Тимофеев С.В. Сборник задач по разделу. Линейное программирование. Математика-2
Подождите немного. Документ загружается.
В месяц выделяется 70 000 т. горючего. Наличие рабочей силы не
превышает 1100 чел.
Определите количество судов каждого типа, отправляющихся в
круиз, чтобы при минимальных затратах обеспечить путевками 10 тыс.
желающих.
Задание 3
Используя условия равновесия, найти решения следующих задач:
1. Участник экспедиции “ Северный полюс “ укладывает рюкзак и ему
требуется решить, какие положить продукты. В его распоряжении имеются
мука, мясо, сухое молоко и сахар. В рюкзаке для продуктов осталось лишь
25 дм
3
объема и нужно, чтобы суммарная масса продуктов не
превосходила 35 кг. Характеристики продуктов приведены в таблице:
Характеристики
Продукты
мука мясо молоко сахар
Объем (дм
3
./кг.)
Калорийность (ккал./кг.)
1
300
0
1,5
500
0
2
5000
1
4000
Сколько и каких продуктов нужно положить в рюкзак, с тем, чтобы
суммарная калорийность продуктов была наибольшей?
2. Завод выпускает изделия трех видов А
1
, А
2
, А
3
. Для их
изготовления используются два вида ресурсов В
1
, В
2
, запасы которых
составляют 400 и 600 единиц. Расход ресурсов на одно изделие каждого
вида приведен в таблице:
Ресурс
Расход ресурса на одно изделие вида
А
1
А
2
А
3
В
1
В
2
2
4
3
2
5
7
Прибыль от реализации одного изделия вида А
1
, А
2
, А
3
составляет
соответственно 30, 20 и 50 долларов. Определить объемы выпуска изделий
каждого вида, при которых прибыль будет максимальной.
21
3. Рацион поголовья зверокомплекса, который выращивает животных
для продажи ценного меха, включает специальные пищевые добавки В
1
и
В
2
. В сутки животные должны съедать не менее 1,8 кг. продукта В
1
и не
менее 1,7 кг. продукта В
2
. Однако в чистом виде указанные продукты не
производятся. Они содержатся в концентратах А
1
, А
2
и А
3
, цены которых за
килограмм соответственно равны 10, 8 и 12 долларам. Содержание добавок
в килограмме концентрата (в процентах) указано в таблице:
Определить план закупки концентратов, чтобы минимизировать общие
затраты и при этом выполнить суточную норму потребления пищевых
добавок.
4. Компания готова производить три вида комплектов современного
офисного оборудования А
1
, А
2
и А
3
, которое заменяет уже устаревшие виды
мебели. На разных этапах в производстве участвуют две бригады В
1
и В
2
,
месячный фонд времени которых составляет по 480 часов. Нормы времени
на осуществление своего блока работ по каждому виду оборудования
приведены в таблице:
Бригада
Норма времени (час.) для работы с одним
комплектом оборудования каждого вида
А
1
А
2
А
3
В
1
10 8 9
В
2
15 6 12
Определить месячный план производства комплектов оборудования
каждого вида для получения максимального дохода, если цена одного
комплекта А
1
- $800, комплекта А
2
- $600, комплекта А
3
- $700.
5. При подготовке к длительному турпоходу было подсчитано, что для
удовлетворительного состояния каждого туриста необходимая норма
белка, равномерно распределенная в течение всего путешествия, должна
составлять, по крайней мере, 26 единиц, а норма витамин – по крайней
Концентраты
Содержание добавок в 1 кг. концентрата
(%)
В
1
В
2
А
1
А
2
А
3
10
20
25
25
15
20
22
мере, 44 единицы. В распоряжении группы имеются хлеб, соя, сушеная
рыба и фрукты. Какие продукты, и в каком количестве следует брать
каждому туристу в первую очередь, чтобы обеспечить себя нужным
количеством белка и витаминов при минимальных денежных затратах?
Цена единицы каждого продукта, содержание в них нужных веществ
приведены в таблице:
Питательные
вещества
Содержание питат. веществ (ед.) в 1 кг.
хлеб соя сушеная рыба фрукты
Белки 2 12 10 1
Витамины 2 2 4 6
Цена (долл.) 1
кг.
