Волков В.Л. Моделирование процессов и систем

Подождите немного. Документ загружается.

величины с заданным математическим ожиданием и дисперсией необходимо

произвести следующие вычисления: Y=Еσ

Экспоненциальное распределение имеет плотность вероятности при x≥0

f(x)=ae

-ax

Случайная величина распределена в диапазоне [0,∞]. Вычислим

случайную величину X из интегрального уравнения

ae dx q

−

∫

, откуда

получим

1− =

−

e q

или X=-ln(1-q)/a. Величина 1-q распределена так же,

как q, поэтому можно принять X=-ln(q)/a.

Возникновение импульсных помех в ДС определяется

экспоненциальным законом распределения. Вероятность появления помехи в

момент времени to вычисляется по формуле q=1-e

-Lto

, где L - интенсивность

появления помехи; to - момент времени относительно предыдущего

появления помехи.

При моделировании появления помехи в момент времени to вычисляется

вероятность появления помехи q и разыгрывается ее появление путем

попадания равномерно распределенного числа на отрезок [0,q]. Если

произошло попадание числа на этот участок, то импульсная помеха

появилась. С увеличением времени to вероятность появления импульсной

помехи стремится к 1, и событие выпадения равномерно распределенного

числа на отрезок [0,q] становится более вероятным. С момента времени

появления импульсной помехи время to обнуляется, и процесс моделирования

повторяется.

Возникновение отказов элементов системы определяется

экспоненциальным законом распределения. Каждый элемент имеет

интенсивность отказа (интенсивности отказов различных элементов

устанавливаются на основе их испытаний статистическими методами, их

значения приводятся в справочной литературе). Вероятность появления

отказа элемента в момент времени t вычисляется по формуле q

=1-e

-Ljto

Моделирование появления отказов производится следующим образом. В

момент времени t вычисляются вероятности отказов q

и разыгрывается

появление каждого отказа путем попадания равномерно распределенного

числа на отрезок [0,q

]. Если произошло попадание числа на этот участок, то

j-й отказ появился; если не произошло, то не появился. С увеличением

времени t вероятности появления отказов стремятся к 1 и события выпадения

равномерно распределенного числа на отрезки [0,q

] становятся более

вероятными. С момента появления какого-либо отказа система или

полностью отказывает (последовательная схема надежности), или

обнаруживает отказы и перестраивает свою структуру (адаптивная система).

3.3.2.2. Программа для испытаний систем массового обслуживания

Основные обозначения: N - число испытаний СМО в одной серии; Nc -

число серий испытаний СМО; n - количество каналов; a - интенсивность

поступления заявок; tо - время обслуживания заявки; Тc - время работы СМО

в одном статистическом испытании; M[a] - среднее значение интенсивности

поступления заявок; S[a] - среднеквадратическое отклонение интенсивности

поступления заявок; D[a] - дисперсия интенсивности поступления заявок;

M[to] - среднее значение времени обслуживания заявки; S[to] -

среднеквадратическое отклонение времени обслуживания заявки; D[to] -

дисперсия времени обслуживания заявки; Tk - момент поступления k-й

заявки; ti[i] - момент освобождения i-го канала; ti[i]=Tk+tz - время

обслуживания заявки k+1 в i-м каналом; rk - момент поступления k-й заявки;

q - вероятность поступления заявки за время rk; Sw - счетчик выполненных

заявок; So - счетчик отказов от выполнения заявок; j - номер статистического

испытания; i - номер канала; k - номер заявки.

Алгоритм испытаний n-канальной СМО с отказами обслуживания.

1. Составление структурной схемы СМО.

2. Моделирование СМО для заданных исходных данных.

3. Исследование основных характеристик СМО методом МК.

4. Определение теоретических значений параметров СМО: абсолютной

пропускной способности; относительной пропускной способности;

вероятности отказа от обслуживания заявки; среднего числа занятых каналов.

5. Сравнение и анализ теоретических и экспериментальных значений

характеристик СМО.

Алгоритм испытаний одноканальной СМО с очередью.

1. Составление структурной схемы СМО.

2. Моделирование СМО для заданных исходных данных.

3. Исследование основных характеристик СМО методом МК.

4. Определение теоретических значений параметров СМО: абсолютной

пропускной способности; относительной пропускной способности; Zc -

среднего числа заявок в системе; Wc - среднего времени пребывания заявки в

очереди; Zо - среднего числа заявок в очереди; Pз - вероятности того, что

канал занят; Wо - среднего времени пребывания заявки в очереди.

5. Сравнение и анализ теоретических и экспериментальных значений

характеристик СМО.

В качестве исходных данных как для n-канальной СМО с отказами

обслуживания, так и для одноканальной СМО с очередью задаются: номер

варианта; число каналов обслуживания n; интенсивность поступления заявок

M[a]; время обслуживания заявки M[to] (час); время работы Tc СМО (час);

число испытаний N.

