèÿ. Òðåòèé ðàçäåë
Ïîëüøè
17961797. Íàïîëåîí
â Èòàëèè
1798. Íàïîëåîí â Åãèïòå
1799. Íàïîëåîí ïåðâûé
êîíñóë. Ðåâîëþöèÿ
â Íåàïîëå
1800. Áèòâà ïðè Ìàðåíãî
1804. Íàïîëåîí èìïåðàòîð
Êîäåêñ Íàïîëåîíà
1805. Áèòâû ïðè Òðàôàëü-
ãàðå è Àóñòåðëèöå
Ïðåñáóðãñêèé ìèð
1809. Àâñòðèÿ: Ìåòòåðíèõ
êàíöëåð
1812. Èñïàíèÿ: êîíñòèòóöèÿ
18121814. Ðîññèÿ:
âîéíà ñ Íàïîëåîíîì
1814. Îòðå÷åíèå Íàïîëåîíà
îò ïðåñòîëà
18141815. Âåíñêèé êîíãðåññ
18141824. Ëþäîâèê XVIII,
êîðîëü Ôðàíöèè
Áåëëèíè (18011835)
Ãþãî (18021885)
Ìåðèìå (18031870)
Áåðëèîç (18031869)
Ãëèíêà (18041857)
Ìåíäåëüñîí (18091847)
Ãîãîëü (18091852)
Øîïåí (18101849)
Øóìàí (18101856)
Ëèñò (18111886)
Ãåðöåí (18121870)
Äèêêåíñ (18121870)
Âàãíåð (18131883)
Âåðäè (18131901)
Ëåðìîíòîâ (18141841)
Øåâ÷åíêî (18141861)
1800. Øåëëèíã
(17751854): Ñèñòåìà
òðàíñöåíäåíòàëüíîãî
èäåàëèçìà
1807. Ãåãåëü (17701831):
Ôåíîìåíîëîãèÿ äóõà
18121816. Íàóêà
ëîãèêè
1819. Øîïåíãàóýð
(17881860): Ìèð êàê
âîëÿ è ïðåäñòàâëåíèå
Ãàóññ (17771855)
1799: äîêàçàòåëüñòâî
îñíîâíîé òåîðåìû àëãåáðû
Êîøè (17801856):
îñíîâîïîëàãàþùèå òðóäû
â îáëàñòè ìàòåìàòè÷åñêî-
ãî àíàëèçà
Í. È. Ëîáà÷åâñêèé
(17931856):
íååâêëèäîâà ãåîìåòðèÿ
1807. Ôóëòîí: êîëåñíûé
ïàðîõîä
1809. Ëàìàðê:
ôèëîñîôèÿ çîîëîãèè
1814. Ñòåôåíñîí: ïàðîâîç
1815. Ôðåíåëü:
òåîðèÿ äèôðàêöèè ñâåòà
1817. Ðèêàðäî
(17721823): Íà÷àëà
ïîëèòè÷åñêîé ýêîíîìèè
12 3 4
342
1815. Ñòî äíåé;
Ñâÿùåííûé ñîþç
1816. Íåçàâèñèìîñòü
Àðãåíòèíû
1818. Íåçàâèñèìîñòü ×èëè
18211830. Ãðåöèÿ: áîðüáà
çà íåçàâèñèìîñòü
1825. Ðîññèÿ: âîññòàíèå
äåêàáðèñòîâ
1830. Ôðàíöèÿ: Èþëüñêàÿ
ðåâîëþöèÿ
18371901. Àíãëèÿ: ïðàâëå-
íèå êîðîëåâû Âèêòîðèè
1848. Ðåâîëþöèè â ñòðàíàõ
Åâðîïû. Ìàðêñ, Ýíãåëüñ
Ìàíèôåñò
Êîììóíèñòè÷åñêîé
ïàðòèè
1861. Ðîññèÿ: îòìåíà
êðåïîñòíîãî ïðàâà
18611865. Ãðàæäàíñêàÿ
âîéíà â ÑØÀ: îòìåíà
ðàáñòâà
1862. Ïðóññèÿ: Áèñìàðê
êàíöëåð
1865. Îòìåíà ðàáñòâà
â ÑØÀ
12 3 4
18281830. ×ààäàåâ
(17941856):
Ôèëîñîôè÷åñêèå ïèñüìà
1837. Àïîëîãèÿ
ñóìàñøåäøåãî
1841. Ôåéåðáàõ
(18041872): Ñóùíîñòü
õðèñòèàíñòâà
1843. Êüåðêåãîð
(18131855): Èëèèëè
1867. Ìàðêñ (18181883):
Êàïèòàë
1873. Áàêóíèí (18141876):
Ãîñóäàðñòâî è àíàðõèÿ
1878. Ýíãåëüñ (18201895):
Àíòè-Äþðèíã
1895. Äèàëåêòèêà
ïðèðîäû
1826. Çàêîíû Îìà
1833. Ôàðàäåé: ýëåêòðîëèç
1834. ßêîáè: ýëåêòðîìîòîð
1837. Ìîðçå: òåëåãðàô
1839. Äàãåð: ôîòîãðàôèÿ
1841. Äæîóëü: çàêîí
ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè
