Шапкин А.С., Шапкин В.А. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями
Подождите немного. Документ загружается.
51
Òîãäà
.
5
56
5
6
5
524
5
2
==
±
⋅−
=
±
−
=
CC
y
x
CD
7. Íàõîäèì ñèñòåìó ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ, îïðåäåëÿþùèõ âíóò-
ðåííþþ îáëàñòü òðåóãîëüíèêà.
Íàéäåì óðàâíåíèå ïðÿìîé ÂÑ:
,
BC
B
BC
B
xx
xx
y
y
y
y
−
−
=
−
−
èëè
,
64
6
35
3
−
−
=
−
− xy
èëè x + y 9 = 0.
Èòàê: x 2y = 0 óðàâíåíèå ÀÂ;
2x y 3 = 0 óðàâíåíèå ÀÑ;
x + y 9 = 0 óðàâíåíèå BÑ.
Áåðåì ëþáóþ òî÷êó, ëåæàùóþ âíóòðè òðåóãîëüíèêà, íàïðè-
ìåð, (4; 3) è ïîäñòàâëÿåì åå êîîðäèíàòû â ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèé
ïðÿìûõ:
4 2 · 3 = 2 < 0; 2 · 4 3 3 = 2 > 0; 4 + 3 9 = 2 < 0,
ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà íåðàâåíñòâ èìååò âèä:
<−+
>−−
<−
.09
,032
,02
yx
yx
yx
Ïðèìåð 1.17. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðÿìîé l, ïðîõîäÿùåé ÷å-
ðåç òî÷êó À (2; 4) è îòñòîÿùåé îò íà÷àëà êîîðäèíàò íà ðàññòîÿ-
íèè, ðàâíîì 2 åäèíèöàì.
Ðåøåíèå. Ïóñòü óðàâíåíèå èñêîìîé ïðÿìîé èìååò âèä:
y y
A
= k(x x
A
),
èëè
y + 4 = k(x 2),
èëè
kx y
(4 + 2k) = 0. (*)
52
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ óãëîâîãî êîýôôèöèåíòà k ýòîé ïðÿìîé âîñ-
ïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî îíà îòñòîèò îò íà÷àëà êîîðäèíàò íà ðàññòîÿ-
íèè, ðàâíîì 2 åäèíèöàì. Íàéäåì ýòî ðàññòîÿíèå íåïîñðåä-
ñòâåííî. Óðàâíåíèå ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç íà÷àëà êî-
îðäèíàò íà ïðÿìóþ kx y (2 + 4k) = 0, èìååò âèä
,
1
x
k
y −=
èëè x + ky = 0. Ðåøèâ ñîâìåñòíî óðàâíåíèÿ ýòèõ äâóõ ïðÿìûõ
=+
=+−−
,0
,0)42(
kyx
kykx
ïîëó÷èì êîîðäèíàòû òî÷êè Ñ èõ ïåðåñå÷åíèÿ:
.
1
)2(2
;
1
)2(2
22
k
k
y
k
kk
x
CC
+
+
−=
+
+
=
Îòñþäà íàõîäèì ðàññòîÿíèå îò íà÷àëà êîîðäèíàò äî ïðÿìîé l:
.
1
)2(2
1
1
)2(2
)2()2(
1
2
2
2
2
222
2
22
+
+
=+
+
+
=
=+++
+
=+=
k
k
k
k
k
kkk
k
yxOC
CC
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî óñëîâèþ ÎÑ = 2. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó-
÷àåì óðàâíåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ óãëîâîãî êîýôôèöèåíòà k èñêî-
ìîé ïðÿìîé l:
, 12 èëè 2
1
)2(2
2
2
+=+=
+
+
k k
k
k
îòêóäà
4
3
−=k
. Òàêèì îáðàçîì, ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííîå çíà÷åíèå
4
3
−=k
â óðàâíåíèå (*), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ïðÿìîé:
0
4
3
24
4
3
=
⋅−−−− yx
èëè îêîí÷àòåëüíî,
3õ + 4ó + 10 = 0.
