Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли

Подождите немного. Документ загружается.

ности

точке с абсциссой ~\-х и разность аномалий А§ — А^ (—х).

В этом случае может быть определена величина Пг—

п0

формуле

___ А§ (+х)—А$ (~х)

Ь2

2л/Дб

после чего найдется и глубина

Подобного типа вычисления можно выполнить и для других геологических

структур.

2. Метод подбора, как метод решения обратной задачи гравиметри-

ческой разведки, состоит в том, чтобы подобрать такую форму и глубину зале-

гания аномального тела, которые давали бы гравиметрический эффект, наилуч-

шим образом совпадающий с данными, полученными из наблюдений. При этом

не нужно добиваться точного совпадения вычисленных кривых Т

хг

и т. д.

с наблюденными, поскольку наблюденная кривая получается всегда с ошиб-

ками, обусловленными ошибками наблюдений. Так, например, если т —

средняя квадратическая ошибка определения аномалии силы тяжести А§, то

фактически мы имеем не кривую А^ = (х), а целую полосу шириной, по

крайней мере, 2т, и любая кривая, проходящая внутри этой полосы, может

считаться удовлетворяющей данным наблюдений.

Обычно аномальное тело принимается за двухмерное с поперечным сече-

нием произвольной формы.

Для того чтобы приступить к подбору, необходимо задаться формой сече-

ния, а также глубиной залегания аномального тела. При этом используют

данные об аномальном теле, полученные по имеющимся геологическим мате-

риалам на исследуемый район, и результаты предварительной интерпретации,

выполненной методом «характерных точек». Если представляется возможность,

то используют данные и других методов геофизической разведки. Построив

гипотетический разрез аномального тела, решают прямую задачу гравиметри-

ческой разведки, т. е. определяют уравнения кривых Д^ = (х), Т

хг

= /

(х)

и т. д. Затем строят соответствующие кривые и сравнивают их с наблюденными.

В случае недопустимых отклонений уточняют форму поперечного сечения и рас-

положение аномального тела и производят новые определения кривых. Подоб-

ная операция повторяется до тех пор, пока не добьются удовлетворительного

согласия вычисленных и наблюденных величин.

Получим прежде всего формулы для вычисления аномалий силы тяжести

и вторых производных возмущающего потенциала двухмерного тела с произ-

вольной формой поперечного сечения. На основании (XIV.27) и (XIV.28) можем

написать для горизонтальной вещественной прямой, лежащей в плоскости

параллельной уг и проходящей на глубине Н, формулы для вычисления грави-

метрического эффекта в точке, лежащей на оси х

^ = (ДУ+Р, > (Х1У.45)

Т„ = - (Х1У.46)

Заменим линейную плотность Я через объемную Дб по формуле

Тогда для двухмерного тела с произвольной формой поперечного сечения

формулы для А§ и Т

Х2

в точке (х, О, О) получим путем интегрирования по

410.

переменным | и ^ выражений (Х1У.45) и (XIV.46), в которых осуществлена

указанная замена плотностей

(Х1У.47)

(Х1У.48)

Вычисление этих интегралов производится методами численного инте-

грирования. Наиболее быстрый и простой метод состоит в использовании пале-

ток. В зависимости от формы аномального тела применяют различные типы

палеток, из которых мы рассмотрим лишь два.

Р(х,0,0)

Рис. 89

Рис. 90

Палетка, предложенная К. Юнгом, основана на переходе к полярной си-

стеме координат: г н ф. В соответствии с рис. 89 будем иметь:

= г

йгйф

— ^

т соз ф

^ =

Г 81П ф

(х-Ъ)* + ? =

г*

Тогда подынтегральное выражение в (XIV.47) будет

(Х1У.49)

й\ дХ,

= 81 п

ф йф

йг

= 2/

Аб ^ 81П ф Йф

йг.

(Х1У.50)

Для выполнения интегрирования все нижнее полупространство системой

лучей и концентрических окружностей разбивают на ячейки (рис. 90). Тогда

гравиметрический эффект, вызываемый данным аномальным телом, можно

будет представить в виде суммы влияний отдельных ячеек, из которых состоит

контур тела

= 2

ёп>

где

Ч>А

1+1

А^„ = 2/Аб ^ |

В1П ф Йф ЙГ

= 2/ Аб

(С08 —- С08 ф

А+1

) (Г,

—

Г/),

411.

