Васильев Н.Б. (ред.) Задачник Кванта. Математика. Части 1 и 2

Подождите немного. Документ загружается.

Задачник <Кванта> по математике

Условия задач

1970 год

1. В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес, приблизилось время новых

президентских выборов. В стране ровно 20 000 000 избирателей, из которых только

один процент (регулярная армия Анчурии) поддерживает Мирафлореса. Он хочет

быть демократически избранным. <Демократическим голосованием> Мирафлорес

называет вот что: всех избирателей разбивают на несколько равных групп, затем

каждую из этих групп вновь разбивают на некоторое количество равных групп,

затем эти последние группы снова разбивают на равные группы и так далее; в самых

мелких группах выбирают представителя группы — выборщика, затем выборщики

выбирают представителей для голосования в ещё большей группе и так далее;

наконец, представители самых больших групп выбирают президента. Мирафлорес

сам делит избирателей на группы. Может ли он так организовать выборы, чтобы

его избрали президентом? (При равенстве голосов побеждает оппозиция.)

XXXII московская олимпиада. Решение — в №7–1970

2. Дана сфера радиуса 1. На ней расположены равные окружности γ

, γ

, ... , γ

радиуса r ,гдеn>2. Окружность γ

касается всех окружностей γ

, ... , γ

;

кроме того, касаются друг друга окружности γ

и γ

, γ

и γ

, ... , γ

и γ

.При

каких n это возможно? Вычислите соответствующий радиус r .

XVIII олимпиада Чехословакии. Решение — в №7–1970

3. а) На рисунке плоскость покрыта квадратами пяти цветов. Центры квадратов

одного и того же цвета расположены в вершинах квадратной сетки. При каком

числе цветов возможно аналогичное заполнение плоскости?

б) На другом рисунке плоскость

покрыта шестиугольниками семи

цветов так, что центры шести-

угольников одного и того же цве-

та образуют вершины решётки

из одинаковых правильных тре-

угольников. При каком числе

цветов возможно аналогичное по-

строение?

Примечание. Впунктеа)коли-

чество цветов может равняться еди-

нице (все квадраты одного цвета)

и двум (как на шахматной доске).

В пункте б) вы без труда найдёте

решения с одним цветом и с тре-

мя цветами. Желательно дать пол-

ное решение задач, то есть опи-

сать все раскраски, удовлетворяю-

щие указанным условиям. Напри-

мер, существует ли в пункте б) рас-

краска в тринадцать цветов?

А.Н. Колмогоров. Решение — в №7 и №8–1970

Примечание редакции. Автор задачи забыл потребовать, чтобы решётки, соответству-

ющие разным цветам, получались друг из друга параллельными переносами. Без этого

требования задача гораздо проще и менее интересна, чем с ним. Решите её в обеих

формулировках!

4. Дан отрезок AB. Найдите множество

таких точек C плоскости, что медиана

треугольника ABC, проведённая из вер-

шины A, равна высоте, проведённой из

вершины B .

XXXII московская олимпиада. Решение — в №8–1970

∗

В множестве E , состоящем из n элемен-

тов, выделены m различных подмножеств (отличных от самого E )так,чтодля

любых двух элементов множества E существует единственное выделенное подмно-

жество, содержащее оба элемента. Докажите неравенство m n.

Н. Бурбаки, А.Л. Тоом, Ж.М. Раббот и

В. Гутенмахер. Решение — в №8–1970 и в главе <Прямые на плоскости и разложения графов> книги М. Айгнера и Г. Циглера <Доказательства из Книги>

6. Сколько существует положений стрелок часов, по которым нельзя определить вре-

мя, если не знать, какая стрелка часовая, а какая — минутная? (Положения стрелок

можно определить точно, но следить за движением стрелок нельзя.)

