Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика. Загальний курс: Збірник задач та вправ

Подождите немного. Документ загружается.

А. Д. Тевяшев , О. Г. Литвин

ВИЩА МАТЕМАТИКА

ЗАГАЛЬНИЙ КУРС

Збірник задач та вправ

Рекомендовано

Міністерством освіти України

як навчальний посібник

для студентів економічних спеціальностей

вищих навчальних закладів

Харків

"Рубікон"

1999

ББК 22.11я7

Т90

УДК 717(07)

Рецензенти:

зав.

кафедрою вищої математики Харківського державного економічного

університету, канд. фіз.-мат. наук, проф. Я. П. Бузько ;

зав.

кафедрою вищої математики Харківської державної академії міського

господарства, д-р фіз.-мат. наук, проф. А. І. Колосов

Тевяшев А. Д., Литвин О. Г.

Т90 Вища математика . Загальний курс : Збірник задач та вправ. 2-е вид.

доп. і доопр. - X .: Рубікон, 1999.

—

320 с.

ІЗВТчІ 5-7763-2649-4.

Навчальний посібник містить задачі до всіх розділів вищої математики

відповідно до програми загального курсу вищої математики для студентів

економічних спеціальностей. Наведено необхідний довідковий матеріал,

розв'язання типових прикладів, набори задач для практичних занять, а також

набори індивідуальних завдань із зразками їх виконання. Основні математичні

поняття та методи застосовуються для розв'язування численних практичних задач

з економіки та бізнесу, чому присвячена окрема глава. Дібрано 50 задач

економічного змісту з розв'язками та 100 задач для самостійного розв'язання. Усі

задачі мають відповіді. Наведено індивідуальне завдання з задачами економічного

змісту і зразком його виконанння.

Для студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів,

викладачів та економістів-практиків.

1602010000-12

ББК 22.11я7

І8В1Ч 5-7763-2649-4 © А.Д. Тевяшев, О.Г. Литвин, 1997

ПЕРЕДМОВА ДО ДРУГОГО ВИДАННЯ

При написанні другого видання авторі* прагнули

сприяти підвищенню рівня фундаментальної математичної

підготовки студентів з підсиленням її прикладного еконо-

мічного спрямування.

Глави 1 - 4 зазнали незначних змін, пов'язаних з

включенням додаткових теоретичних відомостей, однак

структура цих глав збереглася колишньою, кількість задач

для практичних занять та їх нумерація, а також індивіду-

альні завдання залишилися незмінними, що забезпечує

спадкоємність першого і другого видань.

Істотно розширена глава 5 "Деякі застосування ма-

тематики в економіці", де значно збільшено кількість за-

дач економічного змісту з розв'язками і для самостійного

розв'язання (їх кількість відповідно 50 і 100). Усі задачі

мають відповіді. Крім того, розроблено індивідуальне зав-

дання з задачами економічного змісту, в якому міститься

шість задач в 31 варіанті кожна. Наведено зразок виконан-

ня цього завдання.

Для більш зручного користування навчальним по-

сібником наведено три додатки з основними формулами

елементарної математики, диференціального та інтеграль-

ного числення. Також для зручності до змісту внесено не

тільки номери сторінок, а й номери задач

(в дужках), що на них розташовані.

ПЕРЕДМОВА ДО ПЕРШОГО ВИДАННЯ

Перехід до ринкових відносин привів до необхідності підготовки еко-

номістів, котрі б досконало володіли математичним апаратом економічних

досліджень та вміли застосовувати його на практиці. Фундаментальну осно-

ву в математичній підготовці економістів складає курс "Вища математика.

Загальний курс".

Мета навчального посібника - допомогти тим, хто вивчає дисципліну,

осмислити основи математичної теорії й оволодіти навичками її застосуван-

ня до розв'зування різноманітних прикладних задач в економіці, плануванні

та управлінні виробництвом, у фінансовій і комерційній діяльності.

