каф. ЭСПП ЭЛТИ ТПУ
23
Условимся для определенности левый конец α включать в участок (α, β), а пра-
вый – не включать. Тогда попадание случайной величины Х на участок (α, β) равно-
сильно выполнению неравенства
α ≤ Х < β.
Выразим вероятность этого события через функцию распределения величины
Х. Для этого рассмотрим три события:
событие
А, состоящее в том, что Х < β;
событие В, состоящее в том, что Х < α;
событие С, состоящее в том, что α ≤ Х < β.
Учитывая, что А = В + С, по теореме сложения вероятностей имеем
Р(Х < β) = Р(Х < α) + Р(α ≤
Х < β),
или
F(β) = F(α) + Р(α ≤ Х < β),
откуда
Р(α ≤ Х < β) = F(β) – F(α), (1.18)
т. е.
вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна
приращению функции распределения на этом участке
.
Будем неограниченно уменьшать участок (α, β), полагая, что β → α.
В пределе вместо вероятности попадания на участок получим вероятность того, что
величина примет отдельно взятое значение α:
]
.)()()()(
limlim
=α=
α→βα→β
FFXХР
(1.19)
Значение этого предела зависит от того, непрерывна ли функция F(х)
в точке х = α или же терпит разрыв. Если в точке α функция F(х) имеет разрыв, то
предел (1.18) равен значению скачка функции F(х) в точке α. Если же функция F(х) в
точке α
непрерывна, то этот предел равен нулю. Отсюда можно сформулировать сле-
дующее положение:
Вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величи-
ны равна нулю
. Другими словами, при непрерывном распределении вероятностей ве-
роятность попадания на сколь угодно малый участок может быть отлична от нуля, то-
гда как вероятность попадания в
строго определенную точку в точности равна ну-
лю.
Из того, что событие Х = α имеет вероятность, равную нулю, вовсе не следует,
что это событие не будет появляться, т. е. что частота этого события равна нулю. Из-
вестно, что частота события при большом числе опытов не равна, а только приближа-
ется к вероятности. Из того, что
вероятность события Х = α равна нулю, следует
только, что при неограниченном повторении опыта это событие будет появляться
сколь угодно редко.