Тимофеев С.В. Сборник задач по разделу. Линейное программирование. Математика-2
Подождите немного. Документ загружается.
x
1
- 2 x
2
0 x
1
, x
2
0.
x
1
, x
2
0.
3. a). f(x) = 2x
1
+ x
2
max, b). f(x) = x
1
+ x
2
max,
2x
1
+ x
2
1, x
1
+ 2x
2
14,
3x
1
- x
2
-1, -5x
1
+ 3x
2
15,
x
1
- 4x
2
2, 4x
1
+ 6x
2
24,
x
1
, x
2
0. x
1
, x
2
0.
4. a). f(x) = x
1
+ 2x
2
max, b). f(x) = 2x
1
+ 4x
2
max,
4x
1
- 2x
2
12, 3x
1
+ 6x
2
12,
-x
1
+ 3x
2
6, 2x
1
- x
2
-2,
2x
1
+ 4x
2
16, -x
1
+ 3x
2
0,
x
1
, x
2
0. x
1
, x
2
0.
5. a). f(x) = x
1
+ 2x
2
max, b). f(x) = 2x
1
+ x
2
max,
3x
1
- 2x
2
6, -x
1
+ x
2
2,
-x
1
+ 2x
2
4, 4x
1
+ 2 x
2
6,
3x
1
+ 2x
2
12, 4x
1
- 3x
2
6 ,
x
1
, x
2
0. x
1
, x
2
0.
6. a). f(x) = 7x
1
+ 5x
2
min, b). f(x) = x
1
+ 2 x
2
max,
x
1
+ x
2
3, -x
1
+ x
2
0,
x
1
+ 5x
2
5, x
1
- x
2
1,
2x
1
+ x
2
4, 2x
1
+ x
2
3 ,
x
1
, x
2
0. x
1
, x
2
0.
7. a). f(x) = -x
1
+ 2x
2
min, b). f(x) = -2x
1
- x
2
min,
-2x
1
+ 3 x
2
0, 2x
1
+ x
2
1,
x
1
- x
2
3, -3x
1
+ x
2
1,
2x
1
- x
2
4, x
1
- 4x
2
2 ,
x
1
, x
2
0. x
1
, x
2
0.
8. a). f(x) = -x
1
- 3x
2
min, b). f(x) = 2x
1
- x
2
max,
2x
1
+ x
2
2 2x
1
+ 3x
2
9,
- x
1
+ x
2
0, x
1
+ 2x
2
4,
x
1
- x
2
1, 2 x
1
- x
2
4 ,
x
1
, x
2
0. x
1
, x
2
0.
11
9. a). f(x) = 10x
1
+ 4x
2
min, b). f(x) = -x
1
+ 2x
2
max,
3x
1
+ 5x
2
15, 2x
1
+ 3x
2
6,
5x
1
+ 2x
2
10, 7x
1
+ 2x
2
14,
x
1
3, x
1
4 ,
x
2
2, x
1
, x
2
0.
x
1
, x
2
0.
10. a). f(x) = x
1
+ 4x
2
max, b). f(x) = -2x
1
- x
2
min,
x
1
2, x
1
+ 2x
2
2,
x
1
+ 2x
2
2, -2x
1
+ x
2
0,
x
1
+ x
2
3, x
1
- 2x
2
0 ,
x
2
2, - x
1
+ x
2
1,
x
1
, x
2
0. x
1
, x
2
0.
В) Построить математическую модель задачи и решить ее, используя
графический метод решения:
1. Нефтяная компания РТ для улучшения эксплуатационных
качеств и снижения точки замерзания дизельного топлива, которое она
производит, добавляет в него определённые химикаты. В каждом
бензобаке объёмом 1000 л должно содержаться не менее 40 мг химической
добавки Х, не менее 14 мг химической добавки Y и не менее 18 мг
химической добавки Z. Необходимые химические добавки в форме
готовых смесей поставляют РТ две химические компании А и В. В
нижеследующей таблице приведено содержание химических добавок в
каждом продукте, поставляемом указанными компаниями.