При вызове программы индицируется меню задач статистических

испытаний СМО и запрашивается номер варианта. По номеру варианта на

диске формируется файл, в который записываются результаты

статистических испытаний (имя файла - MK(R)-??.dat). Открываются для

чтения файлы с таблицами случайных чисел: 2.dat - равномерное

распределение; 1.dat - нормальное распределение. В процессе моделирования

читаются случайные числа с равномерным законом распределения по 10000, а

с нормальным распределением по 2000.

В процессе моделирования можно изменить некоторые характеристики

СМО: число каналов обслуживания (Ctrl N - увеличение, Ctrl X

уменьшение); среднее значение интенсивности потока заявок (Ctrl A -

увеличение, Ctrl Y - уменьшение); среднее значение времени обслуживания

заявки (Ctrl T - увеличение, Ctrl Z - уменьшение). Для каждого

статистического испытания (одного опыта моделирования СМО)

производится разыгрывание случайных значений (при заданных средних

значениях и дисперсиях) времени обслуживания заявок (нормальный закон

распределения), интенсивности поступления заявок (нормальный закон

распределения).

На экране дисплея воспроизводятся гистограммы для данного опыта:

количества каналов; интенсивности поступления заявок; времени

обслуживания заявки. Производится моделирование работы СМО при

разыгрывании для каждой заявки времени поступления заявки

(экспоненциальный закон распределения). После каждого статистического

испытания осуществляется запись на диск: номера статистического

испытания; числа выполненных заявок; числа отказов от выполнения;

процента выполненных заявок; времени выполнения заявки; интенсивности

поступления заявок. После длительного испытания СМО производится

итоговая запись результирующих характеристик СМО: всего поступило

заявок на обслуживание; математическое ожидание процента выполненных

заявок; математическое ожидание времени выполнения заявок;

математическое ожидание интенсивности поступления заявок; дисперсия

процента выполненных заявок; среднеквадратическая ошибка процента

выполненных заявок; гарантировано обслуживание заявок в диапазоне.

3.3.2.3. Программа статистических испытаний надежности систем

При вызове программы индицируется меню задач статистических

испытаний надежности системы и запрашивается номер варианта. По номеру

варианта на диске формируется файл, в который записываются результаты

статистических испытаний (имя файла - MK(R)-??.dat). Предусмотрено

изменение интенсивностей отказов элементов системы. При нажатии какой-

либо цифровой клавиши моделирование приостанавливается и ожидается

команда по изменению интенсивности отказа соответствующего элемента (по

введенному номеру). Изменение среднего значения интенсивности

выполняется клавишами "+" или "−" (изменение производится скачкообразно

на 1/10 от исходного значения). Изменение дисперсии выполняется при

нажатии сначала клавиши "d", а затем уже "+" или "−". В каждом

статистическом испытании моделируются интенсивности отказов элементов

системы. Разброс интенсивностей относительно их математических

ожиданий задается нормальным законом распределения, что вполне

соответствует практике. В каждом статистическом испытании вычисляется

вероятность безотказной работы системы. По результатам статистических

испытаний в N опытах определяются характеристики каждого элемента

(среднее значение и дисперсия интенсивности отказа) и всей системы в

целом. Определяется вероятность безотказной работы системы в течение

заданного ресурса и вычисляется время наработки на отказ. Все эти

характеристики записываются в файл результатов. Кроме того, в процессе

испытаний индицируются на гистограммах интенсивности отказов элементов

и вероятность отказа системы. Более подробные сведения о характеристиках

моделируемой системы можно оперативно получить на следующей странице

экрана дисплея. Переход к следующей странице выполняется клавишей

выбора страницы "s". После каждого статистического испытания

производится запись на диск: математического ожидания, дисперсии,

среднеквадратической ошибки интенсивности отказа системы.

Результатами статистических испытаний являются:

1. Структурная схема СМО.

2. Статистические характеристики СМО.

3. Расчетные значения: абсолютной пропускной способности СМО;

относительной пропускной способности СМО; вероятности отказа от

обслуживания заявки; среднего числа занятых каналов; среднего числа заявок

в системе; среднего времени пребывания заявки в системе; среднего числа

заявок в очереди; вероятности того, что канал занят; среднего времени

пребывания заявки в очереди.

4. Структурная схема системы, исследуемой на надежность.

5. Статистические характеристики испытаний системы на надежность.

6. Расчетные значения: вероятности отказа системы за время заданного

ресурса; наработки на отказ системы.

3.4. Примеры формирования моделей процессов и систем

Важная задача при моделировании процессов и систем − достаточно

точное воспроизведение на моделях процессов и шумов с заданными

статистическими свойствами и законами распределения. На практике часто

ставится задача исследования ДПИ, измеряющего детерминированные и

стохастические физические величины в условиях внешних помех и

внутренних шумов. В задачах САУ имеют место ДС, определяемые

передаточными функциями по полезному сигналу и возмущению при

наличии ДПИ, измеряющих параметры систем. Актуальной является

организация комплексной обработки информации с ДПИ различной

физической природы или при использовании избыточности информации.

Также актуально моделирование конкретных измерительных систем в

рабочих и критических режимах. Такое моделирование позволяет определить

слабые стороны этих систем и оптимизировать наиболее важные

характеристики.

