Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Касательная

к кривой

при х=о

a>xt>x2>...

Рис. 11.9. Схематичное изображение графиков понижения давления в различных

сечениях зоны I — см. рис. 11.1

На основании формулы (11.32) и равенства (11.67) на рис. 11.9

схематично изображены графики зависимости понижения давления

Ар\ от времени t для различных точек I зоны.

При х = - °° имеем А р{ (х, t) = 0, что соответствует условию задачи.

При х = а линия, изображенная на рис. 11.9, должна быть такой же, как и

на рис. 11.5.

Расход жидкости Q{ (х, t) в любой момент в любой точке I зоны

определяется на основании формулы (11.32) так:

(11.68)

Полагая t = <*> в равенстве (11.68) и раскрывая неопределенность,

получаем в любой точке I зоны:

IQAx, 0 1 — = ■у •

(11.69)

Продифференцируем по х равенство (11.68):

9Q i(x,t)_Q c

дх L

. а-х „ a+L-x

erfc „_г~7 - еггс

2Vicf ' 2л/кГ

Рис. 11.10. Схематичное изображение графиков зависимости расхода жидкости

от координаты в 1 зоне (см. рис. 11.1) в различные моменты

Отсюда следует:

Э Q, (х, t)

а Г

дх

х = а

1 - erfc

2Vk?

t* о

С течением времени величина

Э Q, (х, t)

дх

(П.71)

(11.72)

(11.73)

убывает и стремится к

нулю при t —»оо. Следовательно, на графиках зависимости расхода Q\

от координаты х все угловые коэффициенты касательных при х - а

с течением времени уменьшаются. Учитывая сказанное и формулы

(11.68)—(11.73), на рис. 11.10 схематично изображены графики

зависимости расхода Q\ от координаты х для различных моментов.

На основании равенств (11.57) и (11.63) легко убедиться в том,

что, как и должно быть,

[ Qi (*, t) L=fl = t Q2 (*, 0 lc=fl ■ (11.72a)

Правые части равенств (11.62) и (11.71) различны, т.е. различны

величины градиентов расходов Q\ и Q2 на границе I и II зон.

И это следовало ожидать, т.к. во II зоне расположен объемный

сток, а в I зоне стоков нет. Поэтому различны углы наклона

касательных при х ~ а на рис. 11.7 и 11.10.

Продифференцировав равенство (11.68) по времени, найдем,

раскрывая неопределенность при t = 0, что

= 0. (11.73а)

х* а

Равенство (11.73а) позволяет утверждать, что при всех значениях

ху кроме х - а, в начальный момент все линии, характеризующие

зависимость расхода Qx от времени t, должны касаться оси абсцисс.

Учитывая сказанное, на основании формул (11.68) и (11.69) на рис.

11.11 схематично изображены графики зависимости расхода Qi от

времени t для различных точек в I зоне.

д Qi (X, t)

дх

В предыдущих главах рассматривались стоки точечные, линей

ные, площадные (поверхностные); в данном параграфе впервые

был исследован объемный сток. Поэтому, естественно, интересно

было сопоставить особенности распределения давлений и расходов

внутри объемного стока с их распределением вне его. Для этого

были выведены соответствующие формулы и на их основе

построены многочисленные графики. Сравнение рисунков 11.4—11.7

с аналогичными рисунками 11.8—11.11 позволило, как раз, особенно

наглядно сопоставить распределение давлений и расходов внутри

и вне объемного стока.

Сравнение же рисунков 11.8—11.11 с аналогичными рисунками

4.1, 4.4, 4.7, 4.8 позволило выяснить: чем отличается распределение

давлений и расходов вне объемного стока с их распределением в

окрестности поверхностного (плоского) стока.

§ 3. Плоско-радиальный приток жидкости

к объемному стоку

Приток жидкости к объемному стоку, ограниченному снаружи

и изнутри боковыми поверхностями двух коаксиальных цилиндров

неограниченной высоты, будет плоско-радиальным. На рисунке

11.12 изображено сечение потока, перпендикулярное к оси

цилиндров. Для условий плоской задачи рассматривается приток

жидкости к стоку, равномерно и непрерывно покрывающему

круговое кольцо. Радиусы внутреннего и внешнего цилиндров

соответственно равны R\ и R2. По высоте цилиндра выделяем

отрезок длиной «Ь», т.е. будем рассматривать поток жидкости

толщиной «Ь».

В потоке выделяются три области: I и III — внутренняя и

наружная; II — область, в которой расположен объемный сток.

