Will D., Gebhardt N. (Hrsg.) Hydraulik: Grundlagen, Komponenten, Schaltungen
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48 4 Berechnungsgrundlagen
4.3 Bernoulli-Gleichung und Impulssatz
In Abschn. 4.1 wurde der Zusammenhang zwischen Kräften und Drücken in ru-
henden Fluiden und die daraus resultierenden Schlussfolgerungen für die Be-
rechnung hydraulischer Systeme behandelt.
Bei strömenden Medien sind in der Kräftebilanz zusätzlich Trägheits- und Rei-
bungskräfte zu berücksichtigen. Wird zunächst der Fall betrachtet, dass die Strö-
mung keine zeitliche Änderung erfährt und die Reibungskräfte vernachlässigt
werden können (reibungsfreie stationäre Strömung), gilt für ein bewegtes Flüssig-
keitselement nach Abb. 4.9 unter Anwendung des Grundgesetzes der Dynamik
Kraft Masse Beschleunigung
AdpA gdhAds
dv
dt
UU
. (4.17)
1
2
h
s
A
ds
dh
p
p+dp
l
A
1
;
p
1
;
h
1
v
1
A
2
;p
2
;h
2
v
2
Q
Q
Abb. 4.9 Stationäre reibungsfreie Strömung bei veränderlichem Querschnitt
Wird Gl. (4.17) durch die Fläche A dividiert und für ds/dt die Strömungs-
geschwindigkeit v eingesetzt, ergibt sich die Eulersche Gleichung
dp g dh v dv
U
U
. (4.18)
Es kann angenommen werden, dass sich die Dichte
U
längs des Strömungsweges
nicht ändert. Dann erhält man durch Integration der Eulerschen Gleichung die
Bernoulli-Gleichung für reibungsfreie stationäre Strömung
pgh vkonst
U
U
2
2
. (4.19)
4.3 Bernoulli-Gleichung und Impulssatz 49
In dieser Gleichung bedeuten
p +
U
g
h statischer Druck
U
/2
v
2
Staudruck.
Die Bernoulli-Gleichung sagt aus, dass die Summe aus dem die potentielle E-
nergie verkörperndem statischen Druck und dem der kinetischen Energie ent-
sprechendem Staudruck an jeder Stelle längs des Strömungsweges konstant ist.
Für die in Abb. 4.9 dargestellte reibungsfreie Strömung ergibt die Bernoulli-
Gleichung für die Querschnitte 1 und 2
2
222
2
111
22
vhgpvhgp
U
U
U
U
. (4.20)
In hydraulischen Anlagen kann der Schweredruck gegenüber dem örtlichen stati-
schen Druck vernachlässigt werden und die Bernoulli-Gleichung wird zu
pvp v
11
2
22
2
22
U
U
. (4.21)
Mit Gl. (4.21) ist es möglich, den statischen Druck längs des Strömungsweges in
hydraulischen Bauelementen mit veränderlichem Strömungsquerschnitt vorauszu-
berechnen. Das ist besonders wichtig bei einer Verringerung des Querschnittes,
wie in Abb. 4.10 gezeigt.
