Шелобаев С.И. Математические методы и модели

Подождите немного. Документ загружается.

Проблематично также допущение о совершенном рынке ка-

питала, на котором финансовые средства имеются в любом объ-

еме и в любой момент могут быть привлечены или вложены по

единой расчетной процентной ставке: в реальности процентные

ставки при инвестировании и заимствовании существенно отли-

чаются друг от друга, составляя основу банковской прибыли, и

важно определить наиболее подходящий размер этой ставки,

влияющей как на сравнимость альтернатив, так и на инвестици-

онные возможности в настоящем и будущем. При ее расчете

можно использовать средневзвешенную величину издержек соб-

ственного и заемного капитала, средний показатель долгосроч-

ной рентабельности, а также дифференцированные ставки по

вложению и привлечению финансовых средств и получаемые

величины реальных доходов и расходов.

Метод аннуитетов

аналогичен методу определения стои-

мости капитала при использовании в качестве целевой функции

аннуитета,

под которым понимаются: а) последовательность

платежей одинаковой величины, которые производятся в каж-

дый период рассматриваемого интервала времени; б) сумма, ко-

торую инвестор может изымать в каждый период при осуществ-

лении какого-либо проекта. Аннуитет инвестиционного объекта

эквивалентен стоимости капитала того же объекта; они преобра-

зуются друг в друга по правилам финансовой математики сле-

дующим образом:

Ann

КСИ-.К^ос

СЛ:

•

(1 + 0^ • //

[(1

+ 0^-1],

где

Ann

—аннуитет,

СК —стоимость

капитала, / —расчетная процентная

ставка, К,^

—

коэффициент восстановления,

КСИ —

конечная стои-

мость имущества.

Для метода аннуитетов действуют следующие правила вы-

годности.- инвестиционный объект

абсолютно (относительно)

выгоден,

если его аннуитет

выше

нуля (выше, чем у любого дру-

гого предлагаемого на выбор объекта).

При вычислении аннуитета платежи, представленные в оп-

ределенной последовательности, обычно относятся к концу пе-

риода, причем в качестве интервала времени всегда выбирается

срок эксплуатации объекта. Рассмотрим это положение на сле-

дующем примере.

Пример

9.7.

Пусть в качестве исходных данных рассматриваются

данные табл. 9.6 примера 9.6. Определить аннуитеты и выгодность ин-

вестиционных объектов

и В.

271

Решение.

Для

альтернативных объектов

А vi В

имеем сле-

дующие значения аннуитетов:

Аппл

26 771,59 •

1,08'

•

0,08

(1,085

_i) = g

705,12 руб.;

Аппв

25 469,32

•

1,08"

•

0,08

(1,08"

-1) = 7

689,72 руб.

Так

как оба

объекта

(А и В)

имеют положительный аннуитет,

то

они

абсолютно

выгодны.

При

оценке относительной выгодности нужно

учитывать, что аннуитеты относятся

разным срокам эксплуатации объ-

ектов, охватывая различное число платежей.

нашем случае аннуитет

объекта

выше аннуитета объекта А,

т.е.

Лппв >

Апп^,

однако объект

имеет более короткий срок эксплуатации (поэтому метод аннуитета здесь

можно применять лишь

порядке исключения); если

же

объект

более

длительным сроком эксплуатации имеет также более высокое значение

аннуитета, то он, несомненно, является

относительно

выгодным.

Если исходить

из

возможности осуществления

будущем инвести-

ций, приносящих проценты по расчетной процентной ставке,

то

вместо

метода аннуитетов следует применять метод определения стоимости

капитала. Если

же

исходить

из

бесконечного числа идентичных повто-

рений реализации объектов инвестирования,

то

следует

эти

методы

применять совместно, вычисляя фактическую стоимость,

или

стоимость

капитала постоянной ренты, определяемую

как

СК

= Ann/i.

Подставив, например, рассчитанные выше значения аннуитетов

эту формулу, получим:

СА"^

= 6

705,12

0,08

83 814 руб.;

СКв

= 7

689,72

0,08

96 121,50 руб.

Таким образом,

данной ситуации инвестиционный объект В явля-

ется

относительно

выгодным.