В начальный момент включения стока поле давлений предпо

лагается невозмущенным. Дебит Qc объемного стока пусть

выражается с помощью одночленной степенной функции време

ни:

Qc = Qhtn > * = 0,1,2,3..., (11.74)

где Q*n — постоянная величина, размерность которой зависит от п.

Подчеркнем, что, в отличие от формулы дебита (11 Л), в формуле

(11.74) для п принимаются только целые положительные значения.

Дебит qc стока на единицу его

объема определяется равенством:

Qnf1

(11.75)

Здесь, как и раньше, предпола

гается, что величина qc одинакова

во всех частях объемного стока.

Математическая постановка зада

чи об определении понижений дав

ления Ар, (г, t\ Ар2 (г, t), Ар3 (г, 0 в

* любой момент в любой точке каж-

Рис. 11.12. Плоское сечение объем- „ ^ *

ного полостного цилиндрического Дои из ТРех областей потока опи-

стока (зона И) сывается такими уравнениями (см.

пояснения, которые были сделаны в

начале предыдущего параграфа

и в § 7 главы 2):

Э2Др, 1 ЭДР1 1 ЭДр, _ „ , Л (11.76)

^ +; “ э г = к ^ ’ ° - г</г1’ />0’

Э^Р2 1 Э4р2_1 дДр?_Е (11.77)

Эг2 г Эг ~к й к Яс' Ri<r<Ri> t>0>

д 2Лр3 1 Э Др3 1 Э Дрз

дг2 г дг к dt

, Л2<Г<°о,*>0 .

(11.78)

Начальное условие:

Ар, = Ар2= Арз = 0 при £ = 0 . (11.79)

Условия сопряжения на внутренней и внешней границах

объемного стока в любой момент:

дг

Лр2 = АРз при Г = J?2 » 0 < / < <*>,

(1L82)

Э Др2 Э Арз

дг ~ дг

при г = Яъ 0<t< оо .

(11.83)

Понижение давления на оси цилиндра должно быть конечным

и равным нулю на бесконечности, т.е.

при г = О, (11.84)

Д/?з = 0 при г — 0<f<°°. (11.85)

Подвергнем равенства (11.76)—(11.78) преобразованию Лапласа,

причем обозначим через АР1 (г, s), АР2 (Л 5) » АР3 (г, 5) изображения

понижений давления Дрь Др2, Ар3; учтем начальное условие (11.79)

и формулу (11.75):

£ ! ^ 1 + 1 ^ = £ др„ (И-86)

2 /■ <ir к

d2AP2 ЫДР2 5 n!g„n 1 (11.87)

dr2 г dr к 2 n(R l-R bbksn+l ’

d2AP3+ I dAP3 s Ar (11.88)

dr2 г dr к 3‘

Общие решения линейных дифференциальных уравнений вто

рого порядка (11.86)—(11.88) будут таковы:

.г w № ' l , n r W ^ l , n!Q ^ K 1 01-90)

АРг=А210[Чк J + J b * |\K J+ я ^ 2_R ^ ^ ,

AP3 = A3 70 fV l”r 1+ 5 3 *o (V F r 1,

(11.91)

где I0hKq — символы модифицированных функций Бесссля нуле

вого порядка первого и второго рода — см. § 6 П.;

AuBhA2iB2tA3lB^ — постоянные интеграции, которые необходимо

определить (эти коэффициенты могут зависеть только от пара

метра s ).

Учитывая, что функция IQ(x) принимает бесконечное значение

при х = ©о, а функция Kq (х) принимает бесконечное значение при

х = 0, необходимо в уравнениях (11.89) и (11.91) положить

2?1 = 0иА3 = 0, чтобы удовлетворить после преобразования Лапласа

условиям (11.84) и (11.85) в центре потока и в бесконечности.

Тогда в уравнениях (11.89), (11.90) и (11.91) останутся 4 неизвестные

величины А^АЪВЪВЪ> которые можно определить из 4-х условий

(11.80)—(11.83), переписанных после преобразования Лапласа.

После подстановки найденных таким способом значений

А\у А2у B2f 2?з в уравнения (11.89)—(11.91) получим*:

др, = Vf-^ R tx i^ R i) - R2k{ VfRi \ 4Vf r

(11.92)

APi = 1 - V f Л2Кj V f «2j /0 jV C "'

-f^ /lV f/? , W V fr]

* , / № r ] - r4 ^ r2) 4 ^ r

(11.93)

(11.94)

где 1\ и К\ — символы модифицированных функций Бесселя пер

вого порядка первого и второго рода — см. § б П., причем введенс

еще такое обозначение:

D =

nlQni^K

n(R l-R b bk'

( 11.95;

Чтобы совершить обратное преобразование Лапласа над равен

ствами (11.92)—(11.94), т.е. чтобы перейти от изображени!

