Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Следовательно,

= dt = ~ d u ,

и и

(“ V=o-1» (mV=<=°°-

Учитывая равенства (4.112) и (4.113), перепишем формулу

(4.111):

Др = -

Qs М

2s +1 -а

---

1+а

гт J (и - 1У и

a-2s-3 V

3 е du. (4.114)

кк 1

Положим, что

s-а -1,

(4.115)

где а > О, т.к. s > - 1. Тогда формула (4.114) примет такой вид:

а-1 =>

Q*\lt Г , а-1

АР

-----------

7~\

------

------------

J (м ~

_ 1+(у a-Wv

22аАаГ —г— А:( Kf) 2 i (4.116)

Учтем следующее интегральное представление вырожденной

гипергеометрической функции (сокращенно ВГФ) II рода

V ( а , с ; х ) (см.формулу (П.32):

1 X Г а-1 с-д -1 — хи

У (a,c;x) = jT7-;e

(м — 1) и е du,

1 (4.117)

а > О, jc>0 .

Полагая

a + 1 £2

С_ 2 ’ * _ 4к*

и используя равенства (4.115)—(4.117), получим:

4Р =

--------

~ r ir, „Л — :—

k(Kt)

S +

Воспользуемся преобразованием Куммера (П.305), согласно

которому формулу (4.119) можно переписать так:

Др =

gf»nr(8+ l)|'-g -ё

а + 1 .

2 Аа Г

1+а

3 -а 3 -а |2

2 ’ 2 ;4кf

(4.120)

Формулы (4.119) и (4.120) равноценны, т.е. любая из них дает

возможность определить понижение давления Ар в любой точке

с координатой | в одномерном потоке в любой момент t после

пуска в работу стока с дебитом, выражающимся одночленной

степенной функцией времени.

Если дебит стока постоянный, т.е. s = 0, то формула (4.119)

упрощается и принимает следующий вид:

Ар =

"огте

к (к*)

(4.119 бис)

В равенстве (П.335), в котором дается связь между ВГФ П рода

и неполной гамма-функцией, положим:

„ . а+1 а - 1 £ 2

тогда получим:

, « ± 1 .1 1

’ 2 ’ 4кt

Г 4 к П

U 2J

2 e ^ r f ^ 1

[ 2 ’ 4к/ |

Учитывая последнее равенство, из формулы (4.119 бис) сразу

получаем формулу (4.9), выведенную в § 1 данной главы.

Найдем расход Qg потока через сечение | = const. Для этого

используем равенства (3.43) и (4.119):

(4.121)

eff*r<s+i)ie э

а^Т

(Кt)

Э|

-Ё

5+1,

а+1

2 ’ Ш

При дифференцировании ВГФ II рода учтем формулу (П.307);

тогда вместо (4.121) получим:

<h-

Q!t'r<?+ 1)

1+g

/ У

1 1 ]

^ Рг

2 е

4кt

\ / - \

5+1,

2 ’ 4rf

(4.122)

+ (s+ 1)4»

о a+1 , 11

S + 2, 2 +1;4kt

Рекуррентную формулу (П.308) с учетом преобразования Кум-

мера (П.305) можно переписать так:

W (а, с - 1;х) + аЧ/ (а + 1, c;x)=xI~°xV (а - с + 1,2 - с;х). (4.123)

Положим в равенстве (4.123)

1 a + 1 , I 2

a=s + 1, с = — +1, х = ^ .

Получим:

, а+1 | 2 4

S + 1*_ 2_ : 4Kf

V /

+ (S + l)w[S + 2 , ^ + l ; £ "

(4.124)

а+1

4к?

Ч>

1 -а 1 -а

2 ' 4к*

Сопоставляя равенства (4.122) и (4.124), получим окончательную

формулу для расхода потока в таком виде:

S +

1 - а 1 -а

2 ’ 2 ’ 4к*

(4.125)

Формулы (4.121) и (4.125) совпадают с выведенными автором

другим способом первой и второй формулами статьи [761].

Вновь используя преобразование Куммера (П.305), формулу

(4.125) можно переписать еще и так:

г в + 1)

I +а

1 + а

4кt

V У

5 + 1,

3 + а У '

2 ’ 4к1

(4.126)

При расчетах удобнее пользоваться формулами (4.119) и (4.126),

чем (4.120) и (4.125), так как в формулах (4.119) и (4.126) первые

и вторые аргументы вырожденной гипергеометрической функции

всегда положительны.