1859. Äàðâèí
(18091882):
Ïðîèñõîæäåíèå âèäîâ
1860. Ëåíóàð: äâèãàòåëü
âíóòðåííåãî ñãîðàíèÿ
18601865. Ìàêñâåëë
(18311879):
òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíî-
ãî ïîëÿ
1869. Ìåíäåëååâ (1834
1907):
ïåðèîäè÷åñêàÿ ñèñòåìà
ýëåìåíòîâ
Êàíòîð (18451918):
òåîðèÿ ìíîæåñòâ
1876. Áåëë è Ãðåé:
òåëåôîí
Òóðãåíåâ (18181883)
Äîñòîåâñêèé (18211881)
Ôëîáåð (18211880)
Ë. Òîëñòîé (18281910)
Áðàìñ (18331897)
Äåãà (18341917)
Ìóñîðãñêèé (18391881)
Ñåçàíí (18391906)
×àéêîâñêèé (18401893)
Çîëÿ (18401902)
Ðåíóàð (18411919)
Âåðëåí (18441896)
Óàéëüä (18541900)
Øîó (18561950)
×åõîâ (18601904)
Ãîðüêèé (18681936)
Êëîäåëü (18681955)
Áóíèí (18701953)
Âàëåðè (18711945)
Ñêðÿáèí (18711915)
Ëåñÿ Óêðàèíêà (18711913)
Ðàõìàíèíîâ (18731943)
Øåíáåðã (18741951)
Ò. Ìàíí (18751955)
343
1870. Ôðàíêî-ïðóññêàÿ
âîéíà
1871. Ïàðèæñêàÿ êîììóíà
1890. Ãåðìàíèÿ: îòñòàâêà
Áèñìàðêà
1894. Ôðàíöèÿ: äåëî
Äðåéôóñà
1896. Îëèìïèéñêèå èãðû
â Àôèíàõ
19041905. Ðóññêî-
ÿïîíñêàÿ âîéíà
19051906. Ðîññèÿ: ïåðâàÿ
ðåâîëþöèÿ
1914. Íà÷àëî ïåðâîé
ìèðîâîé âîéíû
1917. Ðîññèÿ: Îêòÿáðüñêàÿ
ðåâîëþöèÿ
1918. Êîíåö ïåðâîé
ìèðîâîé âîéíû.
Ïðîâîçãëàøåíèå Àâñòðèè,
Âåíãðèè, Ãåðìàíèè
è Ïîëüøè ðåñïóáëèêàìè
1922. Îáðàçîâàíèå ÑÑÑÐ
1924. Ðîññèÿ: ñìåðòü
Ëåíèíà, Ñòàëèí ó âëàñòè.
Êèòàé: íà÷àëî
ðåâîëþöèîííîé áîðüáû
1884. Íèöøå (18441900):
Òàê ãîâîðèë Çàðàòóñòðà
1899. Ãåêêåëü (18341919):
Ìèðîâûå çàãàäêè
1900. Ãóññåðëü
(18591938): Ëîãè÷åñêèå
èññëåäîâàíèÿ
1902. Êðî÷å (18661952):
Ýñòåòèêà
1910. Í. Çèììåëü (1858
1918): Ôóíäàìåíòàëüíûå
ïðîáëåìû ôèëîñîôèè
1914. Ôëîðåíñêèé
(18821943): Ñòîëï
è óòâåðæäåíèå èñòèíû
19181922. Øïåíãëåð
(18801936): Çàêàò
Åâðîïû
1921. Âèòãåíøòåéí
(18891951): Ëîãèêî-
ôèëîñîôñêèé òðàêòàò
1922. Ìàðèòåí (18821973):
Àíòèìîäåðí
19231929. Êàññèðåð
(18741945): Ôèëîñîôèÿ
ñèìâîëè÷åñêèõ ôîðì
1927. Õàéäåããåð (18891976):
Áûòèå è âðåìÿ
Ðèëüêå (18751926)
Ãåññå (18771962)
Áëîê (18801921)
Ìóçèëü (18801942)
Ïèêàññî (18811973)
Ñòðàâèíñêèé (18821971)
Äæîéñ (18821941)
Êàôêà (18831924)
Ýëèîò (18881965)
Àõìàòîâà (18891966)
Ïðîêîôüåâ (18911953)
Áóëãàêîâ (18911940)
Öâåòàåâà (18921941)
Ãàðñèÿ Ëîðêà (18981936)
Áðåõò (18981956)
Õåìèíãóýé (18991961)
Ïëàòîíîâ (18991951)
Íàáîêîâ (18991977)
Ñåíò-Ýêçþïåðè (19001944)
1877. Ýäèñîí: ôîíîãðàô
è ìèêðîôîí
1885. Äàéìëåð è Áåíö:
äâèãàòåëü âíóòðåííåãî
ñãîðàíèÿ
1895. Áðàòüÿ Ëþìüåðû:
êèíåìàòîãðàô.
