Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика. Загальний курс: Збірник задач та вправ
Подождите немного. Документ загружается.
4.90. у =
С
і
е
4х
+С
2
.
4.91. у = С
1
е~
х
+С
2
хе~
х
.
„2
оо .. . \ ,2«+2
4.120.
(2я-1) X
і
2 ^ (2« + 2)!
4.121.
у = -2 + 2х-х
2
+ — - — + —
З 4 60
Глава 5
5.1.
1500. 5.2. у = 0.7х + 8,4. 5.3. 5. 5.4. При х > 400 більш економічні переве-
:ення другим видом транспорту. 5.5. у = 0,5х + 150. 5.6. Споживачам, що зна-
ходяться всередині круга (х-83,3)
2
+ у
2
<66,7
2
, доцільніше купувати на В,
2
2 2
поза кругом - на А. 5.7. Всередині круга (х + 62,5) + у < 37,5 будуть купу-
їати на підприємстві А, поза кругом - на В.
301
4.92.
у = С
1(
? * + С
2
е
2
+ е* . 4.93. у =
С
х
е°
х
+ С
2
е + ——
4.94.
у =
е
х
(С
х
созх
+ С
2
зіп х)+ х +1.
5
4.95. у = С,+С
2
е
2
+
-х
3
--х
2
+
— х.4.96. у =
е
2х
(С,
+ С
2
х)
+
~х
2
е
2х
.
12
3 5 25 2
4.97.
у =
1^.4.98.
у
3
=у
2
-х
2
.4.99.
, =
1-х X
4.100.
у = 4е
х
+ 2е
3х
. 4.101. е
х
(е
х
- х
2
- х + 1). 4.108. Збігається. 4.109. Роз-
5.гається. 4.110. Збігається. 4.111. Збігається умовно. 4.112. Збігається абсо-
лютно. 4.113. Збігається абсолютно. 4.114. Розбігається 4.115. (-0.1:0.1).
ОО
/ і \ л
4.116.
(-1,1]. 4.117. [-10,10). 4.118. У(-1)" - —.
п=\
п
4.119.
а) ^
5.8. Всередині круга (х +12,5)
2
+ у
2
< 37,5 будуть купувати на підприємств
А,
поза кругом - на В. 5.9.
4 х
2
5.11.
у = 0,5 + -. 5.12. ~ +
х +
-
50
. 5.10. т=-
80
45л
10
2
(2л/2І)
2
5.13.
(х + 100)
2
+у
2
=200
2
5.14.
2
2
Х^
+ у •
•
1440х +288000 = 0 . 5.19.
'1220
1470
720
730
1036
1122
770
1315
952
496
894
1110
5.20.
Г82
63
36
44
77
160
55
39
120
150^
62
135
. 5.21. а) (102 204 81 144 116); б) (184 161 16С
в) 3607. 5.22. (4610 4700 7100)
Т
. 5.23. (2875 2750 3625
5.24. (500 540 1200 480). 5.25. (120,52 56,36 80,01). 5.27. (15, 20, 1С
5.29. (1, 1, 3). 5.30. 1)
2) (10,5,10). 5.31. 1)
Ах=В,
х =
(х,Х2Хз)',
£ = (40 40 80)
хі=Зх
3
-5,
х
2
=8-3х
3
; 2) (1,2,2
5.32. (4 200 ; 39 000). 5.33. 50, 300, 150, 0. 5.34. 25 %, 20 %, 15 Ч
5.35. ^ = (945, 6; 691, 2)
т
. 5.36. а) 260; 410; б) 200; 300. 5.37. а) тж
б) ні. 5.38. 5 200, 5 300, 200, 300 грош.од. 5.39. 5 306,05; 5 463,65; 306.С~
463,65 грош.од. 5.40. 4 665,6 тис. грош од. 5.41. 119 562 грош сі
5.42. 119 720 грош.од. 5.43. 1 883,04 тис. грош. од. 5.44. З 860.91 тис. грож
од.
