Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Решебник

Подождите немного. Документ загружается.

140 Гл.

Функции нескольких переменных

6.6. Касательная плоскость и нормаль

к поверхности

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти уравнения касательной плоскости

и нормали к поверхности^ заданной уравнением

в точке М{хо^уо^го).

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Нормальный вектор к поверхности, заданной уравнением

F(x,y,z) = 0,

в точке М(а:о,2/05^о) определяется формулой

п = grad F

dF_

м I ^^

м 9у

ар

м' 9z

Следовательно, уравнение касательной плоскости к данной поверх-

ности в точке М{хо^ уо,

ZQ)

есть

^'х|м(^

- ^о) + Fl\^ixo,yo,zo){y -

Уо)

+ Fi\j^{z -

ZQ)

(1)

И уравнения нормали —

Х-Хо

у -уо Z- ZQ

F'\ F'\ F'\

^х\м у\м z\M

(2)

Находим частные производные F^, F^ и F^ в точке М(жо,

Уо?

^^^о).

Подставляем найденные значения в уравнения (1) и (2) и запи-

сываем ответ.

ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ заданы только значения

жо

и ?/о, то координата

ТОЧКИ М определяется из условия, что точка М принадлежит дан-

ной поверхности, т.е.

F{xQ^yQ^ZQ)

= 0.

ПРИМЕР. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к

поверхности, заданной уравнением

z = xy,

в точке М(1,1).

6.6. Касательная плоскость и нормаль к

поверхностей

141

РЕШЕНИЕ. Запишем уравнение поверхности в виде xy

—

z =

т.е.

F = ху

—

Координаты точки М:

= 1 ш уо = 1. Координату

опреде-

ляем из условия, что точка М принадлежит данной поверхности, т.е.

F(l,

1, zo) = 0. Получаем

= 1.

Находим частные производные

F!^^

Fy и F^ в точке М(1,1,1):

F'l =v\ =1 F'\ = х\ -1 F'\ =-1

^а:|(1Д,1) ^^1(1,1,1) -^' ^2/1(1,1,1) •^Kl.l^) •^' ^^1(1,1,1) •^•

Подставляя найденные значения в уравнения (1) и (2), получаем

уравнение касательной плоскости

l(a:-l)-f 1(г/-1)-1(г-1) = 0

и уравнения нормали

X —

1 у

—

1 2

—

1 "" 1 ^ -1

Ответ. Уравнение касательной плоскости: х + у

—

1 = 0.

Уравнения нормали: х

—

1=у

—

1 = 1

—

Условия ЗАДАЧ. Найти уравнения касательной плоскости и

нормали к поверхности в заданной точке М.

z = x2 + y2, М(1,-2,5).

Z = sin

а;

cos

2/,

М(7г/4,7г/4,1/2).

z = e=''=°^2', М(1,7г,1/е).

z^ytgx, М(7г/4,1,1).

6. Z = arctg(x/2/), М(1,1,7г/4).

x(y + z)(z-a;j/)=8, М(2,1,3).

8. 2^/^ + 2!//^ = 8, М(2,2,1).

9. a;2 + y2 + z2-16 = 0, М(2,2,2\/2).

10.

x2+y2-z2--l, М(2,2,3).

142 Гл.

Функции нескольких переменных

Ответы.

2х - 42/ -

- 5 = О,

Зж + 4?/ - 6z = О,

x-y-2z + l = 0,

+ ez - 2 = О,

2ж + 2/-2-|=0,

6. x-y-2z+f=0,

7. 2х +

7?/

52:

+ 4 = О,

8. х + ?/-42: = 0,

9. Х +

+ \[2z -8 = 0,

10.