Ïîïîâ: ðàäèîïðèåìíèê
1899. Ãèëüáåðò
(18621943): Îñíîâàíèÿ
ãåîìåòðèè
1900. Ç. Ôðåéä
(18561939): Òîëêîâàíèå
ñíîâèäåíèé
19101913. Á. Ðàññåë,
À. Óàéòõåä: Principia
mathematica
1913. Í. Áîð (18851962):
ìîäåëü àòîìà
1916. À. Ýéíøòåéí (1879
1955): òåîðèÿ
îòíîñèòåëüíîñòè
19251927. Ãåéçåíáåðã
(19011976): êâàíòîâàÿ
ìåõàíèêà
è ïðèíöèï
íåîïðåäåëåííîñòè
12 3 4
344
1925. Íà÷àëî ôàøèñòñêîé
äèêòàòóðû â Èòàëèè
1930. Ãåðìàíèÿ: ïîáåäà
ôàøèñòîâ íà âûáîðàõ
19321933. Ãîëîä
â Óêðàèíå
1939. Íà÷àëî Âòîðîé
ìèðîâîé âîéíû
1941. Íàïàäåíèå Ãåðìàíèè
íà Ñîâåòñêèé Ñîþç
19421943. Áèòâà ïîä
Ñòàëèíãðàäîì
1945. ßëòèíñêàÿ
êîíôåðåíöèÿ.
Êàïèòóëÿöèÿ Ãåðìàíèè.
Îáðàçîâàíèå ÎÎÍ
1948. Îáðàçîâàíèå
ãîñóäàðñòâà Èçðàèëü
1949. Êèòàé:
ïðîâîçãëàøåíèå Êèòàéñêîé
Íàðîäíîé ðåñïóáëèêè
1953. ÑÑÑÐ: ñìåðòü
Ñòàëèíà.
Õðóùåâ ó âëàñòè
(äî 1964 ã.)
1956. ÑÑÑÐ: êîíåö
ñòàëèíèçìà (ÕÕ ñúåçä
ÊÏÑÑ)
12 3 4
1927. Í. Áîð: ïðèíöèï
äîïîëíèòåëüíîñòè
1929. Ôëåìèíã:
ïåíèöèëëèí
1935. Ý. Ôåðìè (1901
1954): ðàñùåïëåíèå
àòîìà
1946. Í. Âèíåð (1894
1964): êèáåðíåòèêà
1953. ÑÑÑÐ: âîäîðîäíàÿ
áîìáà.
Ô. Êðèê è Ä. Óîòñîí:
ìîäåëü ÄÍÊ
1955. Ïåðâàÿ àòîìíàÿ
ïîäâîäíàÿ ëîäêà
1957. Ïåðâûé
èñêóññòâåííûé ñïóòíèê
Çåìëè
1958. Äæ. Áåðíàë (1901
1971): ñòðóêòóðíàÿ
òåîðèÿ æèäêîñòåé
1960. ÑÑÑÐ:
ñèíòåòè÷åñêèé àëìàç
1932. ßñïåðñ (18831969):
Ôèëîñîôèÿ
1943. Ñàðòð (19051980):
Áûòèå è íè÷òî
1956. Ôðîìì (19001980):
Èñêóññòâî ëþáèòü
1976. Èìåòü èëè áûòü?
1960. Ãàäàìåð (19002002):
Èñòèíà è ìåòîä
Ãåðìåíåâòèêà: Ãàäàìåð,
Ðèê¸ð
Ñòðóêòóðàëèçì: äå Ñîññþð,
Ëåâè-Ñòðîñ, Ôóêî
Ð. Êàðíàï (18911970)
Ê. Ïîïïåð (19021994)
Ò. Êóí (ð. 1922):
Ñòðóêòóðà íàó÷íûõ
ðåâîëþöèé
Äàëè (19041990)
Øîñòàêîâè÷ (19061976)
Áåêêåò (19061989)
Áðèòòåí (19131976)
Êàìþ (19131960)
Ìàðêåñ (1928)
Ñòóñ (19381985)
345
1962. Êàðèáñêèé êðèçèñ
1963. Óáèéñòâî ïðåçèäåíòà
ÑØÀ Äæ. Êåííåäè
19641973. Âîéíà
âî Âüåòíàìå
19641982. ÑÑÑÐ:
Áðåæíåâ ó âëàñòè
1968. Ïðàæñêàÿ âåñíà
19791989. Àôãàíñêàÿ
âîéíà
19851991. Ì. Ãîðáà÷åâ
ïðåçèäåíò ÑÑÑÐ
26.04.1986. Àâàðèÿ íà ×ÀÝÑ
19891990.