3.4.1. Моделирование датчиков при входном сигнале и аддитивном шуме

Структурная схема ДПИ c

воздействующими сигналами представлена на

рис.3.13. Случайная составляющая g(t)

измеряемого процесса задана спектральной

плотностью Sg(w); детерминированная -

Рис.3.13

сигналом u(t); h(t)=g(t)+u(t) - полный ИП; f(t)=h(t)+n(t) - измерение процесса

h(t) с аддитивными шумами n(t) (задана спектральная плотность шума -

Sn(w)); v(t) - возмущающее воздействие на ДПИ; h^(t) - выходной сигнал

ДПИ; W(s) - передаточная функция ДПИ. На практике встречается задача

исследования ДПИ, измеряющего детерминированно-стохастические

физические величины в условиях внешних помех и при наличии внутренних

параметрических шумов, проявляющихся, например, в мультипликативных и

аддитивных изменениях статической характеристики ДПИ [10]. Полная

модель ДС в данном случае состоит из трех отдельных моделей: 1) модели

для полезной случайной составляющей Xg′=AgXg+DgVg; 2) модели помехи

X′n=AnXn+DnVn; 3) модели ДПИ, определяемой передаточной функцией

W(s): Xw′=AwXw+Dwf(t).

Алгоритм формирования полной модели ДПИ.

1. Вычисление передаточных функций формирующих фильтров ИП g(t) и

помехи n(t).

2. Определение максимальных частот спектров ИП, шума и вычисление их

периодов дискретизации.

3. Определение полосы пропускания ДПИ, периода дискретизации для его

цифрового моделирования, результирующего периода дискретизации

системы ДПИ с сигналами.

4. Формирование моделей сигналов g(t), n(t), ДПИ и модели выхода в

матричной непрерывной форме (для g(t) и n(t) - методом вспомогательной

переменной, для ДПИ - методом нормальной формы Коши).

5. Формирование дискретных матричных моделей сигналов и ДПИ.

6. Вычисление среднеквадратической ошибки на выходе ДПИ.

7. Моделирование процессов в ДПИ в дискретном времени и исследование

графиков и численной информации.

Модель случайных сигналов формируется из спектральных плотностей

Sg(w) и Sn(w) путем факторизации и определения передаточных функций

формирующих фильтров Wg(s) и Wn(s) с последующим нахождением

матричных моделей в пространстве состояний методом вспомогательной

переменной. Модель в пространстве состояний методом вспомогательной

переменной составляется на основе передаточной функции формирующего

фильтра. Для сигнала g(t)

Wgs

b bs bs

d ds ds

()

...

.= = =

+ + +

0 1

Уравнениe состояния сигнала X'g=AgXg+DgVg. Сигнал на выходе

формирующего фильтра g(t)=CXg. Матрицы Ag, Dg, Cg определяются по

(3.6).

Модель динамики ДПИ составляется на основе передаточной функции.

Выражение W(s) ДПИ имеет дробно-рациональный вид:

Bws

Aws

b b s b s

a a s a s

w w wm

w w wn

()

...

.= = =

+ + +

0 1

Преобразование модели W(s) в матричную модель в данном случае

осуществляется в канонической нормальной форме Коши (3.10). Период

дискретизации равен минимальному из значений для ДПИ и ИП.

Возникновение ошибок ДПИ связано с прохождением на выход шумов и

искажением полезного сигнала динамикой ДПИ. Теоретическое значение

среднеквадратической ошибки (СКО) находится через спектральную

плотность в соответствии с (2.2) и (2.3)

СКО =

∞

∫

Sewdw()

, (3.13)

где спектральная плотность ошибки Se(w) вычисляется в виде

Sew Wjw Snw Wjw Sgw() ( ) () ( ) ()= +−

2 2

(3.14)

(W(jw) - амплитудно-фазочастотная характеристика ДПИ).

Экспериментальное значение СКО при моделировании на ПЭВМ

вычисляется как среднее по всем дискретным точкам наблюдения на основе

(2.2) и (2.3):

CKO = −

∑

yk gk

[() ()].

(3.15)

Задача моделирования ДПИ при входном сигнале и аддитивном шуме имеет

важное практическое значение для исследования оптимального фильтра

Винера, имеющего минимальную СКО при заданных спектральных

плотностях сигнала и помехи. Контрольные задания по моделированию ДПИ

представлены в прил.1.

Пример. Случайный ИП g(t) и помеха n(t) заданы спектральными

плотностями Sg(w), Sn(w); ДПИ задан передаточной функцией W(s):

Sgw

Snw Ws

() , () ,, ()

= =

1000

001

0255

1 0233

1. Для вычисления передаточной функции формирующего фильтра

процесса g(t) представим cпектральную плотность в виде произведения (3.4)

Sgs

s s

()

−

+ −

1000

282

32 99

282

32 99

Отсюда передаточная функция фильтра W(s)=2,82/(32+9,9s).

