Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Считая известным частное решение Q^ дифференциального

уравнения расхода для потока в пространстве (а+1) измерений,

будем находить частное решение Ар (£, /) дифференциального

уравнения пьезопроводности для потока в пространстве (а + 3)

измерений, используя формулу (5.12):

<5 Л З >

Предполагается, что в начальный момент поток вне стока

невозмущенный. Совмещая начало координат с точечным стоком,

начальные условия для понижения давления и расхода жидкости

запишем так:

(5.14)

[Q$ М)=0, 0 < £ < оо.

(5.15)

Пример I. Расход жидкости в одномерном потоке к мгновенному

стоку в пространстве одного измерения определяется формулой

(3.44), которая при а = 0 записывается так:

(5.16)

т “=о-2^ к / *е

Определяемая этой формулой функция £?(£, О может рассмат

риваться как частное решение дифференциального уравнения

расхода (5.5).

Из равенства (5.13), полагая а = 0 и используя формулу (5.16),

получим понижение давления в одномерном потоке к мгновенному

стоку в пространстве трех измерений:

B V * „-^3 (5.17)

[Др1а=2 2л/лк * *

Расход жидкости в том же потоке в пространстве трех измерений

определим из формулы (5.3):

fn ! л л « к Э[Ар] о=2

[ЗД a=i = — 4 A2t? ~ •

Учитывая равенства (3.21) и (5.17), перепишем формулу (5.18):

(5.19)

rrM _BVMyfckl?

[^ « = 2 е *

Количество жидкости [VK (4,01 «=2» которое за время t перетекло

через сечение потока £ = const, определится по формуле (3.45), которая

с учетом равенства (5.19) перепишется так:

ВУж^к?\г 1

|ХКТ

ГЛ .

(5.20)

Совершим под знаком интеграла замену переменной, положив

4к*

= u .

Тогда вместо равенства (5.20) получим, учитывая формулы

(П.97) и (П. 110):

BVж'Ik к г -«

-----

-------

и А е dw = 8

BV^ylnk

= 8-

BV r'Jnk

4кГ

2 ’4itf

(5.21)

Конечно, учитывая наличие мгновенного стока с производи

тельностью У ж при £ = 0, должно быть:

[^=0]о=2=У*.

Поэтому, полагая ^ = 0 в формуле (5.21), получим:

Vx = 4BV* Kk,

откуда найдем значение константы В:

Р = -У _ (5.22)

4л к'

Найденное значение константы В можно подставить в формулы

(5.17) и (5.19). Тогда получим:

ГЛп1 V ж И (5.23)

№ а=2-&къ кКь ^ е ’

гп , 4, (5-24)

[Q0 ^ 2-4 •

Формулы (5.23) и (5.24) совпадают, как и следовало ожидать,

с формулами (3.30) и (3.44) при а = 2.

Пример II. Рассмотрим одномерный поток жидкости к точечному

стоку в пространстве (а + 1) измерений, считая, что дебит стока Qc

определяется одночленной функцией времени по формуле

Qc = Q;^, (5.25)

совпадающей с формулой (4.110). Здесь, как и в § 4 главы 4, пред

полагается, что s — любое действительное число, но только

s>- 1; Qs — размерная постоянная величина.

Поток жидкости в начальный момент предполагается невозму

щенным, т.е. условия (5.14) и (5.15) удовлетворяются.

Будем считать известным частное решение [Q^ (^, t) ]а диффе

ренциального уравнения расхода для рассматриваемого потока в

пространстве (а+ 1) измерений. Это частное решение определяется

формулой (4.126), которую можно переписать так:

S + -

1-а

1 - а

2 ’ 4 Kt

(5.26)

Требуется определить понижение давления в одномерном потоке

[Ар] а+2 в пространстве (а + 3) измерений к точечному стоку с

тем же дебитом Qc, закон изменения которого представлен

равенством (5.25).

Искомое понижение давления будем определять с помощью

формулы (5.13), которая с учетом формулы (5.26) примет вид:

[Др]а+2 = В

+1) f _ Ь « 1 п а . ^

Г 1 + а ^ + 1 ( 2 ’ 2 ’4к/

(5.27)

Значение константы В пока неизвестно. Для ее определения

учтем, что расход жидкости [G^(^,0]a+2 в том потоке в

пространстве (а + 3) измерений может быть определен с помощью

формулы (5.3):

ГО|]а + 2 = - 2 а + 2Ла + 2|“ + 2^ Э[Д^ а + 2.