53
 çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî îòûñêèâàÿ óðàâíåíèå ïðÿìîé l â
âèäå y y
A
= k(x x
A
), ìû ïðåäïîëàãàëè òåì ñàìûì, ÷òî ýòà ïðÿ-
ìàÿ íå ïàðàëëåëüíà îñè îðäèíàò. Íî î÷åâèäíî, ÷òî ïðÿìàÿ õ = 2
(ïàðàëëåëüíàÿ îñè Îó) òàêæå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ çàäà÷è, òàê
êàê îíà ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó À (2; 4) è îòñòîèò îò íà÷àëà êîîð-
äèíàò íà ðàññòîÿíèè, ðàâíîì 2 åäèíèöàì (ðèñ. 17).
Ïðèìåð 1.18. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ, ïàðàëëåëüíûõ
ïðÿìîé 3õ + 4ó 1 = 0 (l) è îòñòîÿùèõ îò íåå íà ðàññòîÿíèè
ðàâíîì 1.
Ðåøåíèå. Óðàâíåíèå êàæäîé èç ïðÿìûõ áóäåì èñêàòü â âèäå
ó = kx + b. Òàê êàê èñêîìàÿ ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé l, òî åå
óãëîâîé êîýôôèöèåíò
4
3
−=k
è, ñëåäîâàòåëüíî, åå óðàâíåíèå ïðè-
íèìàåò âèä:
bxy +−=
4
3
èëè
3õ + 4ó 4b = 0. (*)
Äëÿ îòûñêàíèÿ ïàðàìåòðà b âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ðàññòî-
ÿíèå îò ëþáîé òî÷êè ïðÿìîé l, íàïðèìåð, îò òî÷êè À (3; 2)
äî ïðÿìîé (*) ñîãëàñíî óñëîâèþ ðàâíî 1. Íî ýòî ðàññòîÿíèå
ìîæåò áûòü âû÷èñëåíî è íåïîñðåäñòâåííî. Çàïèøåì äëÿ ýòîãî
Ðèñ. 17
Ê
02
x
y
•
•
À(2; 4)
54
óðàâíåíèå ïðÿìîé h, ïðîâåäåííîé èç òî÷êè À ïåðïåíäèêóëÿðíî
ïðÿìîé l:
)3(
3
4
2 −=+ xy
èëè 4õ 3ó 18 = 0.
Ðåøèâ, äàëåå, ñîâìåñòíî óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ h è l
=−+
=−−
,0443
,01834
byx
yx
íàéäåì êîîðäèíàòû òî÷êè  èõ ïåðåñå÷åíèÿ:
.
25
5416
,
25
1272 −
=
+
=
b
y
b
x
BB
Òîãäà èñêîìîå ðàññòîÿíèå ðàâíî äëèíå îòðåçêà ÀÂ:
.
25
)416()312(
2
25
5416
3
25
1272
)()(
22
22
22
−+−
=
=
+
−
+
−
+
=
=−+−=
bb
bb
yyxxAB
ABAB
Ïðèðàâíèâàÿ ýòî âûðàæåíèå åäèíèöå, ïîëó÷èì óðàâíåíèå îòíî-
ñèòåëüíî b:
1
25
)416()312(
22
=
−+− bb
èëè
(12b 3)
2
+ (16b 4)
2
= 25
2
è îêîí÷àòåëüíî
2b
2
b 3
= 0.
Ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ òàêîâû:
.1 ,
2
3
21
−== bb
Ïîäñòàâëÿÿ ïî-
55
ëó÷åííûå çíà÷åíèÿ b â óðàâíåíèå (*), çàïèøåì óðàâíåíèÿ èñêî-
ìûõ ïðÿìûõ:
3x + 4y 6 = 0 è 3x + 4y + 4 = 0.
Ïðèìåð 1.19. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ëèíèè, ðàññòîÿíèå êàæ-
äîé òî÷êè êîòîðîé îò òî÷êè F (8; 0) âäâîå áîëüøå, ÷åì îò ïðÿìîé
õ 2 = 0. Ñäåëàòü ÷åðòåæ.
Ïóñòü Ì(õ; ó) òåêóùàÿ òî÷êà ëèíèè. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è
MF = 2MN.
Òîãäà
.)()2(2)0()8(
;)()(2)()(
2222
2222
yyxyx
yyxxyyxx
NMNMFMFM
−+−=−+−
−+−=−+−
Âîçâîäÿ â êâàäðàò è ðàñêðûâàÿ ñêîáêè, ïîëó÷èì
èëè 3x
2
y
2
= 48, èëè
.1
4816
22
=−
yx
Ýòî åñòü êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå ãèïåðáîëû (ðèñ. 18).