2. Частота спектра ИП определяется по полосе пропускания форми-

рующего фильтра, которая вычисляется как частота среза соответствующей

передаточной функции разомкнутой системы (фильтра). Для сигнала g(t)

представим формирующий фильтр в виде W(s)=0,089/(0,3125s+1)=

=KWз(s). Определяем передаточную функцию разомкнутой системы по

формуле (3.7) Wp(s)=1/(0,3215s). Частота среза полученной передаточной

функции определяется в точке пересечения ЛАЧХ горизонтальной оси, т.е.

|Wр(jw)|=1. Модуль передаточной функции |Wр(jw)|=1/(0,3125w). Из условия

|Wр(jw)|=1 находим частоту среза: Wc=3,2. В соответствии с импульсной

теоремой dt=1/(2Fm), где Fm=Wc/(2π). Получим dt=π/Wc=0,98 c.

3. Полоса пропускания ДПИ и период дискретизации вычисляются

аналогично. Представим передаточную функцию ДПИ в виде

W(s)=0,255/(0,233+1)=KWз(s). Определяем передаточную функцию

разомкнутой системы по (3.7) Wp(s)=1/(0,233s). Находим модуль

передаточной функции: |Wр(jw)|=1/(0,233w). Рассчитываем частоту среза и

период дискретизации: Wc=4,3, dt= =0,98 c. Общий период дискретизации

для ДПИ с сигналом и шумом выбирается минимальным, т.е dt=0,73 c.

4. Для матричной модели сигнала g(t) найдем Ag=-3,2, Dg=0,1, Cg=2,82.

Получим уравнение состояния X(g=-3,2Xg+0,1Vg и уравнения выхода

g(t)=2,82Xg(t), h(t)=g(t)+u(t). Для помехи An=0, Dn=0,1, Cn=1. Для ДПИ при

заданной передаточной функции Aw=-4,29, Dw=1,1, Cw=1, Xw’=-

4,29Xw+1,1y(t), y(t)=h(t)+n(t).

5. Дискретную матричную модель Хg(k+1)=FgХg(k)+TgV(k),

g(k)=CgX(k) ИП рассчитываем на основании непрерывной, где Fg, Tg

вычисляем по (3.3). Выражения Fg, Tg преобразуем к виду Fg=е

Adt

=I+Аpd,

Tg=PDdt, где P=I+Аdt/2+А

/6+... Считаем Fg, Tg, при заданной

максимальной относительной погрешности δ=0,01, до выполнения условия

точности |[P(k+1)-P(k)]/P(k)|<δ. Необходимая точность достигается при

наличии в выражении для P>10 слагаемых. В этом случае получаем

Fg=0,097, Tg=0,029. Дискретная модель случайного процесса g(t) имеет вид

Xg(k+1)=0,097Xg(k)+0,029Vg(k), g(k)=2,82Xg(k).

Для ДПИ, учитывая (3.3), считаем Fw и Tw до выполнения условия

точности, получаем Fw=0,044, Tw=0,24. Дискретная модель ДПИ имеет вид

Xw(k+1)=0,044Xw(k)+0,24y(k), h^(k)=Xw(k).

6. Среднеквадратическая ошибка на выходе ДПИ находится по (3.13).

Определим |W(jw)|

, |1-W(jw)|

Wjw

( )

1197

1842

1023

1842

− =

Wjw

( )

Найдем в (3.13) Se(s), где s=jw, и вычислим СКО с помощью вычетов в

полюсах левой комплексной полуплоскости.

[ ]

CKO = =

∞

∫

∑

Sesds sSes

() Re ().

Учитывая |W(jw)|

, |1-W(jw)|

, Sn(w), Sg(w), найдем Se(s) по (3.14) при w=s/j:

Ses

s s s s

()

, ( , )

(, )(, )(, )(, )

−

+ − + −

00941022

4292 4292 3194 3194

Найдем вычеты в полюсах s

=-4,292, s

=-3,194:

[

]

[

]

Re () lim (, ) () , ,

sSes sSes

4292

4292 00109= + =

→−

[

]

[

]

Re () lim (, ) () , .

s Ses sSes

3194

3194 0000047= + =

→−

Получим CKO=(0,0109+0,000047)

0,5

=0,011

0,5

=0,33.

7. Моделирование процессов в ДПИ. Результаты моделирования

показаны на рис.3.14, 3.15. На рис.3.14 представлены процессы: h(t) -

детерминированно-стохастический полезный сигнал; f(t) - полный

измеряемый сигнал (с шумами). Среднеквадратическая ошибка сигнала f(t)

относительно h(t) получена

на уровне 0,1, что

соответствует заданной

дисперсии шума (Rn=0,01).

На рис.3.15 представлен

график выходного сигнала

ДПИ на фоне полезного

сигнала h(t).

Рис.3.14

Среднеквадратическая ошибка сигнала y(t) составила 0,049, что позволяет

сделать вывод о сглаживании шумов датчиком.