2ж + 2?/ - 3;г + 1 = О,

х~\

_ J/ + 2 _ Z-5

2 " -4 -1 '

ж-4_2/-3_г-4

3 "" 4 " -6 '

- 7г/4 _

- 7г/4 _z- 1/2

i ~ -1 ~ -2 *

ж —

1 ?/

—

7r_z

—

1/е

1 "" О ~ ё *

а:

—

7г/4 у

—

1 z

—

2 "" 1 ^ -1

а:

—

1 2/~1

^2:

—

7г/4

1 ^ -1 "^ -2

ж —

2 г/

—

l_z

—

2 ^ 7 ^ -5 '

а:-2_2/-2_г-1

1 ~ 1 ~ -4 '

ж-2_2/-2_ z-2y/2

1 ~^~~ V2

а:-2 _ у-2 _ z-3

2 ~ 2 ~ -3 '

6.7. Экстремум функции двух переменных

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти стационарные точки функции

Z = z{x^y) и исследовать их характер.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Ст^ационарными т,очками функции нескольких переменных на-

зываются точки, в которых все ее частные производные равны нулю.

Следовательно, чтобы найти стационарные точки функции z(x,7/),

нужно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными

г 4(а;,2/)-0,

\ z'y{x,y)=0.

Решая эту систему уравнений, находим стационарные точки функции

Z{x,y):

Mi{xi,yi), М2(ж2,2/2),..-, Мп{Хп,Уп)'

6.1.

Экстремум функции двух переменных 143

Для того чтобы исследовать характер стационарных точек, вос-

пользуемся достаточными условиями экстремума функции двух пере-

менных.

Пусть функция z = z{x, у) определена и имеет непрерывные част-

ные производные второго порядка в стационарной точке М{хоуУо)

{т.е. z^(a:o,yo) = ^yi^o^Uo) = 0). Тогда если в этой точке:

^) '^хх ' ^уу ~ (^жу)^ -^ ^' ^^ ^ — точка экстремума^ причем при

^хх ^0 — точка минимума^ при z'^^ <

— точка максимума;

^) '^хж

^уу ~ i^xy)'^ < 0) ^^ ^ ^^ является точкой экстремума;

"^хх

' ^уу ~ i^xy)'^

—

О' ^^ требуется дополнительное исследова-

ние {например, по определению).

Вычисляем производные второго порядка функции z{x,y).

В каждой стационарной точке вычисляем выражение

^хх '^уу \^xyJ

и определяем его знак.

Анализируем полученные результаты и записываем ответ.

ПРИМЕР. Найти стационарные точки функции

Z = х^ -\-у^ - Зху

и исследовать их характер.

РЕШЕНИЕ.

Вычисляем частные производные

z'^

= Зх^ - Зг/, Zy = Зу^ - Зх.

Для того чтобы найти стационарные точки функции, решаем

систему двух уравнений с двумя неизвестными

Г 3x2 _ Зу = О,

\ 32/2 - Зж = 0.

Получаем два решения: Xi = О, 2/1 = О и Х2 = 1, 2/2 = 1- Следова-

тельно, стационарные точки функции z = х^ ^- у^

—

Зху. Mi (0,0) и

М2(1,1).

Вычисляем производные второго порядка:

4'х = 6х, z'' = -3, Zy = бу.

144 Гл.

Функции нескольких переменных

В каждой стационарной точке вычисляем выражение

// ^ // _ / // \2

^хх ' '^уу

У'^ху)

и определяем его знак.

В точке Ml(0,0)

г;',(о,о)=о, z;'^(o,o)--3, <,(o,o)-o-:^z;',.4-(4',)'=-6<o.

Следовательно, точка Mi (0,0) не является точкой экстремума.

В точке М2(1,1)

г;',(1,1)-б, 4',(1Д) =

-3,

<,(1,1) = 6=^<,.4-(4',)^-27>0..

Следовательно, точка М2(1,1) является точкой экстремума. Так как

z^'a,(l, 1) = 6 > О, то М2(1,1) — точка минимума.

Ответ. Функция z = х^

-\-

у^

—

Зху имеет две стационарные точ-

ки Ml(0,0) и М2(1,1). В точке Mi(0,0) экстремума нет, М2(1,1) —

точка минимума.