Äåìîêðàòè÷åñêèå
ðåâîëþöèè â ñòðàíàõ
Âîñòî÷íîé Åâðîïû
1991. Çàãîâîð ÃÊ×Ï.
Ðàñïàä ÑÑÑÐ.
Ïðîâîçãëàøåíèå
íåçàâèñèìîñòè Óêðàèíû.
Îáðàçîâàíèå ÑÍÃ. Ðàñïàä
Þãîñëàâèè è íà÷àëî
ãðàæäàíñêîé âîéíû
1996. Ïðèíÿòèå
Êîíñòèòóöèè Óêðàèíû
11.09.2001. Òåððîðèñòè-
÷åñêèå àêòû â ÑØÀ
1973. Õàáåðìàñ: Êðèçèñ
ðàöèîíàëüíîñòè
1982. Ìàìàðäàøâèëè:
Êàðòåçèàíñêèå
ðàçìûøëåíèÿ
1961. Ïåðâûé ëàçåð.
ÑÑÑÐ: ïåðâûé ïîëåò
÷åëîâåêà â êîñìîñ
(Þ. À. Ãàãàðèí)
1968. Áàðíàðä:
òðàíñïëàíòàöèÿ ñåðäöà
÷åëîâåêà
1969. ÑØÀ: âûñàäêà íà
Ëóíó
1975. Ñòûêîâêà êîñìè÷åñ-
êèõ êîðàáëåé Ñîþç
(ÑÑÑÐ) è Àïîëëîí
(ÑØÀ)
12 3 4
346
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ
I. Î ÑÂßÇÈ ÊÀÒÅÃÎÐÈÉ ÁÅÑÊÎÍÅ×ÍÎÑÒÈ,
ÄÂÈÆÅÍÈß È ÑÎÂÏÀÄÅÍÈß ÏÐÎÒÈÂÎÏÎ-
ËÎÆÍÎÑÒÅÉ
Ïîñêîëüêó ïîíÿòèå áåñêîíå÷íîñòè èñêëþ÷èòåëüíî âàæíî äëÿ
íîâîåâðîïåéñêîé êóëüòóðû â öåëîì, òî íåîáõîäèìî, ñëåäóÿ
ïðèìåðó Íèêîëàÿ Êóçàíñêîãî è Áëåçà Ïàñêàëÿ, íàïîìíèòü î
íåêîòîðûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ àñïåêòàõ ýòîãî ïîíÿòèÿ. Ýòî ïðåä-
ñòàâëÿåòñÿ öåëåñîîáðàçíûì, òàê êàê ìàòåìàòèêà íàèáîëåå
ñòðîãî, ïîñëåäîâàòåëüíî è îò÷åòëèâî ïîñòðîåííàÿ íàóêà; åñëè
ÿñíîñòü âîîáùå âîçìîæíà, òî, êîíå÷íî, ïðåæäå âñåãî îíà âîç-
ìîæíà â ìàòåìàòèêå.
Ðàññìîòðèì äâà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâà: ìíîæåñòâî òðåõ êðå-
ñòèêîâ è ìíîæåñòâî ïÿòè íîëèêîâ. Ñðàâíèì êîëè÷åñòâà ýëå-
ìåíòîâ â ýòèõ ìíîæåñòâàõ:
ÕÕÕ ìåíüøå ýëåìåíòîâ
Î ÎÎÎÎ áîëüøå ýëåìåíòîâ
Ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî íîëèêîâ áîëüøå. Ïî÷åìó? Ïîòîìó
÷òî, óñòàíàâëèâàÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó
êðåñòèêàìè è íîëèêàìè, ìû èñïîëüçóåì âñå êðåñòèêè, à äâà
íîëèêà îñòàíóòñÿ. Çíà÷èò, íîëèêîâ íà äâà áîëüøå. Èòàê, ïîíÿ-
òèÿ áîëüøå è ìåíüøå ïðèìåíèòåëüíî ê êîíå÷íûì ìíîæåñòâàì
èìåþò îò÷åòëèâûé ñìûñë.
Ðàññìîòðèì òåïåðü íàòóðàëüíûé ðÿä ðÿä öåëûõ ïîëîæè-
òåëüíûõ ÷èñåë: 1, 2, 3, 4, . Ïîñòðîèì åùå îäèí ðÿä, êîòîðûé
ïîëó÷àåòñÿ èç íàòóðàëüíîãî ðÿäà óìíîæåíèåì íà äâà. Ïðåäïî-
ëîæèì, ÷òî ìû îáîðâåì îáà ðÿäà íà ÷èñëå 6:
1 2 3 4 5 6 ìíîæåñòâî (öåëîå)
2 4 6 åãî ïîäìíîæåñòâî (÷àñòü)
Íèæíåå ìíîæåñòâî (2, 4, 6) ìåíüøå âåðõíåãî (1, 2, 3, 4,
5, 6). Âñå ÷èñëà, âõîäÿùèå â ìåíüøåå ìíîæåñòâî, âõîäÿò è â
áîëüøåå, íî íå âñå, âõîäÿùèå â áîëüøåå, âõîäÿò â ìåíüøåå.