5.45. а) 112; 118; 124,130; б) 112,36; 119,10; 126,25; 133,82; в) 112.1
119,62;
126,88; 134,5. 5.46. а) 0,7 млн грош. од.;б) 0,9 млн грош с
5.47. а) * 130,3 тис. грош. од.; б) * 173 тис. грош. од. 5.48. 5 798,89 грош с
5.49. 308 років. 5.50. Ле
-0
'
0
'
9
" .
„з
5.51.
а)Е
х
(у) =
х
3
+1
:
ад=1,5,
£
5
(у)*2,97. б) Е
х
(у)
=
:і
£,(у) = 5, Е
0
(у) = 0, £
2
(у) = 10; ь)Е
х
(у) = \І\пх,
£
10
(у) = (іпЮ)-
1
* 0,4343 ,Е
е
(у) = \, Е
А
(у) = 0,25 ;
302
£,(7)= * £,„00 = 1,25; д) Е
х
{у)=
2
*°
х)
, £,<у) = 0 ;
*-2
]
+ 2х-х
г
г> £,00 =
1-2*
2
,
£,(>>) = -1,£
2
0>) =-7. 5.52. а) £,00 = г!
шг
+ о
в)£»0') =
от
•
5
-
53
- *' = 18(1 + 3х)
_1
1о§е.
5.54. 1) £,
0
(*)«0,91, £
50
(*)«-О,33; 2) £,(*)«0,87, £
2
(*) = 1,25.
155.
х = 1,5 . 5.56. х«146 од. 5.57. х = 3. 5.58. 9 грош. од., 7 грош. од.
159.
£„(?)
=
^~
4/>
) ,
£
1
(
9
)
= _і
5.60. а) 3 грош. од.;
' -2р
2
+Зр + 8 9
її £
у
,(9) = -0,75,
£
я
(5)
= 1; в)
1,25%.
5.61. 1) а) х = 20,
і) £
2
(*)«0,039, £
50
(*)*
1,788;
2) а) х = 50, в) Е
5
(к) = 0,0198 ,
£
25
(А) = 0,4. 5.62. ^ «707 од., /(?)«1782.8 грош. од.
163.
1) в) £
х
(
2
)« 0,042, Е
у
{і)« 0,958; 2) в) £
я
(г)«0,911 ,
уг)* 1,821. з)
в)
£
я(2) = 1
. Е
у
(2) = 1; 4) в) £
я
(г)«
1,024,
£
;
(г)*0,536;5)в) £
х
(г) «0,363, £ (г)« 0,545.5.64. ж, =9994, х
2
=3.
Ш. х,= (^,/ = 1,2 ;£
ЛІ
(/)|
(
,
Л)
= —-
1
\Ь,
1
^ ' а + Ь
{
+Ь
2
+с
{
+с
2
1
а
+ 6| +
/>
2
+
С\
+ с
2
1
(Ь
2
-с
2
)\
147.
х,
х,=2,
*
2
=-, £
х
,(/)|
(1>1)
«-0,229, £
Х2
(/)|
(І
,
1)
«0,508;
х,=3,
х
2
=2, |(і,і) *-0,465, £
Я2
(/)|
(и)
*-0,112;
*і
=
7>.
*2 = 2, £
х
,(/)|
(и)
«0,301,
£
Х2
(/)|
(и)
«-0,328
С
1
+ —==—==г^ ,/ = 1,2; і
303
1)
х,=2, х
2
=2, £ (Л
(
і,п=-°»1,
£х,(/)(і,і)=-0.-
2)
^2=4^'
^
1
(/)|(і,і)*-0.373,
£*
2
(Л|(і,п*-0Л61
5.68. 25; 50. 5.69. у
=-
3,46х + 2,86 5.70. у = 15,93х +110,57 . 5.71. 17; 5/3
5.72. 61;
(~
1+л
^)
. 5.73. |
п
(17/14) + 5 . 5.74. 31п(17/ІЗ)/4 + 4
5.75. 220 дет. 5.76. 69 т. 5.77. 910 деталей, /
сер
=113,75 дет./го-
5.78. 188,5 грош.од. 5.79. х»1,5 . 5.80. 800 грош.од. 5.81. 348,88 грош. о;
. 1
5.82. 4- га. 5.83. а) 10 000 од.; б) 238 млрд од.; в) 16 200 од.; г) 41 300 о;
5.84. а) 17 кВтгод: б) 632 кВтгод; в) 6 кВтгод. 5.85. а) 665 кВтгод
б) 7 кВтгод ; в) 3706 кВтгод. 5.86. 22. 5.87. 5{2а
0
+
5Ь
0
)І1
5.88. у
=
у
0
2 -1
5.89. 2100 грош.од. 5.90. 50000 грош. о;
Н-5
5.91.