Н.Б. Васильев и Ж.М. Раббот. Решение — в №9–1970

7. a, b, c — длины сторон треугольника. Докажите неравенство

b + c − a

c + a − b

a + b − c

С.Т. Берколайко. Решение — в №9–1970. Статья <Стороны треугольника> третьего (9/10) номера 1993 года

8. Играют двое. Из кучки, где имеется 25 спичек, каждый берёт себе по очереди

одну, две или три спички. Выигрывает тот, у кого в конце игры — после того, как

все спички будут разобраны,— окажется чётное число спичек. Кто выиграет при

правильной игре — начинающий или его партнёр? Как он должен играть, чтобы

выиграть? Как изменится ответ, если считать, что выигрывает забравший нечётное

число спичек?

Исследуйте эту игру в общем случае, когда спичек 2n + 1 и разрешено брать любое

число спичек от 1 до m.

Н.Б. Васильев и А.Л. Тоом. Решение — в №10–1970

9. Рассмотрим следующие свойства тетраэдра (тетраэдр — это произвольная треуголь-

ная пирамида):

• все грани одной площади;

• каждое ребро равно противоположному;

• все грани конгруэнтны;

• центры описанной и вписанной сфер совпадают;

• для любой вершины тетраэдра сумма величин сходящихся в этой вершине

плоских углов равна 180

◦

Докажите, что все эти свойства эквивалентны. Найдите ещё несколько равносиль-

ных им свойств тетраэдра. Н.Б. Васильев и А.Л. Тоом. Решение — в №10–1970

10. Четыре круга, центры которых — вершины выпуклого четырёхугольника, целиком

покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга,

которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.

Г.А. Гальперин. Решение — в №10–1970

11. а) На 44 деревьях, расположенных по окружности, сидели 44 весёлых чижа

(на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно пере-

летают на соседние деревья в противоположных направлениях (один — по часовой

стрелке, другой — против). Докажите, что чижи никогда не соберутся на одном

дереве.

б) А если чижей и деревьев n? Из

задач вечерней математической школы при МГУ. Решение — в №11–1970 и на странице 40 двенадцатого номера 1970 года

12. Какие четырёхугольники можно разрезать прямой линией на два подобных между

собой четырёхугольника? Н.Б. Васильев и М.И. Башмаков. Решение — в №11–1970

13. Если разность между наибольшим и наименьшим из n данных вещественных чисел

равна d , а сумма модулей всех n(n −1)/2 попарных разностей этих чисел равна s,

то (n − 1)d s n

d/4. Докажите это. Н.Б. Васильев и М.И. Башмаков. Решение — в №11-1970

14. Некоторые грани выпуклого многогранника покрашены так, что никакие две по-

крашенные грани не имеют общего ребра. Докажите, что в этот многогранник

нельзя вписать шар, если а) покрашенных граней больше половины; б) сумма пло-

щадей покрашенных граней больше суммы площадей непокрашенных граней.

Н.Б. Васильев и М.И. Башмаков. Решение — в №11–1970. Статья Е.М. Андреева <Невписываемые многогранники> восьмого номера 1970 года

15. Квадратная таблица размером n × n заполнена неотрицательными числами так,

что как сумма чисел любой строки, так и сумма чисел любого столбца равна 1.

Докажите, что из таблицы можно выбрать n положительных чисел, никакие два

из которых не стоят ни в одном столбце, ни в одной строке.

Н.Б. Васильев. Решение — в №11–1970. Комментарий — в статье М.И.Башмакова <Паросочетания и траспортные сети> четвёртого номера 1970 года

16. Многочлен с целыми коэффициентами, который при трёх различных целых значе-

ниях переменной принимает значение 1, не может иметь ни одного целого корня.

Докажите это. Н.Б. Васильев. Решение — в №12–1970

17. Крестьянин, подойдя к развилке двух дорог, расходящихся под углом 60

◦

,спросил:

<Как пройти в село NN?> Ему ответили: <Иди по левой дороге до деревни N —это

в восьми верстах отсюда,— там увидишь, что направо под прямым углом отходит

большая ровная дорога,— это как раз дорога в NN . А можешь идти другим путём:

сейчас по правой дороге; как выйдешь к железной дороге,— значит, половину пути

прошёл; тут поверни налево и иди прямо по шпалам до самого NN >. — <Ну,

а какой путь короче-то будет?> — <Да всё равно, что так, что этак, никакой

разницы.> И пошёл крестьянин по правой дороге.