1
2
v
1
v
2
Q
p
1
p
2
p
s
s
1
s
2
a
p
d
Q*
Q
1
Q
2
a
b
Abb. 4.10 Beispiel zur Anwendung der Bernoulli-Gleichung. a Verlauf des Querschnittes
längs des Strömungsweges b Druckverlauf längs des Strömungsweges
50 4 Berechnungsgrundlagen
Für den Druck im Querschnitt 2 gilt
pp Q
AA
21
2
2
2
1
2
2
11
§
©
¨
¨
·
¹
¸
¸
U
. (4.22)
Mit zunehmendem Volumenstrom Q sinkt der statische Druck p
2
. Bei Erreichen
des Volumenstromes Q
erreicht p
2
den Dampfdruck p
d
des Fluids. Eine weitere
Steigerung von Q würde zu einem weiteren Absinken des Druckes p
2
führen. Dies
ist in Abb. 4.10 für Q
2
gestrichelt dargestellt. Da Flüssigkeiten keine Zug-
spannungen übertragen können, ist eine Unterschreitung des Dampfdruckes nicht
möglich. Deshalb wird ein Teil der Flüssigkeit verdampfen (Strömungskavitation)
und der Druck p
2
bleibt konstant p
2
= p
d
. Stromabwärts vom Punkt s = a fließt
dann ein Gemisch aus Flüssigkeit, Dampfblasen und Luftblasen. Durch die Druck-
absenkung wird gleichzeitig im Fluid gelöste Luft frei (s. Abschn. 3.3.3). Die
Dampfblasen kollabieren, – wenn sie stromabwärts Gebiete höheren statischen
Druckes erreichen – unter starker Geräuschbildung und können Zerstörungen an
den Wänden des Strömungskanals verursachen.
Hydraulische Anlagen und ihre Bauteile sind so zu gestalten und zu dimensio-
nieren, dass Strömungskavitation sicher vermieden wird. Besonders kavitations-
gefährdet sind Saugräume von Pumpen und starke Querschnittsverringerungen,
die in Strom- und Druckventilen auftreten. Strömungskavitation beeinflusst
außerdem das Durchflussverhalten von Stromventilen.
In der Praxis tritt oft der Fall auf, dass die Strömungsgeschwindigkeit zeitlich
veränderlich ist. Beispiele für eine derartige instationäre Strömung sind Anlauf-
und Bremsvorgänge sowie durch Pumpen verursachte Pulsationen. Die totale Än-
derung der Geschwindigkeit wird dann
dv
v
s
ds
v
t
dt
w
w
w
w
. (4.23)
Durch Einsetzen von Gl. (4.23) in Gl. (4.18) erhält man die Eulersche Gleichung
für instationäre reibungsfreie Strömung
§
©
¨
·
¹
¸
dp g dh v
v
s
ds
v
t
dt
UU
w
w
w
w
. (4.24)
Die Integration liefert für konstante Dichte
U
die Bernoulli-Gleichung für in-
stationäre Strömung
pgh v
v
t
ds konst
s
³
U
U
U
w
w
2
2
0
.
(4.25)
Der Ausdruck
U
w
w
³
v
t
ds
s
0
wird Beschleunigungsdruck genannt.
4.3 Bernoulli-Gleichung und Impulssatz 51
Die bisherigen Betrachtungen gelten für reibungsfreie Strömungsvorgänge. Der
Einfluss der Reibung kann in der Bernoulli-Gleichung durch den Druckverlust be-
rücksichtigt werden. Die Bernoulli-Gleichung für verlustbehaftete Strömung zwi-
schen zwei Punkten längs des Strömungsweges lautet (Höhendifferenz = 0)
pvpvp
verl11
2
22
2
12
22
U
U
'
,
. (4.26)
Der Ausdruck
'
p
verl 1,2
ist dabei der zwischen den Punkten 1 und 2 auftretende
Druckverlust. Die Ermittlung des Druckverlustes in Bauelementen hydraulischer
Anlagen wird in Abschn. 4.4.1 behandelt. Während die Bernoulli-Gleichung Aus-
kunft über den Anteil der potenziellen und kinetischen Energie an der Gesamt-
energie einer Strömung gibt, behandelt der Impulssatz die Ermittlung der re-
