Щипицын А.Г., Кощеев А.А., Алешин Е.А., Павловская О.О. Элементы прикладной теории надежности

Подождите немного. Документ загружается.

∞=

∞→

∞

lim .

Таким образом, и с точки зрения среднего времени безотказной работы нена-

груженный резерв эффективнее нагруженного.

Расчетная схема процесса с ненагруженным резервом совпадает со схемой

процесса восстановления, но он длится не бесконечно и интервалы времени, не-

обх

одимые для подготовки резервного элемента к работе, чаще всего постоянны.

Поэтому, за исключением асимптотики (

∞

→

), можно использовать все расчет-

ные формулы для процесса восстановления. В общем случае для расчета прихо-

дится применять численные методы и ь о для экспоненциальных законов

можно получить аналитические результаты.

Подробный анализ вероятностей безотказной работы показывает (рис. 5.8), что

они уменьшаются значительно медленнее, чем для случая нагруженного .

Сл

тол к

резерва

едовательно, избыточность ненагруженным резервом целесообразно применять

не только для систем с малым, но и с большим временем работы (хотя при боль-

ших

t эффективность довольно резко уменьшается, и оба резерва совпадают).

Физически это объясняется тем, что резервные элементы не отказывают до ис-

пользования (что объясняет подъем характеристики

P ), но из-за ограниченной

кратности резерва при

∞→

вероятность исправной работы резко падает.

В заключении проведем сравнительную оценку обоих способов резервирова-

ния без ограничения на закон надежности. Пусть

..., , ,

– случайные времена

раб

оты основного и резервного элементов. Тогда случайное время работы группы

в нагруженном резерве (см. рис. 5.7)

(

)

τττ=τ

..., , ,max

нагр

а для ненагруженного резерва

τ++τ+τ=τ

...

ненагр

Рис. 5.8. Функции надежности нагруженного и ненагруженного резерва

(при одинаковой кратности резерва)

n = 2

n = 3

n = 4

(t)

n = 2

n = 3

n = 4

нагруженный резерв;

ненагруженный резерв

Откуда видно, что

нагрненагр

ΣΣ

τ≥τ .

с точки зрения характеристик ненадежности нагруженный ре-

зерв всегда эффективнее нагруженного. Так к резервные элементы в режиме

ожидание

невыгодно применять нагруженный резерв, так как из-за

отказа резервных элементо ыша в надежности систе-

мы. Вместе с тем нельзя и й резерв, ибо от момента

С точки зрения надежности, элементы при облегченном резерве работают в

различных условиях и поэтому обладают различной надежностью. Принципиаль-

ной особенностью теплого резерва является переменный режим работы элемен-

тов

Следовательно,

ак

не потребляют энергии, то ненагруженный резерв широко применяется

в общепромышленных системах, когда допустимы промежутки в работе системы

при переключении с основного на резервный элемент. Очевидно, что и для нена-

груженного резерва порядок подключения резервных элементов не влияет на на-

дежность системы.

5.1.4. Облегченный резерв

о многих случаяхВ

в он не дает желаемого выигр

спользовать и ненагруженны

включения резервного элемента в работу до момента, когда элемент становится

работоспособным, проходит некоторое недопустимо большое время. В этом слу-

чае применяют облегченный (теплый) резерв (рис. 5.9), при котором элемент до

включения в работу находится в облегченном режиме (например, включен накал

электронных ламп, но не подано анодное напряжение). При этом резервный эле-

мент может отказать и в нерабочем состоянии, но, как правило, вероятность тако-

го события невелика. Т. е., облегченный резерв занимает промежуточное положе-

ние по надежности между нагруженным и ненагруженным резервами.

, причем переход от облегченного режима к рабочему происходит в случайные

моменты времени. Поэтому для расчета надежности необходимо знать условные

вероятностные характеристики элементов. По аналогии с зависимостью отказов,

получение таких характеристик практически невозможно. В силу этого ограничи-

ваются, в основном, оценками надежности при разных упрощающих предположе-

ниях.