Продукт
Химические добавки, мг/л
Х
У Z
А 4 2 3
В 5 1 1
Стоимость продукта А 1,50 у.е. за 1л., а продукта В 3,00 у.е. за 1 л.
12
Найти ассортиментный набор продуктов А и В, минимизирующий
общую стоимость добавленных в каждый топливный бак химикатов.
2. Фирма производит два безалкогольных широко популярных
напитка "Колокольчик" и "Буратино". Для производства 1 л.
"Колокольчика" требуется 0,02 ч. работы оборудования, а для "Буратино" –
0,04 ч., а расход специального ингредиента на них составляет 0,01 кг. и
0,04 кг. на 1 л. соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы 16 кг.
специального ингредиента и 24 ч. работы оборудования. Доход от продажи
1 л. "Колокольчика" составляет 4 руб., а "Буратино" – 9 руб.
Определите ежедневный план производства напитков каждого вида,
обеспечивающий максимальный доход от продажи.
3. Из трех продуктов – I, II, III составляется смесь. В состав смеси
должно входить не менее 6 ед. химического вещества А, 8 ед. – вещества В
и не менее 12 ед. вещества С. Структура химических веществ приведена в
следующей таблице:
Продукт
Содержание хим. вещества
в 1 ед. продукции
Стоимость 1 ед.
продукции
А
В С
I 2 1 3 2
II 1 2 4 3
III 3 2 2 2,5
Составить наиболее дешевую смесь.
4. Фирма производит и продает столы и шкафы из древесины
хвойных и лиственных пород. Расход каждого вида в кубометрах на
каждое изделие задан в таблице.
Расход древесины, м
3
. Цена
изделия,
тыс. руб.
хвойные лиственные
Стол 0,15 0,2 0,8
Шкаф 0,3 0,1 1,5
Запасы древесины, м
3
. 75 40
Определите оптимальное количество столов и шкафов, которое
следует поставлять на продажу для получения максимального дохода
фирмы.
13
5. Фирма решила открыть на основе технологии производства
чешского стекла, фарфора и хрусталя линию по изготовлению ваз и
графинов и их декорирование. Затраты сырья на производство этой
продукции представлены в таблице:
Сырье
Расход сырья на производство, г./шт. Поставки
сырья
в неделю, кг.
ваза графин
Кобальт 20 18 3
Сусальное
24-каратное золото
13 10 1,2
Оптовая цена,
руб./шт.
700 560
Определите оптимальный объем выпуска продукции,
обеспечивающий максимальный доход от продаж, если спрос на вазы не
превышает 200 шт. в неделю.
6. Кондитерская фабрика в Покрове освоила выпуск новых видов
шоколада "Лунная ночь" и "Малиновый дождь", спрос на которые
составляет соответственно не более 10 тонн и 7,7 тонны в месяц. По
причине занятости трех цехов выпуском традиционных видов шоколада,
каждый цех может выделить только ограниченный ресурс времени в
месяц. В силу специфики технологического оборудования затраты времени
на производство шоколада разные и представлены в таблице.
Определить оптимальный объем выпуска шоколада,
обеспечивающий максимальную выручку от продажи.
Номер цеха
Время на производство шоколада, ч.
Время, отведенное
цехами под
производство, ч/мес.
"Лунная ночь"
"Малиновый
дождь"
I 1 7 56
II 2 3 35
Оптовая цена,
руб./т.
8000 6000
7. Фирма производит одежду для охотников, туристов и охранных
структур. Дополнительно фирма решила изготавливать шапки и подстежки
из натурального меха. Затраты на производство этих изделий и запасы
сырья представлены в таблице. Спрос на шапки составляет не более 600
шт. в месяц, а подстежек – не более 400 шт. в месяц.
14
Сырье
Расход сырья на производство, дм.
Средний запас
в месяц, дм.
шапки подстежки
Мех 22 140 61500
Ткань 1,5 30 15000
Оптовая цена,
руб./шт.
410 840
Определить объемы производства этих изделий, обеспечивающих
максимальный доход от продажи.
