Шапкин А.С., Шапкин В.А. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями

Подождите немного. Документ загружается.

Ìèíîð 2-ãî ïîðÿäêà

.02

12

34

≠==d

Ìèíîð 3-ãî ïîðÿäêà, îêàéìëÿþùèé åãî

.01

110

121

342

≠==d

Îáà ìèíîðà 4-ãî ïîðÿäêà, îêàéìëÿþùèå ìèíîð d

, ðàâíû 0:

5474

1110

2121

0342

4474

3110

4121

1342

−

Òàêèì îáðàçîì, ðàíã ìàòðèöû À r = 3.

Âîçâðàùàåìñÿ ê ñèñòåìå (1.10). Âîïðîñ î ñîâìåñòíîñòè ñèñòå-

ìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïîëíîñòüþ ðåøàåòñÿ òåîðåìîé Êðîíåêå-

ðà Êàïåëëè: ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (1.10) òîãäà è òîëüêî

òîãäà ñîâìåñòíà, êîãäà ðàíã ðàñøèðåííîé ìàòðèöû

À ðàâåí ðàí-

ãó ìàòðèöû À.

Ïðèìåð 1.12. Ðåøèòü ñèñòåìó











=+−−

=−++

=++−

.0563

,1242

,725

4321

xxxx

Ñîñòàâëÿåì ìàòðèöû

531

212

115

631

412

215

,07

05631

12412

71215

5631

2412

1215

−

−==

−

=≠=

−













−−

−













−−

−

ddd

ÀÀ

ò.å. ðàíã ìàòðèöû À ðàâåí 2.

Äëÿ ðàñøèðåííîé ìàòðèöû

,035

031

112

715

≠−=

−

à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàíã ðàñøèðåííîé ìàòðèöû

ðàâåí 3.

Ïî òåîðåìå Êðîíåêåðà  Êàïåëëè ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìà íåñîâ-

ìåñòíà.

Ïðèìåð 1.13. Ðåøèòü ñèñòåìó











=+−−+

=+++−

=+−−+

.0895

,4343

,12

54321

xxxxx

Ñîñòàâëÿåì ìàòðèöû

018951

434113

111211

18951

34113

11211













−−

−

−−













−−

−

−−

= ÀÀ

Ìèíîð

≠==d

, à âñå îñòàëüíûå ìèíîðû 3-ãî ïîðÿä-

êà åãî îêàéìëÿþùèå, êàê äëÿ ìàòðèöû À òàê è äëÿ À, ðàâíû íóëþ.

Òàê êàê ðàíã ìàòðèöû ñèñòåìû À è ðàíã ðàñøèðåííîé ìàòðèöû

ñîâïàäàþò è ðàâíû äâóì, òî ñèñòåìà ñîâìåñòíà. Òàê êàê ìû âçÿëè

ìèíîð 2-ãî ïîðÿäêà, ñîñòîÿùèé èç êîýôôèöèåíòîâ ïðè x

è x

â 1-ì è 3-ì óðàâíåíèÿõ, òî ýòè íåèçâåñòíûå îñòàâëÿåì â ëåâîé ÷à-

ñòè, à íåèçâåñòíûå x

, x

è x

ñ÷èòàåì ñâîáîäíûìè (êàê áû èçâåñ-

òíûìè) è ïåðåíîñèì èõ â ïðàâóþ ÷àñòü:







−+=+

−++=+

.895

,21

54321

xxxxx

Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ íåèçâåñ-

òíûìè x

è x

, íàéäåì îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû â âèäå:

432

5431

xxx

xxxx

++−=

−−+=

Ïîäñòàíîâêà ýòèõ çíà÷åíèé â óðàâíåíèÿ ñèñòåìû âìåñòî x

è x

äàåò òîæäåñòâà.

Äàâàÿ ñâîáîäíûì ïåðåìåííûì x

, x

è x

ïðîèçâîëüíûå ÷èñ-

ëîâûå çíà÷åíèÿ, ìû ïîëó÷èì ìíîæåñòâî ðåøåíèé èñõîäíîé ñèñ-

òåìû. Òàê ðåøåíèÿìè íàøåé ñèñòåìû áóäóò, íàïðèìåð, âåêòîðû

= (2, 5, 3, 0, 0),

= (3, 5, 2, 1, 2),













−= 0 ,0 ,0 ,

è ò.ä.

1.2. Ýëåìåíòû âåêòîðíîé àëãåáðû

Âåêòîðîì íàçûâàåòñÿ íàïðàâëåííûé îòðåçîê

(ðèñ. 1).