(5.28)

Продифференцируем по | равенство (5.27), учитывая формулу

(П.307) для производной от вырожденной гипергеометрической

функции II рода Ч*. Тогда формула (5.28) примет вид

- 2 а + 2А + p Ce^fr + l) IГ 1 1

а + 2 ~ 2 Аа + £ ^В /1+ч |_(«+1)|а+2 + 2к

2к* £2

хЧ!

s +

1-а 1 -а S,2 ^

2 ’ 2 :4к*

Ьа +■1

S +

3 -а 3 -а £2

2 ’ 2 ’ 4Kt

(5.29)

При § = О величина расхода [Q|=o] а+2 должна быть равна дебиту

стока Qc. Поэтому, подставляя | = 0 в равенство (5.29), найдем

значение постоянной величины В :

В =

2а+2т4а+2 (а + 1)к*

(5.30)

Подставляя найденное значение В в равенство (5.27), получим

формулу для определения искомого понижения давления:

или же, учитывая соотношение (П.2),

\ У

Если в формуле (5.32) величину (а + 2) заменить на а , то она, как

и следовало ожидать, в точности совпадет с формулой (4.120).

§ 4. Использование вырожденных гипергеометрических

функций при интегрировании дифференциальных уравнений

расхода и пьезопроводности

Поставим такую задачу: проинтегрировать в условиях простей

шего одномерного потока дифференциальное уравнение расхода

(5.5), считая справедливым следующее начальное условие:

Кроме того, предполагается, что при ^ = 0 имеется сток, дебит

Qc которого выражается с помощью одночленной степенной

функции времени: р

где s — любое действительное число; Q * — постоянная величина,

размерность которой зависит от s*.

Будем искать решение дифференциального уравнения (5.5) в

таком виде:

[Qz) t=o = 0» 0<£<оо.

(5.33)

Q\=o = Qc{t) = Q*sts, 0<f <оо,

(5.34)

См. дополнительные оговорки в начале § 4 главы 4.

где

J2 _

W =: —3—

4 К t'

(5.36)

D — размерная постоянная величина, /'(w) — искомая функция.

Размерность и значение постоянной величины D, а также природа

функции F зависят от величин s и а*.

Продифференцируем уравнение (5.35), учитывая равенство

(5.36):

дt

= Dt

= D sts-lF(w) + tsF'(w) $

= DtsF\w)^=Dts^-F(w),

a t

2 к t

d 2Qt

dt?

= Dt

JL-л

2 Kt

F (w) + 2k~tF

Подставляя найденные значения производных в дифференциаль

ное уравнение расхода (5.5), получим, сокращая все члены на Df\

4 к Y

;F (w) +

F'(w)-±F(w) = 0

Выбор искомого решения в форме (5.35) связан с автомодельностью задачи.

Понятие автомодельности задачи будет пояснено в следующей главе, а сейчас заме

тим, что достаточные условия автомодельности в данной задаче соблюдены: в диф

ференциальное уравнение (5.5) в начальное и граничное условия (5.33) и (5.34)

входят, кроме координаты и времени лишь две определяющие величины к и Ql ,

размерности которых отличаются от размерностей £ и t.

или же, умножая обе части равенства на Kt и опять учитывая равен

ство (5.36):

wF (w) + \w +

1 - а

F (w)-s/1(m') = 0,

(5.37)

а = 0,1,2,3,...

Полученное для определения функции /^(w) обыкновенное диф

ференциальное уравнение (5.37) будем называть сопряженным с диф

ференциальным уравнением расхода (5.5) в частных производных. Это

сопряженное уравнение является линейным, однородным уравнением

второго порядка с переменными коэффициентами, линейно завися

щими от независимого переменного w. Для приведения его к канони

ческой форме вырожденного гипергеомстрического уравнения (со

кращенно ВГУ) — см. § 10 Приложения — перейдем от w к новой

независимой переменной величине

r dF = _dF d2F d2F

W ^'dw~ dC’ dw2“ dCr

(5.38)

Пользуясь преобразованием (5.38), перепишем сопряженное

дифференциальное уравнение (5.37):

F\Q+sF( 0 = 0.