3.4.2. Моделирование

процессов с заданными

свойствами

Реальные ИИС и САУ

работают с детерминированно-

стохастическими сигналами. В

ИИС к ним относятся

измеряемые физические

величины, шумы измерений, выходные сигналы, параметры вектора

состояния. В САУ стохастическими процессами являются возмущения

объекта управления, сигналы, измеряемые ДПИ, параметры вектора

состояния. В связи с этим задача моделирования процессов с заданными

статистическими характеристиками (математическим ожиданием,

спектральной плотностью, дисперсией) при исследовании ИИС, САУ и

просто ДПИ является актуальной.

Рассмотрим задачу моделирования класса эргодических процессов. Они

определяются математическим ожиданием и корреляционной функцией (или,

что эквивалентно, спектральной плотностью). Пусть для стохастического

процесса такого класса g(t) задано математическое ожидание Mg и дробно-

рациональная спектральная плотность Sg(w). Схема формирования ИП

показана на рис.3.16. Процесс g(t) задан спектральной плотностью Sg(w).

Детерминированная

составляющая процесса u(t)=Mg;

h(t)=g(t)+u(t) - полный ИП;

y(t)=h(t)+n(t) - измерение

процесса h(t) с аддитивными

шумами n(t) (задана

интенсивность шума Sn(w)=R).

Информационный процесс g(k) представляется моделью в пространстве

состояний - векторной случайной последовательностью Х(k) (n-мерным

вектором состояния); v(k) - формирующий шум векторной случайной

последовательности X(k). При этом g(k)=СХ(k).

Алгоритм формирования модели.

Рис.3.15

1. На основе первичной модели ИП - S(w) находится динамическая модель

его формирующего фильтра.

2. На основе передаточной функции формирующего фильтра составляется

матричная непрерывная модель ИП (X'(t)=AX(t)+DV(t) - система

дифференциальных уравнений первого порядка).

3. Вычисляется максимальная частота спектра ИП - Fm (полоса

пропускания формирующего фильтра).

4. По импульсной теореме определяется период дискретизации ИП.

5. Формируется результирующая дискретная матричная модель ИП

(X(k+1)=FX(k)+TV(k) - система разностных уравнений первого порядка).

6. Определяется уравнение формирования процесса g(k) в зависимости от

переменных вектора состояния X (g(k)=CX(k)).

Контрольные задания по моделированию процессов приведены в прил.1.

Пример. Пусть детерминированно-стохастический ИП задан средним

значением Mg=0,1 и спектральной плотностью

Sgw

() .=

+ +

2 8

198

10201

4 2

Шум измерения процесса характеризуется интенсивностью R=0,01. При

использовании CAD-MS в разделе MODEL задаем исходные данные,

например по варианту 1, и определяем все последующие модели. Получим

передаточную функцию формирующего фильтра

Wgs

()

, ,

+ +

14 28

101

Полоса пропускания фильтра составляет Wc=0,0139 рад/с, соответствующий

период дискретизации должен быть не более 0,1 с. В качестве результатов

получим матричные модели X'g=AgXg+DgVg, g(t)=CgXg и

Xg(k+1)=FgXg(k)+TgV(k), g(k)=CgXg(k), где матрицы Ag, Dg, Cg, Fg, Tg

соответственно равны:

[ ]

Ag Dg Cg=

























0 1

-101 -20

1,4, , , ,

Fg Tg=

























0978 000022,

0,0179

-1,81 0,62

0,018

Детерминированная составляющая процесса моделируется аналитическими

выражениями (в данном случае скачкообразный сигнал).

Результаты. Исследуются числовые характеристики процесса:

математическое

ожидание,

корреляционная

функция, дисперсия,

спектральная

плотность. Эти

характеристики

оцениваются

методами

математической статистики. Процесс и его статистические характеристики

иллюстрируются на дисплее и записываются в виде дискретных значений в

файл на диске.

Для моделируемого процесса компоненты вектора состояния X(k)

представляются в виде графиков на экране дисплея в диалоговом режиме по

рисунку структурной схемы. В качестве результатов моделирования ИП на

графиках изображены: полный ИП h(t)=g(t)+n(t); измерение процесса с

шумами f(t) (см. рис.3.15); корреляционная функция Rg(r) (рис.3.17);

спектральная плотность Sg(w) (рис.3.18). График корреляционной функции

может быть аппроксимирован формулой Rx(τ)=σ

-ατ

, где σ

- дисперсия

процесса g(t); α - постоянная корреляции, которая вычисляется из графика на

уровне 2 с. График спектральной плотности показывает распределение

мощности процесса по частотам. Эффективный диапазон частот процесса

определяется круговой частотой, примерно равной 0,01 рад/с, что

соответствует теоретическому значению. Оценки дисперсии процесса,

Рис.3.17

Рис.3.18

вычисленные через корреляционную функцию и спектральную плотность,

совпали и составляют 0,096.

Выводы. Матричная модель ИП является универсальной и удобна для

цифрового моделирования на ПЭВМ. Исследование процессов необходимо во

многих задачах ИИС и САУ, например, для ДПИ с воздействующими

сигналами и аддитивными шумами, для ДС с объектом управления при

воздействии возмущений и входных сигналов, для ИИС с

детерминированными и стохастическими сигналами и несколькими ДПИ.