Âåêòîð îáîçíà÷àåòñÿ óêàçàíèåì åãî íà÷àëà (ò. À) è åãî êîíöà

(ò. B), çàïèñûâàåòñÿ

èëè îäíîé áóêâîé, íàïðèìåð

Âåêòîðû íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè îíè èìåþò îäèíàêîâûå

äëèíû (ìîäóëè), ëåæàò íà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ èëè íà îäíîé

ïðÿìîé è íàïðàâëåíû â îäíó ñòîðîíó.

Åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû òî÷åê A (x

, y

, z

) è B (x

, y

, z

òî êîîðäèíàòû âåêòîðà

} , ,{

zyx

aaaAB

îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîð-

ìóëàì

= x

 x

; a

= y

 y

; a

= z

 z

. (1.14)

Êîîðäèíàòû âåêòîðà ÿâëÿþòñÿ åãî ïðîåêöèÿìè íà êîîðäèíàòíûå

îñè, ïîýòîìó âåêòîð a = {a

, a

} ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå:

,kajaiaa

zyx

⋅+⋅+⋅=

(1.15)

ãäå

kji , ,

 åäèíè÷íûå âåêòîðû, íàïðàâëåíèå êàæäîãî èç êîòî-

ðûõ ñîâïàäàåò ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñåé ÎÕ, OY, OZ

ñîîòâåòñòâåííî.

Ðèñ. 1

•

Ìîäóëü âåêòîðà îáîçíà÷àåòñÿ

è îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

222

zyx

aaaà

++=

(1.16)

Åñëè âåêòîðû

çàäàíû èõ ðàçëîæåíèÿìè ïî îðòàì (åäè-

íè÷íûì âåêòîðàì) (1.14), òî èõ ñóììà è ðàçíîñòü îïðåäåëÿþòñÿ

ïî ôîðìóëàì

}. ; ;{

)()()(

zzyyxx

bababa

kbajbaibaba

+++=

=⋅±+⋅±+⋅±=±

(1.17)

Íàïîìíèì, ÷òî ñóììà âåêòîðîâ

, íà÷àëà êîòîðûõ ñîâìå-

ùåíû, èçîáðàæàåòñÿ âåêòîðîì ñ òåì æå íà÷àëîì, ñîâïàäàþùèì ñ

äèàãîíàëüþ ïàðàëëåëîãðàììà, ñòîðîíàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ âåê-

òîðû

. Ðàçíîñòü

ba −

ýòèõ âåêòîðîâ èçîáðàæàåòñÿ âåêòî-

ðîì, ñîâïàäàþùèì ñî âòîðîé äèàãîíàëüþ òîãî æå ïàðàëëåëîã-

ðàììà, ïðè÷åì ýòîò âåêòîð íàïðàâëåí èç êîíöà

(âû÷èòàåìîãî)

â êîíåö

(óìåíüøàåìîãî) (ðèñ. 2).

Îïðåäåëåíèå. Âåêòîðû, ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé èëè íà ïà-

ðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ, íàçûâàþòñÿ êîëëèíåàðíûìè.

Óñëîâèåì êîëëèíåàðíîñòè äâóõ âåêòîðîâ

} , ,{ =

zyx

aaaa

} , ,{ =

zyx

bbbb

ÿâëÿåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü èõ êîîðäèíàò

(1.18)

Ðèñ. 2

−

Ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðà

íà ñêàëÿðíûé ìíîæèòåëü m ÿâ-

ëÿåòñÿ âåêòîð, êîîðäèíàòû êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îá-

ðàçîì:

}. ; ;{

zyxzyx

mamamakmajmaimaam

=⋅+⋅+⋅=

Âåêòîðû

ïàðàëëåëüíû (êîëëèíåàðíû) è íàïðàâëå-

íû â îäíó ñòîðîíó, åñëè m > 0, è â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû,

åñëè m < 0.

Âåêòîð

à =

íàçûâàþò åäèíè÷íûì âåêòîðîì âåêòîðà

Åñëè âåêòîð

ñîñòàâëÿåò óãîë

ñ îñüþ ÎÕ, óãîë

ñ îñüþ OY

è óãîë

c îñüþ OZ (ðèñ. 3), òî åãî åäèíè÷íûé âåêòîð

{cos

;

cos

; cos

}, à cos

, cos

 íàçûâàþò íàïðàâëÿþùèìè

êîñèíóñàìè âåêòîðà.