В целом оценка метода аннуитетов совпадает с оценкой опреде-

ления стоимости капитала, принятыми допущениями и правилами

оценки вьп-одности инвестиционных объектов. Аннуитет — отне-

сенная к определенным периодам величина, представляющая

собой особую форму>^«средней прибыли».

Метод определения внутренней процентной ставки

аналоги-

чен методу определения стоимости капитала (СК), отличие со-

стоит в компенсации различий в затратах и сроках эксплуата-

ции, а также в применении иной целевой функции —

внутрен-

ней

процентной

ставки (BUQ г, которая в качестве расчетной

процентной ставки обеспечивает нулевое значение стоимости

капитала:

272

1=1

данном методе определения ВПС используются следующие

правила выгодности; инвестиционный объект

абсолютно

(отно-

сительно)

выгоден,

если его ВПС

выше расчетной ставки

процен-

та (выше, чем у любого другого предлагаемого на выбор объекта).

Соотношение между результатами определения

СК и ВПС

зави-

сит от платежного ряда и вида инвестиций. Можно выделить, на-

пример,

изолированно

осуществляемые инвестиции, имеющие место

в том случае, если превышение поступлений над выплатами на

протяжении всего планового периода направляется исключительно

на выплату процентов (по BHQ и на амортизацию затраченного

капитала. А это означает, что в плановый период капитал не реин-

вестируется (инвестирование происходит изолированно, а ВПС не

зависит от процентной ставки, по которой могут быть вложены вы-

свобождающиеся средства).

При изолированно осуществляемом инвестировании (инвести-

ции, платежный ряд которых имеет только однократное чередо-

вание знака) стоимость предназначенного для инвестиций иму-

щества, рассчитанная на основе ВПС, в любой момент плано-

вого периода

меньше

или

равна

нулю.

Это соответствует действи-

тельности, если: а) сумма всех нетто-платежей больше или равна

нулю;

б) сумма всех приходящихся на моменты времени t =

=0,1,...,7*

нетто-платежей всякий раз меньше или равна нулю

(7*

— момент времени, на который приходится последнее пре-

вышение выплат над поступлениями), т.е.

т; т

а) 2.Л^г^0; б) ^/V,^О для

=0,1,...,7*.

/=1 '=1

Динамика стоимости капитала в зависимости от расчетной

процентной ставки для двух изолированно осуществляемых ин-

вестиций А и В (рис.

9.2,а)

показывает, что результаты мето-

дов определения СК и ВПС в отношении абсолютной выгодно-

сти совпадают, т.е. стоимость капитала всегда положительна,

если

ВПС

превышает расчетную процентную ставку (/).

При сравнении же относительной выгодности альтернатив

инвестиций А н В могут получиться разные по сравнению с ме-

тодом определения стоимости капитала оценки (на рис. 9.2,я

273

согласно методу определения стоимости капитала следовало бы

выбрать объект А, так как

СК^

CKg,

а по методу определения

ВПС —

объект В, так как

гд >

г^). Какой же объект инвестирова-

ния относительно более выгоден?

В данной ситуации метод определения ВПС можно исполь-

зовать для оценки не относительной выгодности предлагаемых

на выбор объектов инвестирования, а для определения

разницы

инвестициях.

Так, из рис. 9.2,а следует, что ВПС инвестиций для

определения разницы соответствует точке гд, при которой

СКА

СКд,

и rj)> i, если стоимость капитала объекта А с более

высокими затратами на приобретение будет также более высо-

кой. При этом применяется следующее правило оценки выгод-

ности; инвестиционный объект А

является относительно

выгод-

ным

по сравнению с объектом В, если ВПС инвестиции для оп-

ределения разницы

выше

расчетной ставки процента (т.е. гд > /).

Если же ВПС гц < О, то объект В считают

относительно

выгод-

ным

при всех / > 0.

При

комплексных

(неизолированно осуществляемых) инве-

стициях могут быть как несколько положительных процентных

ставок, так их может и не быть вообще. В этом случае исполь-

зуют методы приблизительного вычисления ВПС, например,

метод

интер(экстра)поляции.

