Шабанов В.Ф., Ветров С.Я., Шабанов А.В. Оптика реальных фотонных кристаллов. Жидкокристаллические дефекты, неоднородности

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 2.5. Дисперсионные кривые для поперечных упругих волн, распространяющих-

ся в бесконечной среде. Вычисления выполнены с d

=1000 Å для Nb и d

=500 Å для Cu.

Теперь мы можем рассмотреть влияние на акустические волны введения

дополнительных граничных условий.

§ 2.4. Поверхностные акустические волны на границе полубесконеч-

ной слоистой структуры с вязкой средой

Исследуем сдвиговые акустические волны на границе полубесконечной

слоистой среды и несжимаемой жидкости со смещением вдоль x

направления, распространяющиеся в x

-направлении; в волне испытывают

колебания смещение упругой среды u

и скорость движения частиц

, зави-

сящие от координат x

(и от времени t) [24]. Геометрия исходной структу-

ры изображена на рис. 2.6.

L=0

L=π

L=2π

L=3π

0 2 4 6 8

ω, 10

рад/с

Рис. 2.6. Схематическое представление слоистой структуры, граничащей с жидкостью.

Для описания сдвиговых колебаний в слоистой среде и жидкости будем

использовать уравнения движения упругой среды (2.35) и уравнение Навье–

Стокса [25], которое сводится к линейному уравнению в силу того, что в рас-

сматриваемой геометрии нелинейный член

()0:

∇



213

(, ,)

(, ,),

xxt

txx

γυ

∂∂∂

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

(2.58)

где γ – кинематическая вязкость жидкости.

Теперь будем искать поверхностные волновые решения, т. е. поверхно-

стные волны, которые локализуются вблизи границы раздела слоистой

структуры и жидкости и которые экспоненциально затухают по мере про-

никновения в сверхрешетку и жидкость. С этой целью заменим (2.45) по-

средством

11 11

() ()

() ( ),

xnL xnL

ux e Ae Ae

nL x nL d

αα

−−−

−

+−

<< +

(2.59)

В штрихованной области смещение теперь имеет вид

0 d

+ d

+ 2d

ρ'

’

ρ'

’

n=0 n=1

21 1 21 1

() ()

() ( ),

(1).

xnLd xnLd

ux e Be Be

nL d x n L

αα

−− − −−

−

+−

+<<+

(2.60)

Параметр

управляет экспоненциальным затуханием поля смещения по-

верхностной волны по мере его проникновения в слоистую среду. Экспонен-

циальное усиление исключается посредством требования Re

>0. Решение

уравнения (2.58) ищем в виде

()

,Re 0.

ikx t

υυ χ

−

> (2.61)

Выражения (2.59) и (2.60) удовлетворяют тождественно уравнениям

движения упругой среды в соответствующих областях, а подставляя (2.61) в

(2.58), получаем

21/2

(/).ki

χωγ

=− (2.62)

Уравнения движения упругой среды и жидкости должны решаться при гра-

ничных условиях вдоль трех границ раздела: x

=0, x

=nL, x

=nL+d

. Из гра-

ничных условий при x

=n и x

=nL+d

получаем четыре уравнения для A

, A

–

, B

–

, которые идентичны уравнениям (2.53) – (2.56), за исключением того,

что ik

в (2.55), (2.56) заменяется на –β. Если выделить B

и B

–

из этого ряда

из четырех уравнений, тогда получаем два уравнения для A

и A

–

11 22 11 22

11 2 2 11 2 2

(1 )( ) (1 )( )

dd dd

Fe ee Fe ee

Fe e e Fe e e

αα αα

ββ

αα αα

ββ

−−−

−−

−

−−

−

⎛⎞

+− − −

⎛⎞

⎜⎟

−− + −

⎝⎠

(2.63)

На границе жидкость – слоистая среда должны равняться скорости сред и

напряжения. Из условия равенства скоростей

22 1

при 0ux



получаем

().iA A

−

−+ (2.64)

Из условия

при 0x

σσ

или, иначе,

ργρ

∂∂

∂

где ρ

∗

– плотность жидкости, следует уравнение

11 0

γρ

αυχ

+−

−= (2.65)

Используя уравнения (2.62), (2.64) преобразуем (2.65) к виду

−

(2.66)

где

144 144

11,.