1,2 3,6 3,2 1,8
6. Совместное российско-германское предприятие наладило
производство холодильников, газовых плит, морозильных камер и
электропечей по цене 20000, 18000, 25000 и 10000 рублей соответственно с
предполагаемой прибылью 10%. Постоянным фактором, ограничивающим
объемы производства, является фиксированная величина трудовых
ресурсов – 1200 чел./час. в месяц. Выяснилось, однако, что в ближайший
месяц дефицитной будет и одна из составляющих производства корпусов
указанных изделий – листовая сталь, поскольку поставщики смогут
обеспечить лишь 700 м
2
этого материала. Требуется составить план
производства изделий каждого вида на данный месяц, чтобы
максимизировать прибыль от продажи выпущенной продукции. Известно,
что для изготовления холодильника требуется в том числе 2 м
2
листовой
стали и 3 чел./час. рабочего времени, для газовой плиты соответственно –
1,5 м
2
и 3 чел./час., морозильной камеры – 3 м
2
и 4 чел./час. и электропечи
– 1 м
2
и 2 чел./час.
7. Предприятие может производить четыре вида подшипников: для
мотоциклов (П1), легкового транспорта (П2), грузового транспорта (П3) и
тракторов (П4). Производство лимитируется временем использования
станков и количеством комплектующих изделий. Известно, что суммарное
время использования станков равно 90 часам в день, а комплектующих
изделий может быть поставлено не более 80 в день. Нормы затрат этих
составляющих на производство одного изделия каждого вида, а также
ожидаемая прибыль от его реализации следующие:
Производственные
характеристики
Изделия
П
1
П
2
П
3
П
4
23
Время использования
станков (час.)
1 3 8 4
Количество комплектующих
изделий
2 2 1 3
Прибыль (долл.) 10 20 40 30
Подшипники какого вида следует выпускать в первую очередь, и в каком
количестве, чтобы прибыль от реализации была максимальной?
8. По предписанию врача пациенту необходимо перейти на
витаминную диету и за сезон употребить витамина В
1
и витамина В
2
,
содержащихся во фруктах, в количествах не менее, чем указано в таблице:
Витамины
Содержание витаминов (ед.)
в 1 кг. фруктов.
Норма потребления
витаминов (ед.)
Клубник
а
Яблок
и
Смородина
Витамин В
1
3 2 1 31
Витамин В
2
1 3 4 69
Цена за 1 кг.
(руб.)
80 40 64
Определить, какое количество фруктов каждого вида необходимо купить
за сезон, чтобы выполнить предписание врача с минимальными расходами.
9. Компания производит три вида столов для офисов А
1
, А
2
и А
3
,
пользующихся на рынке постоянным спросом. Для рабочего коллектива
компании максимально допустимый объем работы в неделю составляет
780 чел./ час. Согласно технологии, на изготовление частей, сборку,
полировку и проверку одного изделия А
1
уходит 4 чел./ час., одного
изделия А
2
- 6 чел./ час., а одного изделия А
3
- 7 чел./ час. Известно также,
что возможности хранения ограничивают производство 170 столами в
неделю. Какую максимальную прибыль может получить компания от
продажи столов всех видов, если от продажи одного стола А
1
ожидается
прибыль $15, одного стола А
2
- $22, одного стола А
3
- $19?
10. Предприятие закупает подарки для детей своих сотрудников.
Было предложено три вида подарков А
1
, А
2
и А
3
с разным набором и
соотношением сладостей и фруктов. В один подарок А
1
по цене 100 руб.
входит 0,75 кг. сладостей и 0,75 кг. фруктов; в подарок А
2
, цена которого
80 руб., входит 0,6 кг. сладостей и 0,9 кг. фруктов; подарок А
3
по цене 110
руб. состоит из 0,85 кг. сладостей и 0,65 кг. фруктов. Решено приобрести
подарки с расчетом, чтобы суммарное количество различных сладостей
24
было не менее 72,5 кг., а фруктов – 77,5 кг. Как спланировать закупку,
чтобы выполнить эти условия и при этом минимизировать затраты?
Задание 4
Решить симплекс-методом следующие задачи ЛП:
1. Фабрика производит столы и шкафы, которые входят в комплект
офисного оборудования. Виды ресурсов, нормы их затрат на одно изделия
каждого вида, запасы, а также прибыль от реализации одного изделия
приведены в следующей таблице:
Ресурсы
Нормы затрат
на одно изделие
Запасы
ресурсов
Стол Шкаф
Древесина(м
3
):
Дуб
Орех
0,2
0,1
0,1
0,3
40
60
Трудоемкость
(чел.- часов.)
1,2 1,5 371,4
Прибыль от
одного изделия
$60 $80
Определить, сколько столов и шкафов фабрике следует выпускать,
чтобы получить максимальную прибыль от реализации.
2. Фирма имеет возможность рекламировать свою продукцию,
используя местные радио- и телевизионную сети. Затраты на рекламу в
бюджете фирмы ограничены величиной 1000 долларов в месяц. Каждая
минута радиорекламы обходится в 5 долларов, а каждая минута
телерекламы – в 90 долларов. Маркетинговая служба фирмы рекомендует,
чтобы количество рекламных минут по радио было, по крайней мере, в 2
раза больше, чем по TV. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта,
который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше сбыта,
обеспечиваемого одной минутой радиорекламы. Определить оптимальное
распределение финансовых средств, ежемесячно отпускаемых на рекламу,
между радио- и телерекламой.
