Яковлев Н.В. и др. Практикум по высшей геодезии. Вычислительные работы

Подождите немного. Документ загружается.

Во втором (см. рис. 73) и третьем (см. рис. 74) случаях иско-

мое расстояние вычисляется соответственно по формулам

5ц= |S'

| + 2\Soi\> (17.38)

|5'

| + 2|S

|. (17.39)

Величины S

i и S

в (17.38) и (17.39) вычисляются на основа-

нии следующих формул, полученных из (17.33), если учесть, что

для точки Q

выполняется равенство ф

= а

я/2:

5о1=МР

[о,2(|

ф1

| _я/2) + (я/2 - laj)], (17.40)

S02 = bW

[о,2 (л/2— |

Ф2

1) + ^ ^

25k2

([ а

1 - я/2)j. (17.41)

Взаимное расположение пунктов, соответствующих указанным

трем случаям, влияет и на определение азимутов А\

и А

\. Прак-

тически оценку случая, который встретится при решении конкрет-

ной задачи, и принятие решения о том, какую формулу исполь-

зовать для вычисления (17.37), (17.38) или (17.39), а также

как вычислять азимуты, удобно делать на основании анализа сфе-

рических разностей долгот Ah, полученных из трех приближений.

На основании исходных формул (17.33), (17.35) и (17.36), а

также сделанных пояснений для решения обратной геодезической

задачи на большие расстояния можно предложить следующий ал-

горитм:

1. Определение средней широты В

р по формуле

В!

+ tg Во

2СОТ(//2)^- (

где l = L

—L\.

2. Вычисление сфероидической функции V

4,0018

-f-

3,000е'

cos

4,0018 + e'

cos

3. Вычисление сфероидических функций Vr.

4,0018 + 3e'

cos

у. _ —! L L_ /]7 44\

4,0018 + e'

cos

Bj '

4. Вычисление сфероидической функции V:

=Vl

-4 У

ср +

г< (l7 45)

5. Вычисление сферической разности долгот АМ\) в первом при-

ближении:

д K

{1)

= vi. (17.46)

6. Вычисление сферической разности долгот ДЛ(

> во втором

приближении:

д х

(2)

= / + Л/, (17.47)

19—2296 289

Уср — - (17.43)

где

Л/ = 0,003351psingr;

sinA^j^ 1

sin

= iinp (1 -£>*) V

;

= cos B

cos B

;

008

^ [

+ yfef

cos ДЯ(1)

]

т = sin В

sin B

;

j —

1 >

00673853 (ДЛЯ эллипсоида Красовского).

Причем всегда будем считать />0. Тогда ЛХ(о>0 и ДЯ(2)>0.

7. Определение величины В

гЬ

sin ДЯг/

cos £

= . (17.48)

(Ф

cos ДЛ,

(а)

+ т)

8. Вычисление расстояния s' 12 по формуле (17.33), где

sin Bf

. / sin

В*

1 — 0,75е

sin

— 0,25е

sin

JL- =30,81894164 (для элипсоида Красовского), а* вычисляется

по формуле (17.34).

9. Вычисление сферической разности долгот АХ(з> в третьем

приближении:

A?i

(3)

=arcc

s(-|^) -arc

cos(17

Величина ДЯ(з) может быть как положительной, так и отрица-

тельной.

10. Вычисление расстояния S

(17.50

по формуле (17.37), если

ДЛ

(3)

| — | М

{2)

| < е;

по формуле (17.38), если

Ак

{3)

| — | ДХ(

> е и В

> В

по формуле (17.39), если

ДЯ

{3)

| — | ДЛ

(2)

>е и В

где е — малое заданное положительное число, характеризующее

ошибку вычислений (в «0,05").

11. Вычисление азимутов А'

и А'

\ по формулам (17.35) и

(17.36).

