Шабанов В.Ф., Ветров С.Я., Шабанов А.В. Оптика реальных фотонных кристаллов. Жидкокристаллические дефекты, неоднородности

Подождите немного. Документ загружается.

показателей преломления дефектного слоя в ИК области

|| ||

(/2) 1,7 и (0) 1,5

nnnn

πε ε

⊥⊥

==== === соответствуют немати-

ческому жидкому кристаллу 5ЦБ при температуре 20 °С [15].

3,5

3,52

3,54

3,56

3,58

3,6

3,62

3,64

3,66

3,68

012345678

Wd, мкм

Рис. 3.2. Зависимость частоты (а) и коэффициента затухания (б) локализованных мод от

толщины дефектного слоя. Штриховые кривые соответствуют n

=1,5 при

=0, сплошные

– n

=1,7 при

=π/2;

в единицах c/W.

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

012345678

Wd, мкм

q, 0,5 мкм

-1

Спектр электромагнитных возбуждений идеальной слоистой среды име-

ет зонный характер [16]. Дефектный слой, внедренный в ФК, может приво-

дить к возникновению дискретных частот, лежащих в запрещенных зонах не-

возмущенной слоистой среды и локализации электромагнитного поля в де-

фектных модах. На рис. 3.2 представлена зависимость частоты и коэффици-

ента затухания дефектных мод, лежащих во второй запрещенной зоне (n = 2),

от толщины дефектного слоя, в случае нормальной и тангенциальной ориен-

тации оптической оси нематика. Частоты

= 3,521 c/W = 5,281⋅10

Гц и

= 3,663 с/W = 5,495⋅10

Гц на этом рисунке определяют границы спек-

трального диапазона запрещенной зоны. Видно, что при изменении ориента-

ции директора нематика не только существенно меняются частота и коэффи-

циент затухания локализованных мод, но могут возникать, при определенных

толщинах дефектного слоя, новые локализованные моды. Отметим, что при

восстановлении трансляционной инвариантности в ФК при W

= 1 мкм и n

1,5 дискретные частоты в запрещенных зонах исчезают. Увеличение толщи-

ны дефектного слоя, при заданной ориентации оптической оси ЖК, приводит

к росту числа дискретных частот в запрещенной зоне ФК. При W

= 100 мкм

число локализованных мод при

= 0 и

= π/2 возрастает до 5. На качествен-

ном уровне этот результат может быть наглядно интерпретирован. Локализо-

ванные моды вблизи дефекта в ФЗЗ-структурах имеют много общего с резо-

натором. Действительно, дефектную моду ФК можно представить в виде

стоячей волны, возникающей в результате отражения от полуограниченных

сверхрешеток, иначе говоря, стенок резонатора. Число же мод в заданном

частотном интервале в резонаторе пропорционально его длине.

На рис. 3.3 иллюстрируется возможность управления спектром дефект-

ных мод и пространственным распределением квадрата модуля электриче-

ского поля в дефектных модах ФК с толщиной дефектного слоя W

=4,5 мкм.

Центр дефектного слоя совпадает с началом координат. Кривые на этом ри-

сунке при отрицательных значениях z получаются в результате операции

зеркального отражения в плоскости z = 0. Кривая (на рис. 3.3(б)) построена

для

=π/2, n

=1,7. В этом случае частота локализованной моды, лежащая

вблизи центра запрещенной зоны,

=5,380⋅10

Гц, соответствующий коэф-

фициент затухания q = 0,125. Отчетливо проявляется локализация квадрата

модуля электрического поля в окрестности вблизи дефектного слоя. Измене-

ние ориентации оптической оси нематика с тангенциальной на нормальную

(

= 0, n

⊥

=1,5) приводит к появлению вместо одной двух дефектных мод, ле-

жащих вблизи границ сплошного спектра (см. рис. 3.3, а и в). Частоты и ко-

эффициенты затухания мод на рис. 3.3, а и в равны соответственно

=5,491⋅10

Гц, q=0,026,

=5,282⋅10

Гц , q = 0,019. Следовательно, изме-

нение ориентации директора индуцирует новые дефектные моды с сущест-

венно более слабой локализацией. Действительно, коэффициенты затухания

мод (см. рис. 3.3, а и в) уменьшились соответственно в 4,8 и 6,6 раз.

0,5

1,5

2,5

0 2 4 6 8 10121416182022

0,5

1,5

2,5

0 2 4 6 8

10 12 14 16

18 20 22

z, мкм

(b)

(а)

()

0,5

1,5

2,5

0 2 4 6 8 10121416182022

()

z, мкм

(c)

Рис. 3.3. Квадрат модуля электрического поля локализованной моды. Толщина дефектного

слоя W

= 4,5 мкм, n

=1,5, (a, в), 1,7 (б),

AA = . Центр дефектного слоя совпадает с на-

чалом координат(z = 0).