3. Финансовая компания покупает акции двух акционерных обществ А
и В, для чего решено затратить до $930. Акции А стоят $27, В - $23.
25
Необходимо закупить максимально возможное суммарное число акций.
При этом число акций В не должно превышать число акций А более, чем
на 10. Сколько акций обоих обществ следует закупить при указанных
условиях?
4. В цехе площадью 72 м
2
необходимо установить станки новейшего
поколения, на приобретение которых отпущено 8,4 млн. рублей.
Существует два типа станков. Станок первого типа стоимостью 1,2 млн.
рублей, требующий 12 м
2
производственных площадей, обеспечивает
изготовление 70 изделий в смену. Аналогичные характеристики станка
второго типа составляют соответственно 800 тыс. рублей, 6 м
2
и 40
изделий в смену. Найти оптимальный вариант приобретения станков,
обеспечивающий максимальное производство изделий в смену.
5. Для продажи меха на престижных аукционах на ферме
выращиваются голубая норка и песец. Чтобы обеспечить нормальные
условия их выращивания, используют три вида кормов. Количество корма
каждого вида, которое должно получать каждое животное, запасы корма
каждого вида и прибыль от реализации одной шкурки животного
приведены в таблице:
Вид
корма
Количество корма, которое
ежедневно получает (кг.)
Запасы
кормов
(кг.)
норка песец
1
2
3
2
4
6
3
1
7
180
240
426
Прибыль от реализации
одной шкурки (руб.)
320 240
Определить, сколько норок и песцов следует выращивать, чтобы
прибыль от реализации их шкурок была максимальной.
6. Сухогруз может принять на борт не более 1020 тонн груза, объем
которого не должен превосходить 500 м
3
. На причале находится груз двух
наименований. Вес, объем и цена единицы груза каждого наименования
приведены в таблице:
Наименование
груза
Вес 1 единицы
груза (т.)
Объем 1 единицы
груза (м
3
.)
Цена 1 единицы
груза (тыс.долл)
26
В
1
В
2
50
70
45
25
1,5
1,2
Сформулировать и решить задачу выбора варианта загрузки судна
наиболее ценным грузом.
7. Цех комбината по производству пивобезалкогольной продукции
наладил выпуск двух наиболее популярных напитков для детей: ”Ситро” и
”Фанта”. Для производства одного литра ”Ситро” требуется 0,02 часа
работы оборудования, а для ”Фанты” – 0,04 часа. Расход специального
ингредиента на них составляет 0,01 кг. и 0,04 кг. на один литр
соответственно. Ежедневно в распоряжении цеха 16 кг. специального
ингредиента и 24 часа работы оборудования. Доход от продажи одного
литра ”Ситро” составляет 0,25 рубля, а ”Фанты” – 0,51 рубля. Определить
ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий
максимальный доход от их продажи.
8. Филиал завода изготавливает корпуса для холодильников наиболее
популярных марок “ Минск ” и ” Стинол ”, комплектуя затем их
оборудованием, поставляемым другими предприятиями. В таблице
указаны нормы трудозатрат, затрат материалов для изготовления корпусов,
месячные объемы ресурсов и прибыль от реализации холодильника
каждой марки:
Наименование
ресурса
Затраты на один
холодильник марки
Объемы
ресурсов
А
1
А
2
Трудозатраты (чел.-час.)
Металл ( м
2
. )
Пластик ( м
2
. )
Краска ( кг. )
2
2
1
2
3
2
3
2
900
850
400
500
Прибыль от одного
холодильника ( долл. ) 40 100
Найти месячный план выпуска холодильников, максимизирующий
прибыль.
27
9. Требуется загрузить теплоход апельсинами и лимонами так, чтобы
стоимость груза была максимальной. При этом известно, что объем
грузового отсека теплохода составляет 1000 м
3
; картонные коробки, в
которых перевозятся апельсины и лимоны, имеют стандартные размеры:
50
50
40 см
3
; стоимость одной коробки с апельсинами равна $45; с
лимонами - $60. Потребитель данной продукции заинтересован, чтобы
апельсинов по сравнению с лимонами было доставлено больше, по
крайней мере, в 1,5 раза.
10. Компания производит книжные полки двух видов: А и В. Агенты по
продаже считают, что в неделю на рынке может быть реализовано до 550
полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м
2
материалов, а для полки
типа В – 5 м
2
материалов. Компания может получить до 1199 м
2
материала
в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин.