12. Вычисление азимутов А\

и А

2Х

в зависимости от условии

(17.50):

290;

Исходные данные

а 6 378 245 м В,

—63° 18'34,65"

6356863,02

м Li 10 13 17,62

0,00669342

—43 15

24,76

е'

0,00673852

40 26 17,34

Схема решения

Номер

дейст-

вия

Формулы

Вычисления

Номер

дейст-

вия

Формулы

Вычисления

Вычисление

|f44L

-L,|

^рад

cos (//2)

tg Bt

tg В

sin В.

sin Вг

cos Вi

cos B

\|) = cos Bi cos B

x = sin Bi sin Bz

2[3]

tg£

_[4] + [5]

[12]

30°12'59,72"

0,52737895

0,96543491

—1,98911104

—0,94093236

—0,89344686

—0,68527042

0,44916890

0,72828871

0,32712464

0,61225270

1,93086982

—1,51747335

Вычисление

l+tg

l/[14]=cos

cos

3,30272534

0,30278024

0,00204029

1,00101963

Вычисление

Vt (i= 1,2)

0,20175270

0,53044445

0,00135952

1,00067954

0,00357414

1,00178549

cos

В i

cos

Вычисление

1,00109060

Вычисление

AA-a)

AXn

рад

0,52795411

° 30°I4'58,35"

sin AX(d

0,50376707

cos A^(i)

0,86383953

Вычисление

АЯ

)

[29] [28]

ViV

0,32932898

0,28448789

1,00246623

[30}+т

cos p

p°

py рад

sin p

sin

(

i)/sin

[371-[291

[38]/[31]

0,003351-ррадХ

X[39]

АЛ(2),

рад

ДЯ(

)°

sin АЯ(2)

COS ДЛ(2)

Вычисление

0,89674010

0,89453397

26°33'04,92"

0,46340879

0,44699997

1,12699576

0,37115237

0,37023927

0,00057516

0,52795411

30°14'58,35"

0,50376707

0,86383953

'Ф

[46

[47

;

1 —

43]

44]

Чт

481

У[49]

COS

Вт

В°т

Sin

Вт

sin

Вп

0,16479462

0,28258319

0,89483590

0,80073129

0,19926871

0,44639523

со

0,36916753

bbo

20'08>57"

0,92936286

0,86371533

Определение

s'i2

№

sin ф!

Sin ф2

Ф1°

Фь раД

ф2°

Фг, рад

tg Ф1

tg Ф2

1,256

yi—1,25/г

tga,

tg a

cti°

l,2/[67]

(Ф2 Ф')» рад

0,00578121

0,99710520

1,00045906

—0,96135417

—0,73735507

—74

01'09,23"

—1,29187933

—47

30'23,73

/г

—0,82914647

—3,49183792

—

1,09156069

0,00722651

0,99638019

—3,47919813

—

1,08760944

—73°57'50,96"

—47 24 11,11

1,20435955

0,46273285

19*

291

Продолжение схем

Номер Номер

дейст-

Формулы

Вычисления

дейст-

Формулы

Вычисления

вия

0,2(ср2—(pi),

рад

0,09254657

[92]. [72]

0,2(ср2—(pi),

рад

[93] + [91]

(<*i—а

рад

—0,46357820

sot

= [78]. [94]

[75]. [72]

—0,55831472

2Sot

[74]+[76]

—0,46576815

S12~|

'12|

6 338

461,18

+21 Soi|

[78]. [77]

—2 952

253,31

Далее—4106]

2 952

253,31м

л/2-1

Фа |

0,2 [98]

Вычисление АЛ(

100

—я/2

tg В

tgSi/tgBm

igBz/igBm

arccos

[82]

arccos

[83]

АХ(3)

—2,51745555

0,79012758

0,37376326

37°48'09,2Г

68°03'07,55"

30°14'58,34"

101

102

103

104

105

[100].

[72]

[101]+[99]

So2

[l02].[78]

S]2=|S'12|

+2Ы

Далее—•[

106]

10.

Вычисление

АХ (3)|-

0,01"

1*1.

Определение

, А'

—

| АА(2)|| — А

0,01"

106

zosBJVi

0,44886389

Если

А^е, 107

cos

B2IV2

0,72699068

то—*[89]

108

COS Bm/Vm

0,36899814

Если

А>е,

Пусть

109

[108]/[106]

0,82207133

Bi>B

6=0,05"

110

[108]/[107]

0,50756927

ТО—490]

111

I2=arcsin

55°17'33,65"

Если

А>е,

[109]

Bi<B

112

Л'

агс5т

30°30'06,77*

то—498]

Sl2==5

Далее—4106]

|Ф11—Jt/2

[>1.101

то—498]

Sl2==5

Далее—4106]

|Ф11—Jt/2

2 952

253,31

12.

