Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
Случай II. s = 0. Этот случай, соответствующий пуску точеч
ного стока на плоскости (или линейного стока в пространстве) с
постоянным дебитом, был уже рассмотрен в § 1 данной главы; там
были выведены расчетные формулы (4.14) и (4.20) для определения
понижения давления и расхода жидкости. Те же самые формулы
могут быть получены, полагая s = 0 в равенствах (4.154) и (4.155)
и учитывая соотношения (П.361) и (П.366), для СКИП-функций
Фо И V o :
4к/
) QcV
- Ei
Г ^У1
4nbk
У
r**JJ
(4.181)
= <2се
(4.182)
Полагая | = 0 в формуле (4.182), получим, как и следовало
ожидать, что Q-Qz~ const.
Случай III. s = ~ . Для этого случая, как уже отмечалось, и для
случая s = ~2 нельзя пользоваться простыми формулами (4.154) и
(4.155). Поэтому значение s = ~ надо подставить в более общие
Z
формулы (4.150) и (4.151), учитывая равенство (П.9):
Др =
Q'A t 1/1 цУгс - Ё
8яЫс
3 p H
2 ’ ’ 4к*
(4.183)
2,0;W Г
(4.184)
Выразим ВГФ, входящие в формулы (4.183) и (4.184), через те
ВГФ, для которых известна их связь с модифицированными
функциями Бесселя II рода Пользуясь функциональными соотно
шениями (П.308) и (П.309), получим:
ВГФ, входящие в правые части равенств (4.185) и (4.186),
уже были определены соотношениями (4.177) и (4.180). Поэтому
формулы (4.183) и (4.184) можно переписать в следующем виде:
Случай IV. s = 1. Подставив это значение s в формулы (4.155),
(4.156) и пользуясь выражениями СКИП-функций через
упрощенную интегральную показательную функцию (П.362) и
(П.367), получим:
(4.189)
Qz = <2Uvi f a =
(4.190)
/
Формулы для радиально-сферического потока
Случай I. 5 = - ^ . Подставив это значение s в формулы (4.164)
и (4.165), получим, учитывая соотношения (П.32) и (П.47):
Q l^t-Ч к ц - ё (4-
Ав =
------
т—г
------
1 ‘ erfc—f —= ------т—т;— е ,
8яЛЁ 2 ш 4к]&
191)
8яЛ|
< h= Q -bt~ 4£
4 ГЗеГГС2 ^
4я*|
+ i “1 erfc
2VkF
1+2
i i L -Ё
4kJ
(4.192)
Случай II. s = 0. Этот случай пуска в пространстве точечного
стока с постоянным дебитом был исследован в § 1 данной главы; там
же были выведены соответствующие расчетные формулы (4.15) и (4.21).
Случай III. 5 = ^ . Подставив это значение s в формулы (4.164)
и (4.165), получим, учитывая еще соотношения (П.32) и (П.33):
(ft* V .
<2У1Чп\1.
Ар =
-----
r"7Z— I erfc
2VKf
t 1/4 “’erfc:
2Vitf 4rot^
erfc
2Vk*
(4.193)
(4.194)
Случай IV. s = 1. Подставив это значение s в формулы (4.164)
и (4.165), получим, учитывая еще соотношения (П.34):
0 1 Ы
4nft|
1+2
4к*
erfc
(4.195)
2 m ук 2чvt
Сопоставляя между собой приведенные выше итоговые фор
мулы для определения понижения давления Ар и расхода жидкости
Q, можно убедиться в том, что в условиях прямолинейно-парал-
дельного и радиально-сферического потоков при полуцелых и
целых значениях s (включая нуль) во все формулы входят лишь
две трансцендентные функции — показательная и дополнительная
функции ошибок. В условиях плоско-радиального потока при целых
значениях s (включая и нуль) в формулы входят только две
трансцендентные функции — показательная функция и упрощенная
интегральная показательная функции. При полуцелых значениях s
в формулы входят показательная функция и одна или две
модифицированные функции Бесселя II рода нулевого и первого
порядков*.