При этом сначала определяется

стоимость капитала СК\ для процентной ставки /]. Если эта

стоимость положительна (отрицательна), то выбирается более

высокая (более низкая) ставка ii, для которой также вычисляет-

ся

СК2.

Процентные ставки с соответствующими им показателя-

ми стоимости капитала можно использовать для примерного

расчета ВПС. Далее осуществляется интерполяция (если один

из

CKi

> О, а другой

CKj <

0) или экстраполяция (если оба пока-

зателя СК имеют одинаковые знаки). Формула интер(экстра)-

поляции базируется на теореме об отрезках, по которой рассчи-

тывается ВПС

(рис.

9.2,6). Она имеет следующий вид:

('•• - hWh - 'i) =

CKi

(C/Ti

CKi),

откуда получаем:

г =

г «

/i +

KC^ih

ЖКС^

-KCi).

Точность полученного приблизительного решения зависит от

интервала межцу значениями процентных ставок

и /i, з также

от отклонений значений КС\ и KCi от нуля. Для получения бо-

лее точного решения могут потребоваться несколько ВПС.

274

Стоимость капитала

а)

б)

в)

Процентная

И0„ ставка

Процентная

ставка

Процентная

ставка

Рис.9.2.

Динамика стоимости капитала

зависимости от расчетной

процентной ставки при изолированно осуществляемых инвестициях

(а, в)

интерполяция

для

определения внутренней

г^центной

ставки

(б)

275

Возможности метода определения ВПС связаны как с оцен-

кой выгодности инвестиционных объектов, так и с расчетом

фактического процента по операциям в сфере финансирования.

5ЯС.

платежного ряда /-го объекта финансирования представля-

ет собой ставку фактического начисления процентов на него.

Рассмотрим это на примере.

Пример

9.8. Пусть в качестве исходных данных используются дан-

ные табл. 9.6 примера 9.6. Определить ВПС методом интерполяции и

выгодность инвестиционных объектов А и В.

Решение. Как было рассчитано ранее в примере 9.6, стои-

мость капитала объекта А при процентной ставке /, = 8% составляет

CK^j

= 26 771,59 руб. Пусть в качестве второй процентной ставки возь-

мем /2 =

18%.

Тогда получим, что

CK^Q

- ~1 619,51 руб.:

СКлг

= -

У4О

(е/

- а) q' =

(=0

= -100 000 + 28000-1,18-' + 30000 •

1,18"^

+ 35000 •

1,18-^

+ 32000 х

хЦв--» + 5000 •

1,18-5

-1 619,51 руб.

Так как разница между ВПС /, и /j слишком велика, то для более

точного решения возьмем /i = 17%, при которой имеем, что в этом слу-

чае

СК/^х

= 740,69 руб. Подставив эти значения в формулу интерполя-

ции для г, получим:

г^«0,17 + 740,69 / (740,69 -(-1619,51)) -(0,18 - 0,17) = 0,1731,

или

17,31%.

Таким образом, г^ =

17,31%

> / = 8%, то данная альтернатива абсо-

лютно выгодна.

Для инвестиционного объекта В можно также рассчитать лример-

ное значение

ВПС.

Если при интерполяции ставок взять 25% и 26%, то

получим гв.— 25,04%. Таким образом, инвестиционный объект ^как

абсолютно, так и относительно выгоден.

Пример

9.9. Предприятие берет кредит в размере 400 тыс. руб. сро-

ком на четыре года, платежи по процентам производятся ежегодно по

ставке 9%, а погашение задолженности

—

в конце срока действия кре-

дита. Оплата осуществляется с 6%-ным дисконтом в начале рассматри-

ваемого интервала времени. Необходимо рассчитать размер

ВПС

и оп-

ределить размер фактического процента для объекта финансирования.

Решение. Согласно условиям задачи платежный ряд объекта

финансирования имеет вид:

376 000

-36 000 -36 000 -36

000

-436 000

I 1 1 1 1 1—• ,

0 12 3 4

Рис.

9.3.

Платежный ряд

объекта фииаисцрования

При 10%-ной ставке /) стоимость капитала

CKi

= -11 320,54 руб.