sultierenden Kraft in einem Flüssigkeitsgebiet. Dabei ist es nicht erforderlich, die
Vorgänge im Inneren dieses Gebietes zu analysieren. Der Impulssatz sagt aus,
dass die zeitliche Änderung der Bewegungsgröße
mv
&
eines Systems gleich der
auf das System wirkenden äußeren Kraft
&
F
ist. Somit gilt
&
&
F
dmv
dt
()
. (4.27)
Für ein durch die Randflächen R (s. Abb. 4.11) begrenztes Gebiet innerhalb einer
Strömung kann für die rechte Seite die zeitliche Änderung der Bewegungsgröße
geschrieben werden
dmv
dt
dm
dt
vm
dv
dt
RR R
()
&
&
&
. (4.28)
Abb. 4.11 Kontrollgebiet zur Anwendung des Impulssatzes
Die zeitliche Änderung der Strömungsgeschwindigkeit
&
v wird bei stationärer
Strömung zu null. Damit erhält Gl. (4.27) für das durch den Rand R begrenzte
Kontrollgebiet die Form
&
&
F
dm
dt
v
R
R
¦
. (4.29)
Wird konstante Dichte
U
angenommen, gilt
52 4 Berechnungsgrundlagen
dm
dt
Q
U
. (4.30)
Der Impulssatz für stationäre inkompressible Strömung wird damit
&
&
FQv
RR
¦¦
U
. (4.31)
Für Gl. (4.31) gilt folgende Vorzeichenregel: in den Eintrittsquerschnitten wirkt
die Reaktionskraft der Bewegungsgröße
U
Qv
&
in Strömungsrichtung. In Aus-
trittsquerschnitten ist sie entgegen der Strömungsrichtung anzusetzen (Abb. 4.11).
Abb. 4.12 Kräfte an einem durchströmten Rohrkrümmer
Mit Hilfe des Impulssatzes kann die Lagerkraft F
L
, die benötigt wird, um den in
Abb. 4.12 dargestellten 90 ° Rohrkrümmer gegen die beim Durchströmen auf-
tretenden Kräfte in seiner Position zu halten, berechnet werden. Das Kontroll-
gebiet wird dabei der Kontur des Krümmers angepasst. Die Anwendung der Gl.
(4.31) für die Bilanz in x- und y-Richtung ergibt
FpAQv
Lx
2
U
(4.32)
FpAQv
Ly 1
U
. (4.33)
Die resultierende Lagerkraft F
L
wird
FFF
LLxLy
22
. (4.34)
Bei Vernachlässigung der Reibungsverluste wird p
1
= p
2
= p und
FpAQv
L
()
U
2 . (4.35)
4.3 Bernoulli-Gleichung und Impulssatz 53
Zwischen den Querschnitten 1 und 2 einer sich in Strömungsrichtung plötzlich
erweiternden Leitung (Abb. 4.13) entsteht ein Druckanstieg.
Abb. 4.13 Strömung durch eine Leitung mit plötzlicher Erweiterung
Der Druck p
2
erreicht jedoch nicht den Wert, der für verlustfreie Strömung nach
der Bernoulli-Gleichung (4.21) zu erwarten ist. Die Ursachen dafür sind die durch
die Ablösung der Strömung im Querschnitt 1 entstehenden Wirbel und die beim
Übergang von 1 nach 2 auftretenden Stoßverluste, durch die ein Teil der kineti-
schen Energie der Strömung verbraucht wird. Für diesen verlustbehafteten Strö-
mungsvorgang kann die Druckänderung mit Hilfe des Impulssatzes berechnet
werden. Für das in Abb. 4.13 gestrichelt eingezeichnete Kontrollgebiet lautet das
Kräftegleichgewicht
p A Qv p A Qv
12 1 22 2
U
U
. (4.36)
Daraus errechnet sich die Druckerhöhung bei plötzlicher Erweiterung zu
pp
Q
A
vv
21
2
12
U
(). (4.37)
Aus Kontinuitätsgründen ist
QvA v A
11 2 2
. (4.38)
Damit wird
pp v
A
A
A
A
21 1
2
1
2
1
2
1
U
(), (4.39 a)
wenn die Geschwindigkeit im Zulaufquerschnitt oder
pp v
A
A
21 2
2
2
1
1
U
(), (4.39 b)
falls die Geschwindigkeit im Abflussquerschnitt verwendet wird.