Ðèñ. 18
0
x
y
F(8; 0)
•
2
•
•
N(2; y)
M(x; y)
56
Ïðèìåð 1.20. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ëèíèè, êàæäàÿ òî÷êà êîòî-
ðîé ðàâíîóäàëåíà îò òî÷êè F (0; 4) è îò ïðÿìîé y + 2 = 0.
Ñäåëàòü ÷åðòåæ.
Åñëè M(x; y) åñòü òåêóùàÿ òî÷êà ëèíèè, òî ïî óñëîâèþ çàäà÷è
MF = MN èëè
.)()()()(
2222
FMFMNMNM
yyxxyyxx
−+−=−+−
Ïîäñòàâëÿÿ êîîðäèíàòû òî÷åê
=++−
22
)4()0(
yx
22
)2()(
++−= yxx
è âîçâîäÿ â êâàäðàò, ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé
ïîëó÷àåì:
õ
2
= 4y 12 èëè õ
2
= 4(y + 3).
Ïîëó÷èëè óðàâíåíèå ïàðàáîëû (ðèñ. 19).
Ðèñ. 19
0
y
x
2
•
•
•
y + 2 = 0 N( x; 2)
M( x; y)
F(0;4)
57
1.3.2. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ
â ïðîñòðàíñòâå
Ïëîñêîñòü.
1. Âñÿêàÿ ïëîñêîñòü â êîîðäèíàòíîì ïðîñòðàíñòâå OXYZ
èìååò âåêòîðíîå óðàâíåíèå ñëåäóþùåãî âèäà:
.pnr =⋅
Çäåñü
kzjyixr ++= ðàäèóñ-âåêòîð òåêóùåé òî÷êè ïëîñêîñòè
M(x, y, z);
γβα
coscoscos kjin ++=
åäèíè÷íûé âåêòîð, èìåþ-
ùèé íàïðàâëåíèå ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî íà ïëîñêîñòü èç
íà÷àëà êîîðäèíàò,
α
,
β
,
γ
óãëû, îáðàçîâàííûå ýòèì ïåðïåíäè-
êóëÿðîì ñ îñÿìè êîîðäèíàò OX, OY, OZ, è ð äëèíà ýòîãî ïåð-
ïåíäèêóëÿðà.
Ïðè ïåðåõîäå ê êîîðäèíàòàì ýòî óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä
xcos
α
+ ycos
β
+ zcos
γ
p = 0 (íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè).
2. Óðàâíåíèå âñÿêîé ïëîñêîñòè ìîæåò áûòü çàïèñàíî òàêæå
â âèäå Àõ + Bó +Cz + D = 0 (îáùåå óðàâíåíèå). Çäåñü À, B, C
ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê êîîðäèíàòû íåêîòîðîãî âåêòîðà
,kC
j
BAN ++=
ι
ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ê ïëîñêîñòè. Äëÿ ïðèâåäåíèÿ
îáùåãî óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè ê íîðìàëüíîìó âèäó âñå ÷ëåíû óðàâ-
íåíèÿ íàäî óìíîæèòü íà íîðìèðóþùèé ìíîæèòåëü
,
11
222
CBA
N
++
±=±=
µ
ãäå çíàê ïåðåä ðàäèêàëîì ïðîòèâîïîëîæåí çíàêó ñâîáîäíîãî ÷ëå-
íà D â îáùåì óðàâíåíèè ïëîñêîñòè.