8. Коммерческие расчеты, проведенные студентами в деревне,
привели к более выгодному использованию плодов яблок и груш путем их
засушки и последующей продажи зимой в виде смеси сухофруктов,
варианты которых представлены в таблице.
Подсчитано, что из 1 кг. плодов получается 200 г. сушеных яблок, а
груш – 250 г. Определить оптимальное количество упаковок сухофруктов
по 1 кг. смесей первого и второго вида, обеспечивающие максимальный
доход от продажи.
Плоды
Вес в 1 кг. сухофруктов Сбор
плодов,
кг/день.
смесь 1 смесь 2
Анис (яблоки) 0,25 0,25 14
Штрейфлинг
(яблоки)
0,75 0,25 22,5
Груши 0 0,5 12
Оптовая цена упаковки,
руб./шт.
40 50
9. Фабрика выпускает два вида каш для завтрака Gruncy и
Ghewy. Используемые для производства обоих продуктов ингредиенты в
основном одинаковы и, как правило, не являются дефицитными.
Основным ограничением, накладываемым на объём выпуска, является
наличие фонда рабочего времени в каждом из трёх цехов фабрики.
Управляющему производством Джою Дисону необходимо разработать
план производства в месяц. В приведённой ниже таблице указаны общий
фонд рабочего времени и число человеко-часов, требуемое для
производства 1 т. продукта.
Цех
Необходимый фонд рабочего
времени(чел.-ч./т)
Общий фонд
рабочего времени
(чел.-ч. в месяц)
Gruncy Ghewy
15
А. Производство
В. Добавка приправ
С. Упаковка
10
3
2
4
2
5
1000
360
600
Доход от производства 1т. Gruncy составляет 150 у.е., а от
производства Ghewy 75 у.е. На настоящий момент нет никаких
ограничений на возможные объёмы продаж. Имеется возможность продать
всю произведённую продукцию.
Требуется определить объёмы производства каш Gruncy и
Ghewy, максимизирующие общий доход фабрики за месяц.
10. Компания «Bermuda Paint» – частная промышленная фирма,
специализирующаяся на производстве технических лаков. Представленная
ниже таблица содержит информацию о ценах продажи и соответствующих
издержках производства единицы полировочного и матового лаков.
Лак
Цена продажи
1 галлона, ф. ст.
Издержки производства
1 галлона, ф. ст.
Матовый 13, 0 9, 0
Полировочный 16, 0 10, 0
Для производства 1 галлона матового лака необходимо затратить 6
мин. трудозатрат, а для производства одного галлона полировочного лака –
12 мин. Резерв фонда рабочего времени составляет 400 чел.-ч. в день.
Размер ежедневного запаса необходимой химической смеси равен 100
унциям, тогда как ее расход на один галлон матового и полировочного
лаков составляет 0,05 и 0,02 унции соответственно. Технологические
возможности завода позволяют выпускать не более 3000 галлонов лака в
день.
В соответствии с соглашением с основным оптовым покупателем
компания должна поставлять ему 5000 галлонов матового лака и 2500
галлонов полировочного лака за каждую рабочую неделю (состоящую из 5
дней). Кроме того, существует профсоюзное соглашение, в котором
оговаривается минимальный объем производства в день, равный 2000
галлонов. Администрации данной компании необходимо определить
ежедневные объемы производства каждого вида лаков, которые позволят
получать максимальную прибыль.
11. Лесничество имеет 25 га свободной земли под паром и
заинтересовано извлечь из нее доход. Оно может выращивать саженцы
16
быстрорастущего гибрида новогодней ели, которые достигают спелости за
один год, или бычков, отведя часть земли под пастбище. Деревья
выращиваются и продаются в партиях по 1000 штук. Требуется 1,5 га для
выращивания одной партии деревьев и 4 га для вскармливания одного
бычка. Лесничество может потратить только 200 ч. в год на свое побочное
производство. Практика показывает, что требуется 20 ч. для культивации,
подрезания, вырубки и пакетирования одной партии деревьев. Для ухода за
одним бычком также требуется 20 ч. Лесничество имеет возможность
израсходовать на эти цели 6 тыс. руб. Годовые издержки на одну партию
деревьев выливаются в 150 руб. и 1,2 тыс. руб. на одного бычка. Уже
заключен контракт на поставку 2 бычков. По сложившимся ценам, одна
новогодняя ель принесет чистый доход в 2,5 руб., один бычок – 5 тыс. руб.