347
Ìíîæåñòâî (2, 4, 6) åñòü ÷àñòü (ïîäìíîæåñòâî) ìíîæåñòâà
(1, 2, 3, 4, 5, 6), êîòîðîå â äàííîì ñëó÷àå âûñòóïàåò êàê öåëîå.
 ôèëîñîôèè ÷àñòü è öåëîå ðàññìàòðèâàþò êàê ïðîòèâîïîëîæ-
íîñòè. Îäíà èç àêñèîì ãåîìåòðèè Åâêëèäà ãëàñèò: öåëîå áîëüøå
ñâîåé ÷àñòè (Êèñåëåâ À. Ï. Ãåîìåòðèÿ. Ó÷åáíèê äëÿ IXX êë.
Ì., 1971. ×. 2. Ñòåðåîìåòðèÿ. Ñ. 93) (è ýòî áåçóñëîâíî âåðíî äëÿ
êîíå÷íûõ îáúåêòîâ).
Íàòóðàëüíûé ðÿä, êàê èçâåñòíî, áåñêîíå÷åí (ïðèìåð áåñêî-
íå÷íîãî ìíîæåñòâà):
1 2 3 4 5 6.. áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî (öåëîå)
2 4 6 8 10 12. åãî ïîäìíîæåñòâî (÷àñòü)
Åñëè ìû íå áóäåì îáðûâàòü âåðõíèé ðÿä íà êàêîì- ëèáî ÷èñ-
ëå, à óñòðåìèì åãî â áåñêîíå÷íîñòü, òî âçàèìíî îäíîçíà÷íîå
ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà è ïîäìíîæåñòâà
íèãäå íå íàðóøèòñÿ, õîòÿ âïîëíå î÷åâèäíî, ÷òî âåðõíèé ðÿä
öåëîå, à íèæíèé ÷àñòü öåëîãî. Èòàê, áåñêîíå÷íîå ìíîæå-
ñòâî (âåðõíèé ðÿä) ýêâèâàëåíòíî ñâîåìó ïîäìíîæåñòâó (íèæ-
íèé ðÿä); ÷àñòü áåñêîíå÷íîãî ìîæåò áûòü ðàâíà öåëîìó
(ò. å. ïðîòèâîïîëîæíîñòè ñîâïàäàþò) (Çèãåëü Ô. Þ. Íåèñ÷åð-
ïàåìîñòü áåñêîíå÷íîñòè. Ì., 1984. Ñ. 13), à ïîíÿòèÿ áîëüøå è
ìåíüøå óòðà÷èâàþò îïðåäåëåííîñòü.
Ëþáîå áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ýêâèâàëåíòíî íåêîòîðîìó
ñâîåìó ïîäìíîæåñòâó, íå ñîâïàäàþùåìó ñî âñåì ìíîæåñòâîì.
Ýòîò ôàêò ìîæåò áûòü ïðèíÿò çà îïðåäåëåíèå áåñêîíå÷íîãî
ìíîæåñòâà (Èëüèí Â. À., Ïîçíÿê Ý. Ã. Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî
àíàëèçà. ×àñòü I. Ì., 1971. Ñ. 87).
Ñî âðåìåí âåëèêîãî íåìåöêîãî ìàòåìàòèêà Ãåîðãà Êàíòîðà
(18451918) â ìàòåìàòèêå ðàçëè÷àþò áåñêîíå÷íûå ñ÷åòíûå
ìíîæåñòâà (èõ ýëåìåíòû ìîæíî ïåðåíóìåðîâàòü; ïðèìåðîì òà-
êîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíûé ðÿä) è áåñêîíå÷íûå ìíî-
æåñòâà, îáëàäàþùèå ìîùíîñòüþ êîíòèíóóìà (ïðèìåðîì òàêî-
ãî ìíîæåñòâà ìîæåò ñëóæèòü ìíîæåñòâî òî÷åê íà îòðåçêå
ïðÿìîé; ýòî ìíîæåñòâî íåñ÷åòíî; ïåðåíóìåðîâàòü åãî ýëåìåí-
òû (òî÷êè) íåâîçìîæíî) (Ãàðäíåð Ì. Ìàòåìàòè÷åñêèå íîâåëëû.
Ì., 1974. Ñ. 123136). Ìíîæåñòâà, îáëàäàþùèå ìîùíîñòüþ êîí-
òèíóóìà, òîæå ìîæíî ñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå äðóã äðóãó. Ðàñ-
ñìîòðèì, íàïðèìåð, ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê, îäèí èç êàòå-
348
òîâ êîòîðîãî èìååò ôèêñèðîâàííóþ äëèíó, à äðóãîé êàòåò è ãè-
ïîòåíóçó ìîæíî ïðîèçâîëüíî óâåëè÷èâàòü (ñì. ðèñ. 1). Ïåðåñå-
÷åì êàòåò ïîñòîÿííîé äëèíû ñîâîêóïíîñòüþ ïðÿìûõ, ïàðàë-
ëåëüíûõ ìåæäó ñîáîé è ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ê ýòîìó êàòåòó.