составляющая аномалии, вызванная притяжением ячейки, имеющей избыточ-

ную плотность Аб, и заключенная между лучами г,- и г

(Ч1

, направленными

под углами ер/, и ф

/т

из точки в начале полярной системы координат. Если

провести окружности с радиусами г

, 7-3, .. . так, чтобы

— г

= г

— г

= ...=Аг,

а затем провести лучи так, чтобы их углы ф

, ... с осью х были связаны

соотношениями

СОЗ ф

—

СОЗ ф!

СОЗ фз

—

СОЗ ф

= . .

= ,

то тогда будет выполняться условие

(созф

— созф*

) (г

1+1

— = сопзЪ = а,

т. е. каждая ячейка, на которые разбит контур аномального тела, вызывает

одинаковый эффект А§

в начале координат

Д^

= 2/Дба.

Если N — число ячеек, из которых состоит контур данного аномального

тела, то, очевидно,

Таким образом, если построить такую палетку и наложить ее на контур

поперечного сечения тела, то для вычисления аномалии силы тяжести Ад

достаточно определить число ячеек палетки, покрываемых сечением тела,

и умножить это число на некоторый постоянный коэффициент, равный верти-

кальной составляющей притяжения одной ячейки. Для большего удобства

пользования такой палеткой величины Дг и т желательно подобрать такими,

чтобы произведение 2/а равнялось какому-нибудь фиксировапному числу,

например 0,1 мгл.

Рассмотрим теперь вопрос о вычислении производной Т

хг

(XIV.48).

Введя опять систему полярных координат и используя соотношения

(XIV.49), приведем формулу (XIV.48) к виду

Интегрируя в пределах: по ф от ф

до ф

А+1

и по г от г

до получим

влияние на Т

хг

соответствующей ячейки (с номером п)

(АТ

хг

)

= +/

Дб

(соз 2С

Гй+1

соз

2<Г

)

1п

Очевидно, что полная величина Т

хг

найдется как

где суммирование распространено на все ячейки, из которых состоит контур

тела.

Палетку для вычисления Т

хг

строят таким образом, чтобы соблюдалис:,

условия

соз 2ф

А+1

— соз 2ф

= ~,

412.

с тем чтобы влияние каждой ячейки было одинаково

(&Т

хг

)

= /

Дб

~ = сопз1.

Тогда, если число ячеек, из которых состоит контур тела, равно N, то

хг

= (АТ

хг

)

К.

Величины

и пг для удобства вычислений необходимо выбирать так, чтобы

произведение /

(Ь/пг)

равнялось какому-нибудь простому числу, например

1 этвешу.

Палетка Г. А. Гамбурдева состоит из системы параллельных горизонталь-

ных линий, равноотстоящих друг от друга на величину АН и радиально расхо-

дящихся из начальной точки лучей, 'прове-

денных через равные углы Аср (рис. 91). р

Соответственно преобразуем формулу

(XIV. 50).

Так как

зт =

то

А|*

= 2/ Аб = Аф,

где суммирование распространяется на

все ячейки контура.

Поскольку А^Аф = сопвЪ для всех

ячеек, то действие каждой ячейки

А^„ = 2/А6АП Аф Рис. 91

будет величиной постоянной. Аномалия силы тяжести будет находиться по

формуле

где N — число ячеек, образующих контур аномального тела.

Подобные палетки могут быть построены и для вторых производных потен-

циала.

§ 91. РАЗДЕЛЕНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ

Разделение гравитационных полей, т. е. выделение из общего гравитацион-

ного поля той его части, которая обусловлена искомым аномальным телом,

может быть осуществлено различными методами.

Метод аналитического продолжения поля ано-

малий, наблюденного на поверхности Земли, на плоскость, проходящую на

некоторой высоте над земной поверхностью, на которой лучше видны общие

закономерности поля и исчезают местные аномалии.