Сказанное справедливо не только для рассмотренных четырех
значений s, равных - ~ , 0, ~ , 1, но, как можно проверить, и для
Z Z
больших полуцелых и целых значений величины s показателя
степени в формуле дебита (4.110).
В более общей форме это будет доказано в следующих главах,
а для более частных условий аналогичные особенности формул
отмечались в § 1 данной главы.
Заметим, что в опубликованной в 1974 г. статье [243] М. М. Гы-
лыбов исследовал неустановившийся плоско-радиальный приток
жидкости к скважине, дебит Q которой изменяется со временем t
по такому закону, более общему, чем (4.110):
Q = Q0 + ath-v‘,
гДе Go >а » Р > 7 — постоянные величины, причем 7> 0.
Подтверждается сказанное в предыдущем параграфе: в одночленную формулу
для понижения давления модифицированная функция Бесселя входит в условиях
плоско-радиального потока только при значении s = При s = ^ модифицирован
ные функции Бесселя входят не в одночленные, а в многочленные формулы.
СОПОСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПЬЕЗОПРОВОДНОСТИ И РАСХОДА ЖИДКОСТИ ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ
НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ОДНОМЕРНЫХ ПОТОКОВ В МНОГОМЕРНОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Вывод дифференциального уравнения
расхода жидкости
Дифференциальное уравнение пьезопроводности для условии
простейшего неустановившегося одномерного потока в многомерном
пространстве (а+1) измерений было выведено в § 5 главы 2, а в
§ 2 главы 3 оно было представлено в следующей, несколько
видоизмененной, форме:
Э2Ар а д Ар 1 д Ар (5.1)
Э^2 Ч ^ К dt ’ ”, 1,4...
Необходимо еще вывести дифференциальное уравнение расхода
жидкости для тех же условий одномерного потока.
Объемный расход Q ^ жидкости через площадь S u поперечного
сечения 1; = const простейшего одномерного потока может быть, на
основании закона Дарси, подсчитан по такой формуле:
п _ с к дАр (5.2)
д!;’
или же, учитывая равенство (3.17),
е г - 2 « л а^ ^ . (5-3)
Постоянная размерная величина А а определяется для про
странств одного, двух и трех измерений с помощью равенств
(3.19)—(3.21).
Продифференцируем по £ обе части равенства (5.1):
Э3Ар аЭ2Др_ аЭДр 1 Э2Др
Э^3 £ Э^2 ~$2 "к
Из формулы (5.3) найдем:
дЛр _ ц Q \
2 аАак%а’
д2 Ар (1
Э^2 ~2аАак
1 э р £_
а _ 0
а+1 2 £
д3Ар Ц
3 ~2аАак
1 d2Qi_ 2а dQi g(g+l)
^ а 3^2 ^ а+1 ^ “+2 *
Э 2 Д р
_______
м. 3Q s
d%dt~ 2аАак^а Эt '
Подставим найденные величины производных в уравнение (5.4)
и после сокращений получим:
d2Qt adQi_ 1 Э 6£
^ к * ’
« = 0,1,2,...
(5.5)
Это и есть искомое дифференциальное уравнение расхода
жидкости в одномерном потоке в пространстве ( а + 1) измерений.
Оно отличается от дифференциального уравнения пьезопроводно
сти только знаком перед вторым членом в левой части.
Дифференциальное уравнение расхода (5.5) можно переписать
еще в следующей форме:
JLJL
а_0 j 2
? » к Э t '
(5.6)
Уравнение расхода (5.6) уместно сравнить с уравнением
пьезопроводности в соответствующей форме (2.21).
