Васильев Н.Б. (ред.) Задачник Кванта. Математика. Части 1 и 2
Подождите немного. Документ загружается.
2111. Одна из клеток клетчатой полосы окрашена. Вначале фишка находится на рассто-
янии n клеток от окрашенной. Бросается игральная кость, и в случае выпадения
k очков, где 1 k 6, фишка перемещается на k клеток по направлению к
окрашенной клетке. Процесс продолжается, пока фишка не попадает в окрашен-
ную клетку (выигрыш), или пока не проскочит окрашенную клетку (проигрыш).
а) При каком натуральном n вероятность выигрыша наибольшая? б) Найдите эту
наибольшую вероятность. В. Лецко. Решение — в №3–2009
2112. H — точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC. Окружность с
центром в середине стороны BC, проходящую через точку H, пересекает прямую
BC вточкахA
1
и A
2
; окружность с центром в середине стороны CA,проходящую
через точку H, пересекает прямую CA вточкахB
1
и B
2
; окружность с центром
в середине стороны AB, проходящую через точку H, пересекает прямую AB в
точках C
1
и C
2
. Докажите, что точки A
1
, A
2
, B
1
, B
2
, C
1
и C
2
лежат на одной
окружности. А. Гаврилюк. XLIX Международная олимпиада. Решение — в №3–2009
2113. Многочлен степени n,гдеn>1, имеет различные корни x
1
, x
2
, ... , x
n
,аего
производная — корни y
1
, y
2
, ... , y
n−1
. Докажите, что среднее арифметическое
квадратов чисел x
1
, x
2
, ... , x
n
больше среднего арифметического квадратов чисел
y
1
, y
2
, ... , y
n−1
. М. Мурашкин. XXIX турнир городов. Решение П.А. Кожевникова — в №3–2009
2114. Существует бесконечно много таких натуральных чисел, не делящихся на 10, что
все ненулевые цифры десятичных записей их квадратов нечётны. Докажите это.
В.А. Сендеров. Решение — в №3–2009
2115. ABCD — выпуклый четырёхугольник, причём BA = BC и существует окружность,
касающаяся продолжения отрезка BA за точку A, продолжения отрезка BC за
точку C ипрямыхAD и CD. Докажите, что на этой окружности пересекаются
общие внешние окружности к вписанным окружностям треугольников ABC и ADC .
В. Шмаров. XLIX Международная олимпиада. Решение И. Богданова — в №3–2009
261
2009 год
2116. Полный набор домино выкладываем на столе в замкнутую цепь, и для всех пар
соседних доминошек вычисляем модуль разности очков на клетках, которыми они
соприкасаются. Каково наибольшее возможное значение суммы всех 28 таких
модулей разностей? А. Грибалко. Решение — в №4–2009
2117. Существует ли арифметическая прогрессия из 2008 различных натуральных чисел,
произведение которых является 2009-й степенью натурального числа?
Г.А. Гальперин. Решение — в №4–2009
2118. Расстояние от центра описанной окружности треугольника ABC, величина угла A
которого равна 120
◦
, до ортоцентра (точки пересечения высот) равно AB + AC.
Докажите это. В.Ю. Протасов.
IV Всероссийская олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина. Решение П.А. Кожевникова — в №4–2009
2119. Первый член бесконечной последовательности a
1
, a
2
, a
3
, ... равен 1. Если n>1
и наибольший нечётный делитель числа n даёт остаток 1 при делении на 4, то
a
n
= a
n−1
+ 1; если же наибольший нечётный делитель числа n даёт остаток 3
при делении на 4, то a
n
= a
n−1
− 1. Докажите, что все члены рассматриваемой
последовательности положительны, причём каждое натуральное число встречается
в ней бесконечно много раз. А.А. Заславский. XXX Турнир городов. Решение П.А. Кожевникова — в №4–2009
2120. Многочлен P(x) с действительными коэффициентами таков, что уравнение P(m)+
+ P(n) = 0 имеет бесконечно много решений в целых числах m и n. Докажите,
что график функции y = P(x) имеет центр симметрии.
А.В. Шаповалов. XXX Турнир городов. Решение С.А. Дориченко и П.А. Кожевникова — в №4–2009
2121. Каждые две противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF па-
раллельны. Назовём высотами шестиугольника векторы с концами на прямых,
содержащих противоположные стороны, перпендикулярные им и направленные
от AB к DE ,отEF к BC иотCD к AF. Докажите, что вокруг шестиугольника
можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его высот равна
нулевому вектору.