Gcc

γρ ωχ γρ ωχ

αα

⎛⎞⎛⎞

=− + =

⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠

В итоге мы имеем три уравнения (2.63), (2.66) для трех неизвестных

, А

–

, решая которые получаем точные дисперсионные уравнения

222

th th th th th th th th 0,

bbbbF

aaaa

Fx y F xy xy Fx y++ − − = (2.67)

где

11 2 2 144 * 1 44 244

,,, , /,

dydac byi Fcc

αα α ρωχαα

′

== = =⋅=

и уравнение для параметра затухания

22 22

ch /( )ch [ sh th ( 1) sh ch th

ch sh ]/ ( ) .

eaxabFyabxyF bFxbFxy

abF x ab x a a bF e

−

=++ −−− +

+− +

(2.68)

Если вязкость γ=0, тогда уравнения (2.67) и (2.68) переходят в известные

формулы, полученные в случае контакта слоистой среды с вакуумом [19]:

th th 0Fx y

= , (2.69)

ch / ch .

exy

−

= (2.70)

В пределе, когда x<<1, y<<1, и в нижайшем порядке по k

можно полу-

чить аналитическое решение для закона дисперсии поверхностных волн [19].

В этом пределе дно нижайшей из объемных зон дается уравнением

222 2

(1 ),

ck k

=−∈ (2.71)

где

144 244

dc dc

ccc

ρρ

′

22 2 22

1 2 44 44 1 44 2 44

144 244 1 2

(1/ 1 / )

2()

ddcc dc dc c c

dc dc d d

ρρ

′

′′

+−

⋅⋅

′

∈=

Частота поверхностной волны дается соотношением

222 2

(1 4 ).

ck k

=−∈ (2.72)

Мы видим, что поправочные члены в (2.71), (2.72) имеют порядок k

Кроме того при заданных d

и d

они играют тем меньшую роль, чем ближе

параметры одного вещества к параметрам другого.

Из сравнения (2.71), (2.72) видно, что частоты поверхностных мод лежат

ниже соответствующих частот объемных мод. Используя (2.70), можно пока-

зать [19], что полученные поверхностные волны существуют только, если

< с

'. Параметр затухания этих волн

≈ ω

Получим аналитическое решение дисперсионного уравнения в случае,

когда 1>>│b/a│>>{│x│,│ y│} и│F│≈1. В этом пределе уравнение (2.67)

сводится к виду

222

bbF

yFx Fx y+− − =. (2.73)

Решая (2.73) относительно k

, находим

1/2

⎛⎞ ⎛ ⎞

⎜⎟ ⎜ ⎟

⎝⎠ ⎝ ⎠

(2.74)

где эффективное значение скорости звука слоистой среды

1/2

*442 441

44 44 2 1

()

Dcdcd

Acc d d

γρ

ρρ

′

⎛⎞

⎜⎟

′′

⎝⎠

(2.75)

Коэффициент затухания сдвиговых поверхностных волн

Imk ,

Г k

== (2.76)

где

эффективные значения плотности

и модуля сдвига

слоистой

среды равны

12 444412

12 144244

()

dd ccdd

dd dc dc

′

(2.77)

Сравним длину пробега акустической волны с ее длиной λ:

-1 2

//.Г c

πρ ωγ ρ

= (2.78)

Из уравнения (2.68) в обсуждаемом пределе получаем

*144244

44 44

()

idcdc

ρωχ

−

′

=−

′

(2.79)

а если учесть в выражении для χ (2.62), что обычно │k

│

<<ω/γ, тогда из

(2.79) следует

1/2

(1)

(),

()

/2 .

βωγ

ρωγ

λβ π

−

(2.80)

В случае

′, c

= c

′ формулы (2.78) и (2.80) с точностью до обозначений

совпадают с аналогичными выражениями, полученными в [26]. Напомним,

что (2.74), (2.78) и (2.80) получены при условии, что

{

}

,/1, /, 1xy ba k F

ωγ

<< << << ≈

или, иначе,

21/2

01 02

221/2221/2

1(1(/)),

()/( )1,

tt t t

qqqkdcckd

Fcccc

ωγ

ρρ

⎡

⎤

′

+>> >> +−

⎢

⎥

′

⎣

⎦

′

=− −≈

′′

(2.81)

где

21/2

(1 ( / ) ) .

qcc=−

Отметим, что в слоистой полубесконечной среде, в отличие от однород-

ного твердого тела, сдвиговые поверхностные волны существуют, если c

<c'

и в отсутствие нагружения поверхности вязкой жидкостью (γ =0). Такие вол-

ны могут быть получены [19] на основе формул (2.69), (2.70), если в них

удержать слагаемые не только нижайшего, но и следующего порядка малости

по х и у. Параметр затухания этих волн

~ ω

, в отличие от случая, рассмот-

ренного нами (2.80), где |

| ~ ω

3/2

Приведем оценки, используя для определенности параметры для слои-

стой структуры Nb–Cu (табл. 2.1) и ω = 6⋅10

–1

. В случае контакта слоистой

среды с водой при 0 °С, когда ее вязкость γ = 2 см

/с, плотность

∗

= 1 г/см

получаем |

–1

= 10λ, Г

–1

= 10

λ (λ=2⋅10

-3

см).