Так как стоимость капитала при 10%-ноЙ ставке отрицательна

276

(рис. 9.2,в), то можно предположить, что размер ВПС будет выше 10%.

При /2 = 11% стоимость капитала составит: CKi = 819,57 руб. Исполь-

зуя для интерполяции следующие формулы, получим:

/•« /, + А:С,(/2- /i )/(АГС, - /ГСг) = 0,10 + (-11 320,54- (0,11-0,10)/

/(-11 320,54 -819,57) = 0,1093, или г=

10,93%.

При оценке метода определения ВПС, как и при методе оп-

ределения капитала, требуются одни и те же данные и допуще-

ния, за исключением условия рефинансирования и различий в

затратах капитала и сроке эксплуатации. Его не следует приме-

нять для оценки абсолютной выгодности, если имеют место

комплексные инвестиции, и относительной выгодности на ос-

нове сравнения ВПС отдельных объектов. Вместо этого следует

проанализировать инвестиции для определения разницы: если

это изолированно осуществляемые инвестиции, то на основе

сравнения ВПС с расчетной можно оценивать сравнение выгод-

ности; если это комплексные инвестиции, то метод определения

внутренней процентной ставки применять не следует для оцен-

ки выгодности. В целом ВПС можно рассматривать как

критиче-

скую

процентную ставку

для определения абсолютной выгодно-

сти инвестиционных альтернатив в сочетании с методом опреде-

ления капитала при условии ненадежных данных.

Метод динамических амортизационных расчетов

в рамках

модели определения стоимости капитала позволяет определить

срок амортизации —

период времени, за который инвестируемый

капитал восстанавливается благодаря превышению поступлений

от эксплуатации объекта над выплатами.

Правило определения выгодности инвестиционных объектов

гласит: инвестиционный объект

абсолютно (относительно)

выго-

ден,

если срок его амортизации

ниже

заранее заданной предель-

ной величины (ниже подобного показателя любого другого

представленного на выбор объекта).

Определение динамического срока амортизации проводится

путем поэтапного вычисления кумулированной (суммарной)

фактической стоимости нетто-платежей для каждого периода

срока эксплуатации, начиная с первого периода, причем пока

значение этого показателя отрицательно, срок амортизации еще

не достигнут; если же он становится равным нулю (больше ну-

ля),

то срок амортизации достигнут (превышен). Путем интер-

поляции можно примерно определить время, требуемое для

амортизации, а также срок амортизации.

Пример 9.10. Исходные данные соответствуют табл. 9.6 примера 9.6.

Провести поэтапный расчет динамического амортизационного срока

эксплуатации для инвестиционных объектов

АУЛ

В.

Решение. Сведем в табл. 9.8 заданные нетто-платежи для ин-

вестиционного объекта А по пяти моментам времени, а также вычис-

ленные по соответствующим формулам их фактическую стоимость и

кумулированную фактическую стоимость нетго-платежей. Из выпол-

ненных расчетов видно, что срок амортизации для объекта А превышен

в течение четырех периодов (кумулятивная фактическая стоимость объ-

екта А впервые становится больше нуля).

Относительное точное значение срока амортизации (С4) объекта А

можно определить с помощью следующей формулы интерполяции:

САА'^Г+СК^/^СК^-СК^^Х),

где f —период, в который последний раз кумулированная фактическая

стоимость меньше нуля.

Таким образом, для инвестиционного объекта А динамический срок

эксплуатации составляет:

САл

«3 + (-20 569,77) / (-20 569,77 - 2 951,19) = 3,87 года.

Проведенный расчет для объекта В показал, что его динамический

срок амортизации составляет около 2,78 года. Отсюда следует, что объ-

ект В относительно выгоден по сравнению с объектом Ах Если заданная

предельная величина составляет, к примеру, четыре года, то оба объек-

та можно характеризовать как абсолютно выгодные.

Таблица 9.8. Расчет

динамического срока амортизации

инвестиционного объекта

Момент

времени

Нетто-

платежи

N, , руб.

-100000

28000

30000

35000

32000

Фактическая стои-

мость

объектов

(ФС) N,

д-'руб.

-100000

25925,93

25720,17

27784,13

23520,96

Кумулятивная ФС

'^Ni-q-'.руб.