Пусть система состоит из основного и 1

−

n резервного элемента. Обозначим:

()

(н)

P – надежность k-го элемента в нерабочем (облегченном) состоянии;

Рис. 5.9. Граф работы системы с облегченным резервом

рабочий режим;

облегченный режим

о, ч

Тогда 1

()

(р)

τ – условная вероятность тог то k-й элемент не откажет, работая

)

t , , при условии, что он не отказал на участке

()

τ,0;

участке

(

τ – случайные времена жизни элементов (с переменной надежно-

стью).

ττ ..., , ,

эл

емент включается в момент времени (см. рис. 5.9)

≤≤1

Для нахождения распределения случайной величины

T выч

max

. (5.33)

ность события Так как

ислим вероят-

(

)

{

}

tTPtQ

(5.34)

(заметим, что

(

)

– сть отказа основного элемента, – ненадеж-

ность резервной группы, – искомая ненаде

вероятно

()

жность всей системы), то для на-

хождения

{}

tTP

воспользуемся формулой полной вероятнос

Предположим, что отк о элемента произошел в интервале

()

ти.

аз

k-г

ττ d ,. Тогда

{

}

(

)

tQtTP

kk 11

{}

(

)

(

)

ττττττ

kkk

dQdqdTP

< . (5.35)

До момента времени

τ (1

)-й элемент рабо л в облегченном режиме и к

моменту

τ не отказал с вероятностью

та

(

)

(н)

P . Начиная с момента времени τ,

)-й элемент работает в р чем режиме, и он не откажет на

()

t ,τ с вероятно-

стью

()

(р)

роятность исправной работы (1

або

Ве

)-го элемента на интервал

)

t , : е 0

(

)

{

}

1k +

PtP =τ ,

где событие А – исправная работа элемента на

(

)

t ,

при выполнении события В –

исправной работе элемента на

(

)

,0.

Согласно формуле полных вероятностей, получаем

(

)

(

)

(

)

tPPtP

k 1

, ,

(р)

(н)

τ⋅ττ

. (5.36)

Тог

()

t ,0

да вероятность отказа (1

)-го элемента на интервале

(

)

(

)

(

)

t . (5.37) PPtQ

,1 ,

(р)(н)

τ⋅τ−=τ

, находим, интегрируя

соотношение (5.37) по параметру

τ от 0 до t:

kk 11 ++

Искомую полную вероятность отказа, учитывая (5.35)

() ( ) () ( )

[

]

()

∫

ττ⋅τ−=τ=

dQtPPtQtQ

(р)(н)

,1 , . (5.38)

k 1

Формула (5.38) является рекуррентной, и непосредственны

требуют знание двумерного закона распределения

е расчеты по ней

(

)

(р)

, что практически не-

возможно из-за большого числа экспериментальных исследований. Эта ситуация

ана

т, что пр

логична той, что и при анализе систем с зависимыми отказами. Для упрощения

расчетов обычно, в первом приближении, полагаю ебывание элемента в

нерабочем состоянии (режиме ожидания) не изменяет его надежности в рабочем

состоянии. При этом

(

)

(

)

τ−=τ

tPtP

(р)

. (5.39)

Поскольку распределение времени жизни в рабочем режиме

()

(р)

известно,

k 1+

то формулами (5.38, 5.39) уже можно пользоватьс

В частном случае нагруженного резерва вероят

в н

я для практических расчетов.

ность безотказной работы:

ерабочем режиме

(

)

(

)

τ=τ

++ 1

(н)

1 kk

PP ; (5.40)

в рабочем режиме

()

(

)

(

)

=τ

(р)

. (5.41)

Соответствующие вероятности для ненагруженного резерва:

(

)

(н)

=τ

P ,

(

)

(

)

τ−

р)

. (5.42) =τ

PtP

((р)

резерва показыва-

даже существенное

облегчение режимов работы резервных групп значительн

все

При облегченном резерве, если надежности элементов различные, то надеж-

ность системы зависит от порядка включения элементов (в отличие от двух пре-

дыдущих видов резерва). Например, если у двух элементов одинаковые надежно-

сти

Рис. 5.10. Функции надежности нагруженного, ненагруженного и

облегченного резерва (при одинаковой кратности резерва)

Подробный анализ характеристик надежности облегченного

ет промежуточное положение теплого резерва (рис. 5.10). Но

о снижает надежность

й системы по сравнению с ненагруженным резервом.