Êàæäàÿ èç ïðÿìûõ ïåðåñåêàåò è êàòåò, è ãèïîòåíóçó, òåì ñà-
ìûì ñòàâÿ îäíó èç òî÷åê êàòåòà â ñîîòâåòñòâèå îäíîé èç òî÷åê
ãèïîòåíóçû. Êàòåò ìîæíî ñäåëàòü ñêîëü óãîäíî ìàëûì, ãèïîòå-
íóçó ñêîëü óãîäíî áîëüøîé, òåì íå ìåíåå âçàèìíî îäíîçíà÷-
íîå ñîîòâåòñòâèå òî÷åê êàòåòà òî÷êàì ãèïîòåíóçû íå íàðóøèò-
ñÿ. Èòàê, ïðèõîäèì ê ïàðàäîêñàëüíîìó âûâîäó: ñêîëü óãîäíî
ìàëàÿ ÷àñòü ìíîæåñòâà, îáëàäàþùåãî ìîùíîñòüþ êîíòèíóóìà,
ìîæåò áûòü ïîñòàâëåíà â ñîîòâåòñòâèå âñåìó ìíîæåñòâó â öåëîì
(èíà÷å ãîâîðÿ, ñêîëü óãîäíî ìàëàÿ ÷àñòü ìíîæåñòâà, îáëàäà-
þùåãî ìîùíîñòüþ êîíòèíóóìà, âñå-òàêè ñîäåðæèò áåñêîíå÷íî
ìíîãî òî÷åê!)
Ðàññìîòðèì ìàòåìàòè÷åñêèå ïîñòðîåíèÿ âûäàþùåãîñÿ ìûñ-
ëèòåëÿ ýïîõè Âîçðîæäåíèÿ Íèêîëàÿ Êóçàíñêîãî (14011464).
Ïðÿìîå è êðèâîå ïàðà ïðîòèâîïîëîæíîñòåé, îòìå÷åííàÿ åùå
ïèôàãîðåéöàìè [109, I, 31]. Ðàññìîòðèì îêðóæíîñòü, â êîòîðîé
õîðäà (ïðÿìîå) ñòÿãèâàåò äóãó (êðèâîå) (ñì. ðèñ. 2). Äóãà ñîâïà-
äåò ñ õîðäîé â äâóõ ñëó÷àÿõ:
• è äóãà, è õîðäà ñòàíóò áåñêîíå÷íî ìàëûìè, ñòÿíóòñÿ â òî÷-
êó (Áóäü âîçìîæíûì íà÷åðòèòü ìèíèìàëüíóþ õîðäó,
ìåíüøå êîòîðîé íå ìîæåò áûòü, ó íåå íå îñòàëîñü áû èç-
ëó÷èíû è îíà îêàçàëàñü áû íå ìåíüøå ñâîåé äóãè: äîéäÿ
äî ìèíèìàëüíîãî êîëè÷åñòâà, õîðäà è äóãà ñîâïàëè áû
(Êóçàíñêèé Í. Ñî÷.: Â 2 ò. Ì., 1980. Ò. 2. Ñ. 440);
• ðàäèóñ îêðóæíîñòè ñòàíåò áåñêîíå÷íî áîëüøèì, è äóãà ñòà-
íåò íåîòëè÷èìà îò îòðåçêà ïðÿìîé.
 îáîèõ ñëó÷àÿõ äëÿ ñîâïàäåíèÿ ïðîòèâîïîëîæíîñòåé
(ëàò. coincidentia oppositorum) íåîáõîäèìà áåñêîíå÷íîñòü (ìû
óæå âèäåëè, êàêèì îáðàçîì â áåñêîíå÷íîñòè ñîâïàäàþò òàêèå
ïðîòèâîïîëîæíîñòè, êàê ÷àñòü è öåëîå). Èòàê, ïðîòèâîïîëîæ-
íîñòè ñîâïàäàþò êàê â áåñêîíå÷íî áîëüøîì, òàê è â áåñêîíå÷-
íî ìàëîì. Ó Ïàñêàëÿ â òðàêòàòå Î ãåîìåòðè÷åñêîì óìå
âñòðå÷àåì ïîíÿòèå äâîéíîé áåñêîíå÷íîñòè: îáíàðóæèâàþ-
ùèåñÿ ïîâñåìåñòíî áåñêîíå÷íîñòè áåñêîíå÷íî áîëüøîãî è áåñ-
êîíå÷íî ìàëîãî. Äåéñòâèòåëüíî, êàêèì áû áûñòðûì íè áûëî
349
äâèæåíèå, âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñåáå äâèæåíèå áîëåå
áûñòðîå, à ýòî ïîñëåäíåå â ñâîþ î÷åðåäü óñêîðèòü, è òàê äà-
ëåå äî áåñêîíå÷íîñòè, íèãäå íå âñòðå÷àÿ ïðåäåëîâ óñêîðåíèÿ
1
.