Пусть известны значения А^ аномалий силы тяжести на поверхности

Земли, принимаемой за плоскость. Тогда значения аномалии в точке Р, нахо-

дящейся на высоте г над земной поверхностью, моядао вычислить при помощи

интеграла Пуассона (11.46)

2Я оо

о о

Вычтя из обеих частей уравнения значение аномалии в точке Р

(Р

проекция точки Р на плоскость г = 0), и принимая во внимание, что

ал оо

_!_

Г Г -Ё!

2я 3 } г»

в о

получим

2л; оо

$ | (Х1У.51)

о о

где йа = р йр йа, р и а — полярные координаты текущей точки на плоскости

2 = 0; г — расстояние от Р до текущей точки М (р, а); т-

= г

+ р

Вычисление интеграла (ХГУ.51) производится методом численного инте-

грирования. Разность А & (Р)—Ад(Р

) будет содержать в основном влияние

местных аномальных тел и будет свободна от гравитационного эффекта глубин-

ных масс. Напротив, аномалия Ад (Р) дает влияние преимущественно глубин-

ных масс. Если вычислить по формуле (Х1У.51) значения аномалий на плоско-

сти, проходящей на высоте 2 от поверхности Земли, то можно построить карту

этих аномалий. Она будет сглаженной по сравнению с картой аномалий,

наблюденных на поверхности Земли, так как при описанном способе редуци-

рования аномалий практически исключаются влияния всех местных масс.

Таким образом, редуцирование аномалий на некоторую высоту г является

одним из методов разделения полей.

При интерпретации выгоднее пользоваться производными от

потенциала достаточно высокого порядка, поскольку чем выше порядок

производной, тем сильнее зависимость от расстояния, и потому разделение

полей осуществляется лучше.

К сожалению, многие из этих производных не находятся непосредственно

из измерений и переход к ним от наблюденных величин требует достаточно

сложных вычислений.

Покажем, как можно вычислить очень важную для целей интерпретации

производную д

Т/дг

по наблюденным значениям А§. Для этого воспользуемся

формулой (XIV.

51).

Перенеся 2 в левую часть и полагая г 0, получим

32Т ( Ац(Р)-~А§(Р

) \ дАе

Л оо

^{[МЬШлг. (Х1У.52)

дг2 ^

/г->-о дг

о о

Из сравнения формул (XIV.

52)

и (Х1У.51) можно сделать вывод, что пере-

ход от Ад ко второй производной потенциала д

Т /дг

дает результаты весьма

близкие к тем, которые получаются при редуцировании аномалий на некото-

рую высоту 2, так как

Ад(0)-Ад(г)~г^,

что следует из разложения Ад в ряд по степеням г.

Метод, основанный на некотором весовом осред-

нении аномалий в пределах определенной площади, вычитании осред-

ненного поля из наблюденного и получении, таким образом, остаточных

(локальных) аномалий.

414.

В случаях, когда локальная аномалия, вызванная исследуемым аномаль-

ным телом, проявляется на фоне более плавно меняющейся региональной ано-

малии, созданной глубоко залегающими крупными структурами (как показано

на рис. 92), то разделение аномалий может быть произведено следующим доста-

точно простым способом. Введем обозначения:

Д^ (х) — наблюденная аномалия в точке х,

[Д^ж) — региональная аномалия, А

§(х)— локальная аномалия,^

причем (х) = Д^

(ж)

+ Д

^ (х).

Уравнения соответствующих кривых^будут

А$(х) = }

(х) ДЛЯ наблюденной аномалии;

Д^

(ж)

= /

(х)

для региональной аномалии.

{

лд(х)

Рис. 92

X/ х

X/,

Рис. 93

Положим, что в пределах исследуемого района региональная аномалия

меняется по линейному закону, тогда уравнение (х) — /

(х) будет урав-

нением прямой линии. Построив графики функций Ад (х) и (х)

(см. рис. 92), найдем, что локальная аномалия будет вычисляться как разность

ординат суммарной кривой и указанной прямой линии, т. е.

Можно использовать приближенный численный

м[е тод разделения аномалий, достаточно пригодный в более

сложных случаях.

