Щелкачев В.Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ НЕАВТОМОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ,

СВЯЗАННЫХ С ИССЛЕДОВАНИЕМ НЕУСТАНОВИВШИХСЯ

ПРИТОКОВ ЖИДКОСТИ К ОБЪЕМНЫМ СТОКАМ

§ 1. Вводные замечания

В данной главе рассматриваются три вида потоков к однород

ным* объемным непрерывно действующим стокам: прямолинейно

параллельный, плоско-радиальный и сферический радиальный.

Дебиты (производительности) объемных стоков предполагаются,

вообще, переменными, но затем исследуются и частные случаи

постоянных дебитов.

Все задачи, рассматриваемые в данной главе, неавтомодельны —

см. пояснения в конце § 1 предыдущей главы.

§ 2. Прямолинейно-параллельный приток жидкости

к объемному стоку

Следуя изложению вопроса в статье автора [758], рассмотрим

прямолинейно-параллельный поток жидкости в пористой среде,

ограниченной сверху и снизу двумя горизонтальными параллель

ными плоскими непроницаемыми границами. Поток жидкости

вызван наличием однородного стока в ограниченном объеме. Для

изучения особенностей такого потока достаточно исследовать лишь

отдельный его участок. Выделим участок потока с площадью

поперечного сечения, равной а. Длину объемного стока, имеющего

форму параллелепипеда в этом участке, обозначим через L —см.

рис. 11.1, на котором изображено продольное сечение участка

потока. При принятых обозначениях объем стока в выделенном

участке потока равен L • о. Для удобства разделим поток на три

области: I, II, III. Объемный сток расположен во II области, которая

в рассматриваемом сечении потока имеет форму прямоугольника

ABCD\ в I и III областях стоков нет, и жидкость из них притекает

с двух сторон к объемному стоку. I и III области простираются

от объемного стока в длину до бесконечности.

По всему рассматриваемому объему стоки распределены непрерывно и равно

мерно.

Предполагается, что в некоторый момент, который принимается

за начальный, объемный сток был включен с объемным дебитом

Qc Допустим, что дебит Qc всего объемного стока выражается с

помощью одночленной степенной зависимости от времени:

Q* = Qntn, n = i,|, — (ИЛ)

где Q п — постоянная величина, размерность котЪрой зависит от по

казателя степени л.

Введем в рассмотрение величину qc дебита объемного стока,

приходящегося на единицу его объема, т.е.

q c & =QAtn. (U.2)

oL oL

Подчеркнем: предполагается, что величина qc одинакова во

всех точках однородного объемного стока.

Считаем, что в начальный момент давление во всех трех областях

I, И, III было одинаковым и равным pQ. Требуется определить

понижения давлений Ар j (хД Ар 2 (x,t\ Ар 3 (x,t) соответственно в

каждой из областей I, И, III в любой точке в любой момент после

включения объемного стока. В I и III областях, где стоки

отсутствуют, понижения давлений Ар i и Ар 3 будут удовлетворять

однородным дифференциальным уравнениям пьезопроводности; в

области И, где расположен объемный сток, дифференциальное

уравнение пьезопроводности будет, как это было доказано в § 7

главы I, неоднородным.

Математическая постановка задачи с учетом начального условия,

условий сопряжения на каждой из двух границ полосы объемного

стока и условий на бесконечности выражается так, проводя ось jc

вдоль потока, помещая начало координат в некоторой точке 0 в

I области потока на расстоянии а от границы АВ области II:

Э2Др2 1 ЭЬ/>1 н , . „ (11.4)

^ Г = К - э Г - $ Я с , а < х < а + Ш > ° ,

д2Ар3 1 ЭДрз г Л (11.5)

Ар 1 = Ар 2 = Ар з = 0 при t = 0, (11.6)

Ар \=0 при х = — 0<f <°° , (11*7)

Арз = 0 при де = <» 0<t<oo , (11.8)

A/?i = Ар2 при jc = a, 0 <f<oo, (11*9)

ЭДМ-М) ЭДр2(М) п _ (11.10)

Эл = Эх при jc = а,0 <(< =о,

Др2 = ДРз ПРИ * = а + £,0</<°°, (И-ll)

dAp2(x,t) Э Ар3 (х, t) (11.12)

-----

------

-----

------

при x = a+L,0<t<c°. 4

О X ОХ

Подвергнем равенства (11.3)—(11.5), (11,7)—(11.12) преобразо

ванию Лапласа, учитывая начальное условие (11.6) и обозначая

через АР, (х, 5), АР2 (х, s\ АР3 (х, 5) изображения оригиналов

Арх (х, t\ NP2 (х, Ар3 (х, t)*.