А.А. Заславский. IV Всероссийская олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина. Решение — в №4–2009
2122. Любое натуральное число n , большее 17, представимо в виде суммы трёх натураль-
ных попарно взаимно простых слагаемых, каждое из которых больше 1.
б*) Выясните, конечно или бесконечно множество натуральных чисел, не предста-
вимых в виде суммы трёх взаимно простых в совокупности натуральных слагаемых,
никакие два из которых не взаимно просты. В. Лецко. Решение В.А. Сендерова — в №4–2009
2123. Тест состоит из 30 вопросов, на каждый из которых есть два варианта ответа (один
верный, другой нет). За одну попытку Витя отвечает на все вопросы, после чего
ему сообщают, на сколько вопросов он ответил верно. Сможет ли Витя вопрошать
так, чтобы гарантированно узнать все верные ответы не позже, чем после 24-й
попытки, и ответить на все вопросы при 25-й попытке?
В. Клепцын. XXX Турнир городов. Решение С.А. Дориченко — в №4–2009
2124. n — натуральное число; n>2; x
1
, x
2
, ... , x
n
— положительные числа, удовле-
творяющие равенствам x
2
1
− x
1
x
2
+ x
2
2
= x
2
2
− x
2
x
3
+ x
2
3
= ... = x
2
n−1
− x
n−1
x
n
+
+ x
2
n
= x
2
n
−x
n
x
1
+ x
2
1
. При каких n непременно x
1
= x
2
= ...= x
n
? В.А. Сендеров
2125. Вписанная в треугольник окружность ω касается сторон CA и AB вточках B
и C
соответственно. Точка D, отличная от B
и C
, находится на расстоянии AC
от точки A.ПрямыеDB
и DC
пересекают второй раз окружность ω вточках
B
и C
. Докажите, что B
C
— диаметр окружности ω , перпендикулярный
отрезку AD. Р.Г. Женодаров
262
2126. На вечеринке компанию из 20 человек требуется усадить за 4 стола. Рассадка
удачная, если любые два человека, оказавшиеся за одним столом, — друзья. Вы-
яснилось, что удачные рассадки существуют, причём при любой удачной рассадке
за каждым столом сидят ровно по 5 человек. Каково наибольшее возможное коли-
чество пар друзей в этой компании?
П.А. Кожевников. Региональный этап XXXV Всероссийской олимпиады
2127. Внутри ветви гиперболы, заданной равенством x =
q
y
2
+ 1, расположены ок-
ружности ω
1
, ω
2
, ω
3
, ... так, что при каждом n>1 окружность ω
n
касается
гиперболы в двух точках и касается окружности ω
n−1
, а окружность ω
1
радиуса 1
касается гиперболы в точке (1; 0). Докажите, что для любого натурального n
радиус окружности ω
n
— натуральное число. В. Расторгуев
2128. Вася отметил 10 клеток в клетчатой табли-
це размером 10×10. Всегда ли Петя может
вырезать из этой таблицы по линиям сетки
19 фигурок, каждая из которых — одного
из четырёх видов, показанных на рисунке, таким образом, чтобы фигурки не со-
держали ни одной отмеченной клетки? И. Богданов и О. Подлипский
2129. Найдите все такие пары натуральных чисел n и k ,чтоn>1и1
n
+2
n
+ ...+
+(n − 1)
n
= n
k
. В.А. Сендеров. Первая президентская олимпиада Казахстана
2130. ABCDEF — плоский невыпуклый шестиугольник, AB = DE, BC = EF, CD =
= FA, FAB =3 CDE , BCD =3 EFA , DEF =3 ABC (здесь имеются в виду
внутренние углы многоугольника, некоторые из них могут быть больше 180
◦
).
Никакие две стороны стороны шестиугольника не параллельны. Докажите, что
прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке.
Н. Белухов (Болгария). Болгарский журнал <Математика>
2131.Пустьa ˆ b обозначает a
b
. Можно ли в выражении 7 ˆ 7 ˆ 7 ˆ 7 ˆ 7 ˆ 7 ˆ 7 двумя разными
способами расставить скобки так, чтобы порядок действий был вполне определён и
результаты были одинаковы? А.К. Толпыго. Весенний тур XXX Турнира городов
2132. На плоскости даны несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной
прямой. Некоторые точки соединены отрезками. Любая прямая, не проходящая
через данные точки, пересекает чётное число отрезков. Докажите, что из каждой
точки выходит чётное число отрезков.