Условия ЗАДАЧ. Найти стационарные точки заданных функций

и исследовать их характер.

Z =

х"^

—

ху

-{-

2/^.

2. Z =

х"^

—

ху

—

у^.

z =

x'^

- 2ху -f 27/2

2х. 4. z = x^ + у^ -х'^ ~ 2ху - у'^.

Б. z = x^ - 2у^ -Зх + ду. 6. z = ix + 2y -х'^ - у'^.

7. Z = х^ -^у^ - 15ху. 8. Z = х'^ + ху

-{-у"^

~3х

—

6у.

9. z = ж^

47/2

- 2ху 4- 4. 10. z

—

х/у + 1/х + у.

Ответы.

М(0,0) — стационарная точка. М(0,0) — точка минимума,

^min = ^(0,0)=0.

М(0,0) — стационарная точка. В точке М(0,0) экстремума

нет.

М(—2, —1) — стационарная точка. М(—2, —1) — точка мини-

мума, Zmin = z{-2, -1) = -2.

Ml(0,0), М2(4/3,4/3) — стационарные точки. М(0,0) — точ-

ка максимума, Zmax = >2:(0,0) = 0. М(4/3,4/3) —- точка минимума,

^min = ^(4/3,4/3) = -64/27.

6.7. Экстремум функции двух переменных 145

Mi(l,l), М2(-~1,-1), Мз(-1,1), М4(1,-1) — стационарные

точки. В точках Mi(l,l), М2(-1,-1) экстремума нет. Мз(-1Д) —

точка максимума, z^ax = >2;(—1,1) = б. М4(1,—1) — точка мини-

мума,

Zmin

= Z{1, -1) = -6.

6. М(2,1) — стационарная точка. М(2,1) — точка максимума,

Zmax

= 2:(2, 1) = 5.

Ml(0,0),

М2(5,5) — стационарные точки. В точке Mi(0,0)

экстремума

нет.

Мз(5,5)

—

точка

минимума,

Zmm

^(5,5)

= -125.

8. М(0,3) — стационарная

точка.

М(0,3) — точка минимума,

>^min=>^(0,3)--9.

9. М(0,0) — стационарная точка. М(0,0) — точка минимума,

Zmin=z{0,0)=4.

10.

М(1,1) — стационарная точка. М(1,1) — точка минимума,

^min = 2:(1,1) =3.

Глава 7

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

При изучении темы НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ вы из-

учите основные приемы нахождения первообразных (подведение под

знак дифференциала, интегрирование по частям, замена перемен-

ной),

научитесь интегрировать основные классы функций (рацио-

нальные дроби, тригонометрические и иррациональные выражения).

С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить произ-

водные, разложить многочлен на множители, разложить рациональ-

ную функцию на элементарные дроби, решить системы уравнений

для нахождения неопределенных коэффициентов, выполнить другие

численные расчеты и проверить полученные вами результаты.

7.1.

Интегрирование подведением

под знак дифференциала

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти неопределенный интеграл

F{x)g{x) dx.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Пусть д{х) имеет очевидную первообразную

G(x),

а F{x) есть функция эт:'ой первообразной, т.е. F{x) = u{G{x)).

Тогда

f F{x)g{x)dx= fu{G{x))G'{x)dx= fu{G)dG.

Такого рода преобразование называется подведением под знак диф-

ференциала.

. Если метод избран удачно, то последний интеграл оказывается

табличным или известным образом сводится к табличному.

ПРИМЕР. Найти неопределенный интеграл

ctgx In sin

da:.

7.1. Интегрирование подведением под знак

дифференциала

147

РЕШЕНИЕ.

Представим подынтегральное выражение в виде произведения

двух функций F{x)g{x)^ где д{х) имеет очевидную первообразную

G{x),

а F{x) есть функция этой первообразной, т.е. F{x) = u{G{x)).

В данном случае

_. . Insinx . . _,. . . _. . InG .^.

t [х) — —: , д\х) = cos

ж,

G\x)

—

sinx, F\x) = -— = ii(G).