машинного времени, а для изготовления одной полки типа В – 30 мин.
Машинное оборудование можно использовать не более 160 часов в
неделю. Если прибыль от продажи одной полки типа А составляет $3, а от
продажи одной полки типа В -$7, то сколько полок каждого типа следует
выпускать в неделю для получения максимальной прибыли?
11. Изделия 4-х типов пpоходят последовательную обpаботку на 2-х
станках. Вpемя обpаботки одного изделия каждого типа на каждом из
станков пpиведено в таблице:
Станок
Вpемя обpаботки одного изделия (час)
тип 1 тип 2 тип 3 тип 4
1
2
2
3
3
2
4
1
2
2
Затpаты на пpоизводство одного изделия каждого типа опpеделяются
как величины, пpямопpопоpциональные вpемени использования станков (в
машино-часах). Стоимость машино-часа составляет 10 доллаpов для станка
1 и 15 доллаpов для станка 2. Допустимое вpемя использование станков
для обpаботки изделий всех типов огpаничено следующими значениями:
500 машино-часов для станка 1 и 380 - машино-часов для станка 2. Цены
изделий типов 1, 2, 3 и 4 pавны соответственно 65, 70, 55 и 55 доллаpов
соответственно.
Составить и решить задачу линейного программирования, считая
целью максимизацию суммаpной чистой прибыли.
28
Задание 5
Решить следующие транспортные задачи:
1. Сталеплавильная компания располагает тремя заводами А
1
, А
2
, А
3
,
способными произвести за некоторый промежуток времени 50, 30, 20
тысяч тонн стали соответственно. Свою продукцию компания поставляет
четырем потребителям В
1
, В
2
, В
3
и В
4
, потребности которых составляют
соответственно 30, 15, 35 и 20 тысяч тонн стали. Стоимости
транспортировки 1 тысячи тонн стали с различных заводов различным
потребителям приведены ниже:
Заводы
Потребители
В
1
В
2
В
3
В
4
А
1
15 19 19 15
А
2
19 18 18 19
А
3
14 16 20 18
Определить план перевозок стали, при которых расходы на
транспортировку минимальны, и посчитать эти расходы.
2. Компания контролирует три фабрики А
1
, А
2
, А
3
, способные
произвести 50, 25 и 25 тысяч изделий ежедневно. Она заключила договоры
с четырьмя заказчиками В
1
, В
2
, В
3
и В
4
, которым ежедневно требуется 25,
20, 30 и 25 тысяч изделий соответственно. Стоимости транспортировки 1
тысячи изделий заказчикам с фабрик следующие:
Фабрики
Заказчики
В
1
В
2
В
3
В
4
А
1
13 17 17 14
А
2
18 16 16 18
А
3
12 14 19 17
Определить минимизирующий общую стоимость план перевозок изделий
от фабрик к заказчикам.
3. Четыре сталелитейных завода А
1
, А
2
, А
3
и А
4
производят ежедневно
соответственно 900, 300, 1350 и 450 тонн стали определенного сорта.
Стальные заготовки должны быть переданы потребителям В
1
, В
2
, В
3
и В
4
,
ежедневные запросы которых составляют 1000, 700, 750 и 550 тонн стали
29
соответственно. Стоимости транспортировки от заводов к потребителям
одной тонны стали следующие:
Фабрики
Заказчики
В
1
В
2
В
3
В
4
А
1
12 16 21 19
А
2
4 4 9 5
А
3
3 8 14 10
А
4
24 33 36 34
Какой нужно составить план распределения стальных заготовок,
чтобы минимизировать общую стоимость перевозок?
4. В области имеются три цементных завода, производящие
соответственно 55, 30 и 25 тонн цемента в сутки и три потребителя их
продукции – домостроительных комбината, потребности которых в
цементе составляют соответственно 50, 25, и 35 тонн в сутки. Стоимость
перевозки 1 тонны цемента от каждого завода до каждого комбината
приведена в таблице:
Завод
Стоимость перевозки 1 т. цемента (руб.)
Комбинат1 Комбинат 2 Комбинат 3
1 10 15 25
2 20 5 30
3 12 10 20
Требуется составить план суточных перевозок цемента,
минимизирующий суммарные транспортные расходы.
5. На трех мелькомбинатах ежедневно производится 110, 190 и 120
тонн муки. Эта мука потребляется тремя хлебозаводами, ежедневные
потребности которых равны соответственно 140, 170 и 110 тонн. Тарифы
перевозок 1 тонны муки задаются таблицей:
Мелькомбинат
Хлебозаводы
№1 №2 №3
1 8 1 9
2 4 6 2
3 3 5 8
Составить план доставки муки, при котором общая стоимость
перевозок будет минимальной.
30