И. Богданов и Г.А.Гальперин. Весенний тур XXX Турнира городов
2133. Замок обнесён круговой стеной с девятью башнями, на которых дежурят рыцари.
По истечении каждого часа все рыцари переходят на соседние башни, причём
каждый рыцарь всё время движется либо по часовой стрелке, либо против. За ночь
каждый рыцарь успевает подежурить на каждой башне. Был час, когда на каждой
башне дежурили хотя бы по два рыцаря, и был час, когда ровно на пяти башня
дежурили по одному рыцарю. Докажите, что был час, когда хотя бы на одной из
башен не было ни одного рыцаря. М. Мурашкин. Весенний тур XXX Турнира городов
2134. Три плоскости разрезают параллелепипед на восемь шестигранников, все грани
которых — четырёхугольники (каждая плоскость пересекает свои две пары проти-
воположных граней параллелепипеда и не пересекает две остальные грани). Дока-
жите, что если вокруг одного из шестигранников можно описать сферы, то и любой
другой шестигранник вписан в сферу.
В.В. Произволов. Весенний тур XXX Турнира городов
2135. Для каких n существует не являющееся квадратом число, которое превращается в
квадрат при приписывании к нему слева числа, оканчивающегося на 2009 нулей?
Н.Х. Агаханов
263
2136. Для любых натуральных чисел k<m<n числа C
k
n
и C
m
n
имеют отличный от 1
общий делитель. Докажите это.
Весенний тур XXX Турнира городов
2137. H , I и O — соответственно, ортоцентр (точка пересечения высот) и центры
вписанной и описанной окружностей остроугольного треугольника ABC . Докажите,
что если точки A, O , I и H лежат на одной окружности, то она проходит и хотя
бы через одну из вершин B и C. П.А. Кожевников
2138. В ячейку памяти компьютера записали число 6. Компьютер на n-м шаге увели-
чивает число в ячейке на наибольший общий делитель этого числа и n.Таким
образом получаем последовательность чисел 6, 7, 8, 9, 10, 15, 18, 19, 20, 21, 22,
33, ... Докажите, что на каждом шаге число в ячейке увеличивается либо на 1,
либо на простое число.
М. Франк. Весенний тур XXX Турнира городов
2139. Можно ли так раскрасить натуральные числа в 2009 цветов, чтобы каждый цвет
встречался бесконечно много раз и не нашлось бы трёх чисел, покрашенных в три
разных цвета и таких, что наибольшее из них равно произведению двух остальных?
Н. Агаханов. XXXV Всероссийская олимпиада
2140. Восемь клеток диагонали a1–h8 назовём забором. Ладья ходит по доске, не ока-
зываясь ни на какой клетке более одного раза и не ходя на клетки забора. Какое
наибольшее <число прыжков через забор> может она совершить?
Р. Женодаров. XXXV Всероссийская олимпиада
2141. Биссектриса угла ABC пересекает отрезок AC вточкеD, а описанную окруж-
ность Ω треугольника ABC —вточке E .ИзточкиF окружности Ω отрезок
DE виден под прямым углом. Докажите, что прямая, симметричная прямой BF
относительно прямой BD, пересекает отрезок AC в его середине.
Л. Емельянов. XXXV Всероссийская олимпиада
2142. Сколько раз функция cos x cos
x
2
cos
x
3
...cos
x
2009
меняет знак на отрезке
0;
2009π
2
?
Б. Трушин. XXXV Всероссийская олимпиада
2143. Рассмотрим автоморфизм дерева, то есть такую перестановку его вершин, что
любые две вершины, соединённые ребром, переходят в вершины, тоже соединённые
ребром. Докажите, что если ни одна вершина не остаётся на месте, то существуют
такие две вершины, которые автоморфизм меняет местами.
В. Дольников. XXXV Всероссийская олимпиада
2144. В круговой траншее выкопаны 100 окопов. В одном из окопов спрятался пехоти-
нец. За один залп разрешено выстрелить 4 снарядами в 4 соседних окопа. Если
хотя бы в одном из них был пехотинец, то игра заканчивается. Если же этого
не произошло, то пехотинец сразу после залпа перебегает из своего окопа в один
из двух соседних окопов. За какое наименьшее число залпов можно наверняка
уничтожить пехотинца? Б. Трушин. XXXV Всероссийская олимпиада
2145. Даны натуральные числа x и y из отрезка [2; 100] . Докажите, что хотя бы для
одного натурального числа n число x
2
n
+ y
2
n
— составное.
С. Берлов и А. Белов. XXXV Всероссийская олимпиада
264