С) Понизив размерность задачи, решить ее графическим методом.
1. В институте проводится конкурс на лучшую стенгазету. Одному
студенту поручили купить необходимые для проведения конкурса товары:
акварельные краски по цене 30 д.е. за коробку; цветные карандаши по цене
20 д.е. за коробку; линейки по цене 12 д.е.; блокноты по цене 10 д.е.
Красок нужно купить не менее трех коробок, блокнотов – столько, сколько
коробок карандашей и красок вместе, линеек не более пяти. На покупки
выделяется ровно 300 д.е.
В каком количестве студент должен купить указанные предметы,
чтобы общее число предметов было наибольшим?
2. Владелец частного магазина Экономный П.С. собирается
повысить зарплату своим работникам, по меньшей мере, на 10%. На
данный момент у него в магазине 1 водитель, 2 грузчика, 3 продавца и 1
бухгалтер. Каждый из них получает соответственно 2500 руб., 2200 руб.,
2000 руб. и 3000 руб. в месяц. Хозяин магазина выдвигает следующие
требования к новой зарплате своих подчиненных:
- бухгалтер выполняет обязанности товароведа и поэтому будет
справедливо, если его зарплата превысит зарплату продавца в 1,8 раза;
- водитель и грузчик в сумме достойны зарплаты трех продавцов,
при этом разница между зарплатой водителя и зарплатой грузчика не
может быть более 700 руб.
Определите, сколько должен получать каждый работник по новым
правилам, чтобы минимизировать расходы господина Экономного по
заработной плате.
17
3. Предприятие имеет собственную котельную. Для ее работы
требуется закупить топливо в количестве, удовлетворяющем потребность в
тепле, составляющую 4000 гкал. Затраты на закупку должны быть
минимальны. Общее количество золы после сжигания топлива не должно
превысить 56 тонн. На рынке имеются три сорта топлива, различающиеся
теплотворной способностью, зольностью и ценой. Все сведения о них даны
в таблице.
Сорт топлива 1-ый 2-ой 3-ий
Зольность, т/т. 0,02 0,04 0,06
Теплотворная
способность, гкал/т.
10 8 4
Стоимость, руб/т. 10 6 2
4. Конкуренция приводит к необходимости торговым предприятиям
заниматься еще и выпуском продукции собственного производства,
например, салатов, пиццы и т.п. Нормы затрат на производство разных
видов пиццы, объемы ресурсов и стоимость приведены в таблице.
Определить, в каком количестве следует производить пиццы, чтобы доход
был максимальным.
Продукты
Нормы затрат на изготовление
100 шт. пиццы, кг.
Запасы
продукт
ов, кг
ассорти грибная салями
Грибы 6 7 2 20
Колбаса 5 2 8 18
Тесто 10 8 6 25
Цена за 100 шт.,
тыс. руб.
9 6 5
Тесто нужно использовать полностью, так как при хранении оно
теряет свои вкусовые качества.
5. Предприятие занимается «отверточной» сборкой бытовой
электронной аппаратуры трех наименований: телевизоров, стереосистем и
акустических систем. Замечено, что спрос на стереосистемы в два раза
выше, чем на акустические системы. Склад предприятия вмещает
ограниченное количество компонентов: кинескопов, громкоговорителей,
источников питания, комплектов радиодеталей.
Название детали Потребность на 1 изделие
18
Количество на
складе
телевизоры стереосистемы
акустические
системы
Кинескоп 250 1 0 0
Громкоговоритель 800 2 2 1
Источник питания 450 1 1 0
Радиодетали, компл. 600 2 1 1
Прибыль от
1 изделия, ден.ед.