Заметим, что при а = 0, т.е. для случая прямолинейно-парал
лельных потоков, дифференциальные уравнения пьезопроводности
и расхода имеют совершенно одинаковый вид:
д2 Ар 1 Э Ар
д$2 ~к дt ’
(5.7)
d2Qt. 1 dge,
(5.8)
§ 2. Особые свойства решений дифференциальных уравнений
пьезопроводности и расхода
Допустим, что для определенных условий известно частное
решение Ар fat) дифференциального уравнения пьезопроводности
(5.1). Продифференцировав функцию Ар fat) по £ и подставив
найденную производную в правую часть равенства (5.3), найдем
расход жидкости Q ^ fa t) для тех же условий одномерного потока
в пространстве того же числа измерений. Конечно, найденная
функция Q fa, t) должна быть частным решением дифференциаль
ного уравнения расхода (5.5).
Наоборот, допустим, что известно частное решение Q ^ (^, t)
дифференциального уравнения расхода (5.5), соответствующее
определенным условиям одномерного потока. Тогда с помощью
равенства (5.3), используя операцию интегрирования, возможно
найти функцию Д р fa, f), которая должна быть частным решением
дифференциального уравнения пьезопроводности (5.1) для тех же
условий одномерного потока.
Будем искать частное решение дифференциального уравнения
пьезопроводности в такой форме:
где/(^,0 — неизвестная пока функция; В — размерная константа.
Продифференцируем равенство (5.9):
(5.9)
Подставим найденные производные из равенств (5.10) в диффе
ренциальное уравнение пьезопроводности (5.1) одномерного потока в
пространстве (а+1) измерений; после упрощений получим:
Сравнивая дифференциальные уравнения (5.11) и (5.5), убеж
даемся в том, что функция /(/) удовлетворяет дифференциаль
ному уравнению расхода жидкости в одномерном потоке, но в
пространстве (а-1) измерений.
Следует помнить, что числу а в дифференциальных уравнениях
(5.1) и (5.5) соответствуют одномерные потоки в пространстве с
числом измерений (а + 1); см. пояснения в § 5 главы 2. Следова
тельно, числу (а-2) в любом из упомянутых дифференциальных
уравнений должен соответствовать одномерный поток в простран
стве (а-1) измерений.
Итак, на основании равенства (5.11) функцию, входящую в
формулу (5.9), можем отождествить с расходом жидкости в
пространстве (а-1) измерений; величину этого расхода обозначим
так: [ Q ^ ] а_2 .
Поэтому формула (5.9) примет такой вид:
Равенство (5.12) позволяет сформулировать следующую теорему.
Теорема. Существует простая связь, определяемая равенством
(5.12), между частным решением дифференциального уравнения пье
зопроводности для одномерного потока в пространстве какого-то
числа измерений и частным решением дифференциального уравнения
расхода для таких же условий одномерного потока, но в пространстве с
числом измерений на два меньше.
Э2/?^(а-2) df _ 1 df
2 § К df
(5.11)
(5.12)
Примеры, поясняющие использование равенства (5.12), т.е.
доказанную теорему, будут приведены в следующем параграфе, а
здесь сформулируем ряд следствий из доказанной теоремы.
Следствие L Зная частное решение [Q ^] а дифференциального
уравнения расхода (5.5) для одномерного потока в пространстве
(а+1) измерений, можно, пользуясь равенством (5.12), найти частное
решение [Ар] а+2 для одномерного потока в пространстве (а+3)
измерений. Продифференцировав найденную функцию [Др] а+ъ
легко, с помощью формулы (5.3), получить величину [Q £ а+2
расхода жидкости в том же потоке для пространства того же числа
измерений (а+3).
Следствие IL Достаточно знать только частное решение
[Q дифференциального уравнения расхода для одномерного
потока в пространстве одного измерения, чтобы, поступая как было
указано в следствии I, найти последовательно величины [Ар] 2 и
[Q 2» затем величины [Др] 4 и [Q ^] 4 и т.д., т.е. получить решения
[Ар] ш [Q(l а Для любого четного числа а для одномерного потока
в пространстве нечетного числа измерений.