(5.39)

Каноническая форма ВГУ (П. 287) в принятых здесь обозначе

ниях может быть записана так:

tf"Q + (c-QFXQ-aF(Q = 0.

Сравнивая уравнения (5.39) и (5.40), находим:

(5.40)

С =

1 - а

, a = - s .

(5.41)

Известна стандартная подстановка, позволяющая перейти от

канонической формы ВГУ к дифференциальному уравнению

Уиттекера (П. 257), которому удовлетворяют функции Уиттеке

ра — см. § 9 Приложения.

Эта стандартная подстановка такова*:

F(Q = f;"U z (Q ,

(5.42)

где z(0 — новая функция от причем

а = |-Х + х, с = 1+2х,

(5.43)

откуда, учитывая равенства (5.41):

с - 1 а+1

х=-

4 ’

(5.44)

. 1-а

л = — — +s.

На основании стандартной подстановки (5.42) и учитывая (5.44),

уравнение (5.39) примет форму дифференциального уравнения

Уиттекера:

I о

- - Т

1 X 4

4 + С+' С2

(5.45)

2(0 = 0.

Функции Уиттекера ,WLx,x(-Q составляют фундамен

тальную систему решений уравнения Уиттекера, а потому общее

решение уравнения (5.45) может быть записано так**:

z(0 = c{wKx Ю + с2^ .Ха(-о, (5.46)

См., например, стр. 237 книги [59].

♦ *

Об отсутствии физического смысла одного из двух линейно независимых ча

стных решений рассматриваемых здесь дифференциальных уравнений (5.45), (5.39),

(5.37) и им подобных указывается еще в примечании III в § 4 главы 6.

где Ci и Сг — постоянные величины. Возвращаясь к прежней неза

висимой переменной величине w — см. первое равенство (5.38), вме

сто (5.46) получим:

z(w) = С, WKx (- w) + С2 W. Кх (w).

(5.47)

Известно [59], что W^x(- и>) -» оо при w -» . Поэтому,

учитывая физический смысл задачи, необходимо принять Ct=0 в

равенстве (5.47). Следовательно, формула (5.42) будет иметь такой

вид, учитывая еще равенства (5.41) и (5.44):

а-1 w

f(w ) = C2(-w)n r e 7 Wfa.| ) ( a+nW ,

(5.48)

Подставим найденную функцию F(w) в равенство (5.35):

Qk = D Сгts (- w) ^ е W > (5'49)

a = 0,1,2,3,..!

Перейдем от функции Уиттекера к вырожденной гипергеомет-

рической функции (сокращенно ВГФ) II рода — см. § 10 Прило

жения. Для этого воспользуемся формулой (П. 345), которая в

принятых здесь обозначениях имеет вид

_ w 1 (

Wu (w) = e '7 wz+2v

(5.50)

Поэтому

w 1 -а

= e"7 w”ir_1H

1-а 1-а

s + — — ;w

(5.51)

Учитывая соотношение (5.51), можно так переписать формулы

(5.48) и (5.49):

Дм') = С^е-*’Т

1-a 1 -а 4

s + -

2 ’ 2

(5.52)

=D С г t°t V (s + (5.52 бис)

V У

где через С{ обозначено, ради простоты, такое произведение по-

Функция /’(w), определяемая равенством (5.52), представляет

собой решение обыкновенного дифференциального уравнения

(5.37), сопряженного дифференциальному уравнению расхода (5.5).

Функция должна удовлетворять условию (5.34). Следова

тельно,

Подставим найденное значение произведения постоянных вели

чин DC2 из (5.53) в (5.52 бис):

Известно*, что при с j < 1 справедливо следующее соотношение:

а-1

стоянных величин: С2 (-1) 4 •

1 - а 1 - а

2 ’ 2

QZts = DC'2f'¥\s +

откуда

D C 2 =

<£

(5.53)

Ч» s +

(5.54)

Ч* 0) =

Г (1 -С|)

(5.55)

Г(а,-с, + 1)’

* Смотреть, например, формулу (6.8.3) на стр. 249 книги [59].