Тюков В.А. Электромеханические системы

Подождите немного. Документ загружается.

t =

ω =

(θ, t) = θ

cosωtcos(θ – ϕ

)

Неподвижное в пространстве пульсирующее

магнитное поле

Рассуждая так же, как при изображении векторов на временной

комплексной плоскости, запишем пространственную функцию на ос-

новании формулы Эйлера

( )

0 1

( , ) cos Re

N I

B t t e

θ−ϕ

 

θ = ω

 

Учитывая, что действительная часть показательной комплексной

функции равна косинусоиде, уравнение можно переписать как

( )

0 1

( , ) cos Re

N I

B t t e

−θ+ϕ

 

θ = ω

 

Наиболее существенной информацией в выражениях являются ве-

личина функции и фазовый угол. Определим пространственный вектор

индукции таким образом:

0 1 0 1

1 1

cos Re cos

m m

N I N I

t e t

µ µ

 

= ω = ω ∠ϕ

 

δ δ

 

В качестве пространственного угла вектора выбирается отрица-

тельная часть аргумента пространственной функции В

. В этом нет ни-

чего необычного. Для того чтобы перейти от вектора к пространствен-

ной функции, необходимо только умножить его на е

–

iω

и взять дейст-

вительную часть. Преимущество выбранного определения пространст-

венного вектора станет очевидным, когда рассмотрим его графическую

интерпретацию и связь с расположением поля, которое он представляет.

Графически пространственный вектор изображается прямой лини-

ей, имеющей величину

cos

a m

N I

B t

= ω

Линия расположена под углом, ϕ

к горизонтальной линии (рису-

нок). Величина вектора для рассматриваемого случая является косину-

соидальной функцией времени, в соответствии с этим изменяется длина

линии. При том определении, которое было дано пространственному

вектору, его расположение совпадает с положительным максимумом

поля в воздушном зазоре. Иными

словами, пространственный вектор

имеет то же направление, что и ось

магнитного поля. Более того, вели-

чина вектора точно равна амплитуде

поля воздушного зазора. Простран-

ственный вектор, таким образом, в

наиболее сжатой форме дает всю не-

обходимую информацию о синусои-

дальном поле в воздушном зазоре.

В рассматриваемом частном слу-

чае пространственный вектор всегда

направлен под углом ϕ

и его вели-

чина изменяется во времени. Соот-

ветственно ось поля в воздушном

зазоре всегда расположена под углом ϕ

, а величина поля переменна во

времени.

Хотя поле строго описывается выражением и графиком, представ-

ление его в виде пространственного вектора выглядит много проще.

= 0

(

) =

cos(

–

)

ω =

Представление поля с помощью

пространственных векторов

4.7. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ВЕКТОР ФАЗЫ ОБМОТКИ

Магнитному полю одной синусной обмотки, возбуждаемой сину-

соидальным током, можно дать интересную и важную интерпретацию,

если изменить формулу с помощью равенства

( ) ( )

1 1

cos cos cos cos

2 2

A B A B A B

= + + −



⊗



⊗



⊗

( , )

θ θ

( , ) cos( )

а a

tθ θ θ θ ϕ= −

Ось

синусной

обмотки

Соотношение между расположением обмотки

и синусоидально распределенного тока

В результате получится:

( ) ( )

( , ) cos cos

a m

a a a

N I

B t t t

 

θ = θ + ω − ϕ + θ − ω − ϕ

 

Здесь отдельные компоненты обозначены как:

( )

cos ;

a m

ab a

N I

B t

= θ + ω − ϕ

( )

cos .

a m

af a

N I

B t

= θ − ω − ϕ

Их графики изображены на рисунке для различных величин ωt. Из

рисунков видно, что каждая из этих функций представляет собой про-

странственную волну с постоянной амплитудой, перемещающуюся в

воздушном зазоре, т.е. каждая компонента является вращающимся по-

лем неизменной величины.

Следовательно, уравнение по-

казывает, что всякая синусная об-

мотка с синусоидальным током соз-

дает два одинаковых и постоянных

по величине магнитных поля, вра-

щающихся в противоположные сто-

роны. Это результат можно лучше

представить себе, если использовать

пространственные векторы. В век-

торной форме B

и B

будут:

;

a m

ab a ab a

a m

af a af a

N I

B t B t

N I

B t B t

ϕ ω ϕ ω

= ∠ − = ∠ −

= ∠ + = ∠ +

Пространственные углы этих век-

торов линейно зависят от времени,

причем угол вектора

увеличива-

ется, вектора

уменьшается. Век-

торная сумма этих двух компонент,

вращающихся в противоположные

стороны, всегда равна вектору

Идея о разделении пульсирующего

поля одной обмотки на два противо-

положно вращающихся поля оказы-

вается очень полезной. Она показы-

вает метод получения отдельного

вращающегося поля в воздушном за-

3 3

t t t

π π

ω ω ω= = =

3 3

t t t

π π

ω ω ω

= = =

Вращающиеся магнитные поля:

– прямо вращающаяся волна

;

б –

обратно вращающаяся волна

зоре путем определенного расположения ряда обмоток в пространстве.

Не следует смешивать прямо- и обратно вращающиеся поля. В выра-

жениях прямовращающаяся волна имеет аргумент θ−ωt, а соответст-

вующий пространственный вектор согласно определению вращается в

положительном направлении.

Прежде чем исследовать поле нескольких обмоток, следует устано-

вить связь между скоростью вращения поля, параметрами машины

и частотой сети. Зависимости показывают, что за один период тока

(ωt изменяется на 2π) поле поворачивается точно на 2π эл. рад.

