Анисов А.М. Современная логика
Подождите немного. Документ загружается.
151
Åù¸ îäíî çàìå÷àíèå îáùåãî õàðàêòåðà. Íåîáõîäèìî ïîêà-
çàòü, ÷òî ïîñûëêè ìîæíî âûïèñûâàòü â ëþáîì ïîðÿäêå. Íàïðèìåð,
ñóùåñòâîâàíèå âûâîäà À
1
, ..., À
n
⎟⎯ À âëå÷åò ñóùåñòâîâàíèå âû-
âîäà À
n
, ..., À
1
⎟⎯ À, â êîòîðîì èñïîëüçîâàí îáðàòíûé (ïî îòíî-
øåíèþ ê èñõîäíîìó) ïîðÿäîê ïîñûëîê.
Äîêàæåì óòâåðæäåíèå î íå ñóùåñòâåííîñòè ïîðÿäêà ïîñû-
ëîê. Ïóñòü äîêàçàíà øòîïîð-ôîðìóëà À
1
, À
2
, ... , À
n-1
, À
n
⎟⎯ À.
Âîçüì¸ì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü À
i1
, À
i2
, ..., À
in-1
, À
in
, êîòîðàÿ ñîñòî-
èò èç òåõ æå ñàìûõ ôîðìóë, ÷òî è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü À
1
, À
2
, ...
, À
n-1
, À
n
, íî âûïèñàíû ýòè ôîðìóëû â äðóãîì ïîðÿäêå. Íàäî ïîëó-
÷èòü øòîïîð-ôîðìóëó À
i1
, À
i2
, ..., À
in-1
, À
in
⎟⎯ À. Ïðèìåíÿÿ n ðàç
ïðàâèëî →â ê äîêàçàííîé øòîïîð-ôîðìóëå À
1
, À
2
, ... , À
n-1
, À
n
⎟⎯ À, äîêàæåì òåîðåìó âèäà ⎟⎯ (À
1
→ (À
2
→ ... → (À
n-1
→ (À
n
→
À))...)). Çàòåì ïîñòðîèì ñëåäóþùèé âûâîä.
1. À
i1
– äîï.
2. À
i2
– äîï.
.............................................................................................
n-1. À
in-1
– äîï.
n. À
in
– äîï.
n+1. ⎟⎯ (À
1
→ (À
2
→ ... → (À
n-1
→ (À
n
→ À))...)) – äîê.
n+2. (À
1
→ (À
2
→ ... → (À
n-1
→ (À
n
→ À))...)) – n+1, ⎟⎯ó
Ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòè À
i1
, À
i2
, ..., À
in-1
, À
in
è À
1
, À
2
,
... , À
n-1
, À
n
ñîñòîÿò èç îäíèõ è òåõ æå ôîðìóë, ñðåäè À
i1
, À
i2
, ...,
À
in-1
, À
in
íàéä¸òñÿ ôîðìóëà À
ij
, êîòîðàÿ ñîâïàä¸ò ñ ôîðìóëîé À
1
.
Ôîðìóëà À
ij
ñòîèò íà j-îì ìåñòå è ÿâëÿåòñÿ àíòåöåäåíòîì ôîð-
ìóëû, ñòîÿùåé íà n+2-îì ìåñòå. Â òàêîé ñèòóàöèè ïðèìåíèìî
ïðàâèëî →ó.
n+3. (À
2
→ ... → (À
n-1
→ (À
n
→ À))...) – j, n+2, →ó
Íàéä¸ì ñðåäè ïîñûëîê ôîðìóëó À
ik
, êîòîðàÿ ñîâïàäàåò ñ À
2
è ñíîâà ïðèìåíèì ïðàâèëî →ó, îòäåëèâ À
2
îò ôîðìóëû íîìåð
n+3. Ïîòîì îòäåëèì À
3
, À
4
è ò.ä. Ïðèáëèæàÿñü ê êîíöó âûâîäà,
íà øàãå 2n ïîëó÷èì ôîðìóëó
2n.
(À
n-1
→ (À
n
→ À)).
Ñíîâà îáíàðóæèì ñðåäè ïîñûëîê ôîðìóëó À
im
, ñîâïàäàþ-
ùóþ ñ À
n-1
è ñòîÿùóþ íà ìåñòå íîìåð m. Ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ
ôîðìóëó.
2n+1. (À
n
→ À) – m, 2n, →ó
Íàêîíåö, íà íåêîòîðîì ìåñòå íîìåð g íàéä¸ì ïîñûëêó À
ig
,
ñîâïàäàþùóþ ñ À
n
. Ýòî ïîçâîëèò ïîëó÷èòü ôîðìóëó À.