Особливістю цього навчального посібника є його точна відповідність

програмі бакалаврської підготовки з курсу "Вища математика. Загальний курс",

а добір матеріалу здійснено таким чином, щоб у найбільш доступній формі

проілюструвати основні математичні ідеї та методи, котрі найбільш ефектив-

но зарекомендували себе в економічних дослідженнях, і навчити студентів ви-

користовувати їх на практиці - при розв'язанні конкретних економічних задач.

До навчального посібника увійшли як методичні вказівки до практич-

них занять, так і індивідуальні завдання з загального курсу вищої математики.

Навчальний посібник містить п'ять глав.

Глави 1 - 4 присвячені відповідним розділам загального курсу вищої

математики:

Векторна алгебра та аналітична геометрія.

Визначники і матриці. Системи лінійних рівнянь.

Диференціальне числення.

Інтеграли, диференціальні рівняння і ряди.

Ці глави мають наступну структуру: посилання на літературу, що доз-

воляє вивчити основний теоретичний матеріал; стислі теоретичні відомості і

розв'язування типових прикладів; питання для самоперевірки; набори задач

для практичних занять - як аудиторних, так і домашніх; індивідуальне зав-

дання; зразок виконання індивідуального завдання.

Теоретичні відомості, що наводяться, носять лише довідковий харак-

тер;

розв'язки типових прикладів ілюструють найбільш раціональні прийо-

ми і методи розв'язання; в наборі задач для практичних занять є достатня їх

кількість для розуміння і засвоєння курсу. Задачі в наборах нумеруються у

межах глави, перша цифра відповідає номеру глави. В кінці роботи наведено

відповіді до задач за главами. Індивідуальне завдання містиі ь певну кількіс

задач, кожна з яких має 31 варіант. Номер варіанта для самостійного розв'я-

гання відповідає порядковому номеру студента в журналі групи. Наведений

зразок виконання індивідуального завдання допомагає студенту при вико-

нанні завдань та оформленні звіту.

Глава 5 має прикладний характер і присвячена застосуванням загального

к>рс> вншої математики в економіці. Метою її є вироблення навичок математич-

ного дослідження прикладних проблем в економіці, вміння перекласти змістов-

ну постановку економічної задачі на математичну мову; використовуючи мате-

матичні методи отримати її роз'язок і дати йому економічну інтерпретацію.

Глава 5 містить такі розділи:

Економічні задачі, пов'язані з використанням лінійної функціональ-

-оі залежності.

Економічні задачі, пов'язані з використанням рівнянь кривих друго-

го порядку.

Економічні задачі, що зводяться до систем лінійних нерівностей.

Економічні задачі, в яких використовується теорія матриць.

Економічні задачі, що зводяться до систем лінійних рівнянь.

6. Економічні задачі, пов'язані з послідовністю та її границею (елементи

математики фінансів).

Економічні задачі, в яких використовується поняття похідної.

8. Економічні задачі, в яких використовуються функції багатьох змінних

та їх частинні похідні.

9. Економічні задачі, що зводяться до обчислення визначених інтегралів.

10.

Економічні задачі, що зводяться до диференціальних рівнянь.

В означених розділах наведено необхідні теоретичні відомості, по-

становки економічних задач і запис їх в математичній формі, а також роз-

в'язання задач економічного змісту розглянутими у главах 1 - 4 метода-

ми,

що розвиває навички застосування математичних знань в практичних

ситуаціях. Дібрано задачі для самостійного розв'язання. Всі задачі забез-

печені відповідями для самоконтролю одержуваних розв'язків.

Слід відзначити, що у главі 5 наведена достатньо велика КІЛЬКІСТЬ при-

кладних задач, що вирішуються методами, викладеними в загальному курсі

вищої математики.

З іншими численними застосуваннями студенти ознайомляться у спец-

іальних курсах вищої математики, -що базуються на вивченому загальному

курсі і використовують спеціальні методи розв'язання.

Таким чином, даний навчальний посібник може бути використаний як

довідник, розв'язник і в той же час як задачник, що надто зручно для сту-

дентів і надає їм широкі можливості для активної самостійної роботи.

ПРОГРАМА КУРСУ

Векторна алгебра та аналітична геометрія.

Вектори. Лінійні операції над векторами. Розклад вектора за базисом.

Лінійна залежність і лінійна незалежність векторів. Скалярний добуток век-

торів.

