Will D., Gebhardt N. (Hrsg.) Hydraulik: Grundlagen, Komponenten, Schaltungen
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58 4 Berechnungsgrundlagen
pp v v p
verl13 3
2
1
2
13
2
U
()
,
' (4.51)
berechnet, mit
'pv
verl13 13 13
2
2
,, ,
]
U
bzw. 'p
Q
A
verl13 13
13
2
13
2
2
,,
,
,
]
U
. (4.52)
Der Widerstandsbeiwert
]
ist keine konstante Größe. Er hängt von der Viskosität
Q
des strömenden Mediums und dem Volumenstrom Q bzw. der mittleren Strö-
mungsgeschwindigkeit v ab. Er wird als Funktion der Reynoldszahl Re, dem Quo-
tienten aus Trägheits- und Reibungskräften einer Strömung, dargestellt. Es gilt
Re
vd
h
Q
bzw. Re =
Qd
A
h
Q
(4.53)
mit dem hydraulischen Durchmesser
d
A
U
h
4
. (4.54)
In Gl. (4.54) ist A der durchströmte Querschnitt und U der Umfang dieses Quer-
schnitts. Für Kreisquerschnitt ist d
h
= d.
Die Funktion
]
= f(Re) wird Widerstandscharakteristik genannt und als Glei-
chung oder Diagramm dargestellt
Für bestimmte Strömungswiderstände (z. B. gerade Rohrleitungen bei lamina-
rer Strömung) kann die Widerstandscharakteristik durch theoretische Ableitungen
ermittelt werden [4.3].
Für Strömungswiderstände mit kompliziertem Verlauf des Querschnittes längs
des Strömungsweges (z. B. Drosselventile, Wegeventile, Filter usw.) muss der
Widerstandsbeiwert
]
experimentell ermittelt und in geeigneter Form (z. B. Nähe-
rungsgleichungen oder Diagramme) als Funktion der Reynoldszahl Re dargestellt
werden.
Für
]
gilt
]
U
'p
A
Q
2
2
2
. (4.55)
Die Reynoldszahl Re wird nach Gl. (4.53) berechnet. Durch sie wird der Einfluss
der Viskosität und damit der Temperatur des Fluids auf die Widerstands-
charakteristik und damit auf den Druckverlust erfasst. Dabei ist es zweckmäßig,
für A die Kreisfläche des Durchmessers der Nenngröße des Bauelementes einzu-
setzen.
Die Funktion
]
= f(Re) beschreibt einen Strömungswiderstand vollständig und
ermöglicht die Druckverlustberechnung bei beliebigen Viskositäten und Tempera-
turen [4.2].
4.4 Strömungswiderstände 59
4.4.1.1 Widerstandscharakteristik gerader Rohrleitungen
Gerade Rohrleitungen sind Strömungswiderstände nach Abb. 4.16 a. Ihr Quer-
schnitt ist meist kreisförmig und ändert seine Form und Größe längs des Strö-
mungsweges nicht. Der Widerstandsbeiwert
]
einer Rohrleitung mit dem hydrau-
lischen Durchmesser d
h
und der Länge l errechnet sich zu
]O
l
d
h
. (4.56)
In Gl. (4.56) ist
O
ein dimensionsloser Rohrreibungswert, der von der Reynolds-
zahl Re abhängt. Für voll ausgebildete Strömungen gilt
O
c
Re
c
1
2
. (4.57)
Die Konstanten c
1
und c
2
werden durch die Querschnittsform und den Strö-
mungswiderstand bestimmt. Es ist zwischen laminarer und turbulenter Strömung
zu unterscheiden.