Аналогично: достаточно знать [Q ^ { для расхода потока в
пространстве двух измерений, чтобы тем же способом определить
сначала для а = 3, потом для а = 5 и т.д. решения задач для любого
нечетного числа а, т.е. для одномерного потока в пространстве
четного числа измерений.
Следствие III. Будем рассматривать такие одномерные потоки,
каждый из которых вызван в многомерном пространстве точечным
стоком с дебитом, выражающимся одночленной степенной функ
цией времени — см. формулу (4.110).
Примем сначала, что а = 0. При этом условии в § 4 главы 4 было
доказано (см. формулы (4.137) и (4.138), что понижение давления
Ар и расход Q 4 выражаются с помощью кратных интегральных до
полнительных функций ошибок erfc и 1Ъ erfc, если только пока
затель степени 5 в формуле (4.110) равен любому целому или полуце-
лому числу или нулю. Поэтому, учитывая следствие II, можно утвер
ждать, что при а = 0,2, 4,..., т.е. в пространстве любого нечетного
числа измерений, формулы для понижения давления и расхода жид
кости в аналитических условиях одномерных потоков также должны
выражаться через кратные интегральные дополнительные функции
ошибок, которые, ради краткости, названы функциями %п (те- символ
X* заменяет обозначение Г erfc, символ х , заменяет обозначение /' eifc
и т.п.) — см. равенство (П.41).
Примем теперь, что а = 1 и s = л, где п — любое целое положи
тельное число или нуль. Тогда, как это следует из формул (4.154) и
(4.155), понижение давления и расход жидкости для соответствующих
потоков к стокам выражаются соответственно через функции <рп и
i|/n — см. § И Приложения. Поэтому, опять учитывая следствие II,
можно утверждать, что при а = 1, 3,5,..., т.е. в пространстве любого
четного числа измерений, в формулы для понижения давления и
расхода жидкости (для аналогичных условий одномерных потоков)
входят только специальные кратные интегральные показательные
функции (р„ и \|/„.
Итак, оказывается, что для оговоренных выше условий простейших
одномерных неустановившихся потоков в многомерном пространстве
любого числа измерений частные решения дифференциальных урав
нений пьезопроводности и расхода выражаются только через три
высшие трансцендентные функции ф„> У*» являющиеся специаль
ными кратными интегральными функциями.
Именно это обстоятельство и дало повод [754], [763] назвать
функции Хл* Фт Уп характеристическими функциями простейших
одномерных неустановившихся потоков (об этом уже упоминалось
в § 4 главы 4, но только по поводу функций <рЛ и \|/п).
Так как при а = 0 дифференциальные уравнения пьезопровод
ности и расхода имеют одинаковый вид — см. уравнения (5.7) и
(5.8), то при а = 0,2,4,... для характеристики рассматриваемых
одномерных потоков в пространствах нечетного числа измерений
потребовалась только одна функция Хл-
Для характеристики рассматриваемых одномерных потоков в про
странствах четного числа измерений потребовались две характери
стические функции ф„ и уп, так как при а = 1,3,5,... дифференци
альные уравнения пьезопроводности и расхода (5.1) и (5.5) различ
ны — отличаются знаком при втором члене в левой части.
§ 3. Примеры взаимосвязи решений дифференциальных
уравнений пьезопроводности и расхода
Рассматриваемые в этом параграфе примеры иллюстрируют обна
руженную в предыдущем параграфе взаимосвязь между частными
решениями дифференциальных уравнений пьезопроводности и рас
хода применительно к простейшим условиям одномерных неустано
вившихся потоков к точечным стокам*.
*
Обнаруженная взаимосвязь между решениями упомянутых дифференциальных
уравнений справедлива для рассматриваемых автомодельных задач, постановка ко
торых анализируется в § 4 главы 6.