3.4.3. Моделирование системы по сигналу и возмущению

Динамическая система (рис.3.19) задана передаточной функцией Wu(s)

для сигнала u(t) и Wv(s) для

возмущения. Система

представляется моделью в

пространстве состояний в

непрерывной форме векторным

процессом X(t). Формирование непрерывной матричной модели выполним

методом последовательного интегрирования.

Пример. Передаточные функции Wu(s), Wv(s) заданы в следующем виде

Wus

s s

()

, ,

+ +

5 4 3 2

08 012

194

244

120

Wvs

()

012

194

244

120

5 4 3 2

Модель в пространстве состояний на основе передаточных функций в

соответствии с (3.8) имеет матрицы А, В, D уравнения состояния и C

уравнения выхода:

[ ]

A B D C=













−

























0 0 0 0 -120

1 0 0 0 -240

0 1 0 0 -190

0 0 1 0 -75

0 0 0 1 -14

-0,8

-1,0

-0,12

0 0 0 0 -1,

, , .

012

Уравнение h(t)=CX+u(t)b

=-x

является уравнением выхода ДС.

3.4.4. Моделирование системы при векторных измерениях

Динамическая система (рис.3.20). задана передаточными функциями Wu(s)

для сигнала, Wv(s) для возмущения и двумя ДПИ, измеряющими с шумами

компоненты вектора состояния соответственно X

, X

. Система

B 1\s C

A D

(

t) h

(

Рис.3.19

представляется моделью в пространстве состояний в непрерывной форме

векторным процессом X(t).

Алгоритм формирования модели.

1. Составление непрерывной

матричной модели системы

методом нормальной формы

Коши.

2. Формирование уравнения

измерений ДС.

Пример. Передаточные

функции ДС:

Wus

s s

Wvs

s s

()

, ,

, ()

, ,

+ +

3 033

2 028 09

033

2 028 09

2 2

Шумы ДПИ заданы дисперсиями шумов r

=0,2, r

=0,16, шум возмущения

имеет интенсивность Q=1,4.

1. Модель в пространстве состояний формируем на основе передаточной

функции ДС. Матрицы A, B, C для нормальной канонической формы Коши

определяются по (3.10). В данном случае получим

A B D=













−

























0 1

-0,45 -0,14

0,33

, .

0165

0045

Выходной сигнал объекта наблюдения h(t)=X

2. Измерения с шумами компонент вектора состояния производятся

безынерционными ДПИ. Уравнение измерений в матричном виде

Yt CX N C() , .= + =













1 0

0 1

3.4.5. Моделирование комплексной измерительной системы

Комплексная ИИС задана структурной схемой рис.3.21 [20]. На схеме

обозначено: W

(s), Wk(s) - передаточные функции ДПИ; n

nk - шумы

измерений; y

yk -

выходные сигналы ДПИ;

Wg(s) -передаточная

функция формирующего

фильтра случайной

B 1\s Ch

A D

(

t) h

(

-1\An

(

t) v

(

Рис.3.20

составляющей g(t) полезного сигнала; u(t) - детерминированная

составляющая полезного сигнала; f(t) - полезный сигнал; X - вектор состояния

динамики ДПИ.

Уравнение состояния случайного сигнала формируется из исходной

спектральной плотности Sg(w) путем ее факторизации и определения

передаточной функции формирующего фильтра с последующим

преобразованием в уравнения состояния [7]. Матричную модель сигнала

получаем методом вспомогательной переменной. Уравнение состояния для

вспомогательной переменной R в зависимости от v(t) при векторе Xg={x

1,g

=R,

g,2

(1)

,...,x

g,ng

(ng-1)

}

имеет вид Xg'=AgXg+DgV, g(t)=CgXg, где матрицы

Ag, Dg, Cg вычисляются по (3.6).

Уравнения состояния для ДПИ определяются по их передаточным

функциям, заданным в виде

Wjs

h s

p s p

d s d

j j

jmj

jnj

()

...

, ,

= = =

Обозначим

h s fs

() ()

()

и введем переменную R

(s)=f(s)/D

(s), откуда

получим уравнение для R

(t): d

j,nj

(nj)

+...+d

=f(t). Уравнение для h

с учетом

(s)=P

(s)R

(s): p

j,mj

(mj)

+...+p

(t). Уравнение состояния для R

(t) в

зависимости от f(t) при векторе состояния Xj={x

, x

(1)

,...,x

j,nj

(nj-1)

}

имеет вид X

'=A

f(t), h

(t)=C

, C

={p

,...,p

j,mj

, 0,...,0}. Учитывая, что

f(t)=g(t)+u(t), получим уравнение состояния X’

u+D

g, h

(t)=C

, где

матрицы A

, B

, Dj, Cj с учетом (3.6) соответственно равны:

jnj

− − −





































−

0 1 0 0

0 1 1

...

, ... ... ,

, ,

[

]

C p p

j j jmj

0 0,..., ,,...,.

Поскольку g(t)=CgXg, получим Xj′=AjXj+Bju+DjCgXg.

