49
4 – колебательный расходящийся процесс, корни комплексные, вещест-
венная часть положительная (неустойчивая система);
5 – колебательный не расходящийся и не затухающий процесс, корни
мнимые (система на границе устойчивости);
6 – выходной сигнал после снятия возмущения остается неизменным,
среди корней имеется нулевой (нейтральная система).
Соответствующие каждому виду переходного процесса корни характе-
ристического уравнения показаны на комплексной плоскости.
Таким образом, если корни расположены слева от мнимой оси, то сис-
тема будет устойчивой. Если хотя бы один корень окажется справа от мнимой
оси, то система будет неустойчивой. Система будет находиться на границе ус-
тойчивости, если среди корней есть мнимые, и будет нейтральной, если один
из корней равен нулю. Процессы будут колебательными при комплексных
корнях и монотонными при действительных корнях.
Эти простые правила выводятся из анализа свободной составляющей
решения дифференциального уравнения динамической системы.
Первым шагом анализа систем управления является оценка их устойчи-
вости. Устойчивость является необходимым условием работоспособности
системы регулирования.
Оценка устойчивости методом прямого эксперимента на работающих
объектах не всегда приемлема. Это может быть опасно, а на уровне проекти-
рования невозможно. Поэтому разработаны методы оценки устойчивости, ко-
торые используют аналитическое описание систем управления в виде линей-
ных дифференциальных уравнений. Эти методы косвенные и известны как
к р и т ер и и у с то й ч и в о с т и .
2.12. Критерии устойчивости
В теории управления существуют классические а л ге б р а и ч е с к и е
к р и т ер и и у с то й ч и в о с т и , позволяющие оценивать устойчивость по ко-
эффициентам характеристического уравнения, и ча с т от н ы е к р и т ер и и
ус то й ч и во с т и , в основу которых заложен анализ частотных характери-
стик.
2.12.1. Алгебраический критерий устойчивости
Г ур в и ц а
Наибольшее распространение среди алгебраических критериев устой-
чивости получил к р и т е р и й Гур в и ц а (Швейцарский математик, 1885 г.).
В основе этого критерия лежит анализ коэффициентов характеристического
уравнения динамической системы вида:
.0ara....rara
n1n
1n
1
n
0
=+⋅++⋅+⋅
−
−
(2.96)
Из коэффициентов уравнения составляется определитель Гурвица: по
главной диагонали последовательно записываются n коэффициентов характе-
ристического уравнения, начиная с a
1.
Столбцы определителя, начиная от