операция деления. Момент, когда ребенок от непосредственной реакции на количество переходит к
отвлеченным операциям над знаками, и является моментом конфликтным. Он создает коллизию между
прежней линией развития и той, которая начинается при усвоении школьных знаков.
Мы не можем представить, что развитие идет по совершенно прямой линии. Здесь много скачков,
переломов, поворотов. Интересно взять для наблюдения детей, которые, с одной стороны, еще не умеют
считать по-настоящему, но уже имеют начатки обычного счета, а с другой — еще не оставили вполне
«натуральную арифметику». Стоит это сделать, и мы увидим, что оба способа счета вступают в конфликт,
отталкивают один другой. Здесь мы подходим к основному хорошо известному методическому спору в
арифметике: каким образом учить счету — путем ли численных фигур или путем выведения счетного ряда.
Мы задавались вопросом, в каком отношении находятся счет и восприятие ребенка. Мы видели, что на
первой ступени развития форма является вспомогательным средством для счета. Мы приводили простой
пример, где легче заметить отсутствие одного человека — в роте солдат или в толпе. Форма, т. е. известное
упорядочение и правильность самого зрительного впечатления, — важнейшая опора для правильного
схватывания количе-
416
ства. Первая стадия развития ребенка — упорядочение формы и восприятие ее — самая важная; она
является стимулом для развития восприятия количества. Возьмите простую игру в домино, и вы увидите,
что ребенок, не зная счета, может играть в домино, схватывая фигуры 2 и 2. Совершенно ясно, что
упорядоченная форма в высшей степени стимулирует, помогает развитию арифметики примитивной,
натуральной. Отсюда следует, что для различных систем счета можно использовать различные предметы.
Совершенно ясно, что не всегда можно считать одной и той же единицей.
До овладения счетом числовое восприятие является функцией от восприятия формы. Так, если ребенок
будет считать кубики, расположенные крестом, он может получить на один кубик больше: он два раза
засчитывает один и тот же центральный кубик, заполняющий формально место в двух рядах —
горизонтальном и вертикальном. Ребенок не догадывается миновать этот кубик, т. е. отвлечься от формы.
Такую работу недавно провели наши сотрудники. Собранные ими материалы показали: чем выше дети в
возрастном и культурном развитии, тем меньше они делают таких ошибок. Если поставить более сложную
фигуру (квадрат из кубиков и другой квадрат, пересекающий первый), получается ряд кубиков, которые
входят в оба квадрата. Счет здесь получается еще более запутанный. Как общее правило мы можем
высказать положение: ребенок, который овладел формой, дает правильный счет, а ребенок, который
заблудился в форме, заблудился и в счете. Но стоит лишь дать квадраты разного цвета, стоит только
облегчить конфликт, и мы увидим, как падает число ошибок, допускаемых детьми.
У ребенка, стоящего на переломе от арифметики «натуральной» к «культурной», коренным образом
изменяется соотношение восприятия формы и арифметической операции. Если раньше форма помогала
арифметической операции, то сейчас начинает затруднять эту операцию. Мы приближаемся к основному
методическому спору, разделяющему преподавателей и психологов на два лагеря. Некоторые авторы
говорят, что арифметика ребенка развивается из непосредственного восприятия числовых фигур и, значит,
нужно учиться на числовых фигурах — палочках, точках, единицах, двойках. Другие говорят, что ребенка
нужно учить не на числовых фигурах, где количества даны всегда в известных формах, а нужно скорее от
них освободиться, возможно быстрее перейти к счету опосредованному. В. Лай и Другие сторонники метода
числовых фигур в многочисленных опытах доказывали, что ребенок, который производит счетные операции
при помощи числовых фигур, наглядных образов, гораздо быстрее справляется с этими операциями.
Казалось бы, спор решен: эксперименты доказали, что наглядный способ легче и даст гораздо лучший
эффект, чем другие способы. На самом деле спор разгорелся только после того, как
417
были выдвинуты экспериментальные доказательства. Вопрос еще не решается тем, что ребенок легче
овладевает данным приемом, чем другим. Он легче овладевает счетными операциями потому, что весь ход
предшествовавшего развития подготавливал ребенка так относиться к количествам. Мы видели, что вся
дошкольная арифметика в значительной части является арифметикой непосредственного восприятия
количеств, непосредственного оперирования с количествами. Но, спрашивается, ведет ли этот прием к той
арифметике, которой обучают ребенка взрослые?
Это решается только в зависимости от ряда условий. Если встать на точку зрения, что школьное развитие
арифметики является прямым продолжением дошкольной, тогда правы сторонники числовых фигур. Они
скажут: то, что ребенок делал, когда учился «естественной» арифметике, он будет делать и здесь, с
известным систематическим методическим подходом. Если встать на другую точку зрения и принять во
внимание, что дошкольная арифметика отличается от школьной, что ребенок переходит от
непосредственного восприятия количества к опосредованному, то будет ясно иное: хотя для ребенка
оперировать с числовыми фигурами легче, но это не входит в культурную арифметику, а уводит от нее в
сторону; это упрочивает тесную связь между количеством и восприятием формы, от чего ребенок должен
освободиться; это задерживает ребенка на более низкой ступени развития.
Таким образом, главное положение заключается в следующем: на известной ступени развития ребенок
приходит к пониманию ограниченности своей арифметики и начинает переходить к арифметике