Сколько вёрст ему придётся идти до NN? Больше десяти или меньше? А если

идти от развилки до NN напрямик? (Все дороги прямые.)

Н.Б. Васильев. Решение — в №12–1970

18. а) Для любой точки М описанной около правильного тре-

угольника АВС окружности длина одного из отрезков МА,

МВ и МС равна сумме длин двух других. Докажите это.

б) Три равные окружности касаются друг друга, а четвёртая

окружность касается всех трёх. Докажите, что для любой

точки четвёртой окружности длина касательной, проведённой

из неё к одной из трёх окружностей, равна сумме длин каса-

тельных, проведённых из неё к двум другим окружностям.

Н.Б. Васильев.

Решение — в №12–1970. Статья М.Ю. Панова и А.В. Спивака <Вписанные многоугольники> первого номера 1999 года

19. В бесконечной цепочке нервных клеток каждая может нахо-

диться в одном из двух состояний: <покой> и <возбуждение>.

Если клетка возбудилась, то она сразу посылает сигнал, ко-

торый через единицу времени (скажем, через миллисекунду)

доходит до обеих её соседок. Каждая клетка возбуждается

в том и только в том случае, если к ней приходит сигнал

только от одной из соседних клеток. Например, если в на-

чальной момент времени возбуждены три соседние клетки,

а остальные покоятся, то возбуждение будет распространяться следующим образом:

Пусть в начальный момент времени возбуждена только одна клетка. Сколько будет

возбуждённых клеток через 15 мсек? 65 мсек? 1000 мсек? вообще, через t мсек?

А если цепочка не бесконечная, а состоит из соединённых в окружность n клеток,

будет возбуждение поддерживаться бесконечно долго или затухнет?

Н.Б. Васильев. Начало решения — в

№12–1970 и №8–1971; окончание — в решении задачи М56 (восьмой номер 1971 года). Статья Д.Б. и М.Б. Фуксов <Арифметика биномиальных коэффициентов>

20. Разбейте правильный треугольник на миллион многоугольников так, чтобы любая

прямая пересекала не более сорока из них. ХХХI московская олимпиада. Решение — в №12–1970

21. Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин

которых равна 10. Докажите существование прямой, пересекающей по крайней

мере четыре из этих окружностей.

Из задач вечерней математической школы при МГУ. Решение — в №2–1971

22. а) В угол вписаны две окружности; их общая внутренняя касательная Т

(где Т

и Т

— точки касания) пересекает стороны угла в точках А

и А

.Докажите

равенство А

= А

(или, что эквивалентно, А

= А

б) В угол вписаны две окружности, одна из которых касается сторон угла в

точках K

и K

, другая — в точках L

и L

. Докажите, что прямая К

высекает на окружностях хорды равной длины. Н.Б. Васильев. Решение — в №2–1971

23. Для любого натурального числа n , большего единицы, отношение произведения

первых n чётных чисел к произведению первых n нечётных чисел больше чис-

ла

√

8n/3, но меньше

√

4n. Докажите эти неравенства.

А.О. Гельфонд. Решение — в №2–1971; статья Е. Николаева <Случай с методом математической индукции> седьмого номера 1970 года

24. Любую дробь m/n ,гдеm и n — натуральные числа, 1 <m<n, можно предста-

вить в виде суммы нескольких дробей вида 1/q , причём таких, что знаменатель

каждой следующей из этих дробей делится на знаменатель предыдущей дроби.

Докажите это.

Например,

330

14 190

. Н.Б. Васильев. Решение — в №2–1971

25. В множестве, состоящем из n элементов, выбрано 2

n−1

подмножеств, каждые три

из которых имеют общий элемент. Докажите, что все эти подмножества имеют

общий элемент. Н.Б. Васильев. ХХХ московская олимпиада. Решение — в №2–1971

26. Предположим, что в каждом номере задачника <Кванта> будет пять задач по ма-

тематике, а журнал выходит ежемесячно. Обозначим через f(x, y) номер первой

из задач x-го номера за y-й год. Напишите формулу для f(x, y), где 1 x 12 и

1970 x 1989. Решите уравнение f(x, y)=y.