Abb. 4.18 Strömungsverlauf und Geschwindigkeitsprofil in Rohrleitungen mit Kreisquer-
schnitt. a laminare Strömung b turbulente Strömung
Laminare Strömung (Abb. 4.18 a) herrscht in Rohrleitungen bei Reynolds-
zahlen Re
2320. Die einzelnen Flüssigkeitselemente bewegen sich nur in Strö-
mungsrichtung. Es ergibt sich eine parabelförmige Verteilung der örtlichen Ge-
schwindigkeit v’. Es finden keine Wirbel- und Vermischungsvorgänge statt. Die
Konstanten c
1
und c
2
der Gl. (4.57) können bei isothermer Strömung nach dem
Hagen-Poiseuilleschen Gesetz [4.4, 4.5] für Rohre mit Kreisquerschnitt zu c
1
= 64
und c
2
= 1 ermittelt werden.
Turbulente Strömung herrscht bei Reynoldszahlen Re
t
2320. Die einzelnen
Flüssigkeitselemente führen als Folge von Wirbeln zusätzlich eine Querbewegung
zur Strömungsrichtung aus (s. Abb. 4.18 b), was u. a. zu Vermischungsvorgängen
führt. Die örtliche Geschwindigkeit v’ ist im Strömungskern angenähert konstant
und fällt zum Rand sehr stark ab. Durch den großen Geschwindigkeitsgradienten
in Wandnähe sind die Druckverluste bei turbulenter Strömung größer als bei lami-
narer. Nach Blasius [4.6] gilt im Bereich 2320
d
Re
10
5
für die Konstanten der
60 4 Berechnungsgrundlagen
Gl. (4.57) c
1
= 0,3164 und c
2
= 0,25. Diese Werte gelten für hydraulisch glatte
Rohre. Bei rauen Rohren sind sie größer [4.6].
Wegen der i. Allg. in der Hydraulik verwendeten glatten Rohre und der den
Wert 10
5
nicht überschreitenden Reynoldszahlen kann der Einfluss der Rohrrau-
higkeit auf den Rohrreibungsbeiwert vernachlässigt werden. Die beiden Kurven in
Abb. 4.19 beschreiben somit die Widerstandscharakteristik von Kreisrohren aus-
reichend.
Die in Abb. 4.19 angegebenen Kurven gelten nur für voll ausgebildete laminare
bzw. turbulente Strömung. Am Rohrleitungseinlauf treten zusätzliche Verluste
auf. Diese können nur für Rohre mit l/d
!
20 gegenüber den mit den Rohr-
reibungsbeiwerten nach Abb. 4.19 errechneten Werten vernachlässigt werden [4.8,
4.9]. Rohre mit l/d
d 20 sind als örtliche Widerstände zu behandeln [4.2].
Die Konstante c
1
für gerade Rohrleitungen mit nichtkreisförmigem Querschnitt
ist in Tabelle 4.1 für laminare Strömung angegeben. Der Wert c
2
ist für alle Quer-
schnittsformen bei laminarer Strömung c
2
= 1. Bei turbulenter Strömung kann für
alle Querschnittsformen mit c
1
= 0,3164 und c
2
= 0,25 gerechnet werden [4.6].
Die kritische Reynoldszahl, oberhalb welcher turbulente Strömung herrscht, ist
unabhängig von der Querschnittsform auch in diesem Falle Re
kr
= 2320.
Mit Hilfe von PC-Programmen kann der Zusammenhang zwischen Volumen-
strom Q und Druckverlust
'
p
verl
bei beliebigen Viskositäten und Temperaturen
vorausberechnet werden [4.2].