Прежде всего отметим: если региональная аномалия, изменяется строго

по линейному закону, то средцее арифметическое из значений аномалий,

взятых с отрезка прямой, изображающей эту аномалию, равно значению ано-

малии для середины указанного отрезка, при условии, что точки, для которых

берутся указанные аномалии, располагаются через равные интервалы. Проил-

люстрируем это следующим примером. Для прямой, изображенной на рис. 93,

имеем

5 з

I =1

при условии, что

— #3

—

СС^

СОПЗ|),

Это легко доказать, поскольку по свойству средней линии трапеции

Дд ^ А? Ы +

А^Г (Я

)

2 2

415.

Рассмотрим теперь случай, когда аномалия сопровождается местными

аномалиями. Если вычислять среднее значение аномалии для некоторого отрезка

профиля, то среднее их значение уже не будет равняться значению региональ-

ной аномалии для середины взятого отрезка. Но если длина отрезка значительно

больше, чем ширина участка, на котором проявляется каждая из местных ано-

малий, и число точек профиля, для которых выбираются значения Ад, доста-

точно велико, то можно надеяться, что местные аномалии, вызывающие отклоне-

ние региональной аномалии (на рис. 93 пунктирная линия) от прямой линии,

будут встречаться одинаково часто как со знаком так и со знаком — и что

будет иметь место компенсация местных аномалий. В результате можно полагать,

что среднее значение аномалии будет практически совпадать со значением

региональной аномалии для данной точки. Обозначив

через х

среднюю точку интервала, в соответствии

с обозначениями, принятыми выше, найдем

(XIV.53;

и, следовательно,

д{х

)^Ад{х

)-^^Ад(х

I =1

Все сказанное относительно осреднения аномалий по профилю можно

обобщить и для случая, когда осреднение проводится по некоторой площади.

В этом более общем случае пользуются системой точек, расположенных по

радиальным лучам симметрично по отношению к средней точке участка (рис. 94).

При осреднении аномалии Ад значения последней снимаются с гравиметриче-

ской карты для каждой из точек. Такая диаграмма называется палеткой для

осреднения аномалий. Точность равенства (XIV. 53) определяется площадью

осреднения, которая зависит от глубины аномального тела. Очевидно, чем

глубже оно расположено, тем более размытой будет локальная аномалия и тем

шире должны быть границы осреднения. При осреднении по площади, занима-

емой локальной аномалией, очевидно, что средняя аномалия 2Ад/п будет близка

к наблюденной Ад и локальная аномалия не будет выделена. В теоретических

работах, посвященных проблеме разделения гравитационных полей, выводится

зависимость между оптимальной площадью осреднения и глубиной залегания

различных тел. Для тел, имеющих простую геометрическую форму, эта зави-

симость может быть дана в аналитической форме. Не останавливаясь на мате-

матической стороне вопроса, укажем лишь, как практически может быть уста-

новлена площадь осреднения. Для этой цели с помощью палеток различного

размера, т. е. с различной длиной лучей (длина луча палетки обычно обозна-

чается через I), подсчитывают значения аномалий для ряда точек.

Если при некотором значении I — 1

величина средней аномалии практи-

чески не будет изменяться, то для выявления локальной аномалии следует

остановиться на палетке с длиной луча I = 1

Рассмотрим теперь вопрос о разделении гравитационных полей по градиенту

аномалии силы тяжести, заданному в каждой точке значениями Т

хг

и Т ..

Выведем обозначения:

х2

, Т

у2

— градиенты наблюденной (суммарной) аномалии;

(7\.

)|, (Ту^ — градиенты региональной аномалии;

О О о

о о о

ооооо ооос

О О о

О о о

416.

(Т

г)ь

(Ту?)2

— градиенты местной (локальной) аномалий.

Таким образом, в произвольной точке с номером I исследуемого участка

хг = (

хг) 1+ (Тхг)?. )

(

•

}

В условиях съемки большой плотности вполне законно допустить линей-

ный характер изменения региональной аномалии силы тяжести для всего

снимаемого участка. Это равносильно признанию, что полный горизонтальный

градиент указанной аномалии д

д/дз в пределах всего участка является

постоянным и по величине, и по направлению. Следовательно,

га*=<4

где а и

— постоянные величины.