Например, f(6, 1970) = 26. Начиная с 1990 года, количество задач стало менее предска-

зуемым: до конца 2008 года в последние годы в половине номеров по 5 задач, а в других —

по 10; с 2009 года в некоторых номерах 7 задач, а в некоторых — 8. Да и самих номеров

журнала сейчас уже не 12, а 6. Задачник четвёртого номера 2006 года начинается с

задачи М2006.

Н.Б. Васильев. Решение — в №3–1971

27.Если

b−c

c−a

a−b

=0,то

(b−c)

(c−a)

(a−b)

=0. Докажите это.

Н.Б. Васильев. Решение — в №3–1971

28.

∗

а) Из 19 шаров 2 радиоактивны. Про любую кучку шаров за одну проверку можно

узнать, есть в ней хотя бы один радиоактивный шар или нет, но нельзя узнать,

сколько таких шаров в кучке. Докажите, что за 8 проверок можно выделить оба

радиоактивных шара.

б) Из 11 шаров 2 радиоактивны. Докажите, что менее чем за 7 проверок нельзя

гарантировать выделение обоих радиоактивных шаров.

А.Н. Виленкин. XXX московская олимпиада. Решение — в №3 и №4–1971

29. На столе лежат n одинаковых монет, образуя замкнутую цепочку. Центры монет

образуют выпуклый многоугольник. а) Сколько оборотов сделает монета такого же

размера за время, пока она один раз прокатится по внешней стороне всей цепочки,

как показано на рисунке?

б) Как изменится ответ, если радиус этой монеты в k раз больше радиуса каждой

из монет цепочки? Н.Б. Васильев. Решение — в №4–1971

30. Любую конечную систему точек плоскости можно покрыть несколькими непере-

секающимися кругами, сумма диаметров которых меньше количества точек, а

расстояние между любыми двумя из которых больше 1. Докажите это. (Расстояние

между двумя кругами — это расстояние между их ближайшими точками.)

В.И. Арнольд. Решение — в №4–1971

31. Квадратный лист бумаги разрезают по прямой на две части. Одну из полученных

частей снова разрезают на две части, и так делают много раз. Какое наименьшее

число разрезов нужно сделать, чтобы среди полученных частей могло оказаться

ровно 100 двадцатиугольников?

И.Н. Бернштейн. Московская олимпиада, 1970 год. Решение — в №5–1971

32. Во всех клетках таблицы размером 100×100 стоят плюсы. Разрешено одновременно

изменить знаки во всех клетках одной строки или во всех клетках одного столбца.

Можно ли, проделав такие операции несколько раз, получить таблицу, где ровно

1970 минусов? А.В. Зелевинский. Московская олимпиада, 1970 год. Решение — в №5–1971

33.

∗

Рассмотрим натуральное число n>1000. Найдём остатки от деления числа 2

на

числа 1, 2, 3, ... , n и найдём сумму всех этих остатков. Докажите, что эта сумма

больше 2n. А.Г. Кушниренко. Московская олимпиада, 1970 год. Решение — в №5–1971

34. Если натуральное число делится на 10 101 010 101, то по крайней мере шесть цифр

его десятичной записи отличны от нуля. Докажите это.

А.К. Толпыго. Московская олимпиада, 1970 год. Решение — в №6–1971

35.

∗

Около сферы с радиусом 10 описан некоторый 19-гранник. Докажите, что на его

поверхности есть две точки, расстояние между которыми больше 21.

А.Г. Кушниренко. Московская олимпиада, 1970 год. Решение — в №6–1971

36. На плоскости нельзя расположить 7 прямых и 7 точек так, чтобы через каждую

из точек проходили 3 прямые и на каждой прямой лежали 3 точки. Докажите

это. Н.Б. Васильев. Решение — в №6–1971

37.

∗

В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число

так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки,

по модулю не превосходит единицы.

а) Докажите существование такого числа c , что сумма чисел в любом прямоуголь-

нике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше c; другими словами,

докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены.

б) Докажите, что можно взять c =4.

в) Улучшите оценку — докажите, что утверждение верно для c =3.

г) Постройте пример, показывающий, что при c<3 утверждение неверно.

Ю.И. Ионин. Решение — в №6–1971

38. Окружность, построенная на высоте СD прямоугольного треугольника АВС как

на диаметре, пересекает катет ВС вточкеK, а катет АС —вточкеМ. Отрезок

KМ пересекает высоту СD вточкеL. Длины отрезков СK, СL и СM составляют

геометрическую прогрессию (то есть СK/СL = СL/СM). Найдите величины острых

углов треугольника АВС. Л.М. Лоповок. Решение — в №6–1971

39.

∗

Пусть m — натуральное число, m>1. Целые неотрицательные числа x и y

удовлетворяют равенству x

− mxy + y

= 1 тогда и только тогда, когда x и y —

соседние члены последовательности ψ

=0, ψ

=1, ψ

= m, ψ

= m

− 1, ψ

= m

− 2m, ψ

= m

− 3m

+1, ... ,вкоторойψ

k+1

= mψ

− ψ

k−1

для любого

натурального k.Докажитеэто.(Например, все решения уравнения x

− 3xy + y

вцелыхчислах (x; y), где 0

x<y,— это пары (0;1), (1;3), (3;8), (8;21) соседних членов

последовательности 0, 1, 3, 8, 21, 55, ... , определяемой условиями ψ

=0, ψ

=1 и

k+1

=3ψ

− ψ

k−1

для любого натурального k.)

Ю.В. Матиясевич. Решение — в №7–1971 и в статье В.А. Сендерова и А.В. Спивака <Уравнения Пелля> четвёртого номера 2002 года

Этот красивый факт был использован Ю.В. Матиясевичем в его работе, посвящённой

десятой проблеме Д. Гильберта; об этом рассказано в седьмом номере <Кванта> за 1970 год.

Последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... называют последовательностью

Фибоначчи.

40. а) Найдите сумму 1 · n +2· (n −1) + 3 · (n − 2) + ...+ n · 1.

б) Решите более общую задачу: найдите величину S

n,k

, являющуюся суммой n −

− k + 1 слагаемых, m-е из которых, где 1 m n − k + 1, равно произведению

произведения чисел от m до k + m − 1 и произведения чисел от n − k +2− m

до n +1−m. В.Н. Березин. Решение — в №7–1971

41. Дана окружность, её диаметр AB иточкаC на этом диаметре. Постройте на окруж-

ности две точки X и Y , симметричные относительно диаметра АВ, для которых

прямая YC перпендикулярна прямой ХА.

Всесоюзная олимпиада, 1970 год, 8 класс. Решение — в №7–1971

42. Цифры некоторого семнадцатизначного числа записали в обратном порядке. Полу-

ченное число сложили с первоначальным. Докажите, что хотя бы одна из цифр

суммы чётна. Всесоюзная олимпиада, 1970 год, 8 класс. Решение — в №7–1971

43. Каждая сторона равностороннего треугольника разби-

та на n равных частей. Через точки деления прове-

дены прямые, параллельные сторонам. В результате

треугольник разбит на n

треугольничков. Каково наи-

большее возможное количество треугольничков в це-

почке, в которой ни один треугольничек не появляется

дважды и каждый последующий имеет общую сторону

с предыдущим?

Всесоюзная олимпиада, 1970 год, 8–10 классы. Решение — в №7–1971

44. Для любого натурального числа k существует бесконеч-

но много натуральных чисел t, не содержащих в деся-

тичной записи нулей и таких, что сумма цифр числа kt равна сумме цифр числа t.

Докажите это. Всесоюзная олимпиада, 1970 год, 10 класс. Решение — в №7–1971

45.

∗

а) Из любых 200 целых чисел можно выбрать 100 чисел, сумма которых делится

на 100. Докажите это.

б) Из любых 2n −1 целых чисел можно выбрать n, сумма которых делится на n.

Докажите это. Всесоюзная олимпиада, 1970 год, 9 класс. Решение — в №7 и №8–1971

46. Сколько в выпуклом n-угольнике может быть сторон, равных наибольшей диаго-

нали? Г.А. Гальперин. Всесоюзная олимпиада, 1970 год, 8 класс. Решение — в №7–1971

47. Из цифр 1 и 2 составили пять n-значных чисел так, что у каждых двух чисел

совпали цифры ровно в m разрядах, но ни в одном разряде не совпали все пять

чисел. Докажите неравенства

Всесоюзная олимпиада, 1970 год, 9–10 класс. Решение — в №7–1971

48. Биссектриса AD,медианаBM ивысотаCH остроугольного треугольника ABC

пересекаются в одной точке. Докажите неравенство BAC > 45

◦

Всесоюзная олимпиада, 1970 год, 9 класс. Решение — в №7–1971

49. На карточках написаны все числа от 11 111 до 99 999 включительно. Затем эти

карточки выложили в цепочку в произвольном порядке. Докажите, что полученное

444 445-значное число не является степенью двойки.

Всесоюзная олимпиада, 1970 год, 10 класс. 7–1971

50.

∗

Вершины правильного n-угольника покрашены несколькими красками (каждая —

одной краской) так, что точки одного и того же цвета служат вершинами пра-

вильного многоугольника. Докажите, что среди этих многоугольников есть два

конгруэнтных. Н.Б. Васильев. Всесоюзная олимпиада, 1970 год, 10 класс. Решение — в №8–1971

51. Если произведение трёх положительных чисел равно 1, а сумма этих чисел больше

суммы их обратных величин, то ровно одно из этих чисел больше 1. Докажите

это. Всесоюзная олимпиада, 1970 год, 8 класс. Решение — в №8–1971

52. Пять отрезков таковы, что из любых трёх можно составить треугольник. Докажите,

что хотя бы один из таких десяти треугольников остроугольный.

М. Серов. Всесоюзная олимпиада, 1970 год, 9 класс. Решение — в №8–1971

53. Через середину М стороны ВС и центр О вписанной в треугольник ABC окружнос-

ти проведена прямая, пересекающая высоту АН вточкеЕ. Докажите, что длина

отрезка АЕ равна радиусу вписанной окружности треугольника.

Всесоюзная олимпиада, 1970 год, 10 класс. Решение — в №8–1971

54. Два конгруэнтных прямоугольника расположены так, что

их контуры пересекаются в восьми точках. Докажите, что

площадь пересечения этих прямоугольников больше полови-

ны площади каждого из них.

Г.А. Гальперин. Всесоюзная олимпиада, 1970 год, 10 класс. Решение — в №8–1971

55. Множество всех натуральных чисел, в десятичных записях

которых не больше n цифр, разбили на два подмножества

следующим образом. В первое входят числа с нечётной сум-

мой цифр, а во второе — c чётной. Докажите, что для любого натурального числа

k n сумма k -х степеней всех чисел первого подмножества равна сумме k -х степе-

ней всех чисел второго подмножества.

Всесоюзная олимпиада 1970 года, 10 класс. Решение — в №8–1971

56. На окружности выписаны в произвольном порядке четыре единицы и пять нулей.

В промежутке между двумя одинаковыми числами пишем нуль, между разными

цифрами — единицу, а после этого первоначальные цифры стираем. Докажите,

что сколько бы раз мы ни повтoрили эту процедуру, мы никогда не получим набор

из девяти нулей. Е.Б. Дынкин, С.А. Молчанов, А.Л. Розенталь и А.К. Толпыго. Решение — в №8–1971

57. a) Найдите число k, которое делится на 2 и на 9 и имеет всего 14 делителей

(включая 1 и k ).

б) Докажите, что если заменить 14 на 15, то ответов будет несколько; а при

замене 14 на 17 ни одного не будет.

Е.Б. Дынкин, С.А. Молчанов, А.Л. Розенталь и А.К. Толпыго. Решение — в №8–1971

58. На плоскости даны три прямые, пересекающиеся в одной точке. На одной из них

отмечена точка. Прямые — биссектрисы некоторого треугольника, а отмеченная

точка — одна из его вершин. Постройте этот треугольник.