3. ×àñòíûå ñëó÷àè ðàñïîëîæåíèÿ ïëîñêîñòè, îïðåäåëÿåìîé
óðàâíåíèåì Àõ + Bó +Cz + D = 0:
À = 0; ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà îñè ÎÕ;
B = 0; ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà îñè ÎY;
C = 0; ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà îñè ÎZ;
D = 0; ïëîñêîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò;
À = B = 0; ïëîñêîñòü ïåðïåíäèêóëÿðíà îñè ÎZ (ïàðàëëåëüíà
ïëîñêîñòè ÕÎY);
À = Ñ = 0; ïëîñêîñòü ïåðïåíäèêóëÿðíà îñè ÎY (ïàðàëëåëüíà
ïëîñêîñòè ÕÎZ);
B = C = 0; ïëîñêîñòü ïåðïåíäèêóëÿðíà îñè ÎX (ïàðàëëåëüíà
ïëîñêîñòè YÎZ);
À = D = 0; ïëîñêîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç îñü ÎÕ;
58
 = D = 0; ïëîñêîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç îñü ÎY;
C = D = 0; ïëîñêîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç îñü ÎZ;
À = B = D = 0; ïëîñêîñòü ñîâïàäàåò ñ ïëîñêîñòüþ ÕÎY (z = 0);
À = C = D = 0; ïëîñêîñòü ñîâïàäàåò ñ ïëîñêîñòüþ ÕÎZ (y = 0);
B = C = D = 0; ïëîñêîñòü ñîâïàäàåò ñ ïëîñêîñòüþ YOZ (x = 0).
Åñëè â îáùåì óðàâíåíèè Àõ + Bó +Cz + D = 0 êîýôôèöèåíò
D ≠ 0, òî, ðàçäåëèâ âñå ÷ëåíû óðàâíåíèÿ íà D, ìîæíî óðàâíåíèå
ïëîñêîñòè ïðèâåñòè ê âèäó
1=++
c
z
b
y
a
x
, , çäåñü
B
D
b
A
D
a −=
−=
.
−=
C
D
c
Ýòî óðàâíåíèå ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì â îò-
ðåçêàõ: â íåì à àáñöèññà òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòè ñ îñüþ
ÎÕ, b è c ñîîòâåòñòâåííî îðäèíàòà è àïïëèêàòà òî÷åê ïåðåñå÷å-
íèÿ ïëîñêîñòè ñ îñÿìè ÎY è ÎZ.
4. Óãîë ϕ ìåæäó ïëîñêîñòÿìè À
1
õ + B
1
ó + C
1
z + D
1
= 0
è À
2
õ + B
2
ó +C
2
z + D
2
= 0 îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
cos
CBACBA
CCBBAA
++++
++
=
ϕ
.
Óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè ïëîñêîñòåé:
.
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
==
Óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïëîñêîñòåé:
À
1
À
2
+ B
1
B
2
+ Ñ
1
Ñ
2
= 0.
5. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Ì
0
(õ
0
; y
0
; z
0
) äî ïëîñêîñòè, îïðåäåëÿå-
ìîé óðàâíåíèåì Àõ + Bó +Cz + D = 0, íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
.
222
000
CBA
DCzByAx
d
++
+++
=
Îíî ðàâíî âçÿòîìó ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ðåçóëüòàòó
ïîäñòàíîâêè êîîðäèíàò òî÷êè â íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêî-
ñòè; çíàê ðåçóëüòàòà ýòîé ïîäñòàíîâêè õàðàêòåðèçóåò âçàèìíîå
59
ðàñïîëîæåíèå òî÷êè Ì
0
è íà÷àëà êîîðäèíàò îòíîñèòåëüíî
äàííîé ïëîñêîñòè: ýòîò çíàê ïîëîæèòåëåí, åñëè òî÷êà Ì
0
è íà÷àëî êîîðäèíàò ðàñïîëîæåíû ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò
ïëîñêîñòè, è îòðèöàòåëåí, åñëè îíè ðàñïîëîæåíû ïî îäíó ñòîðî-
íó îò ïëîñêîñòè.
6. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó Ì
0
(õ
0
; y
0
; z
0
)
è ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê âåêòîðó
,kCjBiAN
++=
èìååò âèä
À(x x
0
) + B(y y
0
) + C(z z
0
) = 0. Ïðè ïðîèçâîëüíûõ À, Â è Ñ
ïîñëåäíåå óðàâíåíèå îïðåäåëÿåò íåêîòîðóþ ïëîñêîñòü, ïðèíàäëå-
æàùóþ ê ñâÿçêå ïëîñêîñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êó Ì
0
. Åãî ÷à-
ñòî ïîýòîìó íàçûâàþò óðàâíåíèåì ñâÿçêè ïëîñêîñòåé.