Eine weitere Anwendungsmöglichkeit des Impulssatzes ist die Ermittlung der
Kraft, die ein freier Flüssigkeitsstrahl auf eine Wand ausübt (Abb. 4.14). Für den
54 4 Berechnungsgrundlagen
aus der Düse 1 senkrecht auf die ebene Wand treffenden Strahl ergibt sich im
Kontrollgebiet nach Abb. 4.14 die Kraft F
W
, mit der die Wand gegen die Wirkung
des Strahls gehalten werden muss, zu
FQv
W
U
, (4.40)
da die axiale Komponente der Abströmgeschwindigkeit v
2
null ist. Ein senkrecht
auf eine ebene Wand auftreffender Flüssigkeitsstrahl übt damit auf diese die Kraft
FQv
S
U
(4.41)
aus.
Abb. 4.14 Strahlkraft auf unterschiedliche Wände. a senkrechte Wand b konvexe Wand
c konkave Wand d geneigte Wand
4.4 Strömungswiderstände 55
Beim Auftreffen des Strahles auf gekrümmte Wände (Abb. 4.14 b und c) hat
die Abströmgeschwindigkeit v
2
eine axiale Komponente
M
cos
2
v , deren Größe
und Richtung vom Winkel
M
, unter dem der Strahl die Wand verlässt, abhängen.
Somit gilt für die Strahlkraft auf gekrümmte Wände
FQv
S
U
M
(cos)1 . (4.42)
Für Abströmwinkel
M
, die größer als 90° sind, wird die Kraft F
S
größer als beim
Auftreffen des Strahles auf eine ebene Wand. Bei
M
= 180° tritt der theoretische
Größtwert mit
FQv
S max
2
U
auf. Dieser Wert wird praktisch nicht erreicht, da
die durch die Viskosität des Fluids verursachten Reibkräfte der Strahlkraft ent-
gegenwirken.
Beim Auftreffen des Strahls auf eine zur Düsenachse um den Winkel
H
geneigte
Wand (Abb. 4.14 d), hat die Strahlkraft eine senkrecht und eine tangential zur
Wand gerichtete Komponente. Es gelten
FQv
SN
U
H
sin (4.43)
und
FQv
ST
U
H
cos . (4.44)
Die Tangentialkomponente F
ST
hat großen Einfluss auf die axiale Kräftebilanz an
den Kolben hydraulischer Ventile (s. Abschn. 4.5).
4.4 Strömungswiderstände
Durch Reibungs- und Wirbelvorgänge wird beim Durchströmen hydraulischer
Leitungen und Bauelemente Strömungsenergie irreversibel in Wärme um-
gewandelt und es entsteht in Strömungsrichtung ein bleibender Druckabfall, der
als Druckverlust bezeichnet wird. Durchströmte Leitungen und Bauelemente einer
Hydraulikanlage können somit als Strömungswiderstände betrachtet werden.
Q
a
'p = f(Q)
'
p
Q
b
Q = f('p)
'
p
Abb. 4.15 Beispiele für Strömungswiderstände. a mit vorgegebenem Volumenstrom b mit
vorgegebener Druckdifferenz
56 4 Berechnungsgrundlagen
Wenn einem hydraulischen Strömungswiderstand ein Volumenstrom Q zu-
geführt wird (s. Abb. 4.15 a), entsteht in Strömungsrichtung ein bleibender Druck-
abfall
'
p, der als Druckverlust bezeichnet wird.
Eine vorgegebene Druckdifferenz
'
p über einem Strömungswiderstand hat ei-
nen Volumenstrom Q zur Folge. Ist der Strömungswiderstand z. B. ein Leckspalt
in einem hydraulischen Bauelement (s. Abb. 4.15 b), wird der durch die Druck-
differenz angetriebene Volumenstrom als Leckverlust bezeichnet.