Определение

, Л21

по

таблицам

0,2-[90]

113

A12

55°17 35,65

я/2-1 ail

114

|| 210 30

06,77

если |ДХ(з)|

—

|ДА,(2)|

то

вычисляют

по

табл.

155

Таблица

155

Азимуты

Широты

Bt>B

Bi<B

Bi>B

Bt<B

Долготы

Li>L

я+Л'

2JI—Л',2

A' 21 71—A' 21

Долготы

Li<L

я—A'

Л'

2я—А'и

Я + Л'21

292

2) если | |АЛ(з)| — |АЯ(2)| |>е, то вычисляют по табл. 156.

Т а б

ли

156

Азимуты

Al2

Ац

Широты

Bi>B

BiCB

{

Bi<B

Долготы

u>u

2я—A'i2 2я—Л

Долготы

Li<U

2я—A'

2я—A'%\

Пример 14. По заданным на референц-эллипсоиде Красовско-

го геодезическим координатам В

> L

точек 1 и 2 вычислить

расстояние 5 между ними, прямой А\

и обратный А

\ азимуты.

Часть VI

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ГЕОДЕЗИИ

Глава 18

ОПРЕДЕЛЕНИЕ АСТРОНОМО-ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

УКЛОНЕНИЙ ОТВЕСА И АНОМАЛИЙ ВЫСОТ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ГРАВИМЕТРИЧЕСКИХ ДАННЫХ

Астрономо-геодезический метод определения поверхности Зем-

ли содержит два этапа: определение параметров поверхности от-

носимости (референц-эллипсоида) и определение координат точек

опорной геодезической сети относительно референц-эллипсоида.

На обоих этапах обычно используется система пространственных

геодезических координат В, L, Я. Геодезические координаты теку-

щей точки получают последовательным прибавлением прираще-

ний координат AB

AL, ДН к координатам В

0у

, Н

исходного

пункта.

В процессе геодезических измерений все приборы ориентируют

по отвесным линиям или касательным к уровенным поверхностям;

кроме того, измерения выполняют на физической поверхности

Земли. Поэтому непосредственно по результатам измерений полу-

чить приращения АВ, AL, АН геодезических координат нельзя.

В результате измерений нужно ввести поправки, учитывающие не-

совпадение нормалей к референц-эллипсоиду и отвесных линий и

поправки за высоту над поверхностью референц-эллипсоида. Для

вычисления этих поправок нужно знать астрономо-геодезические

уклонения отвеса и геодезические высоты Н. Так как геодезическая

высота обычно представляется как сумма нормальной высоты Н

которую можно считать непосредственно измеренной, и аномалии

аг

высоты, можно сказать, что для приведения результатов изме-

рений в геодезическую систему координат необходимо знать астро-

номо-геодезические уклонения отвеса и аномалии высот.

§ 91. Косвенная интерполяция

астрономо-геодезических уклонений отвеса и аномалий

высот с использованием гравиметрических данных

Астрономо-геодезическим уклонением отвеса называют угол

между направлением отвесной линии и нормалью к референц-эл-

липсоиду. Составляющие £

аг

, г|

аг

астрономо-геодезического уклоне-

294;

ния отвеса в плоскости меридиана и первого вертикала связаны

с астрономическими и геодезическими координатами пункта зави-

симостями

^аг

==ф

В;

т]

аг

(А,

— L) cos В. (18.1)

Непосредственное определение составляющих уклонения отвеса

по формулам (19.1) возможно только в астропунктах. В промежу-

точных точках их определяют интерполяцией. Линейная интерпо-

ляция астрономо-геодезических уклонений отвеса при расстояниях

между астропунктами около 100 км приводит к значительным

ошибкам интерполированных уклонений (около 2" в равнинных

районах). Поэтому для нахождения астрономо-геодезических укло-

нений отвеса применяют метод косвенной интерполяции.