7. Óðàâíåíèå À
1
õ + B
1
ó +C
1
z + D
1
+
λ
(À
2
õ + B
2
ó +C
2
z + D
2
) = 0
ïðè ïðîèçâîëüíîì
λ
îïðåäåëÿåò íåêîòîðóþ ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿ-
ùóþ ÷åðåç ïðÿìóþ, ïî êîòîðîé ïåðåñåêàþòñÿ ïëîñêîñòè, îïðåäå-
ëÿåìûå óðàâíåíèÿìè
À
1
õ + B
1
ó +C
1
z + D
1
= 0 (I)
è
À
2
õ + B
2
ó +C
2
z + D
2
= 0 (II), ò.å.
íåêîòîðóþ ïëîñêîñòü, ïðèíàäëåæàùóþ ïó÷êó ïëîñêîñòåé, ïðî-
õîäÿùèõ ÷åðåç ýòó ïðÿìóþ (â ñèëó ÷åãî òàêîå óðàâíåíèå ÷àñòî
íàçûâàþò óðàâíåíèåì ïó÷êà ïëîñêîñòåé). Åñëè ïëîñêîñòè, îïðå-
äåëÿåìûå óðàâíåíèÿìè I è II, ïàðàëëåëüíû, òî ïó÷îê ïëîñêîñòåé
ïðåâðàùàåòñÿ â ñîâîêóïíîñòü ïëîñêîñòåé, ïàðàëëåëüíûõ ýòèì ïëîñ-
êîñòÿì.
8. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè çàäàííûå òî÷-
êè
),(
11
rM
),(
22
rM
)(
33
rM
; (
1111
kzjyixr ++=
;
2222
kzjyixr ++=
),
3333
kzjyixr ++=
ïðîùå âñåãî íàéòè èç óñëîâèÿ êîìïëàíàðíîñ-
òè âåêòîðîâ
, , ,
13121
rrrrrr −−−
ãäå
kzjyixr ++=
ðàäèóñ-âåêòîð
òåêóùåé òî÷êè èñêîìîé ïëîñêîñòè Ì:
,0)()()(
13121
=−−− rrrrrr
èëè â êîîðäèíàòíîé ôîðìå:
.0
131313
121212
111
=
−−−
−−−
−−−
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
60
Ïðèìåð 1.21. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿ-
ùåé ÷åðåç ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé x + y + 5z 1 = 0,
2x + 3y z + 2 = 0 è ÷åðåç òî÷êó Ì(3, 2, 1).
Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì ïó÷êà ïëîñêîñòåé
x + y + 5z 1 +
λ
(2x +3y z + 2) = 0.
Çíà÷åíèå
λ
îïðåäåëÿåì èç óñëîâèÿ, ÷òî êîîðäèíàòû òî÷êè Ì
äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ýòîìó óðàâíåíèþ:
3 + 2 + 5 1 +
λ
(6 + 6 1 + 2) = 9 + 13
λ
= 0,
.
13
9
−=
λ
Ïîëó÷àåì èñêîìîå óðàâíåíèå â âèäå:
0)232(
13
9
15 =+−+−−++ zyxzyx
èëè, óìíîæàÿ íà 13 è ïðèâîäÿ ïîäîáíûå ÷ëåíû, â âèäå:
5x + 14y 74z + 31 = 0.
Ïðèìåð 1.22. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé
÷åðåç ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé x + 3y + 5z 4 = 0
è x y 2z + 7 = 0 è ïàðàëëåëüíîé îñè îó.
Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì ïó÷êà x + 3y + 5z 4 +
+
λ
(x y 2z + 7) = 0, ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå ê âèäó
(1 +
λ
)õ + (3
λ
)ó + (5 2
λ
)z + (7
λ
4) = 0.
Òàê êàê èñêîìàÿ ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà îñè îðäèíàò, òî êî-
ýôôèöèåíò ïðè ó äîëæåí ðàâíÿòüñÿ íóëþ, ò.å. 3
λ
= 0,
λ
= 3. Ïîä-
ñòàâèâ çíà÷åíèå
λ
â óðàâíåíèå ïó÷êà, ïîëó÷àåì
4x z + 17 = 0.
Ïðèìåð 1.23. Íàéòè óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç
òî÷êè Ì (2; 1; 4) è N(3; 2; 1) ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ïëîñêîñòè
x + y + z 3 = 0.
Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé
÷åðåç ïåðâóþ èç äàííûõ òî÷åê:
À(õ 2) + B(ó + 1) + C(z 4) = 0.