Abb. 4.19 Abhängigkeit des Rohrreibungsbeiwertes
O
von der Reynoldszahl Re für Rohre
mit Kreisquerschnitt
4.4 Strömungswiderstände 61
Tabelle 4.1 Konstante c
1
zur Bestimmung des Rohrreibungsbeiwertes
O
für gerade, nicht-
kreisförmige Rohrleitungen bei laminarer Strömung
Querschnittsform c
1
gleichseitiges Dreieck
53,4
a
b
Rechteck
a/b = 0 96
a/b = 0,2 76
a/b = 0,5 62
a/b = 1 56,9
d
a
d
i
e
Ringspalt
dd
d
ai
m
2
dd
s
ai
2
96
1
1
3
2
2
2
e
s
s d
m
4.4.1.2 Widerstandscharakteristik von Einbauteilen
Einbauteile sind Elemente und Komponenten, welche in hydraulische Leitungs-
systeme eingefügt werden. Dazu gehören Rohrverbindungselemente, Düsen, Blen-
den, Ventile, Filter u. a. Die Widerstandscharakteristik
]
= f(Re) und damit der Zu-
sammenhang zwischen Druckverlust
'
p
verl
und Durchflussstrom Q sind für
Einbauteile nur in Ausnahmefällen durch theoretische Ansätze vorauszu-
berechnen. Solche Ausnahmefälle sind Düsen und Blenden. Nähere Ausführungen
dazu enthalten u. a. [4.1, 4.2, 4.8]. Der größte Teil der Einbauteile weist einen
komplizierten Verlauf des durchströmten Querschnitts längs des Strömungsweges
auf. Sie haben i. Allg. gleichen Eingangs- und Ausgangsquerschnitt entsprechend
Abb. 4.16 b. Damit ist ihr Druckverlust
'
p
verl
identisch mit der Differenz zwischen
Eingangs- und Ausgangsdruck p
1
- p
2
. Der Druckverlust kann mit Gl. (4.45) be-
rechnet werden.
Anders ist es bei Rohrleitungsreduzierungen und Rohrerweiterungen. Das sind
Strömungswiderstände nach Abb. 4.1 a; Druckverlust und Druckdifferenz sind
nicht identisch. Die Differenz p
1
- p
2
zwischen Eingangs- und Ausgangsdruck
kann nach Gl. (4.46) berechnet werden.
Die Ermittlung der Widerstandscharakteristik für Einbauteile erfolgt aus
Messwerten für
'
p
verl
, Q und
Q
. (s. Abschn. 4.4.1). Die Funktion
]
= f(Re) wird
zweckmäßigerweise in einem Diagramm mit logarithmisch geteilten Achsen dar-
62 4 Berechnungsgrundlagen
gestellt. Die Widerstandscharakteristik von Einbauteilen hat bei kavitationsfreier
Strömung (s. Abschn. 4.3) generell den in Abb. 4.20 gezeigten Verlauf.
log
]
log Re
K2
K1
Re
]
= f(Re)
Abb. 4.20 Widerstandscharakteristik von Einbauteilen (qualitativ)
Die Funktion
]
= f(Re) kann mit für die Praxis ausreichender Genauigkeit
durch den Ansatz
]
K
Re
K
1
2
(4.58)
beschrieben werden.
Die Ermittlung der Parameter K1 und K2 erfolgt durch Ausgleichsrechnung aus
den experimentell gewonnenen Wertepaaren
]
und Re nach Gl. (4.58) und Abb.
4.20. Dieses Verfahren ist in [4.1, 4.2] näher beschrieben. Eine andere Möglich-
keit zur Berechnung der Parameter K1 und K2 aus den Messwerten für
]
und Re
ist in Abb. 4.21 a [4.11] dargestellt. Hier wird die Gleichung
]
Re K K R e12 (4.59)
verwendet.
Eine dritte Möglichkeit zur Ermittlung der Parameter K1 und K2 zeigt Abb.
4.21 b. Hier wird die Beziehung
'p
Q
dA
K
Q
A
K
verl
U
Q
U
2
1
2
2
2
2
, (4.60)
in welcher die Messwerte für
'
p
verl
und
Q
bei Q = konst. verwendet werden, be-
nutzt [4.10].
Die Verfahren nach den Gln. (4.59) und (4.60) haben den Vorteil, dass die Nä-
herungsfunktionen linear sind und damit die Parameter K1 und K2 einfach er-
mittelt werden können.