Подвергая преобразованию Лапласа равенство (11.4), было учтено, что величи

на qc есть функция времени — см. формулу (11.2); еще раз подчеркнем, что вели

чина дс не зависит от координаты х.

*2ЬРу s

dx2 -кЛЛ’

d2LP2 S r(n + l) Q >

dx2 к 2 oLksn+l

dx2 к 3>

APi =0 при x = —

AP3 = 0 при x =

AP\ = AP2 при x = a,

dAP\ dAP2

— = — щтх = а,

AP2 = AP3 при x = a+L,

d AP2 d AP3

dx dx

щмх = а + Ь.

1.14)

1.15)

1.16)

1.17)

1.18)

1.19)

1.20)

1.21)

Общие решения обыкновенных линейных дифференциальных

уравнений второго порядка (11.13)—(11.15) могут быть представ

лены в таком виде:

VT* -Vj*

APl (x,s)=Ale +Bi е , (п^

х -VF* Г(п + 1)£ £ цк

AP2(?,s)=A2e +В2е + а ^ — +2 , (1123)

Vji -VjT*

AP3(x,s)=i43e + 5 3е

где Ль 2?ь А2, ^ 2» Аз> Въ — постоянные интеграции*.

(11.24)

Эти коэффициенты могут зависеть только от параметра преобразования Лап

ласа s.

Согласно условию на бесконечности (11.16) величина АР\

должна быть конечной при х = - <»; этому условию можно удов

летворить, если принять В\ = 0 в уравнении (11.22).

Согласно условию на бесконечности (11.17) величина АРъ

должна быть конечной при х = <»; этому условию можно удовлет

ворить, если принять А3 = 0 в уравнении (11.24).

Поэтому уравнения (11.22) и (11.24) перепишутся так:

АР1(*,5)=Л1е^ *, <“ -25)

AP3(x,s) = B3e~^X . (1L26>

В уравнения (11.23), (11.25), (11.26) входят 4 неизвестные

коэффициента А\,АЪ Въ З3, которые можно определить, используя

четыре уравнения (11.18)—(11.21).

Определив таким способом эти 4 величины и подставив их

значения в уравнения (11.23), (11.25), (11.26), получим:

АР, (x,s) —

Г(П +1) 6 ^ЦКГ -^(a+L-x)l

л + 2 Le _ е J>

(11.27)

2aLks'

г(« + 1) е ^ г -VTc+i-*)] (П.28)

AF^X’S)~ 2oLksn + 2 L 6 _e J’

A Pfcsl Г(п + 1 ) (2 ^ к Г -VT»— *> -V ^V ol (11.29)

ЛРз(Х’5)" 2oLksn + 2 Le _e J'

Для перехода от изображений АРЬ АР2, АР3 к оригиналам

Aph Ар2, Ар3, воспользуемся следующими табличными формулами —

см., например, формулы № 2 и № 11 на стр. 483 [350] или № 7

и № 54 на стр. 583 и 585 [427]:

где Г — символ гамма-функций — см. § 1. П., причем — см. равен

ство (П.3):

Г (л + 2) = (л + 1) Г (л + 1); (11.31а)

i2n + 2 erfc — символ кратной интегральной дополнительной функ

ции ошибок — см. § 2.П.

Поэтому вместо равенств (11.27)—(11.29) получим такие фор

мулы для определения искомых понижений давления в областях

I—III прямолинейно-параллельного потока к объемному стоку:

(11.32)

Тп+7.

е. . ^,+2

t. & L ” X

^<x<L {n + \)oLk aLk

7я+2

Л + L —X . . ъ>+7

____

е^Х—а

^ 7 3 ^ erfc2?rt

(11.33)

2 2г,+,г(п + 1)ц к о;;* п+|

АРз(М) =

-------------

Z77

-------------х

a+L<x< оо oLk

(11.34)

Рассматриваемая задача была решена, и формулы (11.32)—

(11.34) были выведены в статье автора [758].