Если дебит стока постоянный, т.е. s = 0, то формула (4.126)

принимает следующий вид:

а + 1

<к=

4 Kt

3 + а У

2 ’ 4к1

(4.126 бис)

В равенстве (П.335), в котором дается связь между ВГФ II рода

и неполной гамма-функцией, положим:

тогда получим:

Учитывая последнее равенство, из формулы (4.126 бис) сразу

получается формула (4.18), выведенная в § 1 данной главы.

Пользуясь равенством (П.345), можем ВГФ выразить через

функцию Уиттекера и переписать формулы (4.119) и (4.126) так:

1 -а

Ар:

Cfff'tirfr + iKKf)

-й

2го ЛаГ|

1 + а

4i<t

а+ 1

3-а

1 -а

111

4кМ’

(4.127)

а - 1

4к*

(4.128)

Если

. 3 - а

s + — -— = 0

(4.129)

или же

5 + 1 ^ а = 0, (4130)

т.е. если равны нулю первые индексы (4.130) функций Уиттекера,

входящие в формулы (4.127) и (4.128), то эти функции вырождаются

и выражаются через модифицированные функции Бесселя II рода

(функции Макдональда) (см.равенство (П.261). Именно

Сопоставление равенств (4.129)—(4.130) позволяет установить,

для какого потока (т.е. при каком значении а) и при каком значении

I 2

показателя степени s функция Уиттекера с аргументом т — в

4КГ

формулах (4.127) и (4.128) может быть выражена с помощью

соотношений (4.131) и (4.132) через модифицированную функцию

Бесселя II рода с аргументом .

8к£

Для условий прямолинейно-параллельного потока, т.е. при

а = 0, из равенств (4.129) и (4.130) получаем соответственно

3 1 3

5 = — — И5 = - —. Следовательно, при показателе степени s = - — в

4 4 4

равенстве (4.110) получим, что в формулу (4.127) войдет функция

К1

8к*

, как это следует из соотношения (4.131).

При показателе степени s = ~~^ в равенстве (4.110) окажется,

что та же функция войдет в формулу (4.128)*, как это следует

из соотношения (4.132).

Для условий плоско-радиального потока, т.е. при а=1, из

равенств (4.129) и (4.130) получаем соответственно s = - ^ hs = 0.

Следовательно, при показателе степени s = в равенстве (4.110)

окажется, что в формулу (4.127) войдет вместо функции Уиттекера

■?— , как это следует из соотношения (4.131). При

8к*

показателе степени s = 0 в формуле (4.110), т.е. когда дебит стока

постоянен, в формулу (4.128) войдет, как показывает соотношение

f t 2 Л

^ . Однако функция Ki выражается

(см.равенство (П. 179) 4 через показательную функцию, что далее

будет подтверждено.

Для условий сферического радиального потока, т.е. при

а = 2, из равенств (4.129) и (4.130) соответственно получаем, что

функция А'о

(4.132), функция К 1

♦

Здесь учитывается, что К-у, (х) =Ку, (х) (см. равенство (П.183).

5 = - “ й^ = 7 . Следовательно, при показателе степени £ = - 7 в

4 4 4

равенстве (4.110) окажется, что в формулу (4.127) войдет, как

показывает соотношение (4.131), функция Ki

8к?

При показателе

степени 5 = ^ в равенство (4.110) войдет, как показывает соотно-

шение (4.132), функция К 2 f —

4 oKt

Итак, если дебит стока определяется одночленной степенной

функцией времени, то в условиях трех простейших одномерных

потоков понижение давления и расход жидкости, т.е. величины

Др (%, t) и Qg (%, t), выражаются через модифицированные функции

Бесселя II рода в одночленных формулах только в шести

рассмотренных частных случаях. Кроме этих случаев, те же

величины могут выражаться через модифицированные функции

Бесселя, но уже с помощью многочленных формул — это будет

далее подтверждено.

Из перечисленных выше модифицированных функций Бесселя

II рода функция Kq табулирована во многих справочниках (см.,

например, [563], [183], [428], [781]). Таблицы функций есть

4 4

в сборнике [806]; функция Ki не требует особых таблиц, так как

выражается через показательную функцию.

Если s = 0, т.е. если точечный сток имеет постоянный дебит

Qc = Qo (см.равенство (4.110), то в формулах (4.120) и (4.125) первые

параметры ВГФ II рода W между собой равны. В таком случае

ВГФ II рода вырождаются в неполную гамма-функцию (см.равенство

(П.335). Поэтому при s = 0 формулы (4.120) и (4.125) упрощаются

и сводятся к формулам (4.9) и (4.18)*.

Если второй параметр в ВГФ II рода не равен целому

(положительному или отрицательному) числу или нулю, то ВГФ

II рода можно заменить более простыми ВГФ I рода (см. формулу

(П.292).