È, íàîáîðîò, êàêèì áû ìåäëåííûì íè áûëî äâèæåíèå, åãî
ìîæíî çàìåäëÿòü, òàê è íå äîñòèãàÿ ïðåäåëîâ çàìåäëåíèÿ,
áåñêîíå÷íî íèñõîäÿ ê òîé ñòåïåíè ìåäëåííîñòè, çà êîòîðîé íà-
÷èíàåòñÿ ñîñòîÿíèå ïîêîÿ. Ðàâíûì îáðàçîì, êàê áû íè áûëî
÷èñëî âåëèêî, ìîæíî âîîáðàçèòü åùå áîëüøåå, à çàòåì è ïðå-
âîñõîäÿùåå åãî è òàê áåñêîíå÷íî, íå äîñòèãàÿ ÷èñëà, êîòî-
ðîå íåëüçÿ óâåëè÷èòü. È, íàïðîòèâ, êàêèì áû îíî íè áûëî
ìàëûì ñîòàÿ, äåñÿòèòûñÿ÷íàÿ äîëÿ ìîæíî äî áåñêîíå÷-
íîñòè ïðåäñòàâëÿòü ñåáå åùå ìåíüøåå, íå äîñòèãàÿ íóëÿ èëè
íè÷òî (neant) Îäíèì ñëîâîì, êàêèìè áû íè áûëè äâèæåíèå,
÷èñëî, ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ, âñåãäà ìîæíî ãîâîðèòü îá èõ
óâåëè÷åíèè èëè óìåíüøåíèè, òàê ÷òî ðàñïîëîæåííûå ìåæäó
íè÷òî è áåñêîíå÷íîñòüþ, îíè âñåãäà óäàëåíû îò ýòèõ ïðåäåëîâ.
Òàêîãî ðîäà èñòèíû íåëüçÿ äîêàçàòü, îäíàêî îíè-òî ñóòü îñ-
íîâàíèå è íà÷àëà ãåîìåòðèè. Ïîñêîëüêó æå èõ íåäîêàçóåìîñòü
îáóñëîâëåíà íå çàòåìíåííîñòüþ, à íàïðîòèâ, ïðåäåëüíîé î÷å-
âèäíîñòüþ, îòñóòñòâèå äîêàçàòåëüñòâ íå èçúÿí, íî, ñêîðåå,
äîñòîèíñòâî Ïîèñòèíå, íåëåïîñòüþ áóäåò óòâåðæäåíèå, áóä-
òî áû ïðè íåïðåñòàííîì äåëåíèè ïðîñòðàíñòâà íàñòóïàåò
ìîìåíò, êîãäà, ðàçäåëèâ î÷åðåäíîé ó÷àñòîê íàäâîå, ìû ïîëó-
÷àåì íåäåëèìûå è ëèøåííûå êàêîé áû òî íè áûëî ïðîòÿæåí-
íîñòè ïîëîâèíû Íåò ãåîìåòðà, êîòîðûé íå ïîëàãàë áû ïðî-
ñòðàíñòâî äåëèìûì äî áåñêîíå÷íîñòè (Ïàñêàëü Á. Òðàêòàòû.
Ïîëåìè÷åñêèå ñî÷èíåíèÿ. Ïèñüìà. Ê., 1997. Ñ. 7882) (âñïîìíè-
òå òàêæå ôðàãìåíòû èç êíèãè Ïàñêàëÿ Ìûñëè, ïîìåùåííûå
â ãë. 5).
Äàëåå Ïàñêàëü óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå áåñêî-
íå÷íî áîëüøèõ è áåñêîíå÷íî ìàëûõ âåëè÷èí âçàèìîîáóñëîâëåíî.
Áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ âåëè÷èíà ýòî âåëè÷èíà, îáðàòíàÿ áåñ-
êîíå÷íî ìàëîé, è íàîáîðîò. Ïðèñóòñòâèå â ìàòåìàòèêå íóëÿ
ïðåäïîëàãàåò è îáóñëîâëèâàåò ïðèñóòñòâèå áåñêîíå÷íîñòè.
Àíòè÷íàÿ ìàòåìàòèêà (ñì. íèæå) íå çíàëà íè íóëÿ, íè áåñêîíå÷-
1
Ñîâðåìåííàÿ ôèçèêà óòâåðæäàåò, ÷òî òåëà íå ìîãóò äâèãàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ,
ïðåâûøàþùåé ñêîðîñòü ñâåòà, êîòîðàÿ ñîñòàâëÿåò ïðèáëèçèòåëüíî
300 000 êì/ñåê.
