80
ГЛ А ВА IV. СПОНТАННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ПЛОТНОСТЬ ЭЛЕК-
ТРОМАГНИТНЫХ МОД В ОПТИКЕ ФОТОННЫХ КРИСТАЛЛОВ
§ 4.1. Плотность фотонных состояний
Одной из фундаментальных характеристик фотонных кристаллов явля-
ется плотность фотонных состояний. Например, согласно «золотому прави-
лу» Ферми, скорость спонтанной эмиссии атома, внедренного в ФК пропор-
циональна плотности электромагнитных мод. В связи с этим ее знание по-
лезно для понимания усиления атомной эмиссии, ожидаемой на краях фо-
тонной полосы пропускания в
слоистых полупроводниках [1, 2]; усиления
флуоресценции допированного красителем холестерического жидкого кри-
сталла в области запрещенной зоны [3]; исследования краевой генерации в
лазерах [4], нелинейных оптических эффектов [5].
Тот факт, что плотность электромагнитных мод одномерного ФК об-
ратно пропорциональна групповой скорости, позволяет исследовать замедле-
ние групповой скорости на краях фотонной полосы с применением к краевой
генерации в
лазере [4], изучение аномальной групповой скорости в центре
запрещенной зоны ФК [2], отвечающее наблюдениям времени туннелирова-
ния [6].
Расчет плотности мод в фотонных кристаллах можно провести подобно
вычислению плотности состояний электрона [7, 8] или плотности колебаний
кристаллической решетки [9], используя понятия блоховских волн, обратной
решетки, зон Бриллюэна. Использование блоховских функций удобно тем,
что они изменяются только
по фазе и не изменяются по амплитуде от ячейки
к ячейке в бесконечно периодическом потенциале. Эту фазу в единичной
ячейке называют блоховской фазой. Собственные значения энергии частицы,
находящейся в периодическом поле изменяются с периодичностью обратной
решетки. Отсюда понятно, что поиск собственных значений следует ограни-
чить примитивной ячейкой обратной решетки или, иначе
, первой зоной
Бриллюэна.
Рассмотрим волны Е-типа, распространяющиеся в двумерных фотон-
ных кристаллах. Описание волн H-типа в ФК проводится аналогично. Для