Полная модель ДC с учетом динамики ДПИ и входного сигнала g(t)

определяется уравнениями X′=AX+Bu(t)+Dv(t), Y=CX+N, где матрицы A, B,

D, C находятся с учетом уравнений состояния для векторов Xg, X

,...,X

DC A

DkC Ak

k k

...

()

| ... 0

......................

| |0 |...| 0

.....................

|0 |0 |...|

1 1





































1 1

(), . 0

...

0 0 ...0

................

0 0 ...

























vt C

Первый нулевой блок матрицы C соответствует вектору Xg (размерность ng),

блок C1 - вектору X

для первого ДПИ (размерность n

) и т.д. Сигнал f^(t) на

основе выходных сигналов ДПИ может быть вычислен с учетом их

коэффициентов передачи. Для каждого ДПИ получим

f t

() .=

Субоптимальная (почти оптимальная) оценка сигнала f(t) получается в виде

среднеарифметического значения всех f

^(t):

f t

^ ^

() ().=

∑

Дисперсия оценки f^ определяется

( ) .













∑

Более эффективную субоптимальную оценку измеряемого сигнала можно

получить при оптимальном оценивании компонент вектора состояния ДС

фильтром Калмана и вычислением f^(t) на основе этих оценок.

Алгоритм формирования модели и исследования ИИС следующий.

1. Найти передаточную функцию формирующего фильтра стохастической

составляющей входного сигнала.

2. Определить максимальную частоту спектра стохастического сигнала и

максимально допустимый период его дискретизации.

3. Найти непрерывную матричную модель стохастического сигнала в

пространстве состояний.

4. Определить полосу пропускания каждого ДПИ и максимально

допустимые периоды дискретизации процессов в ДПИ.

5. Найти полную непрерывную матричную модель всех ДПИ (уравнение

состояния и уравнение измерений).

6. Определить период дискретизации полной ДС, включающей

стохастические сигналы и ДПИ.

7. Получить дискретную матричную модель ИИС.

8. Вычислить теоретические значения СКО ДПИ.

9. Моделировать работу ИИС: стохастический сигнал g(t),

детерминированный сигнал u(t), суммарный сигнал f(t)=g(t)+u(t), процесс

измерений в ДПИ, компоненты вектора состояния динамики ДПИ.

10. Получить значения СКО на выходах ДПИ по результатам

моделирования.

Моделирование проводится по схеме системы, индицируемой на дисплее.

На схеме указаны все формируемые сигналы. Выбор того или иного сигнала

для индикации осуществляется кнопками ↑, ↓. График сигнала

сопровождается информацией о минимальном и максимальном значениях

СКО, а также о времени наблюдения. При индикации графики автоматически

масштабируются.

Пример измерительной системы с двумя ДПИ. Cоставляющая g(t) сигнала

задана спектральной плотностью Sg(w)=(1+16w

)/(36w

+37w

соответствующий формирующий фильтр имеет передаточную функцию

Wg(s)=(1+4s)/(6s

+7s

+s). Датчики определяются передаточными

функциями W1(s)=0,4/(1,62⋅10

-6

+0,00173s+1), W2(s)=4/(8⋅10

-6

+0,0005s+1). Интенсивности шумов: E[vg]=δ(t), E[n

]=0,0001δ(t),

E[n

]=0,0002δ(t). Уравнение формирования случайной составляющей

сигнала g

(3)

+7g

(2)

+6g

(1)

=4v

(1)

+v. Обозначим: v(t)=R

(3)

+7R

(2)

+6R

(1)

g(t)=R+4R

(1)

, Xg

=R, Xg

(1)

, Xg

(2)

, тогда уравнение состояния для

формирования случайной составляющей оцениваемого сигнала

(Xg’=AgXg+Dgv) примет вид

X′g

=Xg

X′g

=Xg

X′g

=-6Xg

-7Xg

+v,

g(t)=CgXg=Xg

+4Xg

откуда

[ ]

Ag Dg Cg=

























0 1 0

0 0 1

0 -6 -7

4, , .

Матричные модели ДПИ получим, обозначая вспомогательные

переменные: R

(s)=f(s)/(1,6⋅10

-6

+0,0017s+1), R

(s)=f(s)/(8⋅10

-6

+0,0005s+1), откуда дифференциальные уравнения относительно переменных

(t), R

(t): 1,6⋅10

-6

"+0,0017R

'+R

=f(t), 8⋅10

-6

+0,0005R

'+R

=f(t). Учитывая вид передаточных функций ДПИ, имеем

hj(s)=pj(s)Rj(s) или во времени h

(t)=0,4R1, h2(t)=4R

. Полный сигнал равен

сумме детерминированной и случайной составляющих:

f(t)=g(t)+u(t)=Xg

+4Xg

+u(t). Получим уравнения состояния

X1′=A1X1+D1v+B1u, X2′=A2X2+D2v+B2u, где Bj=Dj. Сигналы h

(t), h

(t)

выражаются h

(t)=C1X1, h

(t)=C2X2.