Из формул (11.32)—(11.34) следует, что при понижения

давлений во всех точках как внутри объемного стока, так и вне

его неограниченно возрастают, как и следовало ожидать при работе

непрерывно действующих стоков; см. по этому же поводу вывод,

полученный при анализе соотношения (4.32).

Для получения формулы (11.33) необязательно было интегри

ровать неоднородное дифференциальное уравнение (11.4) для И

области потока. Формулу (11.33) легко вывести из формул (11.32)

Если подставить это значение Qv в равенство (11.39), то

окажется, что его правая часть будет полностью совпадать как с

положительным, так и с отрицательным слагаемым правой части

формулы (11.36).

Все сказанное позволяет сформулировать интересную теорему [758].

Теорема. Понижение давления в прямолинейно-параллельном

потоке к объемному стоку можно определить как алгебраическую

сумму понижений давлений, вызванных одновременным пуском двух

прямолинейных галерей, одна из которых эксплуатационная, т.е.

добывающая (поверхностный сток), а другая нагнетательная (по

верхностный источник).

Примечания к теореме

I. При дебите объемного стока, пропорциональном tn, следует считать дебит

каждой из галерей пропорциональным t n + X/l и определяющимся формулой (11.40).

II. При определении понижения давления вне полосы объемных стоков, т.е. в

области I или III, надо считать, что эксплуатационная (добывающая) галерея

расположена вдоль ближайшей (к той точке, в которой определяется понижение

давления) границы, а равнодебитная нагнетательная галерея расположена вдоль

более удаленной границы полосы объемных стоков.

III. При определении понижения давления в какой-либо точке внутри полосы

объемного стока, т.е. во II области, надо считать, что вдоль каждой из границ

полосы расположены равнодебитные нагнетательные галереи, а через точку, в

которой определяется понижение давления, проходит эксплуатационная (добыва

ющая) галерея с дебитом, равным сумме дебитов нагнетательных галерей.

М. А. Гусейн Заде и А. К. Колосовская указали на то — см.

§ 8 главы I книги [202], что сформулированную теорему можно

доказать иным способом, основываясь на свойствах дельта-функций.

Искусно используя свойства именно этих функций, авторы цити

рованной книги привели в ней решения многих задач теории

упругого режима

Если дебит Qc объемного стока постоянен, то во всех формулах,

выведенных в данном параграфе, следует принять, что п = 0;

тогда, в частности, из равенства (11.1) получим, что Qc-Ql, а

равенство (11.40) примет такой вид:

2 Vk* л 2 Vitf (11.41)

Специальное исследование такой задачи, когда дебит объемного

стока постоянен, было проведено в статье И. Г. Гороховой [179],

причем рассматривалось и взаимодействие двух объемных стоков.

Заметим, что сформулированную в данном параграфе задачу

можно было бы исследовать, т.е. получить все выведенные формулы

(11.32)—(11.34) не методом операционного исчисления, а методом

интегрирования по координате стокообразного решения. Действи

тельно, покажем это на примере вывода формулы (11.34), используя

интегрирование по координате стокообразного решения задачи о

притоке жидкости к прямолинейной галерее.

Допустим, что изображенная на рис. 11.3 галерея Г имеет

толщину dw и ее дебит QT может быть записан так:

Qr = Qy*dw, (11.42)

где 0 уд — удельный дебит, приходящийся на единицу длины и не

зависящий от координаты х йот w.

Рис. 113. Прямолинейно-параллельный поток к галерее ширины dw

Воспользуемся формулой (4.137) для определения понижения

давления Ар3 в любой точке М, положение которой в области III

определяется координатой х; предполагается, что дебит галереи

выражается с помощью одночленной степенной функции времени,

определяемой равенством (4.110). Используя равенство (11.42),

перепишем формулу (4.137) так (учитывая принятые в данном

параграфе обозначения, величину s заменяем на п и величину ^

на х - w):

дрз т(п + 1) V* . +, erfc ^ dw (1143)

Желая перейти от галереи к объемному стоку в полосе ABCD,

надо правую часть равенства проинтегрировать по всей длине

полосы, т.е. от

w = a до w=a + L.

Поэтому понижение давления в точке М, вызванное объемным

стоком, определится так: