Васильев Н.Б. (ред.) Задачник Кванта. Математика. Части 1 и 2
Подождите немного. Документ загружается.
2023. a, b, c — ненулевые целые числа, сумма которых равна 0. Докажите, что
а) (ab)
5
+(bc)
5
+(ca)
5
делится на (ab)
2
+(bc)
2
+(ca)
2
;
б) если n − 1 делится на 3, то a
n
+ b
n
+ c
n
делится на a
4
+ b
4
+ c
4
;
в) если n −2 делится на 3, то (ab)
n
+(bc)
n
+(ca)
n
делится на (ab)
2
+(bc)
2
+(ca)
2
.
В.В. Произволов и В.А. Сендеров. Решение — в №3–2007
2024. Существует ли выпуклый многоугольник, множество длин сторон которого совпа-
дает с множеством длин его диагоналей (то есть каждая сторона которого равна
какой-то его диагонали, а каждая диагональ равна какой-то стороне)?
Б.Р. Френкин. II Всероссийская олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина. Решение — в №3–2007
2025.
∗
Докажите следующие утверждения.
а) Для любого нечётного натурального числа n существует возрастающая арифмети-
ческая четырёхчленная прогрессия, состоящая из натуральных чисел, произведение
членов которой является n-й степенью натурального числа.
б) Произведение никаких четырёх натуральных чисел, образующих возрастающую
арифметическую прогрессию, не является квадратом натурального числа.
В.А. Сендеров. Решение — в №3–2007. Статья В.А. Сендерова и Б.Р.Френкина <Гипотеза Каталана> четвёртого номера 2007 года
251
2007 год
2026.Насторонах AB , BC , CD и DA квадрата ABCD вы-
браны точки K, L, M и N соответственно так, что
LAM =45
◦
, KL AM и AL NM . Отрезок KN пересе-
кает отрезки AL и AM вточкахF и G соответственно.
Докажите равенство площади треугольника AFG сумме
площадей треугольников KLF и MNG .
В.В. Произволов. Решение — в №4–2007
2027. На доске написаны натуральные числа a, b и c. Петя
записывает на листок произведение некоторых двух из
этих чисел, а третье число уменьшает на 1. С новыми
числами он проделывает ту же операцию, и так действу-
ет до тех пор, пока хотя бы одно из чисел не окажется
равно нулю. Найдите сумму чисел, написанных на листке.
Е. Горский и С.А. Дориченко. XXVIII Турнир городов. Решение — в №4–2007
2028. Вруны всегда лгут, правдивые всегда говорят правду, а хитрецы могут и врать, и
говорить правду. Можно задавать только вопросы, ответы на которые — <да> или
<нет>.
а) Перед нами трое — врун, правдивый и хитрец, которые знают друг про друга,
кто из них кто. Найдите способ это узнать.
б) Перед нами четверо — врун, правдивый и два хитреца. Они знают друг про
друга, кто из них кто. Докажите, что хитрецы могут договориться отвечать так,
что мы, задавая им вопросы, не сможем ни про кого узнать наверняка, кто он.
Б. Гинзбург и М. Гервер. XXVIII Турнир городов. Решение — в №4–2007
2029. Арифметическая и геометрическая прогрессия состоят только из натуральных чи-
сел. Каждое число, встречающееся в геометрической прогрессии прогрессии, встре-
чается и в прогрессии арифметической. Докажите, что знаменатель геометрической
прогрессии — натуральное число. Б.Р. Френкин. XXVIII Турнир городов. Решение — в №4–2007
2030. Можно ли вписать октаэдр в куб так, чтобы вершины октаэдра находились на
рёбрах куба? Л. Радзивиловский. XXVIII Турнир городов. Решение — в №4–2007
2031. Прямые, содержащие медианы треугольника ABC, выходящие из вершин A, B
и C , вторично пересекают его описанную окружность в точках A
1
, B
1
и C
1
соответственно. Прямые, проходящие через точки A, B и C параллельно противо-
положным сторонам треугольника, пересекают эту окружность вторично в точках
A
2
, B
2
и C
2
соответственно. Докажите, что прямые A
1
A
2
, B
1
B
2
и C
1
C
2
пересека-
ются в одной точке.
А.А. Заславский. II Всероссийская олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина. Решение — в №4–2007
2032. а) Существует ли такое натуральное число n , что для любого натурального числа k
хотя бы одно из чисел n
k
− 1иn
k
+ 1 представимо в виде a
b
для некоторых
натуральных чисел a и b,гдеb>1?
б*) Назовём натуральное число антипростым, если оно делится на квадрат любого
своего простого делителя. Два натуральных числа называем близнецами, если они
отличаются на 2. Конечно или бесконечно множество пар антипростых чисел-
близнецов? В.А. Сендеров. Решение — в №4–2007. Статья В.Сендерова и Б.Р. Френкина <Гипотеза Каталана> четвёртого номера 2007 года
2033. У ведущего имеется колода из 52 карт. Зрители хотят узнать, в каком порядке
лежат карты (не уточняя, сверху вниз или снизу вверх). Разрешено задавать ве-
дущему вопросы вида <Сколько карт лежит между такой-то и такой-то картами?>.
252
Один из зрителей знает, в каком порядке лежат карты. Какое наименьшее число
вопросов он должен задать, чтобы остальные зрители по ответам на эти вопросы
могли узнать порядок карт в колоде? А.В. Шаповалов. Решение — в №4–2007
2034.НасторонахBC , AC и AB треугольника ABC взяты точки X , Y и Z соответственно
так, что треугольник XYZ подобен треугольнику ABC ,тоесть A = X, B =
= Y и C = Z. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC
равноудалён от точек пересечения высот треугольников ABC и XYZ .
Н. Николов (Болгария). Решение — в №4–2007
2035. В ряд выписано несколько положительных чисел, ни одно из которых не превос-
ходит числа 1. Докажите, что их можно разделить на а) три; б*) любое наперёд
заданное число групп подряд идущих чисел так, чтобы суммы чисел в любых двух
группах отличались не более чем на 1. (Если в группе нет ни одного числа, то
сумму её чисел считаем равной 0.) М. Малкин, И. Богданов и Г. Челноков. Решение — в №4–2007
2036. Андрей, Боря и Саша поделили 20 монет так, что не все работы достались одному
из них. После этого каждую минуту один из ребят отдаёт по одной монете двум
другим. Через некоторое у Андрея, Бори и Саши оказалось a, b и c монет
соответственно. Найдите количество возможных троек (a, b, c).
П.А. Кожевников. Решение — в №5–2007
2037. Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E ;точкиK
и M — середины сторон AB и CD ; L и N —проекцииточкиE на стороны BC
и AD . Докажите перпендикулярность прямых KM и LN.
П.А. Кожевников. Решение — в №5–2007
2038. Фома и Ерёма делят кучу кусков сыра. Сначала Фома, если хочет, выбирает один
кусок и режет его на два. Затем он раскладывает сыр на две тарелки. После этого
Ерёма выбирает одну тарелку, и они делят сыр на ней, беря себе по очереди по
куску; начинает Ерёма. Так они делят сыр со второй передачи, только первым
начинает Фома. Докажите, что Фома всегда может действовать так, чтобы получить
не менее половины сыра (по массе). А.В. Шаповалов и П.А. Кожевников. Решение — в №5–2007
2039. Для любого натурального n>1 существует натуральное число z, не представимое
ввидеx
n
− y!, где x и y — натуральные числа. Докажите это.
В.А. Сендеров. Решение — в №5–2007
2040. Положительные числа x
1
, x
2
, ... , x
n
удовлетворяют неравенствам
x
2
1
+ x
2
2
+ ...+ x
2
n
<
x
1
+ x
2
+ ...+ x
n
2
<
x
3
1
+ x
3
2
+ ...+ x
3
n
4
.
а) Докажите неравенство n>50.
б) Укажите хотя бы один пример таких чисел.
в*) Найдите наименьшее n, для которого такой пример возможен.
А. Толпыго и И.Богданов. XXVIII Турнир городов.”Решение — в №5–2007
2041. Какое наименьшее число ладей нужно расставить на шахматной доске, чтобы все
белые клетки оказались под боем (то есть для любой белой клетки либо на ней
стояла ладья, либо была хотя бы одна ладья в той же вертикали или в той же
горизонтали)? Р.Г. Женодаров. XXVIII Турнир городов. Решение — в №6–2007
2042.При0<x<
π
2
докажите неравенство (tg x)
sin x
+(ctgx)
cos x
2.
Н.Х. Агаханов и И. Богданов. III этап XXXIII Всероссийской олимпиады. Решение — в №6–2007
253
2043. Существует ли такой набор <Юный паркетчик> из четырёх конгруэнтных четырёх-
угольников и одного квадрата, что из всех пяти деталей можно сложить квадрат,
а из трёх конгруэнтных четырёхугольников этого набора — равносторонний тре-
угольник? О. Нечаева. Решение — в №6–2007
2044. Существует ли такой многочлен f чётной степени, что для любого числа a уравне-
ние f(x)=a имеет чётное число решений?
П.А. Кожевников. XXVIII Турнир городов. Решение — в №6–2007
2045. На доске записано число 111 ...11
| {z }
99 единиц
. Двоеиграютвследующую игру. Игроки ходят
по очереди, каждым ходом разрешено записать ноль вместо одной из единиц, только
не первой и не последней, либо стереть один из нулей. Если после некоторого
хода число делится на 11, то сделавший ход игрок проиграл. Кто выиграет при
правильной игре? М. Мурашкин. III этап XXXIII Всероссийской олимпиады. Решение — в №6–2007
2046. Муха села в полдень на секундную стрелку и поехала, соблюдая следующее пра-
вило: если одна стрелка обгоняет другую и муха сидит на одной из этих стрелок,
то муха пересаживается на обгоняющую стрелку. Сколько оборотов сделает муха
к полуночи? С.Г. Волчёнков. Решение — в №6–2007
2047.Източки T , расположенной внутри треугольника ABC ,стороныAB, BC и CA
видны под углом величиной 120
◦
каждая. Докажите, что прямые, симметричные
прямым AT, BT и CT относительно прямых BC , CA и AB соответственно, пересе-
каются в одной точке. А.А. Заславский. XXVIII Турнир городов. Решение — в №6–2007
2048. Найдите наибольшее натуральное число k, для которого существует такое натураль-
ное число n, что каждое из чисел n, n
2
, ... , n
k
представимо в виде x
2
+ y
2
+1,
где x и y — целые числа. В.А.Сендеров. Решение — в №6–2007
2049. От правильного октаэдра с ребром 1 отрезали 6 углов — пирамид с квадратными
основаниями и боковыми рёбрами длины 1/3. Получили многогранник, грани
которого — квадраты и правильные шестиугольники. Можно ли копиями этого
многогранника замостить пространство?
А.Я. Канель–Белов. XXVIII Турнир городов. Решение — в №6–2007
2050. В однокруговом турнире по волейболу участвовали 2
n
команд, ничьих не было.
Назовём команду плохой, если она выиграла у победительницы турнира. Бог
планирует провести турнир по олимпийской системе, причём хочет, чтобы все
встречи закончились так же, как в предыдущем турнире. Докажите, что можно
так составить расписание, что победит та же команда, что в предыдущем турнире,
а все плохие команды проиграют уже в одном из двух первых турах.
И. Богданов, Б.Р. Френкин и Л. Остроумова
2051. Если числа a, b и c положительные и (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b)=abc,то
a = b = c.Докажитеэто. В.В. Произволов. Решение — в №1–2008
2052. а) Рассмотрим окружность и её хорду AB . Найдите множество точек M,находя-
щихся от прямой AB на расстоянии, равном длине касательной, проведённой из
точки M к рассматриваемой окружности. Докажите следующие утверждения.
б) Для любых двух парабол, описанных около одной окружности и пересекающихся
в четырёх точках, диагонали <параболического четырёхугольника> перпендикуляр-
ны.
в) Для любых двух парабол, описанных около одной окружности и пересекающихся
в двух точках, оси парабол наклонены под одним и тем же углом к прямой,
проходящей через точки пересечения этих парабол.
г) Для любых трёх парабол, описанных около одной окружности и таких, что любые
254
две из них пересекаются в четырёх точках, главные диагонали <параболического
шестиугольника> пересекаются в одной точке. Десятиклассник Ф. Нилов. Решение — в №1–2008
2053.Пустьn>3. Докажите, что существуют такие целые отличные от нуля числа x
1
,
x
2
, ... , x
n
,что
x
1
x
2
...x
n
=(x
2
+ x
3
+ ...+ x
n
)(x
1
+ x
3
+ ...+ x
n
) ...(x
1
+ x
2
+ ...+ x
n−1
).
С.И. Токарев и В.А. Сендеров. Решение — в №1–2008
2054. Обозначим P(x)=x
2
+ x + 1. Существуют ли такие натуральные числа x
1
, x
2
,
... , x
n
, k
1
, k
2
, ... , k
n
,гдеа)n =2; б) n — нечётное число; в) n =4, что
P(x
1
)=x
2
k
2
, P(x
2
)=x
3
k
3
, ... , P(x
n
)=x
1
k
1
?
В.А. Сендеров и Б.Р. Френкин. LXX московская олимпиада. Решение — в №1–2008
2055. Клетки бесконечной вправо клетчатой полоски последовательно пронумерованы
целыми неотрицательными числами. На некоторых клетках лежат камни. Если
на n-й клетке лежат ровно n камней, разрешено снять их с неё и разложить по
одному на клетки с номерами, меньшими n. Алексей распределил 2006! камней
по клеткам, начиная с первой, так, что все камни можно собрать в нулевой клетке,
сделав несколько операций. Найдите минимально возможный номер клетки, на
которую он мог положить камень.
Ф. Бахарев и И. Богданов. X кубок памяти А.Н. Колмогорова. Решение — в №1–2008
2056. Найдите наименьшее натуральное число, все цифры которого равны 1, являющееся
разностью между некоторым натуральным числом и числом, полученным из него
перестановкой цифр. Н.Х. Агаханов. XXXIII Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2008
2057. 25 мальчиков и несколько девочек собрались на вечеринке и обнаружили следую-
щую закономерность. Если к любому множеству мальчиков, состоящего не менее
чем из 10 элементов, добавить всех девочек, знакомых хотя бы с одним из этих
мальчиков, то в полученном множестве мальчиков на одного меньше, чем девочек.
Докажите, что некоторая девочка знакома не менее чем с 16 мальчиками.
С.Г. Волчёнков. XXXIII Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2008
2058. Длины пяти из восьми отрезков, соединяющих вершины выпуклого четырёхуголь-
ника с серединами сторон, которым не принадлежат эти вершины, равны. Дока-
жите равенство длин всех восьми отрезков. Н.Х. Агаханов и В.А. Сендеров. Решение — в №2–2008
2059. Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных
чисел, содержит куб некоторого натурального числа. Докажите, что она содержит
и некоторый куб, не являющийся квадратом.
И. Богданов и В.А. Сендеров. XXXIII Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2008
2060. Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, CA и AB вточках
A
, B
и C
соответственно. Отрезок AA
вторично пересекает вписанную окруж-
ность в точке Q.Прямаяl параллельна стороне BC и проходит через точку A .
Прямые A
C
и A
B
пересекает прямую l вточках P и R соответственно. Дока-
жите равенство углов PQR и B
QC
.
А. Полянский. XXXIII Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2008
2061. В таблице размером 10 × 10 расставлены числа от 1 до 100 следующим образом:
в верхней строке числа от 1 до 10 слева направо, во второй сверху — от 11 до
20 слева направо, и так далее. Андрей хочет разрезать таблицу на двухклеточ-
ные прямоугольники, перемножить числа в каждом прямоугольнике и сложить
полученные 50 произведений. Как следует разрезать квадрат, чтобы получить как
можно меньшую сумму? А. Бадзян. XXXIII Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2008
255
2062. Фокусник Арутюн и его помощник Амаяк собираются показать следующий фокус.
На доске нарисована окружность. Зрители отмечают на ней 2007 разных точек,
затем Амаяк стирает одну из них. После этого фокусник впервые входит в комнату,
смотрит на рисунок и отмечает полуокружность, на которой лежала стёртая точка.
Докажите, что Арутюн может так договориться с Амаяком, что фокус гарантиро-
ванно удастся. А. Акопян и И. Богданов. XXXIII Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2008
2063. Назовём многогранник хорошим, если его объём, измеренный в кубометрах, числен-
но равен площади его поверхности, измеренной в квадратных метрах. Существует
ли хороший тетраэдр, размещённый внутри некоторого хорошего параллелепипеда?
М. Мурашкин. XXXIII Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2008
2064. Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает
стороны AB и AC вточкахD и E соответственно. Отрезки CD и BE пересекаются
вточке O . Докажите, что середина меньшей из дуг DE лежит на прямой,
проходящей через центры вписанных окружностей треугольников ADE и ODE .
М. Исаев. XXXIII Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2008
2065.Еслиx
1
— рациональное число, причём x
1
> 1, то хотя бы один член последова-
тельности, заданной рекуррентной формулой x
n+1
= x
n
+
1
[x
n
]
,гдеn =1,2,3,... ,
является целым числом. Докажите это. А. Голованов. Решение — в №2–2008
2066. Квадрат со стороной 1 разрезан на 100 прямоугольников одинакового периметра p .
Найдите наибольшее возможное значение величины p.
А.В. Шаповалов и С. Берлов. Решение — в №3–2008
2067. Если число, десятичная запись которого состоит из n единиц, делится на n ,тоn
делится на 3. Докажите это. Р. Ковалёв. Решение — в №3–2008
2068. В футбольном турнире участвуют mn команд, где m 2иn 2 . Командам
присвоены номера 1, 2, ... , mn в соответствии с результатами предварительного
этапа. Организаторы собираются разбить команды на m групп по n команд так,
чтобы для любых двух команд сумма номеров согруппниц той из этих двух команд,
номер которой меньше, была больше. При каких m и n желание организаторов
осуществимо? И.Ф. Акулич и П.А.Кожевников. Решение — в №3–2008
2069. Обозначим через y расстояние от действительного числа y до ближайшего целого
числа. Определим для иррационального числа x последовательность натуральных
чисел q
1
, q
2
, q
3
... рекуррентно: q
1
= 1, а для любого натурального числа k
число q
k+1
— это такое наименьшее натуральное число, для которого выполнено
неравенство q
k+1
x < q
k
x. Докажите для любого натурального k неравенство
q
k+2
q
k
+ q
k+1
. В. Быковский. Решение — в №3–2008
2070. ABCDEF — выпуклый шестиугольник. Докажите, что главные диагонали шести-
угольника, являющегося пересечением треугольников ACE и BDF, пересекаются в
одной точке тогда и только тогда, когда
S
a
S
c
S
e
S
ACE
=
S
b
S
d
S
f
S
BDF
,
где S
ACE
и S
BDF
— площади треугольников ACE и BDF соответственно, а S
a
, S
b
,
S
c
, S
d
, S
e
и S
f
— площади закрашенных на рисунке треугольников, примыкающих
кточкамA, B , C, D , E и F соответственно.
С.А. Дориченко. Статья <Вокруг шестиугольника> четвёртого номера 2008 года
256
2008 год
2071. Универсальным числом U(n) назовём минимальное натуральное число, из деся-
тичной записи которого вычёркиванием цифр можно получить десятичную запись
любого натурального числа, не превосходящего n. Сколько цифр в десятичной
записи числа U(2008)? С.Г. Волчёнков и П.А. Кожевников. Решение — в №4–2008
2072.Найдите(n + 1)-ю цифру после запятой в десятичной записи квадратного корня из
числа 10
2n
− 1. Я. Алиев и П.А. Кожевников. Решение — в №4–2008
2073. Две окружности пересекаются в точках P и Q.ТочкаC — произвольная точка
одной из этих окружностей, отличная и от P,иотQ.ТочкиA и B — вторые
точки пересечения прямых CP и CQ с другой окружностью. Найдите множество
центров описанных окружностей треугольников ABC.
А.А. Заславский и
П.А. Кожевников. III Всероссийская олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина. Решение — в №4–2008
2074. Посетитель обходит залы музея по следующему правилу. Находясь в некотором
зале, он выбирает из всех соседних залов тот, который до этого был посещён им
меньшее число раз, и переходит в него (если таких залов несколько, то переходит
в любой из них). Из любого зала музея можно пройти в любой другой. Верно ли,
что посетитель через некоторое время обойдёт все залы?
С.Г. Волчёнков и П.А. Кожевников. Решение — в №4–2008
2075. Каждое из рёбер выпуклого многогранника параллельно перенесено так, что рёбра
образовали каркас нового выпуклого многогранника. Обязательно ли он конгруэн-
тен исходному?
А.А. Заславский. III Всероссийская олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина. Решение — в №4–2008
2076. Найдите все функции f , определённые на всей вещественной оси и удовлетворяю-
щей для любого ненулевого числа x и для любого числа y равенству xf(y)−yf(x)=
= f(y/x). Э. Туркевич. Решение — в №4–2008
2077. Для каждого натурального n найдите такое наименьшее натуральное число k,что
в любой таблице размером n × n, заполненной действительными числами, можно
так увеличить не более k чисел, чтобы сумма чисел любого столбца стала равна
сумме чисел любой строки. П.А. Кожевников. Решение — в №4–2008
2078. A
, B
и C
— основания высот остроугольного треугольника ABC. Окружность с
центром B и радиусом BB
пересекает прямую A
C
вточкахK и L , расположен-
ных по одну сторону от прямой BB
. Докажите, что точка пересечения прямых AK
и CL лежит на прямой BO ,гдеO — центр вписанной окружности треугольника
ABC.
В.Ю. Протасов. III Всероссийская олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина. Решение — в №4–2008
2079. Существует ли такая тройка попарно взаимно простых чисел a , b и c,б
´
ольших
10
10
,что a
8
+ b
8
+ c
8
делится на a
4
+ b
4
+ c
4
? В.А. Сендеров. Решение — в №4–2008
2080.
∗
Пусть e
1
= (0; 1), e
2
= (1; 0) и e
n+2
= e
n+1
+ e
n
для любого натурального n.
Отложим от начала координат все векторы, являющиеся суммами нескольких из
векторов этой последовательности (сумма может состоять даже из одного слагаемого
и таком случае совпадает с ним). Докажите, что множество концов отложенных
векторов состоит из всех точек с неотрицательными координатами, лежащих внутри
некоторой полосы, кроме точки (0; 0). И. Богданов и И. Пушкарёв. Решение — в №4–2008
2081. На доске записаны три положительных числа: x , y и 1. Разрешено дописывать на
доску сумму или разность каких-нибудь уже записанных чисел или записать число,
обратное к какому-нибудь из уже записанных чисел. Всегда ли можно получить на
доске число а) x
2
;б)xy ? Г.А. Гальперин. XXIX Турнир городов. Решение — в №5–2008
257
2082. Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P.Точки
K, L, M и N — середины сторон AB , BC, CD и DA соответственно. Докажите
равенство радиусов описанных окружностей треугольников PKL, PLM, PMN и
PKN. А.А. Заславский. XXIX Турнир городов. Решение — в №5–2008
2083. Полоса состоит из n клеток. Один игрок ставит крестики, другой — нолики.
Запрещено одинаковым знакам оказываться в соседних клетках. Запрещено и
ставить знак в уже занятую клетку. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Кто выиграет при правильной игре, начинающий или его противник?
Б.Р. Френкин. XXIX Турнир городов. Решение — в №5–2008
2084.
∗
Решите уравнение x
6
+ x
5
+ x
4
+ x
3
+ x
2
+ x +1=y
5
− 1 в целых числах.
А. Ефимов. Решение — в №5–2008
2085.
∗
Среди участников некоторого соревнования некоторые дружат между собой, причём
это отношение симметрично: если Батин дружит с Ватиным, то и Ватин дружит
с Батиным. Множество участников называют кликой, если каждые двое из них
дружат. Пусть наибольшее возможное количество людей в клике, состоящей из
участников соревнования, чётное. Докажите, что всех участников соревнования
можно так рассадить в две комнаты, чтобы наибольшее возможное число людей в
клике одной из этих комнат равнялось наибольшему возможному числу людей в
клике второй из этих комнат.
В. Астахов, М.Илюхина и Д. Фон-Дер-Флаасс. XLVIII международная олимпиада. Решение — в №5–2008
2086. Даны арифметические прогрессии a
1
, a
2
, a
3
, ... и b
1
, b
2
, b
3
, ... , состоящие
из натуральных чисел. Известно, что a
1
= b
1
и что для каждого натурального n
разность a
n
− b
n
делится на n. Докажите равенство a
2
= b
2
.
Н. Калинин. Решение — в №6–2008
2087. Шахматная фигура <прожектор> бьёт один из углов, на которые делят доску про-
ходящие через неё горизонталь и вертикаль, включая примыкающие к углу клетки
горизонтали и вертикали. Например, прожектор в левом нижнем углу может бить
либо одну клетку, либо нижнюю горизонталь, либо левую вертикаль, либо всю дос-
ку. Какое наибольшее число прожекторов можно расставить на шахматной доске
так, чтобы они не били друг друга? А.В. Шаповалов. Решение — в №6–2008
2088. Для положительных чисел x, y и z , сумма которых равна 1, докажите неравенство
x
2
+3xy
x+y
+
y
2
+3yz
y+z
+
z
2
+3zx
z+x
2. Р. Пиркулиев и П.А. Кожевников. Решение — в №6–2008
2089. D — середина стороны AC треугольника ABC.ТочкиA
1
и A
2
— центры впи-
санной и касающейся отрезка AB вневписанной окружности треугольника ABD.
Аналогично для треугольника CBD определим точки C
1
и C
2
. Докажите, что
четырёхугольник A
1
A
2
C
2
C
1
вписанный. Л. Емельянов. Решение — в №6–2008
2090.Пустьc
1
, c
2
, ... , c
n
— действительные числа, S
1
= c
1
, S
2
= c
1
+ c
2
, S
3
= c
1
+
+ c
2
+ c
3
, ... , S
n
= c
1
+ c
2
+ ...+ c
n
. Буквами m и M обозначим соответственно
минимальное и максимальное из чисел S
1
, S
2
, ... , S
n
. Докажите неравенства:
а) m c
1
+
c
2
2
+
c
3
3
+ ...+
c
n
n
M;
б) mn nc
1
+(n − 1)c
2
+ ...+ c
n
nM;
в) α
1
m α
1
c
1
+ α
2
c
2
+ ...+ α
n
c
n
α
1
M для любой невозрастающей последователь-
ности положительных чисел α
1
, α
2
, ... ,α
n
. А.А. Егоров. Решение — в №6–2008
2091. Для любых натуральных чисел m и n ,гдеn>2, существуют n попарно взаимно
простых чисел, каждое из которых больше 10
10
, сумма m -х степеней которых
делится на их сумму. Докажите это. В.А. Сендеров. Решение — в №6–2008
258
2092. На рёбрах AB, BC , CD и DA тетраэдра ABCD взяты точки K , L, M и N
соответственно. Точки K
, L
, M
и N
симметричны точкам K, L , M и N
относительно середин рёбер AB , BC, CD и DA соответственно. Докажите равенство
объёмов тетраэдров KLMN и K
L
M
N
. П.А. Кожевников. Решение — в №6–2008
2093. Фокуснику завязывают глаза, а зритель выкладывает в ряд n одинаковых монет,
сам выбирая, какие орлом вверх, а какие — решкой. Ассистент фокусника просит
зрителя написать на бумаге любое натуральное число от 1 до n и показать его всем
присутствующим. Увидев число, ассистент указывает на одну из монет и просит
перевернуть её. Затем фокуснику завязывают глаза, он смотрит на ряд монет и
пытается определить написанное зрителем число. Найдите все n, для которых у
фокусника и его ассистента есть способ гарантированно безошибочно отгадывать
число. С. Грибок, Л. Медников и А.В.Шаповалов. XXIX Турнир городов. Решение — в №6–2008
2094. На плоскости нарисованы выпуклые многоугольники P и Q. Для каждой из
сторон многоугольника P рассмотрим ширину h многоугольника Q в соответству-
ющем направлении (которая определяется следующим образом: зажимаем Q между
прямыми, параллельными выбранной стороне многоугольника P, и обозначаем че-
рез h расстояние между этими прямыми) и умножим h на длину l выбранной
стороны многоугольника P. Просуммировав все произведения hl по всем сторо-
нам многоугольника P , получим некоторую сумму s(P, Q). Докажите равенство
s(P, Q)=s(Q, P).
Д. Звонкин. XXIX
Турнир городов. Поправка к условию — на странице 17 шестого номера 2008 года. Решение — в №6–2008
2095. Перед Алёшей — 100 закрытых коробочек, в каждой — либо красный, либо синий
кубик. У Алёши на счёте есть рубль. Алёша подходит к любой закрытой коробочке,
объявляет цвет и ставит любую сумму (можно нецелое число копеек, но не больше,
чем у него на счёте на данный момент). Коробочка открывается, и счёт Алёши
увеличивается или уменьшается на поставленную сумму в зависимости от того,
угадан или не угадан цвет кубика. Игра продолжается до тех пор, пока не будут
вскрыты все коробочки. Какую наибольшую сумму на счёте может гарантировать
себе Алёша, если ему известно, что синих кубиков ровно n ?
А. Буфетов, Л. Медников и А.В.Шаповалов. XXIX Турнир городов. Решение — в №6–2008
2096. Депутаты парламента образовали 2008 комиссий, каждая — не более чем из 10 че-
ловек. Любые 11 комиссий имеют хотя бы одного общего члена. Докажите, что
существует человек, входящий во все комиссии. Ф. Петров. Решение — в№1–2009
2097. Найдите все такие простые числа p вида a
2
+ b
2
+ c
2
,чтоa
4
+ b
4
+ c
4
делится
на p. В.А. Сендеров. Решение — в №1–2009
2098. Двое играют, делая ходы по очереди: первый рисует на плоскости многоугольник,
не имеющий ни с одним из ранее нарисованных многоугольников общих внутренних
точек, а второй раскрашивает очередной многоугольник в один из 2008 цветов.
Второй игрок хочет, чтобы любые два многоугольника, граничащие по отрезку,
были разных цветов. Может ли первый игрок помешать второму?
Е.Я. Гик и П.А. Кожевников. Решение — в №1–2009
2099. a
0
>a
1
>a
2
> ... > a
s
= 0 — последовательность целых чисел, причём числа
a
0
и a
1
взаимно просты, а все остальные члены последовательности равны остатку
от деления предыдущего члена последовательности на предпредыдущий. Построим
последовательность b
0
=0, b
1
=1, b
k+1
= b
k−1
+b
k
a
k−1
a
k
при 1 <k<s.Докажите
равенство b
s
= a
0
. В. Быковский. Решение — в №1–2009
2100. В угол с вершиной O вписаны две окружности ω
1
и ω
2
. Луч с началом в точке O
пересекает первую окружность в точках A
1
и A
2
,авторую—вточкахA
2
и B
2
.
Окружность γ
1
касается внутренним образом окружности ω
1
и касательных к ω
2
,
проведённых из A
1
. Окружность γ
2
касается внутренним образом окружности ω
2
и касательных к ω
1
, проведённых из B
2
. П.А. Кожевников. Решение — в №1–2009
259
2101. Квадратный трёхчлен f(x)=ax
2
+ bx + c таков, что для любого действительного
числа x существует такое действительное число y,чтоf(y)=f(x)+y.Найдите
наибольшее возможное значение a.
Д.А. Терёшин. IV этап XXXIV Всероссийской олимпиады. Решение — в №2–2009
2102. По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное равно сумме соседей,
а каждое синее — полусумме соседей. Докажите, что сумма красных чисел равна
нулю. И. Богданов. IV этап XXXIV Всероссийской олимпиады. Решение — в №2–2009
2103. Столбцы таблицы размером n × n пронумерованы числами от 1 до n. Клетки
таблицы заполнены натуральными числами, не превосходящими n, таким образом,
что в каждой строке все числа различны и в каждом столбце все числа тоже
различны. Клетка таблицы хорошая, если написанное в ней число больше номера
столбца, в котором эта клетка находится. Для каких n существует расстановка, в
которой во всех строках одно и то же количество хороших клеток?
К. Чувилин. XXXIV Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2009
2104. Фокусник угадывает площадь выпуклого 2008-угольника, находящегося за шир-
мой. Он называет две точки на периметре многоугольника; зрители соединяют
эти точки отрезком и сообщают фокуснику меньшую из площадей частей, на кото-
рые 2008-угольник разбивается этим отрезком. В качестве точки фокусник может
назвать либо вершину, либо точку, делящую указанную им сторону в указанном
фокусником численном отношении. Докажите, что за 2006 таких вопросов фокус-
ник сможет отгадать площадь многоугольника.
Н.Х. Агаханов. XXXIV Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2009
2105. Окружность с центром O вписана в угол BAC и касается его сторон в точках B
и C. Внутри угла BAC выбрана точка Q . На прямой AQ лежит такая точка P,
что AQ ⊥ OP.ПрямаяOP пересекает описанные окружности треугольников BPQ
и CPQ вторично в точках M и N. Докажите равенство OM = ON.
А. Акопян и П.А. Кожевников. XXXIV Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2009
2106. Для каких натуральных чисел n>1 существуют такие натуральные числа b
1
,
b
2
, ... , b
n
, что не все они равны между собой и для любого натурального k
произведение (b
1
+ k)(b
2
+ k) ...(b
n
+ k) является степенью натурального числа?
(Показатель степени может зависеть от k, но должен быть больше 1.)
В.В. Произволов и В.А. Сендеров. XXXIV Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2009
2107. H и M — соответственно, точки пересечения высот и медиан неравнобедренного
треугольника ABC . В вершинах A, B и C восставлены перпендикуляры к пря-
мым AM, BM и CM соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан
треугольника, образованного проведёнными прямыми, лежит на прямой MH.
Л. Емельянов и П.А. Кожевников. XXXIV Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2009
2108. Рассмотрим конечное множество P простых чисел. Докажите существование числа,
являющегося суммой p-х степеней натуральных чисел при p ∈ P, и не являюще-
гося суммой p-х степеней натуральных чисел при p/∈ P .
В.А. Сендеров. XXXIV Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2009
2109. ABCD — выпуклый четырёхугольник. P — точка пересечения лучей BA и CD ;
Q — точка пересечения лучей BC и AD; H —проекцияточкиD на прямую PQ.
Докажите, что четырёхугольник ABCD описанный тогда и только тогда, когда
вписанные окружности треугольников ADP и CDQ видны из точки H под равными
углами. В.Шмаров. XXXIV Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2009
2110.
∗
В блицтурнире участвовали 2n + 3 шахматиста. Каждый сыграл с каждым ровно
по одному разу. Для турнира был составлен такой график, чтобы игры проводились
одна за другой и чтобы каждый игрок после сыгранной партии отдыхал не менее
n игр. Докажите, что хотя бы один из шахматистов, игравших первую партию,
играл и последнюю. А. Грибалко. XXXIV Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2009
260