в рабочем режиме, но разные в режиме ожидания, то первым нужно использо-

вать тот элемент, который имеет большую вероятность отказа в режиме ожида-

ния. Если же элементы имеют одинаковую надежность в режиме ожидания, то

нагруженный резерв;

ненагруженный резерв;

облегченный резерв

(t)

сначала надо использовать элемент, имеющий большую надежность в рабочем

режиме. Облегченный резерв находит ограниченное применение, так как по тех-

нологии применения его реализация бывает затруднена.

Изложенные выше способы резервирования не исчерпывают всех возможных

вариантов (например, рис. 5.11).

Иногда резервирование элементов выполняется при помощи параллельного

соединения без переключающих устройств. Например, в рулевых приводов само-

летов используется параллельное включение гидроцилиндров, работающи на

общую нагрузку. При этом резервные элементы работают в различных режимах,

так

в отдельности мож-

но бъединить все резервные , образуя так называемый

скользящий резерв. Рассмот йшей системы со скользя-

щи

При таком способе резервирования имеется группа из

n одинаковых (или взаи-

мозаменяемых) основных элементов и группа из

m резервных элементов. При

отказе одного из основных элементов он заменяется очередным . Если

резервные элементы не восстанавливаются, то отказ всей резервной группы на-

ступает в момент отказа одного из основных элементов после того, как отказали

как при отказах нагрузки на них суммируются. Поэтому расчет их надежности

нельзя проводить по схемам с переключателем (см. предыдущие пункты), а при-

ходится использовать схемы расчета с зависимыми отказами.

5.1.5. Скользящий резерв

Обычно в любой системе всегда имеются группы одинаковых элементов. В

этом случае вместо резервирования каждого такого элемента

о элементы в одну группу

рим характеристики просте

м резервом (рис. 5.12).

резервным

1 2

Рис. 5.12. Система со скользящим резервом

. . .

Рис. 5.11. Вариант резервирования

— рабочий режим;

облегченный режим

все

ний Бернулли.

Поэто темы на интервале

резервные элементы (либо они все уже были использованы для замены, либо

отказали в режиме ожидания).

Проанализируем простейшие случаи скользящего резерва, считая, что все эле-

менты однотипные с одинаковыми характеристиками надежности.

а. Нагруженный скользящий резерв

Очевидно, что резервная группа не откажет за время t (система исправна) то-

гда

и только тогда, когда за это время произойдет не более

m отказов элементов.

Поскольку все элементы работают в одинаковом режиме независимо друг от дру-

га, то расчетная схема совпадает со схемой независимых испыта

му вероятность исправной работы сис

()

t ,0

() () ()

tPtQCtP

knmk

−+

+Σ

∑

, (5.43)

где

()

tP ,

()

tQ – функция надежности и вероятность отказа одинаковых элементов

соответственно.

Как видно, расчеты по выражению (5.43) даже для экспоненциального закона

громоздки, поэтому их в общем случае производят числ

В частном случае одинаковых элементов и экспоненциального закона надеж-

и удается

я между отказами. Тогда случайное время жизни системы

(за

енно.

ност лишь найти среднее время безотказной работы. Обозначим через

– случайное врем

121

скол

)(

...

+Σ

τ++τ+τ=τ

(5.44)

время жизни системы происходит

(

)

m отказов), а среднее время жизни

()

[

]

[]

∑

τ=τ=

скол

)(

MMT .