«5,5 років. 5.92. Р = Р
0
е
1
. 5.93. «7
років.
5.94. у = і
х
+~ -е
4
*. 5.95. у =
х
к
. 5.96. у = 50 000х-~
. 4 16 16
У
2
5.97. с/(х) = — + 100*+ 25 000.5.98. у = 2(\ +
х-х
1
).
5.99. у = х".
8
5.100. р(0 =—(<Г
4
'-<Г') + 3; д(0 =—(33
Є
-
4
'-4е-') + 3.
29 29
304
ДОДАТКИ
Додаток 1. ОСНОВНІ ФОРМУЛИ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
1.1. АЛГЕБРАЇЧНІ ФУНКЦІЇ
1.1.1.
Властивості степенів
Для будь-яких х,у тадодатніх а, Ь вірні наступні рівності :
1.1.2.
Многочлени
Для будь-яких а,Ь , с вірні наступні рівності:
а
2
-Ь
2
= (а-Ь)(а
+
Ь);
(а
+
Ь)
2
=а
2
+2аЬ
+
Ь
2
;
(а-Ь)
2
= а
2
-2аЬ
+
Ь
г
\
(а
+
Ь)
3
= а
3
+
За
2
Ь
+
ЗаЬ
2
+
Ь
3
;
(а-Ь)
3
=а
3
~За
2
Ь
+
ЗаЬ
2
-Ь
3
\
а
3
+Ь
3
=(а
+
Ь)(а
2
-аЬ
+
Ь
2
);
а
3
-Ь
3
=(а-Ь)(а
2
+ аЬ
+
Ь
2
);
ах
+
Ьх
+
с
=
а(х - Х\)(х - х
2
),
-е
X],
х
2
- корені рівняння ах+Ьх + с = 0.
(аЬ)
х
=а
х
Ь
х
;
а'
а
-х
305
1.1.3.
Властивості арифметичних коренів
/о~
= о ;
^«"'Л*";
2
"
+
7^ = -
2й
% («>0).
7.2.
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ
1.2.1.
Співвідношення між тригонометричними функціями
одного і того ж аргументу
ЗІП Х + СОЗ Х = 1і
ЗІПХ ЯГ/. ,\ _
1§х = , хф—\2п + ]), пєі,
созх 2
созх _
сі§х = , ХФКП, пе2;
зіпх
г§х• сг§х =
1
, х* , пє2 ;
1
+ г§
2
х = —^—, х*— (2и + і), пє2;
соз х 2
2 1
1 + сІ§ х = —г— ,
ХФЯП,
пє2 .
зіп X
306
Для будь-яких натуральних п, к , більших І, та'будь-яких невід'ємних
, Ь вірні наступні рівності :
%Ь=%"Л;
(%У=а (а>0);
«Е==^ї (6*0); %<
П
4Ь, якщо 0<а<6;
\уіа = уіа;
1.2.2.
Формули додавання
, 7 X 1 -
СОЗХ
зіп
— =
2 2 '
2
X 1 +
СОЗХ
СОЗ
— =
2 2 '
X
зіпх
1-СОЗХ
г§—
= = , х*я' + 2я'«, нє2
2 1 + созх зіпх
1.2.5.
Формули перетворення суми в добуток
. . Х + , Х-,
51ПХ
+
51П,
= 2зіп —соз
—
•
2 2 '
зіп(х
+ ,) = зіпх созу
+
совх зіп, ;
зіп (х-у)- зіп х
соз
, -
соз
х зіп ,;
СОЗ(х
+ ,) =
СОЗХ
соз,-зіпх зіп , ;
СОз(х-,)=
СОЗХ С05, + 5ІПХ зіп , ;
і§,[х
+
у)
=
— -, х,у, Х
+
уФ —
+ 7ҐП,
пє2 .