Из рис. 3.2, а видно, что существуют толщины дефектного слоя, при ко-

торых изменение ориентации директора с тангенциальной на нормальную не

меняет число дефектных мод, а приводит лишь к сдвигу частот и коэффици-

ентов затухания.

Исследуем теперь особенности спектра пропускания конечного ФК с

помощью численного решения уравнения для коэффициента пропускания

(3.26) при вариации параметров слоистой среды. Везде в дальнейшем полага-

ем, как и в случае неограниченного ФК, W

= W

= 1 мкм ,

= 4,

= 2,25.

На рис. 3.4 приведена зависимость коэффициента пропускания ФК от

частоты, изменяющейся в диапазоне существования второй запрещенной зо-

ны идеального ФК, для разных ориентаций оптической оси нематика. Видно,

что спектр дефектных мод конечного образца согласуется со спектром лока-

лизованных мод неограниченного фотонного кристалла при прочих равных

параметрах слоистых структур (см. рис. 3.2, 3.3). Действительно, при угле

ориентации

/2 в спектре пропускания появляется дефектная мода с час-

тотой (

=5,381⋅10

Гц), близкой к соответствующей частоте дефектного

уровня неограниченного ФК (см. рис. 3.3, б).

Ширина кривой пропускания ∼10 Å. В случае, когда

= 0, в спектре

пропускания появляются две дефектные моды с частотами

=5,271⋅10

Гц и

=5,502⋅10

Гц. Частотная зависимость коэффициента пропускания для об-

разца с меньшим числом слоев приведена на рис. 3.5.

Сравнение рис. 3.5 с рис. 3.4 показывает, что уменьшение почти в два

раза числа слоев в образце ФК с дефектом решетки приводит к заметной мо-

дификации спектра пропускания. Кривые пропускания уширены, изменилось

положение минимума, а также частотное положение максимума в пропуска-

нии излучения. Как отмечалось

выше, для неограниченного ФК существуют

толщины дефектного слоя, при которых изменение ориентации оптической

оси нематика сдвигает частоту дефектной моды, но не приводит к появлению

новых дефектных уровней в запрещенной зоне. Это имеет место, например,

для толщины слоя нематика

=5,2 мкм (см. рис. 3.2).

На рис. 3.6 для сравнения приведена частотная зависимость коэффици-

ента пропускания конечного образца ФК с дефектным слоем такой же тол-

щины. Характерной чертой приведенных на рис. 3.4–3.6 кривых является вы-

сокая проницательная способность Н-волн. Коэффициент пропускания Н-

волн при появлении дефектных уровней в запрещенной зоне увеличивается

практически до единицы.

Рис. 3.4. Частотная зависимость коэффициента пропускания для ФК с числом слоев N=85.

Толщина дефектного слоя, расположенного в центре слоистой среды, W

=4,5 мкм. Штри-

ховая кривая соответствует n

=1,5 при

=0, сплошная – n

=1,7 при

=π/2; ω – в единицах c/W.

Рис. 3.5 Частотная зависимость коэффициента пропускания для ФК с числом слоев N = 45.

Дефект находится в центре ФК. Значения остальных параметров те же, что для рис. 3.4;

ω – в единицах c/W.

3,4 3,5 3,6 3,7

0,2

0,4

0,6

0,8

3,4 3,5 3,6 3,7

0,2

0,4

0,6

0,8

Рис. 3.6. Частотная зависимость коэффициента пропускания для ФК с толщиной дефект-

ного слоя W

= 5,2 мкм. Остальные параметры те же, что для рис. 3.4; ω в единицах c/W.

Рис. 3.7. Фрагмент спектра пропускания образца ФК для

=π/2 в зависимости от положе-

ния дефектного слоя в решетке. Дефект в центре образца с l = 43 (1), l =33 (2), l =23 (3).

Остальные параметры те же, что и на рис. 3.6.

3,62 3,63 3,64 3,65 3,66

0,2

0,4

0,6

0,8

3,4 3,5 3,6 3,7

0,2

0,4

0,6

0,8

Укажем также на возможность управления поляризацией излучения,

прошедшего через образцы ФК с дефектом решетки. Действительно, пере-

ориентация оптической оси НЖК с нормальной на тангенциальную приводит

к тому, что моды Н-типа и Е-типа приобретают разность фаз при прохожде-

нии через слой нематика.

На рис. 3.7 приведен фрагмент спектра пропускания в зависимости от

положения дефектного слоя в образце ФК. Рисунок демонстрирует типичное

поведение коэффициента пропускания Н–волн, обусловленное появлением

дефектного уровня в запрещенной зоне, при перемещении дефектного слоя

из симметричного положения к границе раздела образца с вакуумом. Видно,

что коэффициент пропускания ФК уменьшается, растет ширина кривой про-

пускания, незначительно сдвигается частота дефектной моды. Эти особенно-

сти допускают простую физическую интерпретацию. Как уже отмечалось

выше, локализованные моды вблизи дефекта в ФК имеют много общего с ре-

зонатором. Смещение дефекта к границе раздела образца с вакуумом приво-

дит к уменьшению добротности резонатора. На рис. 3.8 приведен спектр

пропускания ФК с двумя одинаковыми дефектами решетки при различных

расстояниях между ними. Выявлено расщепление частот собственных мод,

обусловленное связью локализованных мод.