АРъАР2уАР3 к оригиналам Aph Аръ А/?3, придется использовал

такие разложения в ряды модифицированных функций Бесселя —

см. формулы (П.135) и (П.136):

( 11% ;

v = 0

(11.97;

Подставив в равенства (11.92)—(11.94) только что указанные

разложения в ряды функций /ofV^rl, 1\ |V C r 1 ] и аналогичное

( 1

разложение функции 1г V к ^2 » получим необходимость провеет*

обратные преобразован™ Лапласа, используя формулы такого типа

-1

Ко &

1 1 г_

2 Г - » Ф' (^ ) [4Kt

I _ г-1

*1 (VI*)

1 - L

s (fl\l) + V4-v

(11.98

(11.99

где n = 0, 1, 2, 3...; v = 1,2,3...

По поводу формул (11.98) и (11.99) следует сделать некоторы

пояснения, т.к. благодаря использованию СКИП-функций I i

II рода фи\|/ (см. § П.П.), введенных автором, таких формул нет

в монографиях и справочниках, посвященных операционному

исчислению. Именно, используя соотношения (П.357)—(П.358) и

(П.411), определяющие СКИП-функцию <р, можно переписать

равенство (11.72 б) в таком виде:

г-1

Ао

V T ' l

п +1

-Ei

f 2 Л

4к*

dt = ~tnq>n

4к7

(11.100)

Используя соотношения (П.413), (П.414) и (10.94)—(10.95),

определяющие СКИП-функцию \|f, можно переписать равенства

(10.88) и (10.89) в таком виде:

(11.101)

г-1

L-(S »•>'- К, [VTr| = £ (е'" ■“ )=

Ук 1

- г f« + i +

( [s~4( -4- ,/*" (ггЛ (11-Ю2)

~mKi V k Ч =^у J е Mdt = ^ 7 tm~'

4кt

\ У

где т = 0, 1, 2,...

Заменяя в равенстве (11.100) величину п на л-v, получаем

равенство (11.98); заменяя в равенстве (11.101) величину т на

(v - п - 2) ив равенстве (11.102) величину т на (и + 2 - v), получаем

вместо них равенство (11.99).

В теории нестационарного поля во многих задачах оказывается

необходимым находить оригиналы для таких изображений, какие

приведены в левых частях равенств (11.98) и (11.99). Судя по этим

равенствам, очевидно, что использование СКИП-функций помогает

найти наиболее простые выражения для искомых оргиналов.

Обосновав справедливость равенств (11.98) и (11.99), исполь

зуем их для проведения обратного преобразования Лапласа над

равенствами (11.92)—(11.94), в которых модифицированные функ

ции Бесселя /0 и 1Х заменены их разложениями в ряды (11.96) и

(11.97). В итоге получим:

API (r,t) =

n'.QcV

4nbk R \-R \^(y\)2

\ fnlX

Y —

: " A* I'

Yn + i-

&P2 (Г, t) =

“ Vn + l-v

4к*

ч /

1*1

n ! Qc Ц 4i<f

4jt*/k R l-R ]

4k *

V У

4k*

Ч У

1 у 1

(л + l)! (v !)2 X

fr 2\ (r £

f» -« l

4kt

\ У

v + 1 4kt

(v!)

v=0

/_ 7\

4к*

(11.104)

д , A _ n ! QcM- Y I W I 2 - - д. Г

4лЫ: ^ (v !)2( v +1)(/?|-/??)(4k /)v ’ (11.105)

где n = 0,1,2,3,...

Формулу (11.105) можно несколько упростить. Для этого

воспользуемся таким легко проверяемым равенством:

*V+1 -•y ^ l=:(x v+;cv-l:y+;cv-2;y2+ +J^v-l +у'')(х-у) =

Фп-v

4кt

V J

R fv+l) - R fv+1)

х=о

(х-у),

где v — любое целое положительное число.

Полагая, что x~R\,y~R\ перепишем это равенство:

х=о

Учитывая последнее соотношение, формулу (11.105) можно

представить в таком более простом виде:

v=0

(v !)2 (v + 1) (4«f)'

(11.106)