При а = 0,2,4, 6,..., т.е. в пространстве нечетного числа

измерений, второй параметр функции Ч* в формулах (4.120) и

Формула (4.9) является, таким образом, частным случаем формулы (4.120). Но,

как уже упоминалось в § 1 главы 4, формула (4.9) была впервые выведена Г. П. Ли

хачевым [527] совсем другим способом — при решении задачи о нестационарном

притоке жидкости к гидродинамически несовершенной скважине.

(4.126) не равен ни целому числу, ни нулю и поэтому эти формулы

можно переписать так:

1-а

2го Аа Г

(1 + а]

/ 4 /«ч / \

1 , 3-а 1

s+ ~

V У

\ /

г 1 - а л

хФ

. а+1 I f '' П

s + 1 '~ 2 “ ; <lKf

а- 1 1 1-а

2 ^ 2

+ - ^ 2

Ц 8 + 1 Л 4кГ

(4.133)

3 - а 3 - а £ 2>|

'* { s + — ' —

п n s + n л !| Ч 2

1 г л . _ \ е 4кгI тт:

1+а

1 +а

3 + <х

s+1’— ;

1 - а 1 - а

^2 Г

4к*

4к/

1 + а

■л-

' s + ■

1 - а

1+а

____________

' 1 1

Г(х+ 1)1 4кt

(4.134)

1 ^ .1 1

4к*

где Ф — символ ВГФ I рода (см.§ 10 Приложения), s — любое дей

ствительное число, но s > - 1, а = 0,2,4,6,....

Для исследования трех простейших одномерных потоков можно

воспользоваться формулами (4.119), (4.120), (4.125), (4.126), полагая

в них а = 0, 1,2.

Рассмотрим прямолинейно-параллельный поток, т.е. поток в

пространстве одного измерения. В этом случае в формулах (4.119)

(4.126) следует положить а = 0; учтем еще, что

Ал = 2а и Г ^ j=Vrc~ (см.равенства (3.19) и (П.9). Тогда формулы

для опре/^еления понижения давления и расхода жидкости в

прямолинейно-параллельном потоке будут таковы [761]:

1 1

’ 2 ’ 4к*

(4.135)

Qt = Q*sts

M l

4кt

5 + i ^

’ 2 ’ 4id

(4.136)

Допустим, что s есть любое полуцелое или целое положительное

число либо нуль или т.е. s = , 0, ]-, 1, ^ ,.... При этом

условии можно воспользоваться формулами (П.336) и (П.337),

позволяющими выразить ВГФ II рода через кратные интегральные

дополнительные функции ошибок, и поэтому вместо равенств

(4.135) и (4.136) получим

Ар

ак

(4.137)

= 2* Ql ts Г (s + 1) i ^erfc V ^ .

(4.138)

Эти формулы, более частные, чем формулы (4.135) (4.136),

были другим способом впервые выведены Хартри [853].

Свойства кратных интегральных дополнительных функций

ошибок пояснены в § 2 Приложения.

Если считать, что дебит стока постоянен, то в формулах (4.119),

(4.137), (4.138) следует принять 5 = 0, Ql - Qc = const и тогда из них

получаются формулы (4.13), (4.19).

Пусть s имеет самое малое из всех допустимых для этой

величины значений, т.е. s = - - . Тогда из формул (4.118), (4.137),

(4.138) получим:

Q^h (4.139)

Qc = ^ / T ’

QI.^IiVtck J H "

bp ~ 2a/t erfc^4Kf , (4.140)

Q l ^ . _ x J I T

Qe = - * erfc v 4Kf .

(4.141)

Учитывая равенства (П.32) и (4.139), перепишем последнюю

формулу так:

„ G*V4 - Ё „ - Ё (4-142)

Q%=^jre ~Qce

Заметим, что при § = 0 из формулы (4.140) на основании

равенства (П.35) получим:

Q 1 ji Vttk (4.143)

А^ (0’ ,)= 2oJk =COnSt‘

Итак, оказывается, что в рассматриваемом случае прямоли

нейно-параллельного потока понижение давления при | = 0

удерживается постоянным все время, т.е. при любом значении

t, начиная с момента £ = 0. Рассматривая плоский сток в

пространстве как стенку прямолинейной галереи, можно считать,

что в момент t = 0 на этой стенке мгновенно было понижено

давление до определенной величины и в дальнейшем оно

удерживалось постоянным.

Обозначим постоянное понижение давления на стенке прямо

линейной галереи Лрс . Тогда равенство (4.143) можно переписать

в следующем виде:

Q1ц д Уяк (4.144)

2ок