Обозначим через п общее количество-точек наблюдений внутри исследуе-

мого участка и рассмотрим средние значения градиентов

и, и

I •=! I =1

Если п большое число, то можно предполагать, что градиенты локальной

аномалии будут подчиняться закону случайных ошибок; следовательно, с до-

статочным основанием можно принять

п п

2 ^ =

(XIV.56)

I =1

I=1

Вместе с тем на основании (XIV.55)

2(П

)1 = «;

(Х1У.57)

1=1

Учитывая (XIV.56) и (Х1У.57), на основании формулы (Х1У.54) получим

(Х1У.58)

— У,

т'

- ъ

I =1

т. е. средние значения наблюденных градиентов равны средним значениям

градиентов региональной аномалии.

А потому из выражений (Х1У.54) и (Х1У.58) следует, что

п п

^ хг ^хг' ^ уг ^ уг-

1 = 1 1=1

Описанный прием разделения гравитационного поля носит название метода

осредненных градиентов.

27 Заказ 1379 417

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Руководство и монография общего характера

1. Б ров ар В. В., Магницкий В. А., Шимбирев Б. П. Теория фи-

гуры Земли. М., Изд-во геодезической литературы, 1961. 256 с.

2. Грушинский Н. П. Теория фигуры Земли. М., Гос. изд-во физико-мате-

матической литературы, 1963. 446 с.

3. Жонголович И. Д. Внешнее гравитационное поле Земли и фундаменталь-

ные постоянные, связанные с ним. — «Тр. Института теоретической астрономии», М.—Л.,

Изд-во АН СССР, 1952, вып. 3, с. 3—89.

4. Идельсон Н. И. Теория потенциала с приложениями к теории фигуры Земли

и геофизике. М.—Л., Объединенное научно-техническое издательство, главная редакция

общетехнической литературы, 1936. 424 с.

5. К л е р о А. Теория фигуры Земли, основанная на началах гидростатики. Изд-во

АН СССР, 1947. 358 с.

6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория толя, М., «Наука», 1967. 460 с.

7. М а к а р о в Н. П. Геодезическая гравиметрия. М., «Недра», 1968, 408 с,

8. Мигаль Н. К. Теория совместного определения фигуры и размеров Земли. —

«Научные записки Львовского политехнического института», серия геодезическая. Львов,

1949, с. 3-66.

9. М и х а й л о в А. А. Курс гравиметрии и теории фигуры Земли. М., Редбюро

ГУГК при СНК СССР, 1939. 432 с.

10. М о л о д е н с к и й М. С. Основные вопросы геодезической гравиметрии. —

«Тр. ЦНИИГАиК», 1945, вып. 42, с. 10—61.

И. Молоденский М. С., Еремеев В. Ф., Ю р к и н а М. И. Методы

изучения внешнего гравитационного поля и фигуры Земли. — «Тр. ЦНИИГАиК», 1960,

вып. 131. 250 с.

12. П и ц е т т и П. Основы механической теории фигуры планет. М,—Л., Гос. тех-

нико-теоретическое изд-во, 1963. 170 с. ,

13. Слудский Ф. А. Общая теория фигуры Земли, М., 1888. 74 с.

14. С р е т е н с к и й Л. Н. Теория ньютоновского потенциала. М.—Л., Гос. изд-во

технико-теоретической литературы, 1946. 319 с.

15. С у б б о т и н М. Ф. Курс небесной механики. Том III. М.—Л., Гос. изд-во

технико-теоретической литературы, 1949. 278 с.

Введение

1. Молоденский М. С. Современные задачи изучения фигуры Земли. — «Гео-

дезия и картография», 1958, № 7, с. 3—5

2. Пеллинен Л. П. Современные проблемы теоретической геодезии — «Известия

вузов, «Геодезия и аэрофотосъемка», 1970, вып. 2, с. 47—56.

418.

3. П е л л и н е н Л. П. Геодезия и космос. — «Известия вузов, «Геодезия и аэро-

фотосъемка», 1972, вып. 6, с. 31—38.

4. 6гееп»оо(1 А. Вайаг аШте!гу {гот а врасесгай апД Из ро1епИа1 аррПса-

Попз 1о деойевь — «Нето1е 8епз. 1ПУШШ.», 1969, 1, N 1, р. 59—70.

5. МеНоите IV. С. ТЬе сЫепшпаНоп оГ р1апе1агу таявев {гот гасНо 1гаск]п§

зрасе ргоЬез апй р1апе1агу гайаг. Те! ргориЬНоп ЬаЬога1огу. 8утр. С08РАН. РгаЬа, 1969.