Векторний добуток векторів. Мішаний добуток векторів.

Пряма лінія в К

Різні види рівнянь прямої. Відстань від точки до прямої.

Площина і пряма в К

. Різні форми задання. Кути між площинами,

прямими, прямою та площиною. Відстань між точками, прямими та площи-

нами в /? . Умови паралельності та перпендикулярності прямих, площин,

прямої та площини. Основні задачі на пряму та площину.

Криві другого порядку. Поняття про поверхні другого порядку. Систе-

ми лінійних нерівностей.

Визначники і матриці. Системи лінійних рівнянь.

Визначники и-го порядку. Мінори й алгебраїчні доповнення. Власти-

вості визначників. Матриці. Основні означення. Дії над матрицями. Много-

члени від матриць. Транспонування матриць. Обернена матриця. Ранг мат-

риці. Елементарні перетворення матриць.

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Основні означення. Квадратні

системи. Матричний спосіб розв'язання. Правило Крамера. Загальні систе-

ми т рівнянь з п невідомими. Умова сумісності. Однорідні системи рівнянь.

Критерій нетривіальної розв'язності. Фундаментальні системи розв'язків.

Метод Гаусса розв'язання систем лінійних рівнянь.

Власні вектори і власні значення матриць. Квадратичні форми.

Диференціальне числення.

3.1.

Збіжність в І!

Границя послідовності. Геометрична інтерпретація. Властивості гра-

ниць.

Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.

3.2. Границя і неперервність функцій однієї змінної.

Поняття функції. Класифікація функцій. Границя функції в точці. Гео-

метрична інтерпретація. Нескінченно малі і нескінченно великі функції. По-

рівняння нескінченно малих.

Неперервність. Означення. Властивості неперервних функцій. Важливі

границі.

3.3.

Диференціальне числення функції однієї змінної.

Похідна. Означення. Геометричний зміст. Правила обчислення похідних.

Таблиця похідних. Диференційовність функцій. Диференціал функції. Пра-

вила обчислення. Похідні вищих порядків. Теореми про диференційовні

ф\ нкції. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Екстремуми функцій. Дослі-

дження функцій з допомогою похідних.

3.4. Збіжність в К" .

Границя і неперервність в К

. Збіжність послідовності в К" .

Внутрішні і граничні точки. Відкриті і замкнені множини.

Поняття функції багатьох змінних. Границя, неперервність функції ба-

гатьох змінних, властивості.

3.5.

Диференціальне числення функцій багатьох змінних.

Частинні похідні. Повний диференціал. Частинні похідні та диференціа-

ли вищих порядків. Похідна за напрямом. Градієнт. їх властивості. Екстрему-

ми функцій багатьох змінних. Необхідна умова; достатні умови екстремуму.

Метод найменших квадратів. Умовний екстремум. Метод множників

Лагранжа.

Інтеграли, диференціальні рівняння і ряди.

4.1.

Інтеграли.

Невизначений інтеграл, його властивості, таблиця основних формул

інтегрування. Заміна змінної та інтегрування частинами. Інтегрування дея-

ких класів функцій.

Визначений інтеграл. Основні властивості. Формула Ньютона - Лейб-

ніца. Обчислення визначеного інтеграла. Наближене обчислення визначено-

го інтеграла. Невласні інтеграли. Поняття про кратні інтеграли.

4.2.

Диференціальні рівняння.

Поняття про диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння пер-

шого порядку і методи їх розв'язання. Диференціальні рівняння вищих по-

рядків. Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами. Системи

лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Лінійні різни-

цеві рівняння зі сталими коефіцієнтами. Задача Коші.

4.3.

Ряди.

Числові ряди. Основні означення. Збіжність ряду. Властивості збіжних

рядів.

Гармонічний ряд. Ознаки збіжності рядів з додатними членами. Зна-

козмінні ряди. Абсолютна й умовна збіжність.

Степеневі ряди. Теорема Абеля. Область збіжності степеневого ряду.

Ряд Тейлора.