(5.45)

До первого отказа в системе работают

(

)

эле

ред

m От-

куда (для экспоненциального закона и одинаковых элементов

ментов, от первого до второ-

го –

()

1−+ nm элемент и т. д., т. е. пе -м отказом работает n элементов.

) имеем

[]

()

[]

()

[]

⎪

⎩

⎧

=τ

==τ

. . .

(5.46)

Следовательно (согласно 5.45), получаем

⎪

⎨

−+

−+λ

=τ

+λ

nnm

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+

nnmnm

...

скол

)(

. (5.47)

Сравним это время жизни (5.47) со средним временем жизни системы из n

элементов, каждый из которых резервирован m элементами при нагруженном ре-

зерве (рис. 5.13).

жению (5.9), среднее время жизни i-й группы (один основной и

m резервных одинаковых элементов)

Согласно выра

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

++++=

...

0г

. (5.48)

Тогда, учитывая выражение (4.4), среднее время жизни системы (см. рис. 5.13)

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

++++====

∑

...

1111

0гг

нагр

mnnnn

. (5.49)

Например, если , то при нагруженном резерве а при

скользящем

скол

083,1 TT = ; если

2== mn

нагр

917,0 TT =

0Σ

mn , то

нагр

695,0 TT =

, .

ко-

ру-

женного резерва.

б. Ненагруженный скользящий резерв

В общем случае для произвольных законов надежности элементов вероятность

безотказной работы системы с ненагруженным скользящим резервом сложно вы-

нтегралы гократным инт

ов распределе учайных мен жизни элементов систем . По-

это

0Σ

Сравнивая выражения (5.47) и (5.49) почленно, замечаем, что для любых m и n

справедливо следующее соотношение

скол

95,0 TT =

нагрскол

> TT

. (5.50)

Таким образом, нагруженный скользящий резерв в смысле надежности и

личества используемых резервных элементов эффективнее постоянного наг

ражается через и типа сверток или связана с мно егриро-

ванием закон ния сл вре ы

му рассмотрим только случай экспоненциального закона надежности. При

этом, как известно (см. пункт 3.1.3), поток отказов элементов является пуассонов-

. . .

Рис. 5.13. Система из n элементов с полным нагруженным

резервированием (резервные группы из m элементов)

ским, и вероятность исправной работы систе

ски следующим образом.

мы может быть найдена аналитиче-

Система является работоспособной (не имеет отказов), если на интервале

(

)

t ,0

отказов не было, если был один отказ, два отказа и т. д. вплоть до m-го отказа. Ве-

роятность наступл

ения ровно k отказов на

(

)

t ,0 определим по формуле Пуассона:

()

(

)

λ−

, (5.51)

где nλλ =

– интенсивность отказов системы (система в любой момент времени

состоит из n элементов, а, согласно общей гипотезе, резервные элементы не отка-

зывают в режиме ожидания); λ – интенсивность отказов элементов системы.

Тогда, применяя формулу сложения вероятностей, для надежности системы со

скользящим ненагруженным резервированием получим

()

(

)

∑

λ−

. (5.52)

Сравним надежность такой системы с надежностью системы при холодном ре-

зерве (рис. 5.14), где исходная система m раз резервирована

ность отказов

такими же системами.

1 2

. . .

Каждая из одинаковых параллельных систем (см. рис. 5.14) имеет интенсив-

nλλ

, а надежность всей системы при постоянном (ненагружен-

ном) резерве определяется (с учетом экспоненциального закона надежности эле-

ментов) по следующей формуле:

()

(

)

∑

λ−

−

ненагр

. (5.53)

Из сравнения формул (5.52) и (5.53) вытекает, что надежность системы при

ненагруженном скользящем резерве с m элементами равна надежности системы,

m раз резервированной такими же системами (

(

)(

tPtP

ненагрскол

)

). Очевидно, что

при одинаковой надежности получается значительный выигрыш в личестве ре-

зервных элементов, весе, габаритах и стоимости при использовании ненагружен-

ного скользящего резерва.