Полная модель ДПИ X′=AX+Bu(t)+Dv(t), Y=CX+N составляется с

учетом моделей двух ДПИ. Объединяя частные модели, получим

A B=

⋅ ⋅

⋅













⋅













0 1 0 0

-6,17310 -1,06510 0 0

0 0 0 1

0 0 -1,2510-63,5

6,17310

1,2510

5 3

, ,

C R=

























0 0 4 0

0 0 0 0,4

0,002 0

0 0,003

где R - корреляционная матрица шумов измерений. Сигналы h

(t), h

(t)

обозначаются h

(t)=C1X1, h

(t)=C2X2. Выходные сигналы ДПИ:

(t)=h

(t)+n

(t), y

(t)=h

(t)+n

(t).

Автоматизация проектирования алгоритмов обработки информации

ДПИ упрощает математические преобразования и существенно сокращает

время проектирования. Синтез алгоритма выполняется пакетом прикладных

программ CAD-MS (Computer-Aided Design of Measuring System) [27,28].

Алгоритм проектирования.

1. Найти передаточную функцию формирующего фильтра стохастической

составляющей входного сигнала.

2. Определить максимальную частоту спектра стохастического сигнала и

максимально допустимый период его дискретизации.

3. Найти непрерывную матричную модель стохастического сигнала в

пространстве состояний.

4. Определить полосу пропускания каждого ДПИ и максимально

допустимые периоды дискретизации процессов в ДПИ.

5. Найти полную непрерывную матричную модель всех ДПИ (уравнение

состояния и уравнение измерений).

6. Найти общий период дискретизации полной ДС, включающей

стохастические сигналы и ДПИ.

7. Получить дискретную матричную модель ИИС.

8. Вычислить теоретические значения СКО на выходах ДПИ и ИИС.

9. Моделировать работу ИИС: стохастический сигнал g(t),

детерминированный сигнал u(t), суммарный сигнал f(t)=g(t)+u(t), процесс

измерений в ДПИ, вычисление оценки ИП f(t).

10. Получить значения СКО на выходе ДПИ и выходе ИИС по результатам

моделирования.

11. Провести анализ точности комплексного оценивания полезного

процесса и сделать выводы.

Результаты в виде спектральной плотности случайной составляющей

входного сигнала при варианте c1 формируются в файле S(w)-c1.dat,

соответствующая передаточная функция фильтра - в файле W(s)-

c1.dat.Матрицы коэффициентов уравнения состояния фильтра записываются

в файл X(t)-sc1.dat, передаточные функции ДПИ - в файлы W(s)-c11.dat, W(s)-

c12.dat. Результаты моделирования представлены графиками на рис.3.22.

Среднеквадратическая ошибка оценки f^(t) относительно оцениваемого

сигнала f(t), вычисленная по (3.15), составила 0,27. Для выбора

изображаемого на дисплее

сигнала индицируется

схема, на которой указаны

формируемые сигналы.

График выбранного

сигнала сопровождается

информацией о

минимальном и

максимальном значениях СКО и времени наблюдения. При индикации

графики автоматически масштабируются.

Рис.3.22

3.4.6. Моделирование импульсного радиодальномера

Уравнение движения ЛА и слежения за его движением с помощью

импульсного радиодальномера приведено в [21]. В качестве модели движения

сопровождаемой цели принимается движение ЛА с переменной радиальной

скоростью (с ускорением). Тогда ДС, моделирующая эту траекторию,

задается уравнением состояния

Xk FXk Guk Tvk( ) () () ()





























































uk vk

( )

()

() (),

где x

- дальность цели; x

- скорость цели; dt - период поступления данных

(dt=0,033); u(k) - ускорение ЛА в направлении полета; v(k) - белый

гауссовский шум

возмущения движения ЛА с

дисперсией Q(k)=0,1; F, G,

T - постоянные матрицы.

Начальные условия

определяются нормальным

случайным вектором с

нулевым математическим

ожиданием X(0) и

дисперсиями P

(0)=0,5,

(0)=0,015. Уравнение измерений имеет вид Y(k)=CX(k)+N(k)=x

(k)+n

(k),

где n

(k) - белый гауссовский шум при измерении дальности, имеющий

дисперсию R=0,0025.

Результаты моделирования в виде графиков динамики формируются на

экране дисплея. Моделировались динамика исходного объекта

X(k+1)=FX(k)+Gu(k)+Tv(k) и ДПИ на основе уравнения измерений

Y(k)=CX(k)+n(k). На графиках рис.3.23 представлено изменение дальности

) до цели при ее равноускоренном движении в течение 40 с. Измерение

дальности (y

) отображено с шумами. Моделирование проведено при

следующих исходных данных:

на этапе разгона цели: начальная дальность 1000 м, начальная скорость 20

м/с, детерминированный сигнал ускорения 5 м/с

;

на этапе равномерного движения цели: начальная дальность 4640 м при

достигнутой скорости 220 м/с, ускорение Uo=0, интенсивность шума

возмущений ЛА Q=0,1, интенсивность шума измерения R

=0,0025.

Рис.3.23