Учебное пособие. — 2-е изд. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2012.
— 320 с.
В пособии, построенном как самоучитель, рассмотрены все типы задач
по элементарной алгебре, входящие в школьную программу и программу
вступительных экзаменов в вузы. Излагаются не рецепты, а методы
решения алгебраических задач: уравнений, неравенств, систем, задач
с параметрами и с логическими условиями. При этом основной акцент
делается на логике решения задач —на методах равносильных
преобразований, позволяющих максимально упростить задачу; на
привлечении графических, координатных и прочих наглядных приемов,
помогающих, насколько это возможно, избежать ошибок. Курс призван
помочь старшеклассникам систематизировать знания и умения в
элементарной алгебре; повысить свою логическую культуру, достичь
уверенных навыков в решении стандартных конкурсных задач по
алгебре.
От издательства.
Предисловие.
Логика алгебраических задач.
Основные понятия: алгебраические задачи, решения, равносильность.
Алгебраические задачи как предложения с переменными.
Равносильность и следование задач.
Равносильность уравнений и систем с одной переменной.
Совокупности и системы алгебраических задач.
Следование уравнений с одной переменной.
Неравенства с переменной и числовые неравенства.
Задачи с параметрами и логические алгебраические задачи.
Что такое задача с параметром.
Логические задачи с параметрами.
Логические и кванторные формулировки задач спараметрами.
Функционально-графическая интерпретация задачспараметрами.
Координатная интерпретация задач с параметрами.
Упражнения.
Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения.
Корни многочленов Теорема Безу.
Числовые кольца и поля Кольца многочленов.
Корни многочленов и полиномиальных уравнений.
Деление многочленов на двучлен Теорема Безу.
Алгоритмы деления на двучлен Метод Руффини—Горнера.
Делимость многочлена на двучлен Число корней многочлена.
Формулы сокращенного умножения.
Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.
Задание многочлена его значениями Многочлены Лагранжа.
Разложение многочленов Теорема Виета и комбинаторика.
Полностью разложимые многочлены Первые теоремыВиета.
Решение систем Виета Пример.
Комбинаторное отступление : перестановки.
Перестановки с повторениями и системы Виета.
Комбинаторное отступление : сочетания.
Комбинаторное отступление : размещения.
Число перестановок с повторениями.
Общие система и теорема Виета.
Формула Ньютона для степени бинома.
Уравнения низших степеней.
Линейная замена переменной в квадратном трехчлене.
Линейная замена переменной в многочленах.
Метод Руффини—Горнера и треугольник Паскаля.
Решение кубических уравнений.
Графическое исследование кубического уравнения.
Уравнения степени : схема Феррари.
Уравнения разных степеней Методы упрощения.
Простейшие полиномиальные уравнения.
Линейные замены, основанные на симметрии.
Метод разложения Поиск рациональных корней.
Интерактивное оглавление.
Применение теоремы о рациональных корнях к решению уравнений.
Применение теоремы о корнях к числовым задачам.
Разложение методом неопределенных коэффициентов.
Упражнения.
Задачи по комбинаторике.
Рациональные алгебраические уравнения и неравенства.
Рациональные алгебраические уравнения.
Рациональные алгебраические выражения и задачи.
Метод замены.
Симметрические и кососимметрические уравнения.
Рациональные алгебраические неравенства.
Зачем бывает нужно решать неравенства? .
Простейшие рациональные неравенства.
Методы решения рациональных алгебраических неравенств.
Сведение к системам неравенств.
Методи нтервалов.
Метод замены.
Неравенства с двумя переменными.
Метод областей.
Упражнения.
Рациональные алгебраические системы.
Уравнения с несколькими переменными.
Решение уравнений с двумя переменными.
Рациональные уравнения с двумя переменными.
Однородные уравнения с двумя переменными.
О симметрических многочленах от двух переменных.
Решение систем Метод подстановки Однородные системы.
Общий метод подстановки.
Линейные подстановки.
Однородные системы.
Исключение переменных Равносильные линейныепреобразования.
Решение систем: метод замены Симметрические системы.
Методзамены.
Системы Виета.
Общиес имметрические системы.
Решение систем: метод разложения Частные методы и приемы.
Решение систем методом разложения.
Примечательный пример.
Поучительный пример.
Метод оценок.
Метод итераций.
Сведение уравнений к системам.
Оценка значений переменных.
Системы с тремя переменными.
Метод подстановки.
Метод замены.
Использование однородности.
Система Виета с тремя переменными.
Симметрические системы.
Метод разложения.
Упражнения.
Иррациональные алгебраические задачи.
Уравнения с радикалами.
Иррациональные алгебраические выражения.
Уравнения с квадратными радикалами Замена переменной.
Неэквивалентные преобразования с проверкой.
Метод эквивалентных преобразований.
Сведение уравнений к системам.
Освобождение от кубических радикалов.
Использование монотонности.
Использование однородности.
Неравенствасрадикалами.
Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений.
Эквивалентные преобразования неравенств.