Ïóñòü âåêòîð

ñîñòàâëÿåò óãîë

ñ îñüþ u. Òîãäà ïðîåêöèÿ

âåêòîðà íà ýòó îñü îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé

cos⋅= aanp

Îïðåäåëåíèå. Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì äâóõ âåêòîðîâ íàçû-

âàåòñÿ ïðîèçâåäåíèå èõ ìîäóëåé, óìíîæåííîå íà êîñèíóñ óãëà ìåæ-

äó íèìè

.cos||||

⋅⋅=⋅ baba

Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ

ìîæíî âûðàçèòü òàê-

æå ôîðìóëîé

bnpaba

⋅=⋅ ||

èëè

.|| anpbba

⋅=⋅ (1.19)

Ðèñ. 3

Ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ:

1) abba ⋅=⋅  êîììóòàòèâíûé çàêîí;

cabacba +=+⋅

)

(

 äèñòðèáóòèâíûé çàêîí;

||0cos||||

aaaaaa =⋅⋅=⋅=

, îòñþäà

;||

aa =

4) åñëè

⊥

, òî

0=ba

è îáðàòíî;

5) åñëè âåêòîðû çàäàíû êîîðäèíàòàìè:

= ,},,{

zyx

aaaa

},,{ = ,

zyx

bbbb

òî

zzyyxx

babababa

++=⋅

Ñ ïîìîùüþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìîæíî îïðåäåëèòü óãîë

ìåæäó âåêòîðàìè:

||||

);cos(

222222

zyxzyx

zzyyxx

bbbaaa

bababa

++++

⋅+⋅+⋅

⋅

∧

(1.20)

Óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè äâóõ âåêòîðîâ (ñâîéñòâî 4):

0=⋅ba

, èëè a

+ a

= 0.

Îïðåäåëåíèå. Âåêòîðíûì ïðîèçâåäåíèåì äâóõ âåêòîðîâ

íàçûâàåòñÿ âåêòîð

(ðèñ. 4), îïðåäåëÿåìûé ñëåäóþùèìè óñëîâè-

ÿìè:

1) ìîäóëü âåêòîðà

ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ìîäóëåé âåêòîðîâ

, óìíîæåííîìó íà ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè:

;);(sin||||||

∧

⋅⋅=

babac

Ðèñ. 4

bac ×=

2) âåêòîð

ïåðïåíäèêóëÿðåí âåêòîðàì

;

3) âåêòîðû

ñba

, ,

îáðàçóþò ïðàâóþ òðîéêó, òî åñòü îðèåíòè-

ðîâàíû ïî îòíîøåíèþ äðóã ê äðóãó êàê îðòû

. , , kji

Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå îáîçíà÷àþò:

ba ×

èëè

.][ b, a

Ñâîéñòâà âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ:

.] ,[ ][ abb, a

−=

.][][ ])([ c, ab, acb, a +=+

,][ ])([ ])[( b, ambm, ab, am

⋅=⋅=⋅

ãäå m  ñêàëÿðíûé ìíî-

æèòåëü.

4. Åñëè

ba ||

, òî

0][ =b, a

, â ÷àñòíîñòè

0][ =a, a

Åñëè âåêòîðû

çàäàíû ñâîèìè êîîðäèíàòàìè

}, , ,{ }, , ,{

zyxzyx

bbbbaaaa

òî

.] ,[

zyx

bbb

aaa

Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííî-

ãî íà âåêòîðàõ

, ðàâíà ìîäóëþ èõ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ:

,],[

|,],[|

baSbaS

nap

∆

(1.21)

ãäå S

∆

 ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ

Ïðèìåð 1.14. Íàéòè ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, ïîñòðîåííîãî íà

âåêòîðàõ

}0 ;1 ;2{ è }2 ;1 ;3{ −== ba

(ðèñ. 5).

Ðèñ. 5

Íàéäåì

åä.). (êâ. 5

.534525164|] ,[|

.}5 4; ;2{542

012

213] ,[

=⋅=

==++=

−=−+=

−

∆

kji

Îïðåäåëåíèå. Ñìåøàííûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ

íàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèå âèäà:

.] ,[] ,[ cbacbañba ⋅⋅=⋅=⋅

Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ: ìîäóëü ñìå-

øàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ðàâåí îáúåìó ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåí-

íîãî íà ýòèõ âåêòîðàõ (ðèñ. 6).