В соответствии с этим скорость поля равна угловой частоте сети

= ω, эл. рад/с.

Представление полей, вращающихся в противоположные

стороны, в виде пространственных векторов

Скорость поля в другой размерности будет:

p p

ω π

ω = =

, мех. рад/с,

или

, об/с,

, об/мин.

Можно п-ю гармоническую основного поля представить в виде:

( )

cos

an m

B I n n

= θ − ϕ

Ее можно разделить на две вращающиеся составляющие

( ) ( )

cos cos

an m

B I n t n n t n

=  θ + ω − ϕ + θ − ω − ϕ 

 

Следовательно, п-я гармоническая пульсирующего поля также мо-

жет быть представлена посредством двух вращающихся компонент.

Однако за время одного периода возбуждающего тока п-я гармони-

ческая поля перемещается только на 2π/п эл. рад. Ее скорость враще-

ния равна:

n n

ω = =

, эл. рад/с.

Таким образом, п-я гармоника поля вращается в п раз медленнее ос-

новной, что будет учтено при дальнейшем изложении.

4.8. МНОГОФАЗНЫЕ ОБМОТКИ

Проблема создания одного вращающегося поля постоянной вели-

чины может быть решена путем правильного расположения в про-

странстве двух или более однофазных обмоток так, чтобы уничтожить

обратно вращающееся поле.

Простейшим средством достижения этого результата является

симметричная двухфазная обмотка. Она состоит из двух обмоток, маг-

нитные оси которых ориентированы под прямым углом друг к другу, а

токи сдвинуты по фазе времени на 90°. Пространственный и времен-

ной сдвиги на 90° позволяют заменить косинусоидальные функции на

= I

cos

= I

sin

(

)

= N

cos(

θ−ϕ

)

ωt

(

sin(

θ−ϕ

)

Двухфазная обмотка

синусоидальные функции. Схема с соответствующими обозначениями

функций представлена на рисунке. Дополнительная обмотка b имеет

синусоидальное распределение и создает поле

( , ) cos( 90 )cos( 90 )

b m a

B t I t t

θ = ω − ° ω − ° − ϕ =

sin sin( )

m a

I t

= ω θ − ϕ

Используя равенство

1 1

sin sin cos( ) cos( )

2 2

A B A B A B

= − − +

перепишем это выражение в виде суммы двух вращающихся состав-

ляющих:

[ ]

( , ) cos( ) cos( )

b m

b a a

N I

B t t t

θ = θ − ω − ϕ + θ + ω − ϕ

Магнитное поле обмотки а описывается уравнением, которое для

удобства приводится здесь

[ ]

( , ) cos( ) cos( )

a m

а a a

N I

B t t t

θ = θ − ω − ϕ + θ + ω − ϕ

Результирующее магнитное поле равно сумме B

и B

( , ) ( , ) ( , )

a b

B t B t B t

θ = θ + θ

При N

= N

обратно вращающиеся поля обмоток равны и противо-

положно направлены. Поэтому результирующее поле в машине будет

( , ) cos( )

a m

N I

B t t

θ = θ − ω − ϕ

Рассмотрим процесс создания вращающегося поля двухфазной об-

моткой с несколько иной точки зрения. На диаграммах показаны про-

странственные векторы магнитного поля каждой обмотки и результи-

рующего поля для различных значений ωt. Обратите внимание на то,

как изменяются величины обоих векторов, в то время как величина

суммарного вектора остается постоянной при его вращении в про-

странстве. Пространственные векторы отражают два важных свойства

двухфазного вращающегося поля: во-первых, его величина равна ам-

плитуде каждого из полей отдельных обмоток; во-вторых, ось вра-

щающегося поля совпадает с осью обмотки, когда по ней проходит

максимальный ток. Эти факты понадобятся нам в дальнейшем.

Еще один практический метод создания вращающегося поля связан

с использованием симметричной трехфазной обмотки.

t =

BB =

ω =

Пространственные векторные диаграммы, иллюстрирующие

вращающееся поле двухфазной обмотки

Такая система создает следующие составляющие поля:

[ ]

( , ) cos cos

cos( ) cos( ) ;

a m

N I

B t t

N I

t t

θ θ ω

θ ω θ ω

= =

= − + +

[ ]

( , ) cos( 120 )cos( 120 )

cos( ) cos( 240 ) ;

a m

N I

B t t

N I

t t

θ θ ω

θ ω θ ω

= − ° − ° =

= − + + − °

[ ]

( , ) cos( 120 )cos( 120 )

cos( ) cos( 240 ) .

a m

N I

B t t

N I

t t

θ θ ω

θ ω θ ω

= + ° + ° =

= − + + + °

120

(θ)

= N

cosθ

(

)

= N

cos(

+ 120

)

(

)

cos(

−

120

)

= I

cos(ω

+ 120°)

= I

cos(ω

t –

120°)

= I

cos

ωt

Трехфазная обмотка

Как и в случае двухфазной обмотки, прямовращающиеся поля фаз

непосредственно складываются, а сумма обратно вращающихся полей

равна нулю.

Это легко показать с помощью пространственной векторной диа-

граммы (рисунок). На ней показаны прямо- и обратновращающиеся

составляющие поля каждой обмотки. Три прямо вращающиеся компо-

ненты находятся в фазе, в то время как обратные сдвинуты по фазе на

120° и дают в сумме нуль.