Дробно-иррациональные неравенства.
Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.
Замена при решении иррациональных неравенств.
Использование монотонности при решении неравенств.
Смешанные системы с двумя переменными.
Уравнения и неравенства с модулями.
Уравнения с модулями.
Неравенства с модулями.
Комбинированные задачи с модулями.
Упражнения.
Ответы и указания к упражнениям.
Задачи по комбинаторике.
Предметный указатель.
Предисловие.
Логика алгебраических задач.
Основные понятия: алгебраические задачи, решения, равносильность.
Алгебраические задачи как предложения с переменными.
Равносильность и следование задач.
Равносильность уравнений и систем с одной переменной.
Совокупности и системы алгебраических задач.
Следование уравнений с одной переменной.
Неравенства с переменной и числовые неравенства.
Задачи с параметрами и логические алгебраические задачи.
Что такое задача с параметром.
Логические задачи с параметрами.
Логические и кванторные формулировки задач спараметрами.
Функционально-графическая интерпретация задачспараметрами.
Координатная интерпретация задач с параметрами.
Упражнения.
Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения.
Корни многочленов Теорема Безу.
Числовые кольца и поля Кольца многочленов.
Корни многочленов и полиномиальных уравнений.
Деление многочленов на двучлен Теорема Безу.
Алгоритмы деления на двучлен Метод Руффини—Горнера.
Делимость многочлена на двучлен Число корней многочлена.
Формулы сокращенного умножения.
Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.
Задание многочлена его значениями Многочлены Лагранжа.
Разложение многочленов Теорема Виета и комбинаторика.
Полностью разложимые многочлены Первые теоремыВиета.
Решение систем Виета Пример.
Комбинаторное отступление : перестановки.
Перестановки с повторениями и системы Виета.
Комбинаторное отступление : сочетания.
Комбинаторное отступление : размещения.
Число перестановок с повторениями.
Общие система и теорема Виета.
Формула Ньютона для степени бинома.
Уравнения низших степеней.
Линейная замена переменной в квадратном трехчлене.
Линейная замена переменной в многочленах.
Метод Руффини—Горнера и треугольник Паскаля.
Решение кубических уравнений.
Графическое исследование кубического уравнения.
Уравнения степени : схема Феррари.
Уравнения разных степеней Методы упрощения.
Простейшие полиномиальные уравнения.
Линейные замены, основанные на симметрии.
Метод разложения Поиск рациональных корней.
Интерактивное оглавление.
Применение теоремы о рациональных корнях к решению уравнений.
Применение теоремы о корнях к числовым задачам.
Разложение методом неопределенных коэффициентов.
Упражнения.
Задачи по комбинаторике.
Рациональные алгебраические уравнения и неравенства.
Рациональные алгебраические уравнения.
Рациональные алгебраические выражения и задачи.
Метод замены.
Симметрические и кососимметрические уравнения.
Рациональные алгебраические неравенства.
Зачем бывает нужно решать неравенства? .
Простейшие рациональные неравенства.
Методы решения рациональных алгебраических неравенств.
Сведение к системам неравенств.
Методи нтервалов.
Метод замены.
Неравенства с двумя переменными.
Метод областей.
Упражнения.
Рациональные алгебраические системы.
Уравнения с несколькими переменными.
Решение уравнений с двумя переменными.
Рациональные уравнения с двумя переменными.
Однородные уравнения с двумя переменными.
О симметрических многочленах от двух переменных.
Решение систем Метод подстановки Однородные системы.
Общий метод подстановки.
Линейные подстановки.
Однородные системы.
Исключение переменных Равносильные линейныепреобразования.
Решение систем: метод замены Симметрические системы.
Методзамены.
Системы Виета.
Общиес имметрические системы.
Решение систем: метод разложения Частные методы и приемы.
Решение систем методом разложения.
Примечательный пример.
Поучительный пример.
Метод оценок.
Метод итераций.
Сведение уравнений к системам.
Оценка значений переменных.
Системы с тремя переменными.
Метод подстановки.
Метод замены.
Использование однородности.
Система Виета с тремя переменными.
Симметрические системы.
Метод разложения.
Упражнения.
Иррациональные алгебраические задачи.
Уравнения с радикалами.
Иррациональные алгебраические выражения.
Уравнения с квадратными радикалами Замена переменной.
Неэквивалентные преобразования с проверкой.
Метод эквивалентных преобразований.
Сведение уравнений к системам.
Освобождение от кубических радикалов.
Использование монотонности.
Использование однородности.
Неравенствасрадикалами.
Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений.
Эквивалентные преобразования неравенств.
Дробно-иррациональные неравенства.
Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.
Замена при решении иррациональных неравенств.
Использование монотонности при решении неравенств.
Смешанные системы с двумя переменными.
Уравнения и неравенства с модулями.
Уравнения с модулями.
Неравенства с модулями.
Комбинированные задачи с модулями.
Упражнения.
Ответы и указания к упражнениям.
Задачи по комбинаторике.
Предметный указатель.