1-і§хІ§,
2
Щ\х-у)
=
— , х,у,х-уф —
+
яп,пє2
1 + г§хі§, 2
1.2.3.
Формули подвійного аргументу
зіп
2х = 2 зіпх созх ;
2
2 2 2
соз2х = соз х-зіп х = 2соз х-1 =
1-2зіп
х;
. п
2
г§х я- лг . , я- „
Іе 2х = ^— , ХФ —і-
—
к, кє2, ХФ —і-яп, пє/
1-1§
2
х
4 2 2
7.2.4. Формули половинного аргументу
307
-
х
+
у . х-у
ЗІП
х -
зіп
у =
2 соз
—
ЗІП
— •
2
2 '
х+у
х-у
соз
х +
созу
=
2соз
соз
— •
2
2 *
-
. х + у . х-у
соз
х-созу
=
-2зіп
—
зіп
— •
'
2 2'
зіп
(х + у) ТГ _
1§х+І£у
= і — , х,уф — + ПП , ПЄІ.
созх
соз
у 2 '
зіп
(х-у)
я- _
і%х-Щу
= і ^-, х,у
Ті
— + л-« , ПЄІ .
созх
соз
у 2 •
1.2.6.
Формули перетворення добутку
в
суму
ЗІПХ
ЗІПу
= 2 (сОЗ
(х-у)-СОЗ
(х +
у));
СОЗХ
СОЗу
= 2(
С
оз(х-у)+СОз(х +
у));
зіпх
созу
= -1(зіп(х-у)+зіп(х +
у)).
1.2.7.
Співвідношення
між
зіпх, созх,
зіпх
= — , х^(2я + 1)я-, ЙЄ2
*-Є"
созх
=
—
;
х*(2и
+
і)я",
яє2
1
+
*Е
2
|
308
1.2.8.
Формули зведення
Назва функції
не
змінюється
Назва функції змінюється на схожу
и
І
-а
я-а
я + а
я
а
2
я
—+а
2
Зя
а
2
Зя
— + а
2
Г зіп -зіпа зіпа -зіпа
соза соза -соза
-соз а
соз
соза
-соза
-соза зіпа
-зіпа -зіпа зіпа
-Ща
я
аФ —
2
-Ща
2п
+
\),
пе
1§а
2
сі§а ~сг£а
аФяп
сі§,а
,
пе2
-сі§а
сг§
|
-сг§а
|
-сІ§а
|
сІ§а
аФяп,
пє.2
аФ^(2п
+
\), пє2
1.2.9.
Значення тригонометричних функцій
Значення Функції
кута
а
зіпа
соз
а
сі§а
0 0
І 0
00
я
~6
І
2
£
2
£
3
л/з~
я
~4
£
2
£
2
1 1
я
7
£
2
1
2
£
3
я
~2
І
0
оо'
0
309
1.3. ВЛАСТИВОСТІ ЛОГАРИФМІВ
І
0
. Основна логарифмічна тотожність :
х =
а
І
°
е
"
х
, х>0 .
2°.
Логарифм основи дорівнює одиниці:
а = \.
3° . Логарифм одиниці дорівнює нулю :
Іо
8в
!
= 0.
4° . Формула для логарифма добутку :
\о%
а
(х,
х
2
) =
І0£
а
х, +
Іов
а
х
2
, X, > 0 і х
2
5° . Формула для логарифма частки :
І0§
я
=
І0£
а
X, - \0%
а
Х
2
, X) > 0 і х
2
х
2
6°.
Формула для логарифма степеня :
1о§
а
х
р
= р \0%
а
X ,
де х > 0, Р - будь-яке дійсне число .
7°.
Формула переходу до нової основи логарифма
де х > 0 , Ь - будь-яке дійсне число, Ь > 0 , ЬФ \ •
Зокрема,
(
1о§
а
& = -—!— або 1о§
а
6
•
Іоеа
сі =
І.
310