/=1

-100000

-74074,07

-48353,90

-20569,77

2951,19

В целом динамические амортизационные расчеты следует

проводить лишь в качестве дополнительного метода включения

фактора неопределенности, касающегося определения срока

эксплуатации.

278

9.4. Более сложные динамические методы принятия

решений о выгодности инвестиций

при одной целевой функции

Метод определения конечной стоимости имущества. Конечная

стоимость имущества (КСИ) — это прирост имущества в денеж-

ной форме, вызванный реализацией инвестиционного объекта в

завершающий момент планового периода, при этом предполага-

ется наличие двух процентных ставок

—

привлечения

s и

вложе-

ния h в неограниченном размере финансовых средств. Правила

выгодности сравниваемых при этом объектов гласят: инвестици-

онный объект

абсолютно (относительно)

выгоден,

есди его КСИ

выше нуля (выше подобного показателя для любого другого

представленного на выбор объекта).

Так как при использовании этого метода предполагается су-

ществование двух процентных ставок, то можно определить, ка-

кая часть положительных нетто-платежей используется для по-

гашения задолженности по обязательствам и какая часть имею-

щихся денежных активов идет на финансирование отрицатель-

ных нетто-платежей. В общем случае для каждого момента вре-

мени необходимо регламентировать величину соответствующих

долей при двух возможных ситуациях, связанных как с запре-

том, так и с разрешением сальдирования.

При допущении запрета

сальдирования

считается, что не

происходит ни погашения задолженности из положительных

нетто-платежей, ни финансирования из имеющихся денежных

активов отрицательных нетто-платежей до конца планового пе-

риода. При этом рекомендуется открывать два счета

—

для по-

ложительных Nt нетто-платежей

{счет имущества

КСИ^) и от-

рицательных NJ нетто-платежей (счет

обязательств

КСИ~),

тогда на счете имущества до конца планового периода по поло-

жительным нетто-платежам начисляются проценты по ставке А

вложения финансовых средств, а на счете обязательств по отри-

цательным нетто-платежам

—

проценты по ставке s привлечения

финансовых средств. Расчет показателей счетов имущества и

обязательств в конце планового периода ведут по следующим

формулам:

279

кет

TNt{i

hf'';

ксит = i yvr (i + s{

где КСИт (КСИт) — сумма положительных N* (отрицательных N,)

нетто-платежей, ревальвированных на конец планового периода по

ставке

{$).

Окончательное салвдо имущества и обязательств производится

лишь в конце планового периода, при этом

КСИт= КСИт "*" КСИт •

При разрешении немедленного сальдирования положительные

нетто-платежи полностью идут на погашение существующей за-

долженности, а имеющееся имущество можно полностью ис-

пользовать для финансирования отрицательных нетто-платежей

При этом достаточно иметь только счет имущества с учетом на

нем как положительных, так и отрицательных нетто-платежей,

тогда КСИт может иметь любые (положительные и отрицатель-

ные) значения. Начисление процентов в периоде t в конце этого

периода по ставке привлечения s финансовых средств, если зна-

чение КСИт — отрицательно, и по ставке вложения Л, если зна-

чение КСИг положительно.

Итак, конечная стоимость имущества к моменту времени t

определяется по формулам:

КСИ,= Nt+

КСИ,-1

• (1 + Л), если KCH^i > 0;

КСИ,

Nt+ KCH^i • (1+5), если КСИ^у

К концу планового периода конечную стоимость имущества

определяют так:

КСИ,

N,+

КСИ,-1

• (1 +

К),

если КСИ^у > 0;

КСИ, = N,+

КСИ,-1

• (1 +

S),

если АГСЯ^, <0.

Пример

9.11.

Пусть исходные данные по нетто-платежалцаналогич-

ны примеру 9.10, ставка привлечения финансовых средств s = 10%, а

ставка вложения

—А

= 6%. Определить конечную стоимость имущества

как с запретом, так и с разрешением немедленного сальдирования.

Решение. Так как расчет по методу КСИ можно вести как с

запретом, так и с разрешением сальдирования, то покажем их приме-

нение последовательно друг за другом.

280