Рис. 5.14. Система из n элементов, m р

ванная такими же системами

ко

аз резервиро-

(

ненаг

ру

женный

езе

)

. . .

При анализе других способов резервирования вывод о преимуществе скользя-

щего резерва ( зрения надежности) по сравнению с постоянным резервом

сохраняется. Однако при практической реализации идеи скользящего резерва сле-

дует учитывать, что каждый резе

с точки

рвный элемент должен иметь возможность под-

ключаться на место любого основного элемента. Это требует огромного количе-

ства связей и переключателей, не абсолютная надежно

мере обесценивает выигрыш от скользящего резерва при автоматическом поиске

и к

роткое замыкание (КЗ) и обрыв, причем резервирова-

ние

сть которых в значительной

онтроле неисправностей. Поэтому скользящий резерв применяется в основном

только при ручном способе замены отказавшего элемента.

5.1.6. Резервирование при отказах типа короткого замыкания и обрыва

В большинстве электрических схем приходится учитывать, что отказы элемен-

тов бывают двух типов: ко

не всегда приводит к увеличению надежности системы. Расчет надежности

таких систем необходимо при этом проводить по особой методике, учитывая три

возможных состояния подобных элементов. Чаще всего для этого можно исполь-

зовать метод перебора состояний, который пригоден для расчета надежности

сложных систем.

Пусть два одинаковых элемента А и В включены с целью резервирования па-

раллельно (рис. 5.15).

Ведем обозначений:

Q – вероятность отказа элементов от обрыва;

Q – веро-

ятность отказа от КЗ. Тогда вероятность безотказной работы элемента

(

)

QQP

−

1 . (5.54)

Для расчета системы (см. рис. 5.15) по методу прямого перебора, считая отка-

зы независимыми,

Рис. 5.15. Параллельная структура системы

к метод

пе

ебо

а состояний

необходимо:

оятность каждого возможного состояния системы;

3) выделить группу состояний, в которых система считается работоспособ-

ной (неработоспособной);

4) найти вероятность работоспособности (неработоспособности) путем сум-

мирования соответствующих вероятностей состояний.

Такая схема является общей и применима в принципе для любых систем, если

отказы элементов можно считать независимыми.

1) перебрать всевозможные состояния системы;

2) вычислить вер

Составим таблицу (табл. 5.1) возможных состояний системы (см. ри . 5.15) и

их вероятностей. Общее число состояний находится по формуле

где n – число состояний элементов; m – количество элементов (для рассматривае-

мых системы и типов отказов

, 93

, 3m

лица 5.1

ояние Вероятность

Таб

Состояния и их вероятности для элементов параллельной структуры

№ Сост

1 A B (оба элемента исправны)

B A

os os

B A QQ

И абл. 5.1 видно, ме три работоспособн ретье и пя-

тое) шесть альные) состояний. Тогда вероятность

безотказной работы системы

P 2

+=++=

, (5.55)

а вероятность отказа системы любого типа отказов

222

ossooss

ososs

QQQQQQQPQ

QQQQPQQ

−+=−++=

=+++=

(5.56)

Сравним вероятность отказа системы с вероятностью отказа одного эле-

мент чего составим функцию выигрыша:

sosossQ

QQQQQQQQV =+−−+=−+=

(5.57)

), получаем условие выигрыша по надежности:

з т что в систе ых (первое, т

и неработоспособных (все ост

ooo

PQPPQPQP

вследствие

()

.22

а, для

()

()()

.11

ssoo

QQQQ −−−=

Выигрыш по надежности соответствует положительным значениям функции

выигрыша

V . Учитывая (5.57

(

)

(

)

ssoo

QQQQ

−

Таким образом, параллельное включение элементов эффектив

ладают отказы типа “обрыв”.

ти отказа системы не пред-

(5.58)

или

QQ >

но, если преоб-

В общем случае для параллельного соединения m элементов с отказами двух

видов (обрыв и короткое замыкание) расчет вероятнос