4.4 Strömungswiderstände 63
] Re = f(Re)
]
Re
K1
Re
K2Re
a
'p
Q
aaK1
baK2
'p = f
(
Q
)
Q = konst.
b
Abb. 4.21 Darstellungsformen der Widerstandscharakteristik zur Ermittlung der Parameter
K1 und K2. a modifizierte Widerstandscharakteristik b modifizierte Druckverlustkennlinie
Mit Hilfe der Parameter K1 und K2 ist es möglich, den Zusammenhang zwi-
schen Druckverlust
'
p
verl
und Durchflussstrom Q für beliebige Viskositäten
Q
zu
berechnen und, wie in Abb. 4.22 gezeigt, grafisch darzustellen. Damit können
Druckverluste auch bei extremen Betriebsbedingungen, wie z. B. Kaltstart, er-
mittelt werden.
Aus Abb. 4.21 b ist ersichtlich, dass für alle Strömungswiderstände, die durch
den Ansatz nach Gl. (4.58) beschrieben werden können, der Druckverlust
'
p
verl
bei konstantem Volumenstrom Q als Summe zweier Teildruckverluste dargestellt
werden kann:
'' 'pp p
verl verl verl
12
. (4.61)
'
p
Q
Q
1
Q
2
Q
3
'
p = f(Q)
Q
1
Q
2
Q
3
Abb. 4.22 Abhängigkeit des Druckverlustes
'
p
verl
von Volumenstrom und Viskosität
Der Anteil
'
p
verl1
nimmt linear mit der Viskosität
Q
zu, während der Anteil
'
p
verl2
viskositätsunabhängig ist. Damit kann für den Druckverlust hydraulischer
Einbauteile eine Modellierung nach Abb. (4.23) mit
''pRQundpRQ
verl h verl h12
2
' (4.62)
durchgeführt werden.
64 4 Berechnungsgrundlagen
1
2
Einbauteil
Q
p
1
p
2
'
p
verl
=
1
2
Q
R
h
R'
h
'
p
verl
'
p
verl1
'
p
verl2
Abb. 4.23 Modellierung hydraulischer Einbauteile
Für die hydraulischen Widerstände R
h
und R’
h
gilt
R
K
dA
und R
K
A
hh
UQ U
1
2
2
2
2
'
. (4.63)
Soll bei vorgegebener Druckdifferenz über einem hydraulischen Einbauteil der
Durchflussstrom ermittelt werden, ist es zweckmäßig, mit den hydraulischen Leit-
werten G
h
und G’
h
zu arbeiten.
Da die beiden Ersatzwiderstände eines hydraulischen Einbauteils in Reihe ge-
schaltet sind (s. Abb. 4.23), gilt für den Durchflussstrom
QG p
h
'
1
und QG p
h
' '
2
(4.64)
mit
G
dA
k
h
2
1
UQ
und G
K
A
h
'
2
2
U
. (4.65)
Besteht eine Schaltung aus Kombinationen von hydraulischen Widerständen, er-
gibt sich bei Reihenschaltung (s. Abb.4.24 a) von n Widerständen der Gesamt-
druckverlust aus der Summe der Druckverluste über den Einzelwiderständen
''pp
ges i
i
n
¦
1
, (4.66)
wobei durch jeden Einzelwiderstand der gleiche Volumenstrom
Q = Q
i
(4.67)
fließt. Bei Parallelschaltung (s. Abb. 2.24 b) ist der Druckverlust über allen Ein-
zelwiderständen gleich. Es gilt
''pp
i
, (4.68)
4.4 Strömungswiderstände 65
während die Summe der Volumenströme durch die Einzelwiderstände den Ge-
samtvolumenstrom
QQ
ges
i
n
i
¦
1
(4.69)
ergibt.
Q
1
Q
2
Q
n
QQ
'
p
'
p
'
p
n
'
p
ges
R
1
R'
2
R
n
'
p
Q
1
Q
2
Q
n
R
1
R'
2
R
n
Q
ges
Q
ges
'
p
'
p
'
p
n
a
b
Abb. 4.24 Kombinationen hydraulischer Widerstände. a Reihenschaltung b Parallel-
schaltung
Für die Berechnung des Durchflussstromes in Abhängigkeit von der Druck-
differenz können auch die Beziehungen
QA p
D
U
2
'
bzw. QkA p
Dr Dr Dr Dr
' (4.70)
mit dem Durchflussbeiwert
D
und dem Drosselbeiwert k
Dr
verwendet werden.