Таким образом, установлено, что при нагружении поверхности слоистой

среды вязкой жидкостью волна становится поверхностной. С ростом вязко-

сти уменьшается глубина локализации волн и возрастает затухание. Вопрос о

значениях затухания и глубины проникновения поверхностной волны дол-

жен решаться на основе полученных формул (2.78) и (2.80).

§ 2.5. Волны в конечной сверхрешетке

Новые особенности в свойствах электромагнитных волн возникают при

исследовании распространения их в конечных слоистых средах [27]. Рас-

смотрим распространение электромагнитных волн Н-типа вдоль z-

направления в конечных периодических слоистых диэлектриках. Исследуем

модификацию электромагнитных полей при вариации всех основных пара-

метров системы, периода структуры, частоты поля, угла ориентации дирек-

тора

, толщины СР.

Уравнения Максвелла в анизотропной среде запишем в виде, подобном

системе уравнений акустики [28, 29]:

()

ta z

∂

∂∂

∂

∂∂

(2.82)

где

(

)

(

)

/sin cosa

εε ε θ ε θ

⊥⊥



Система уравнений для изотропного слоя получается из (2.82) заменой

(

)

→ . Заметим, что, принимая

(

)()

(

)

tizHtzH

−

= exp,,

() () ( )

tizEtzE

−= exp,, система (2.82) при 0

либо 2

эквивалентна

(2.4) в случае распространения волн в z-направдении (k = 0). Умножая вто-

рое уравнение (2.82) на

a и затем складывая с первым и вычитая из него,

получаем систему уравнений

XcX

YcY

∂∂

(2.83)

где введены обозначения

XH aE=+ ,

YH aE=− .

Величины

X и Y называются инвариантами Римана. Общее решение полу-

ченных уравнений имеет вид

()Xfxct=−,

()Yxct

+ , (2.84)

где

– произвольные гладкие функции,

/cca= – скорость распро-

странения волны. Из (2.84) следует, что величины

X и Y не изменяются соот-

ветственно вдоль линий const

−

tcx , const

tcx , которые называют ха-

рактеристиками системы (2.82).

Для однозначного определения решения необходимо задать краевые ус-

ловия. Используются так называемые «неотражающие граничные условия»

[28]. Граница

(l – размер СР) будет неотражающей, если инвариант Ри-

мана

EaHY −= , который «приносится» справа характеристикой

ct const+= , будет равен нулю:

(

)

xyzl

−

. (2.85)

Слева на границу раздела вакуум – СР падает плоская волна, распростране-

ние которой описывается по закону косинуса, условие на границе

(

)

|2cos.

xyz

+= (2.86)

Начальные условия берутся нулевыми:

(,0) 0

, ( ,0) 0

. (2.87)

При численном решении систем гиперболических уравнений (2.82) ис-

пользуется метод Годунова [28]. В первую очередь найдем решение при тех

же параметрах системы, что и в случае неограниченной СР, рассмотренной

выше. Значения

2,2

= , 2,4

⊥

соответствуют жидкому кристаллу

БМАОБ, d

=0,1 мкм, d

=0,9 мкм, / 2

. Число периодов СР N = 20. Частота

падающего на СР излучения

15 1

1, 9 10 c

−

=⋅ лежит в центре самой высокочас-

тотной запрещенной зоны, представленной на рис. 2.2 при k=0 (случай нор-

мального падения).

При заданных параметрах системы электромагнитная волна практически

полностью отражается. Установившийся режим колебаний электрического

поля в сверхрешетке подобен колебанию стоячей волны. На рис. 2.7 приве-

дены решения для двух моментов времени. Одно решение соответствует мо-

менту времени, когда значения электрического поля вдоль оси

z достигают

наибольшего абсолютного значения. Второе решение приведено с интерва-

лом через четверть периода. Частота установившихся колебаний совпадает с

частотой падающего на СР излучения

15 1

1, 9 10 c

−

=⋅ . При изменении ориен-

тации оптической оси на /2

(0)

и неизменных прочих параметрах сис-

темы СР прозрачна для падающего излучения, т. е. коэффициент пропуска-

ния (отношение квадрата амплитуды электрического поля прошедшей волны

к квадрату амплитуды электрического поля падающей на СР волны) равен

единице.

Рис. 2.7. Электрическое поле в СР в разные моменты времени с интервалом в чет-

верть периода (

). Период структуры – 1 мкм.

На рис. 2.8 приведены два решения, соответствующие установившемуся

режиму колебаний электрического поля с интервалом полпериода. За это

время волна проникает из СР в вакуум на расстояние в полдлины волны /2