Îáúåì ïèðàìèäû, ïîñòðîåííîé íà âåêòîðàõ

cbaV

nup

⋅⋅=

(1.22)

Eñëè âåêòîðû

çàäàíû ñâîèìè êîîðäèíàòàìè

}, , ,{

zyx

aaaa

}, , ,{

zyx

bbbb

}, , ,{

zyx

ññññ

òî

zyx

ccc

bbb

aaa

ñba

=⋅⋅

(1.23)

Ðèñ. 6

Ñâîéñòâà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ:

1. Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå íå ìåíÿåòñÿ, åñëè ïåðåñòàâëÿòü

ïåðåìíîæàåìûå âåêòîðû â êðóãîâîì ïîðÿäêå

bañañbñba ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅

2. Îò ïåðåñòàíîâêè ëþáûõ äâóõ âåêòîðîâ ñìåøàííîå ïðîèçâåäå-

íèå ìåíÿåò çíàê

.cabbcacba ⋅⋅−=⋅⋅−=⋅⋅

3. Åñëè âåêòîðû

êîìïëàíàðíû (òî åñòü âñå òðè âåê-

òîðà ëåæàò â îäíîé è òîé æå ïëîñêîñòè), òî

.0=⋅⋅ ñba

Ïðèìåð 1.15. Íàéòè îáúåì ïèðàìèäû, ïîñòðîåííîé íà âåêòî-

ðàõ

.}1 ;2 ;1{ },2 ;1 ;3{ },3 ;2 ;1{ −=−== cbà

Íàéäåì ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ:

.åä.) (êóá.

;2873)5(2)3(1

121

213

321

=⋅=⋅⋅=

=⋅+⋅−⋅=

−

−=⋅⋅

cbaV

ñba

nup

1.3. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ

1.3.1. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ íà ïëîñêîñòè

Åñëè íà ïëîñêîñòè ïðîèçâîëüíî âçÿòà äåêàðòîâà ñèñòåìà êî-

îðäèíàò, òî âñÿêîå óðàâíåíèå ïåðâîé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî òåêó-

ùèõ êîîðäèíàò õ è y

Ax + By + Ñ = 0, (1.24)

ãäå À è B îäíîâðåìåííî íå ðàâíû íóëþ, îïðåäåëÿåò ïðÿìóþ â ýòîé

ñèñòåìå êîîðäèíàò.

Âåðíî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå: â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäè-

íàò âñÿêàÿ ïðÿìàÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà óðàâíåíèåì ïåðâîé

ñòåïåíè âèäà (1.24).

Óðàâíåíèå (1.24) íàçûâàåòñÿ îáùèì óðàâíåíèåì ïðÿìîé.

×àñòíûå ñëó÷àè óðàâíåíèÿ (1.24) ïðèâåäåíû â ñëåäóþùåé

òàáëèöå.

Çíà÷åíèÿ Óðàâíåíèå Ïîëîæåíèå

êîýôôèöèåíòîâ ïðÿìîé ïðÿìîé

1 Ñ = 0 Ax + By = 0 Ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç

íà÷àëî êîîðäèíàò.

2 À = 0 y = b, ãäå

b −=

Ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà îñè Îõ.

3 B = 0 x = a, ãäå

a −=

Ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà îñè Îy.

4 A = C = 0 y = 0 Ïðÿìàÿ ñîâïàäàåò ñ îñüþ Îõ.

5 B = C = 0 x = 0 Ïðÿìàÿ ñîâïàäàåò ñ îñüþ Îy.

Óãëîì íàêëîíà ïðÿìîé ê îñè Îõ íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøèé

óãîë

, íà êîòîðûé íóæíî ïîâåðíóòü â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâ-

ëåíèè îñü àáñöèññ äî åå ñîâïàäåíèÿ ñ äàííîé ïðÿìîé. Íàïðàâëå-

íèå ëþáîé ïðÿìîé õàðàêòåðèçóåòñÿ åå óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì

k, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ êàê òàíãåíñ óãëà íàêëîíà

ýòîé ïðÿ-

ìîé ê îñè Îõ, ò.å.

k = tg

Èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿåò òîëüêî ëèøü ïðÿìàÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ

îñè Îõ, êîòîðàÿ íå èìååò óãëîâîãî êîýôôèöèåíòà.

Óðàâíåíèå ïðÿìîé, èìåþùåé óãëîâîé êîýôôèöèåíò k è ïåðå-

ñåêàþùåé îñü Îy â òî÷êå, îðäèíàòà êîòîðîé ðàâíà b (íà÷àëüíàÿ

îðäèíàòà), çàïèñûâàåòñÿ â âèäå:

y = kx + b. (1.25)

Óãëîâîé êîýôôèöèåíò k ïðÿìîé, çàäàííîé îáùèì óðàâíåíè-

åì Ax + By + Ñ= 0, íàõîäèòñÿ êàê êîýôôèöèåíò ïðè õ â âûðà-

æåíèè ó ÷åðåç õ:

k −=