Druck- und Leckverluste haben wesentlichen Einfluss auf den Wirkungsgrad
hydraulischer Anlagen. Sie beeinflussen darüber hinaus oft die Funktion und die
Zuverlässigkeit von Bauelementen und Anlagenteilen.
Entwickler hydraulischer Komponenten und Projekteure hydraulischer An-
lagen und Systeme benötigen deshalb zuverlässige Methoden zur Ermittlung der
Druck- und Leckverluste von Strömungswiderständen bei beliebigen Betriebs-
bedingungen.
4.4.1 Druckverluste
Bei Strömungswiderständen, deren Querschnitt sich längs des Strömungsweges
nicht ändert (s. Abb. 4.16 a) und solchen, deren Ein- und Austrittsquerschnitt
gleich groß sind (s. Abb. 4.16 b), sind die mittleren Strömungsgeschwindigkeiten
v
1
und v
2
gleich groß. Damit wird nach der Bernoulli-Gleichung für verlust-
behaftete Strömung in Gl. (4.26) die Druckänderung p
1
- p
2
zwischen den Quer-
schnitten 1 und 2 gleich dem Druckverlust
'
p
verl.
. Unter Verwendung des
dimensionslosen Widerstandsbeiwertes
]
[4.1, 4.2] kann dieser aus dem Staudruck
berechnet werden. Es gilt
'pv
verl
]
U
2
2
bzw. 'p
Q
A
verl
]
U
2
2
2
. (4.45)
Q
v
p
1
p
2
12
a
Q
p
1
p
2
v
1
v
2
1
2
b
Abb. 4.16 Strömungswiderstände mit gleichem Ein- und Austrittsquerschnitt. a mit gleich
bleibendem Querschnitt b mit Querschnittsänderung längs des Strömungsweges
Sind Ein- und Austrittsquerschnitt des Strömungswiderstandes unterschiedlich
groß (s. Abb. 4.17 a), dann ist der Druckverlust
'
p
verl
nicht gleich der Druck-
änderung p
1
- p
2
.
4.4 Strömungswiderstände 57
p
1
p
2
v
1
v
2
1
2
Q
a
Q
1
Q
2
Q
3
p
1
p
2
p
3
v
1
v
2
v
3
1
2
3
b
Abb. 4.17 Strömungswiderstände mit Querschnittsänderung. a mit unterschiedlichem Ein-
und Austrittsquerschnitt b mit Verzweigung
Dies liegt daran, dass sich die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und damit auch
der Staudruck wegen der Querschnittsänderung längs des Strömungsweges ändern
(s. Abschn. 4.3). Für die Druckänderung p
1
- p
2
gilt in diesem Fall
pp v v p
verl12 2
2
1
2
2
U
()' (4.46)
mit
'pv
verl
]
U
12 12
2
2
,,
bzw. 'p
Q
A
verl
]
U
12
2
12
2
2
,
,
. (4.47)
Widerstandsbeiwert
]
und mittlere Strömungsgeschwindigkeit v können auf die
Querschnitte 1 oder 2 bezogen werden. Dabei ist jedoch für beide Größen der
gleiche Querschnitt zu wählen.
Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung Gl. (4.14) ist es möglich, den Wider-
standsbeiwert für einen Querschnitt auf den des anderen Querschnitts umzu-
rechnen
]
1
/
]
2
= A
1
2
/A
2
2
. (4.48)
Auch bei Verzweigungen (s. Abb. 4.17 b) sind Druckänderung und Druckverlust
in den einzelnen Zweigen nicht identisch. Für die Druckänderung zwischen den
Querschnitten 1 und 2 gilt
pp v v p
verl12 2
2
1
2
12
2
U
()
,
' (4.49)
mit
'pv
verl12 12 12
2
2
,, ,
]
U
bzw. 'p
Q
A
verl12 12
12
2
12
2
2
,,
,
,
]
U
. (4.50)
Die Druckänderung zwischen den Querschnitten 1 und 3 wird zu