Косвенная интерполяция астрономо-геодезических уклонений

отвеса с использованием гравиметрической карты заключается в

следующем. По гравиметрической карте можно вычислить состав-

ляющие £

гр

т]

гр

гравиметрического уклонения отвеса

2л

Р Iff dS

(гЬ)

cos А

о о

где g—у — смешанные аномалии силы тяжести, 5 (40 — функция

Стокса, Л, 4

— полярные сферические координаты текущей точки

относительно фиксированной, в которой вычисляют уклонение

отвеса, г|)

— радиус области, учитываемой при вычислении укло-

нения отвеса.

Найденные по формулам (18.1) и (18.2) составляющие уклоне-

ния отвеса будут различаться из-за несовпадения направления

нормали к референц-эллипсоиду и нормальной силы тяжести* и

ограничения области интегрирования при вычислении гравиметри-

ческого уклонения отвеса. Угол между нормалью к референц-эл-

липсоиду и направлением нормальной силы тяжести обусловлен

кривизной силовой линии нормального поля, которая составляет

0,171"# sin 2В, где Н дано в километрах, и несовпадением геоде-

зического референц-эллипсоида с уровенным эллипсоидом (нор-

мальной Землей). Изменение этого угла при перемещении по по-

верхности Земли на расстояния порядка 100 км невелики и проис-

ходят по линейному закону. Влияние аномалий силы тяжести на

остальной части Земли за пределами радиуса г|э

области учиты-

ваемых аномалий также изменяется по линейному закону при до-

статочном радиусе г|)

. Исследования М. С. Молоденского пока-

зали, что радиус области интегрирования должен быть в 2—3 ра-

за больше расстояния между астропунктами. Поэтому разности

аг

— т]

аг

— т|

гр

(18.3)

* Гравиметрическим уклонением отвеса называют угол между отвесной ли-

нией и направлением нормальной силы тяжести.

295;

можно достаточно точно интерполировать между астропунктами

и получать астрономо-геодезические уклонения отвеса в промежу-

точных точках по формулам

£аг

£гр

£аг__.|гр

)инт

Т]

аг

= Т]

Р (Ч

аг г

^)инт

•

(18.4)

В астрономо-геодезической сети СССР астропункты располо-

жены на расстоянии около 100 км; схема расположения астро-

пунктов в одном полигоне 1 класса дана

на рис. 75. В полигоне обычно находится

девять астропунктов, для которых мож-

но вычислить разности £

аг

—£

гр

, г|

аг

—т]^.

Представим эти разности в виде

gar _ grp = Ag = аАх + ЬАу + с ;

Yjar _

у|Гр

д^ 4-biAy + Сц

(18.5)

где Ах = х—%

ср

, Ау=у—y

CVf

х, у — плос-

кие прямоугольные координаты пунктов,

t/cp — средние значения из координат

всех астропунктов в полигоне.

Коэффициенты а, с, аи Ь

с\ опре-

делим по исходным данным табл. 157 из

решения уравнений (18.5) для каждой

составляющей по методу наименьших

квадратов. Пример определения коэффи-

циентов дан в табл. 158.

Нормальные уравнения:

4,9128а + 0,4785b — 2,0702 ^=0; 4,9128^ + 0,4785^ + 0,7213 = 0;

0,4785а + 2,6355& — 0,8694 = 0; 0,4785а

+ 2,6355^ + 1,3745 = 0.

©Астропункты

Промежуточные

точки

РИС. 75

Результаты решения уравнений

а = +0,3964;

Ь= +0,2579;

2Д?

= — 1,19";

—0,0977;

—0,5038;

2Ati

+2,74"

(18.6)

Оценка точности

Д*

.У.

0,54";

-v

= 0,45".

296;

Ошибки v вычислены как разности вычисленных по формуле

(18.5) с использованием коэффициентов (18.6) и измеренных раз-

ностей Д£, Аг).

Пример вычисления интерполированных уклонений отвеса в

промежуточных точках дан в табл. 159.