Dabei gilt
D
]
1
12
Re
ReKK
bzw. k
Dr
2
U]
. (4.71)
Gleichung (4.71) zeigt, dass der Durchflussbeiwert
D
sowie der Drosselbeiwert k
Dr
von der Reynoldszahl Re abhängen.
Durch die Einführung der Parameter K1 und K2 zur Beschreibung der Wider-
standscharakteristik ist es möglich, das Druckverlust-Volumenstrom-Verhalten
von hydraulischen Widerstandsnetzwerken mit Hilfe von Programmsystemen zu
berechnen. Ein solches System wird in [4.2] vorgestellt.
Nachfolgend werden Widerstandscharakteristiken häufig vorkommender Ein-
bauteile behandelt, die zur numerischen Berechnung der in ihnen auftretenden
Druckverluste verwendet werden können.
66 4 Berechnungsgrundlagen
Widerstandscharakteristik von Rohrkrümmern und Kniestücken
In Rohrkrümmern entsteht außer dem Reibungsverlust ein Umlenkverlust durch
Querströmung und Strahlablösung. Damit hängt der Widerstandsbeiwert
]
vom
Krümmungsradius ab. Für den Krümmungswinkel
M
= 90° kann
]
Kr
aus dem Dia-
gramm nach Abb. 4.25 [4.12] entnommen werden.
Abb. 4.25 Widerstandscharakteristik von Rohrkrümmern für
M
= 90°
Die Parameter K1 und K2 enthält Tabelle 4.2.
Tabelle 4.2 K1- und K2-Werte für 90 °-Rohrkrümmer
R/d K1 K2
2 347 0,12
4 448 0,22
6 696 0,28
10 1154 0,43
Für andere Winkel kann
]
Kr
nach der Beziehung
]]
M
Kr Kr
q90
90
(4.72)
berechnet werden.
Die Widerstandscharakteristik von Kniestücken ist in Abb. 4.26 [4.13] mit
K1 = 677 und K2 = 1,46 dargestellt.
4.4 Strömungswiderstände 67
Abb. 4.26 Widerstandscharakteristik von Kniestücken für
M
= 90°
Widerstandscharakteristik von Schlauchleitungen
Der Widerstandsbeiwert von Schlauchleitungen wird durch den des eigentlichen
Schlauches und dem der Anschlussstücke gebildet. Er kann durch das in Abb. 4.27
dargestellte Modell zu
]O OI
s
s
s
a
a
a
l
d
l
md
2
2
(4.73)
mit m = da
2
/ds
2
berechnet werden.
d
s
d
a
d
a
l
a
l
a
l
s
S
A
A
Abb. 4.27 Schlauchleitungsmodell. S - Schlauch, A - Anschlussstück
Der Faktor
I
berücksichtigt die zusätzlichen Verluste durch Strahlkontraktion
und -erweiterung sowie die erhöhte Reibung im Anlauf der Anschlussstücke. Er
kann näherungsweise zu
I
= 2,5 gesetzt werden [4.14].
Widerstandscharakteristik für Komponenten
Die Funktion
]
= f(Re) für Ventile, Filter, Steuerblöcke u. a. entspricht dem in
Abb. 4.20 dargestellten qualitativen Verlauf. Die Parameter K1 und K2 der Wider-
standscharakteristik können aus Messwerten für
'
p
verl
, Q und
Q
oder aus den
'
p
verl
= f(Q)-Kennlinien der Komponentenhersteller nach den in den Abb. 4.20
und 4.21 sowie den Gln. (4.58, 4.59 und 4.60) angegebenen Methoden ermittelt
werden.