По мере увеличения расстояния между дефектными слоями спектр про-

пускания качественно меняется – две кривые пропускания дефектных мод

сливаются в одну, т. е. возникает вырождение частот локализованных элек-

тромагнитных мод. В первую очередь вырождение частот возникает в случае

нормальной ориентации директора НЖК.

Качественно поведение частотного положения максимумов кривых про-

пускания дефектных мод можно понять из следующих рассуждений.

Характерная длина, определяющая область локализации электромагнит-

ной моды вблизи дефекта, l = 1/q. Для W

= 5,2 мкм, согласно рис. 3.2,

l(0)=1/q ≈ 17 мкм в случае

=0 и l(

/2)≈21 мкм при

/2. Когда расстояние

между дефектами сравнивается с характерной длиной r

≈

l, две моды сильно

связаны, происходит расщепление частот (рис. 3.8, а). Расстояние между па-

рой частот дефектных мод возрастает по мере дальнейшего сближения слоев

НЖК. При сближении дефектов до расстояния r = 11,2 мкм высокочастотная

и низкочастотная кривые пропускания дефектных мод соответственно

= 0 (см. рис. 3.8, а) сливаются со сплошным спектром пропускания ФК.

Рис. 3.8. Частотная зависимость коэффициента пропускания ФК с двумя дефектными

слоями. Число слоев в ФК N=89. Остальные параматры те же, что и для рис. 3.6.

а – номера дефектных слоев 33, 57 (расстояние между дефектными слоями 24 мкм);

б – номера дефектных слоев 21, 69 (расстояние между дефектными слоями 48 мкм);

в – номера дефектных слоев 19, 71 (расстояние между дефектными слоями 52 мкм).

0,2

0,4

0,6

0,8

0,2

0,4

0,6

0,8

0,2

0,4

0,6

0,8

3,4 3,45

3,5 3,55 3,6 3,65 3,7

3,4 3,45

3,5 3,55 3,6 3,65 3,7

3,4 3,45

3,5 3,55 3,6 3,65 3,7

Связь между модами слабая, если расстояние между дефектами больше

характерной длины l. В этом случае частота дефектной моды дважды вырож-

дена. Вырождение частоты для

= 0 возникает при меньшем расстоянии ме-

жду дефектами по сравнению со случаем

/2 (рис. 3.8, б, в) в силу того,

что характерная длина локализации l(0) < l(

/2). При разнесении дефектов на

расстояние r= 71,2 мкм, когда они оказываются в положениях, близких к гра-

нице раздела ФК с вакуумом, частоты дефектных мод при

= 0 и

/2 два-

жды вырождены, кривые пропускания локализованных мод сильно уширены,

особенно в случае

= 0, максимальные значения коэффициентов пропуска-

ния много меньше единицы. Следует отметить, что при связи между дефект-

ными модами близкой к критической, когда возникает вырождение частот,

кривая пропускания имеет высокую крутизну склона, а коэффициент пропус-

кания имеет слабую частотную зависимость (см. рис. 3.8, б;

/2). Эту осо-

бенность можно использовать для создания полосовых фильтров.

В работе [17] экспериментально наблюдалось расщепление собственных

мод, обусловленное связью дефектных мод в трехмерном фотонном кристал-

ле. На рис. 3.9 приведена экспериментальная установка для измерения спек-

тра пропускания ФК с дефектами. В качестве дефектов использовались пере-

носные стержни из оксида алюминия прямоугольной формы, расстояние ме-

жду центрами которых 1,28 см. Фотонный кристалл имеет фотонную запре-

щенную зону в частотной области от 10,6 до 12,8 ГГц.

Рис. 3.9. Схема экспериментальной установки для измерения спектра пропускания

ФК с дефектами [17].

Фотонный кристалл

Передатчик Приемник

Выдвижные стержни

Анализирующая ап-

паратура

Рис. 3.10. Спектр пропускания ФК с дефектами структуры: для одного дефекта с ре-

зонансной частотой Ω (а); для двух последовательно расположенных дефектов с двумя

расщепленными модами с резонансными частотами ω

и ω

(б); для трех последовательно

расположенных дефектов с резонансными частотами Г

, Г

(в) [17].

b a … b a d a b … a b ε

Рис. 3.11. Одномерный конечный ФК с дефектом решетки. Угол падения на образец –

остальные обозначения те же, что и для рисунка 3.1

Частота, ГГц

оп

скание

оизв.е

(

)