75 50 35
Считая, что на момент расчета склад заполнен до отказа и зная,
какую прибыль можно получить от единицы каждого изделия, необходимо
определить программу выпуска, приносящую максимальную общую
прибыль.
6. На масложиркомбинате открывается новый цех по производству
майонеза площадью 1800 м
2
. Количество обслуживающего персонала в
новом цехе равно 140 человек, они будут работать в две смены.
Максимально доступное количество воды и электроэнергии в сутки
составляет, соответственно, 150 м
3
. и 800 кВт/ч. Требуется установить
оборудование в цехе таким образом, чтобы не осталось ни одного
бесполезного уголка, при этом общая производительность цеха была
максимальной. На выбор предложены 4 вида производственных линий с
различными техническими характеристиками.
Показатель
Номера линий по производству майонеза
1 2 3 4
Производительность, литров в
сутки
150 300 600 1000
Занимаемая площадь, м
2
. 48 54 60 72
Количество обслуживающего
персонала, чел.
2 2 3 3
Потребление ледяной воды,
pм
3
/ сутки.
2 4 5 7
Потребление электроэнергии,
кВт/ч.
14 17 25 37
7. На струнные резательные машины вафельного цеха поступают
готовые (с начинкой) вафельные пласты размером 330*550 мм и весом 1 кг
в количестве 3000 шт. за смену. Возможны три варианта резки пластов:
стандартный (3*11 см), для упаковки 200 г (5*11 см) и для упаковки 50г
(5,5*5,5 см). При стандартной резке вафли укладываются в гофрокороба по
10 кг и продаются по цене 320 руб. за коробку. Упаковка вафель
обеспечивается тремя упаковочными машинами, каждая из которых
19
способна произвести за один час либо 900 вафельных пачек весом 200 г,
либо 1200 пачек весом 50 г. Время работы этих машин ограничено, так как
одна рабочая смена длится 8 часов. Упаковки вафель помещают в
гофрокороба по 48 (200-граммовых) и 180 (50-граммовых) штук и продают
соответственно по цене 336 и 342 руб. за коробку.
Определите, как должны работать резательные машины, чтобы
максимизировать доход, если спрос на вафли не ограничен, а после
каждой смены часть продукции (12 коробок стандартных, 20 коробок
упакованных по 200 г. и 10 коробок упакованных по 50г. вафель)
отправляется в фирменный магазин и реализуется по оптовым ценам..
8. Фирма "Лесоруб" располагает участком леса площадью в 300 га,
который состоит из двух выделов, отличающихся типом древостоя
(смешанные сосновые древостои и смешанные лиственные древостои).
Планируемый 60-летний горизонт проведения лесозаготовок на этом
участке разделен на 3 промежутка по 20 лет каждый. Имеется таблица хода
роста древостоев.
Тип
древостоя
Площадь, га
Запас вырубаемой древесины в будущем, м
3
/га,
через
0-20 лет 21-40 лет 41-60 лет
1 100 3 10 30
2 200 12 17 20
Цель управления вырубками леса заключается в максимизации
выхода ликвидной древесины за планируемые 60 лет. Лесозаготовки
выполняются по сплошносечной технологии с учетом необходимости
сохранения живой первозданной природы. Вырубаемая лесосека для
каждого типа древостоя в каждый период обеспечивает вегетационную
структуру для обитателей. Поэтому биологи требуют, чтобы максимальная
вырубаемая площадь по каждому типу древостоя за каждый период
составляла: для древостоя 1 типа – 40 га, 2 типа – 90 га.
Желательно рубить лес равномерно, то есть обеспечить одинаковый
объем расчетной лесосеки в каждом периоде.
9. Туристская фирма располагает флотилией из трех типов судов,
характеристики которых представлены в таблице.
Показатели
Судно
Буревестник Альбатрос Чайка
Пассажировместимость, чел. 3000 2000 1000
Расход горючего, т/мес. 20000 12000 7000
Экипаж, чел. 350 250 100
Затраты на содержание и
обслуживание, млн.руб./мес.
10 8 5
20