ЫП X \JJ

Тогда

InsinX , rinsina: , . /*lnG ,^

—: cos xdx

—

/ —: a sm

= / -—- aG ,

sma: } smx У G

где G = sinx.

Последний интеграл не является табличным, но к нему снова

можно применить метод подведения под знак дифференциала:

/*lnG ,^ /*, ^ 1 ,^ /*! ^ ,1 ^ In^G _, In^sinx _,

/ -—dG= / InG —(iG= / lnGdlnG= —— +С = + С.

_ г 1 . I In^sinx ^

Ответ. J ctgx msmxdx = h G.

Условия ЗАДАЧ. Найти неопределенные интегралы.

sin 2х

— cos X

^- J x^ + 1 ''''• У (CO

У (жЗ+ 3x4-1)4 7 cos^x

/ —-. cZx. 6. / dx.

У xvlnx J V1 - a:^

/* X

cos

+ sin

/* 2 ^rctg (x + 2)

J (xsinx)^ " J x2-f4x + 5

9. /,lv|+l... 10. [ ^_^

7 2xv^ + x У ^/1 --2

cZx.

dx.

A/T-^

148 Гл.

Неопределенный

интеграл

Ответы.

arctg^

+ С. 2. — + С.

cos"^

+ sin

-WT-^—I Т^^С. 4. tg^x + C.

2v\nx-\-C, 6. -arcsinx^-fC

-;г7—:

TI + C'- 8. arctg2(x + 2) + C.

2(a:sina:)2

9. 1п(2ж^/ж + ж) + С. 10. arcsin^

- \/\-х^ + С.

7.2. Интегрирование по частям

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти неопределенный интеграл

F{x)g{x) dx.

!•

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Пусть д{х) имеет очевидную первообразную

G{x)^

а F[x) — дифференцируемая функция, причем ее производ-

ная /(ж) = F'{x) является более простой функцией, чем F{x). Тогда

применяем формулу интегрирования по частям

I F{x)g{x) dx = F{x)G{x) ~ f f{x)G{x) dx.

Если метод избран удачно, то интеграл в правой части этого ра-

венства оказывается табличным или известным образом сводится к

табличному, например, повторным интегрированием по частям.

ПРИМЕР. Найти неопределенный интеграл

xdx

COS^

РЕШЕНИЕ.

Представим подынтегральное выражение в виде произведения

двух функций F{x)g{x)j где д{х) имеет очевидную первообразную

0{х),

а F{x) — дифференцируемая функция, причем ее производная

f{x) = F'[x) является более простой функцией, чем F[x).

7.2. Интегрирование по частям 149

В данном случае

F(x)-x, 5{x) = -i-, G(x) = tgx, f{x)^F'{x) = l.

cos^

Применяем формулу интегрирования по частям

dx С

г— = xtga: - tgxdx.

cos2

Последний интеграл не является табличным, но к нему можно

применить метод подведения под знак дифференциала:

tgxdx

= / sin

а:

da:

—

/ d cos x

•

J cos

cos ж

COS X

+ Ci при cos

•ln(—cosa;) + C2 при cosx < 0.

о f ^^^ — i 4- /

^^ ^^^

x + Ci при cos

> 0,

J cos^x ~ \ ln(-cosa;)-f C2 при cosa:<0.

Заметим, что если бы мы выбрали д{х) = ж, то, дифференцируя

функцию F{x) = 1/ cos^ а; и применяя формулу интегрирования по

частям, получили бы более сложный интеграл, чем исходный.

Условия ЗАДАЧ. Найти неопределенные интегралы.

{х-\- 1)е^ dx, 2. / arcsina;da:.

/.^sinxc^x. 4. /(x^ + 2x + 3)cosx.x.

/ xinardx. 6. / —TT—dx.

J J sin X

e'^^cosxdx. 8. / x^ arctg x dx.

9^ /sinbx... 10. /«'e-^.