Таблица 157

Исходные данные

Номер

пункта

X, км

у, КМ

|аг

Т1

аг

гр

л*

Дт1

Астропункты

6 764,6

767,6

780.5

845,9

854,8

860,8

938.6

955,6

958,2

Среднее

16 858,5

-75,8

+25,2

—10,8

—56,4

+8,8

+57,9

+39,4

—57,2

+92,1

+2,6

—1,23"

— 1,77

—0,05

+0,72

+0,82

—2,09

—0,59

+ 1,57

+1,57

—3,39"

+2,09

—0,07

—0,69

—0,94

—

1,48

— 1,89

—0,22

+ 1,02

+ 1,07"

—0,50

+ 1,24

+ 1,56

+1,64

—0,34

—0,25

+2,72

+2,53

-6,79"

-0,14

-3,40

-3,28

-3,69

-3,83

-4,00

-3,40

-1,68

-2,30"

-1,27

-1,29

-0,84

-0,82

-1,75

-0,34

-1,15

-0,96

—1,19

Промежуточные точки

6816,1

820,5

III

894,6

902,1

—48,1

+23,8

— 18,2

+52,0

+ 1,32

+ 1,03

— 1,44

—0,44

—3,51

—3,07

—4,09

—4,11

Оценку точности интерполирования уклонений отвеса в преде-

лах полигона можно выполнить по разностям Д£ и Дт] в соседних

астропунктах. Для рассматриваемого примера эти разности приве-

дены в табл. 160.

Для вычисления ошибки интерполирования используем фор-

мулы

Ч = V 2^ •

WAT1 858

V 2rt

где п — число разностей.

Вычисление по этим формулам с использованием данных табл.

160 дает m да =0,52", m

Ar)

= 0,45".

297;

Таблица

158

Определение коэффициентов

а, Ь, с, а

Номер

пункта

Дх,

сотни

км

Ду,

сотни

км

-дп

аДх

ЬАу

Лх b

—0,939

—0,909

—0,780

—0,126

—0,037

+0,023

+0,801

+0,971

+0,997

—0,784

+0,226

-0,134

—0,590

+0,062

+0,553

+0,368

—0,598

+0,895

+2,30"

+ 1,27

+1,29

+0,84

+0,82

+ 1,75

+0,34

+1,15

+0,96

—3,40"

—2,23

—3,33

—2,59

—2,75

—2,35

—2,11

—3,18

—2,70

—0,37"

—0,36

—0,31

—0,05

—0,01

+0,01

+0,32

+0,38

+0,40

—0,20"

+0,06

—0,03

—0,15

+0,02

+0,14

+0,09

-0,15

+0,23

— 1,76"

— 1,49

— 1,53

— 1,39

-1,18

— 1,04

-0,78

—0,96

—0,56

+0,54"

-0,22

—0,24

-0,55

—0,36

+0,71

—0,44

+0,19

+0,40

+0,09"

+0,09

+0,08

+0,01

-0,08

—0,09

—0,10

+0,39"

-0,11

+0,06

+0,30

-0,03

—0,28

—0,18

+0,36

—0,54

+3,22"

+2,72

+2,88

+3,05

+2,71

+2,46

+2,48

+3,01

+2,10

—0,18"

+0,49

—0,45

+0,46

—0,04

+0,11

+0,37

—0,17

—0,60

+0,001

-0,002

+10,72

—24,64

+0,01

+0,03

0,03

—0,01

Вычисление астрономо-геодезнческих уклонений отвеса

промежуточных пунктах

Таблица

159

Номер

пункта

Дх,

сотни

км

Д У.

сотни

км

аДх

ЬЬу

аг

а^Дх

biSy

At)

аг

III

—0,424

—0,380

+0,361

+0,436

—0,507

+0,213

+0,016

+0,494

—0,17"

—0,15

+0,14

+0,17

—0,13"

+0,05

+0,13

— 1,49"

— 1,29

—1,05

—0,89

+ 1,32"

+ 1,03

—1,44

—0,44

—0,17"

—0,26

—2,49

- 1,33

+0,04"

+0,04

-0,04

—0,04

+0,26"

-0,11

—0,01

—0,25

+3,04"

+2,67

+2,69

+2,45

—3,51"

—3,07

-4,09

-4,11

—0,47"

—0,40

— 1,40

— 1,66