350
íîñòè; íîâîåâðîïåéñêàÿ ìàòåìàòèêà íåìûñëèìà áåç ýòèõ äâóõ
ïîíÿòèé.
Åùå îäíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ àíàëîãèÿ Íèêîëàÿ Êóçàíñêîãî îòíî-
ñèòñÿ ê ÷ðåçâû÷àéíî âàæíîìó äëÿ íîâîåâðîïåéñêîé ìàòåìàòèêè
ïîíÿòèþ ïðåäåëà (ëàò. limes) (Èëüèí Â. À., Ïîçíÿê Ý. Ã. Îñíîâû
ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà: ×. I. Ì., 1971). Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ïåðèìåòðîâ ïðàâèëüíûõ n-óãîëüíèêîâ (ãäå n = 3, 4, 5, .) ñòðå-
ìèòñÿ ê ïðåäåëó, êîòîðûé ðàâåí äëèíå îêðóæíîñòè (ñì. ðèñ. 3);
îäíàêî ïðåäåë ýòîò äîñòèãàåòñÿ òîëüêî â áåñêîíå÷íîñòè
(ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê ñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì ñòîðîí).
 ñëó÷àå êîíå÷íîãî n, êàêèì áû áîëüøèì îíî íè áûëî, ïåðè-
ìåòð âñåãäà ìåíüøå äëèíû îêðóæíîñòè. Òàêîãî ðîäà ïîñëåäî-
âàòåëüíîñòü, ïî ìíåíèþ Íèêîëàÿ Êóçàíñêîãî, èëëþñòðèðóåò
ïðèáëèæåíèå ê èñòèíå: íè÷òî íå ïîçíàåòñÿ òàê, ÷òîáû íåëüçÿ
áûëî ïîçíàòü åãî åùå ñîâåðøåííåå.
Ìàòåìàòè÷åñêîå ïîíÿòèå ïðåäåëà ðîäñòâåííî êëþ÷åâûì ïî-
íÿòèÿì ðîìàíòè÷åñêîé ýñòåòèêè Sehnsucht è Streben (ñì. â
ãë. 6.: Ðåàëå Äæ., Àíòèñåðè Ä. Çàïàäíàÿ ôèëîñîôèÿ îò èñòîêîâ
äî íàøèõ äíåé. Äâèæåíèå ðîìàíòèçìà è åãî ïðåäñòàâèòåëè).
Òàêèì îáðàçîì, ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíà ìûñëü À. Ëîñåâà, õàðàê-
òåðèçóþùåãî Ðîìàíòèçì êàê áåñïîêîéíî ïîäâèæíóþ è íå-
îïðåäåëåííî ñòðåìÿùóþñÿ áåñêîíå÷íîñòü (Ëîñåâ À. Ô. Êîíñ-
ïåêò ëåêöèé ïî ýñòåòèêå íîâîãî âðåìåíè. Êëàññèöèçì // Ëèò.
ó÷åáà. 1990. Êí. 4. Ñ. 140) (ñì. òàêæå â ãë. 6: Ëîñåâ À. Ô. Ñòðàñòü
ê äèàëåêòèêå). Äëÿ ïîñòèæåíèÿ êëþ÷åâîé êàòåãîðèè
ðîìàíòè÷åñêîé ýñòåòèêè èðîíèè íåîáõîäèìû êàòåãîðèè
áåñêîíå÷íîñòè, äâèæåíèÿ è åäèíñòâà ïðîòèâîïîëîæíîñòåé (Ëî-
ñåâ À. Ô., Øåñòàêîâ Â. Í. Èñòîðèÿ ýñòåòè÷åñêèõ êàòåãîðèé.
Ì., 1965).
Èòàê, áûëî ïîêàçàíî, ÷òî êàòåãîðèè áåñêîíå÷íîñòè è ñî-
âïàäåíèÿ ïðîòèâîïîëîæíîñòåé ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé. Ñ ýòè-
ìè äâóìÿ íåðàçðûâíî ñâÿçàíà êàòåãîðèÿ äâèæåíèÿ (ñì. ðèñ. 4).
×òî îçíà÷àåò áåñêîíå÷íîñòü íàòóðàëüíîãî ðÿäà? Îíà îçíà÷à-
åò, ÷òî, êàê áû äàëåêî ìû íè ïðîäâèíóëèñü ïî íàòóðàëüíîìó
ðÿäó, êàêèõ áû áîëüøèõ ÷èñåë íè äîñòèãëè, âñåãäà ìîæíî ïðî-
äâèíóòüñÿ äàëüøå. Êàê? Ïðèáàâèâ åäèíèöó ê ïîñëåäíåìó ïîñò-
ðîåííîìó ÷èñëó. Òàêèì îáðàçîì, áåñêîíå÷íîñòü íàòóðàëüíîãî
ðÿäà åñòü ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ âñå íîâûõ ÷èñåë, áåñêîíå÷íîñòü