ГЛАВА 1. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА ТА АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

[І,

гл . З, §. З.І -3.44]

1.1. Векторна алгебра

Вектор АВ - це направлений відрізок, довжина якого а називається

модулем вектора; пишуть а ~

= \АВ

Два вектори АВ і ВА називаються протилежними, якщо для них спра-

ведлива рівність А В -=~ВА .

Два колінеарні (паралельні) вектори а і Ь відрізняються скалярним

множником Я

Ь - Л а.

Розкладання вектора за координатними осями Ох ,Оу ,0: записується

у вигляді а-хі

у]+гк , або а~(х, у, і), де х,у,: - проекції вектора

а на осі Ох,Оу,Ог ; / , / ,к - одиничні вектори (орти), шо збігаються за

напрямом з цими осями. Проекції х, у, г називаються координатами вектора.

Довжина вектора а визначається за формулою

= л[х*~+

Якщо а, р ,у - кути між вектором а і осями Ох, Оу, Ог, то со$а ,

соз Р, соз / називаються напрямними косинусами вектора а і обчислю-

ються за формулами соз а =

-; сох р =

•

-; соз у =

а а а

Якщо відомі координати точок А(х

,у\,:\) і В (х

;

2 >-2)

то

АВ = (х

-х

~у

-г

]

Приклад 1. Задано точки Л(2,-1,3) і 6(1, 12). Знайти |лв|

Розв'язання. АВ = (}~2,

-2-3)=(-1,

2, -5);

АВ

7Г+

4 + 25 =

730

Якшо два вектори а

(х

]

) і

(.Ї

,>2>-2

) колінеарні, то їх ко-

адотатн пропорційні, тобто

£і_.

*2 Уг

Координати точки М (х, у, г), що ділить направлений відрізок АВ у

.••ому відношенні Я , визначаються за формулами

_ *і + Л*2 . У\ +Луг . ,

2і + Яг

+ Я '

' "

+ Л

Скалярним добутком двох векторів д і ї називається число, шо

юг.анює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:

[а ,Ь )= а -Ь

Якщо вектори задані своїми координатами, то

а -Ь

=х

+у\У2

+ 2\22-

Проекція вектора а на вектор Ь та кут між ними визначаються за

формулами

—

а Ь а -Ь

пр~а - _• ; со$#> = -ртг

соз(а ,Ь).

Приклад 2. Знайти і^а ч-Ь , а-Зь) , я

кшо

= 1,

= ( а , Ь )

— .

Розв'язання. Використовуючи властивості та означення скалярного до-

бутку, маємо

(2а +Ь, а -ЗЬ) = 2(а, а)-6(а ,Ь) + (Ь ,а)-3(Ь, Ь) =

= 2|в |

-5

сої(а , Ь)-3

Гз

= 2-10со5— -3-4 = -10-10

6 2

-..о

Приклад

3. У

трикутнику

вершинами А(2,-\,3), В(~2,2,5),

С(1,

2, 3)

знайти косинус кута

при

вершині

А .

Розв'язання. АВ

=(-4,3,2),

А~С

=(-1,3,0),

тоді

-4(-1)

+ 3-3 + 20 _ 13

со$<р

= соз (АВ , АС)

••

0,763

)

^{-\)

Л/29-Л/ЇО

Векторним добутком

а х

двох векторів

а і Ь

називається третій

вектор

с , що

задовольняє наступним умовам:

—•

—»

—

5Ігир

с-Ьа, сА-Ь •

Вектори

а , Ь , с

утворюють праву трійку.

Якщо вектори задані своїми координатами

(х

,у

,2\)

(

2>У2> -2)>

векторний добуток знаходимо

за

допомогою визначника

'і

7 к

х.Ь = Х\ у\ 2і

Визначником другого порядку

«11

«12

називається число,

що

до-

= а

~а

ги

рівнює

«і

1^22

_а

і2«2і,

тобто

«11

«12

«21

«22

де

2,«2Ь

деякі числа.

Визначником третього порядку називається число

А,

що обчислюєть-

ся

за

правилом

•

«11 «12 «13

Д=

\ а

«31

«32 «33

аца22«зз +

«12«23«31

«13«21«32 ~«13«22«31 ~«11

32 ~«12«21«33

•