48 р.

Глава III

1. Б узу к В. В., Вовк И. Г. Об оценке ТОЧНОСТИ определения коэффициентов

разложения аномалий силы тяжести в ряд по сферическим функциям. — «Известия вузов,

«Геодезия и аэрофотосъемка», 1970, вып. 6, с. 65—72.

2. П в'длинен Л. П. Методика разложения гравитационного потенциала Земли

по сферическим функциям. — «Труды ЦНИИГАиК», 1966, вып. 171, с. 36—61. .

Главы IV—VI

1. В г и п 8 Н. Б1е И§иг Йег Ег<1е. ВегНп, 1878. 49 8.

2. 8 I о к е 8 О. О. Оп 1Ье уапаИоп о{ §гауИу а(; Ше зиг^асе о! 1Ье ЕагЬЬ. — «МаШет.

ап<1 РЬув. Рарегв», уо1. 2, СатЬйй^е, 1883, р. 131—171.

3. 8

о к е 8 О. О. Оп АитасПств апй сЫгаиг'в Леогет. — «МаШет. аш1 РЬу8-

Рарегв», уо1. 2, СатЬпй^е, 1883, р. 104—130.

4. О с т а ч О. М. О выборе нормального эллипсоида. — «Геодезия, картография

и аэрофотосъемка», 1969, вып. 9, с. 47—49.

Глава VII

1. Березкин В. М. Учет влияния рельефа местности и промежуточного слоя

при детальной гравиразведке. М., «Недра», 1967. 116 с.

2. Венинг-Мейнес Ф. А. Гравиметрические наблюдения на море. М., Ред-

бюро ГУГК, 1940. 323 с.

3. Винценц Вишкосил. Поле аномалий силы тяжести в гравиметрической

разведке. — «Тр. Геофизического института Чехословацкой Академии наук. «Геофизиче-

ский сборник», 1960, № 131. 80 с.

4. Г р у ш и н с к и й Н. П. О связи поверхности Мохоровичича с рельефом и ано-

малиями силы тяжести. — «Сообщения Гос. астр, ин-та им. Штернберга», МГУ, 1961, № 119,

с. 3—25.

5. Грушинский Н. П., Бурова Н. Г., Тарбеева М. И. Построение

схематической карты толщин земной коры по рельефу и аномалиям Буге. — «Вестник Моск.

ун-та. Физ., астрон.», 1964, № 5, с. 46—49.

6. Гутенберг Бен о. Физика земных недр, М., Изд-во иностр. литературы,

1963. 263 с.

7. Д е м е н и ц к а я Р. М. Основные черты строения коры Земли по геофизиче-

ским данным. М., Гостоптехиздат, 1961. 223 с.

8. Джеффрис Г. Земля. М., ИЛ, 1960. 484 с.

9. Евсеев С. В. Вычисление изостатических редукций силы тяжести на Урале

и в Поволжье. — «Тр. ЦНИИГАиК», 1937, вып. 17, с. 33—64.

10. Е в с е е в С. В. Исследование топографо-изостатической редукции уклонений

отвеса и силы тяжести и испытание наличия изостазии на Кавказе. — «Тр. ЦНИИГАиК»,

1939, вып. 29, с. 13—49.

И. Евсеев С. В. О зависимости значений силы тяжести от высоты. Научные

записки Львовского политехи, института, вып. XV, серия геодезическая, Львов, 1949, № 1,

с. 67—75.

12. Е в с е е в С. В. Локальные аномалии силы тяжести и их применение в геоло-

гии. — «Геофизический сборник» Ин-та геологии полезных ископаемых АН УССР, Киев,

1953, № 1, с. 43—78.

13. Е в с е е в С. В. О связи гравитационных аномалий с высотами рельефа. —

«Известия вузов, «Геодезия и аэрофотосъемка», 1970, вып. 6, с. 60—65.

14. Л у к а в ч е н к о П. И. Таблицы и номограммы для вычисления поправок силы

тяжести ва рельеф местности при съемке с гравиметрами. М., Гостоптехиздат, 1951. 39 с.

27* 419."