Е.Б. Дынкин, С.А. Молчанов, А.Л. Розенталь и А.К. Толпыго. Решение — в №8–1971

59. При каких n гири массами 1 г, 2 г, 3 г, ... , n г можно разложить на три равные

по массе кучки? (Например, при n =9 — можно: 9+6=8+7=5+4+3+2+1.)

Е.Б. Дынкин, С.А. Молчанов, А.Л. Розенталь и А.К. Толпыго. Решение — в №8–1971

60. Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых участвуют лишь

цифры 1 и 0. Разбейте эти числа на два непересекающихся подмножества так,

чтобы сумма любых двух различных чисел из одного и того же подмножества

содержала в своей десятичной записи не менее двух единиц.

Е.Б. Дынкин, С.А. Молчанов, А.Л. Розенталь и А.К. Толпыго. Решение — в №8–1971

1971 год

61. Выписаны числа 0, 1, 2, 3, ... , 1024. Играют два мудреца. Первый вычёркивает

по своему выбору 512 чисел, второй вычёркивает 256 из оставшихся чисел, затем

первый вычёркивает 128 чисел, потом второй — ещё 64 числа и так далее. Своим

последним пятым ходом второй вычёркивает одно число. Остаются два числа,

и второй платит первому разницу между этими числами. Как может играть

первый игрок, чтобы получить как можно больше? Как второй, чтобы проиграть

как можно меньше? Сколько уплатит второй первому, если оба будут играть

наилучшим образом? ХХХII московская олимпиада. Решение — в №9–1971

62. Для любого нечётного натурального числа a существует такое натуральное число b ,

что 2

− 1делитсянаa .Докажитеэто. Н.Б. Васильев. Решение — в №9–1971

63. Можно ли из 18 плиток размером 1 × 2 выложить квадрат так,

чтобы при этом не было ни одного прямого <шва>, соeдиняющего

противоположные стороны квадрата и идущего по краям плиток?

(Изображённое на рисунке расположение плиток не годится, поскольку

есть красный <шов>.)

А.А. Кириллов. Решение — в №9–1971

64. На плоскости даны прямая l идветочкиР и Q ,лежащиепоод-

ну сторону от неё. Найдите на прямой l точку М, для которой

расстояние между основаниями высот треугольника РQМ,опу-

щенных на стороны РМ и QМ, наименьшее. Г.А. Палатник. Решение — в №10–1971

65.а) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC

отметим соответственно точки K , L и M таким

образом, что

= k.Найдитеотноше-

ние площади треугольника, образованного прямыми

АK, BL и CM, к площади треугольника АВС.

б) Разрежьте произвольный треугольник шестью

прямыми на части, из которых можно сложить семь

равных треугольников. А.Л. Сойфер. Решение — в №10–1971

66. Вот несколько примеров, когда сумма квадратов k последовательных натуральных

чисел равна сумме квадратов k − 1 следующих натуральных чисел:

+37

+38

+39

+40

=41

+42

+43

+44

+56

+57

+58

+59

+60

=61

+62

+63

+64

+65

Найдите общую формулу, охватывающую все такие случаи.

А.И. Милованов. Решение — в №10–1971

67. Ювелиру заказали золотое кольцо шириной h, имеющее форму тела, ограниченного

поверхностью шара с центром О и поверхностью цилиндра радиуса r , ось которого

проходит через точку О. Мастер сделал такое колечко, но выбрал r слишком

маленьким. Сколько золота ему придётся добавить, если r нужно увеличить в

k раз, а ширину h оставить прежней? Н.Б. Васильев. Решение — в №10–1971

68. Сеть линий, изображённая на рисунке, состоит из концентрических окружностей

с радиусами 1, 2, 3, 4, ... и центром в точке О , прямой l, проходящей через

точку О, и всевозможных касательных к окружностям, параллельных l.Вся

плоскость разбита этими линиями на клетки, которые раскрашены в шахматном

порядке. В цепочке красных точек, показанных на рисунке, каждые две соседние

точки являются противоположными вершинами синей клетки. Докажите, что