152
2n+2. À – g, 2n+1
Ïåðåä íàìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü øàãîâ 1-(2n+2), ÿâëÿþùàÿ-
ñÿ âûâîäîì ôîðìóëû À èç ïîñûëîê À
i1
, À
i2
, ..., À
in-1
, À
in
. Íà çàê-
ëþ÷èòåëüíîì øàãå ïðèìåíèì ê ýòîìó âûâîäó ïðàâèëî ⎟⎯â.
2n+3. À
i1
, À
i2
, ..., À
in-1
, À
in
⎟⎯ À – 1-(2n+2), ⎟⎯â
 èòîãå øòîïîð-ôîðìóëà À
i1
, À
i2
, ..., À
in-1
, À
in
⎟⎯ À äîêàçàíà,
÷òî è òðåáîâàëîñü.
Íà îñíîâàíèè òîëüêî ÷òî äîêàçàííîãî, ïðèìåì åù¸ îäíî
ïðîèçâîäíîå ïðàâèëî ïåðåñòàíîâêè ïîñûëîê (ñîêðàù¸ííî «ïï.»).
Ïåðåñòàíîâêà ïîñûëîê
À
1
, À
2
, ... , À
n-1
, À
n
⎟⎯ À
À
i1
, À
i2
, ..., À
in-1
, À
in
⎟⎯ À
Ïðîäîëæèì ïîñòðîåíèå äîêàçàòåëüñòâ è âûâîäîâ â ñèñòåìå
P
N
.  îòëè÷èå îò àêñèîìàòè÷åñêèõ ñèñòåì, ãäå èäåþ ïîñòðîåíèÿ
äîêàçàòåëüñòâà óäà¸òñÿ ñôîðìóëèðîâàòü ëèøü â ðåäêèõ ñëó÷àÿõ,
â íàòóðàëüíûõ ñèñòåìàõ ýòà èäåÿ ÷àñòî ëåæèò íà ïîâåðõíîñòè.
(À ∨ Â) ⎟⎯ (Â ∨ À).
1. À – äîï.
2. Â – äîï.
3. (Â ∨ À) – 1, ∨â2
4. À ⎟⎯ (Â ∨ À) – 1, 3, ⎟⎯â
5. (Â ∨ À) – 2, ∨â1
6. Â ⎟⎯ (Â ∨ À) – 2, 5, ⎟⎯â
7. (À ∨ Â) ⎟⎯ (Â ∨ À) – 4, 6, ∨ó
 çàêëþ÷åíèè ïîñòðîåííîãî âûâîäà ñòîèò øòîïîð-ôîðìóëà
(À ∨ Â) ⎟⎯ (Â ∨ À), êîòîðóþ è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Çäåñü íóæ-
íî áûëî âûâîäèòü èç äèçúþíêöèè. Íî ÷òî çíà÷èò âûâåñòè èç (À
∨ Â) çàêëþ÷åíèå Ñ? – Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñíà÷àëà íàäî âûâåñòè Ñ
èç À, è ïîòîì âûâåñòè Ñ èç Â. Òîãäà, äåéñòâèòåëüíî, âñ¸ ðàâíî,
À èìååò ìåñòî èëè Â, – â ëþáîì èç àëüòåðíàòèâíûõ ñëó÷àåâ Ñ
âûâîäèòñÿ. Äàííàÿ ñõåìà ðàññóæäåíèé òàê è áûëà íàçâàíà: ðàñ-
ñóæäåíèÿ ïî ñëó÷àÿì.  P
N
åé ñîîòâåòñòâóåò ïðàâèëî ∨ó. Îáðà-
òèòå âíèìàíèå, ÷òî â ýòîì ïðàâèëå äèçúþíêöèÿ ïîÿâëÿåòñÿ ïîä
÷åðòîé, êàê áû â çàêëþ÷åíèè ïðàâèëà. Ïî÷åìó æå òîãäà îíî
íàçûâàåòñÿ ïðàâèëîì óäàëåíèÿ, à íå ââåäåíèÿ? Äåëî â òîì, ÷òî
ýòî êîñâåííîå ïðàâèëî, îñóùåñòâëÿþùåå ïåðåõîä îò îäíèõ âû-
âîäèìîñòåé ê äðóãèì. Â ðåçóëüòèðóþùåé âûâîäèìîñòè Ã, (À ∨
Â) ⎟⎯ Ñ (ñòîÿùåé ïîä ÷åðòîé) äèçúþíêöèÿ (À ∨ Â) îêàçûâàåòñÿ
íà ìåñòå ïîñûëêè, à íå íà ìåñòå çàêëþ÷åíèÿ Ñ.  ýòîì ñìûñëå
153
îíà óäàëåíà èç çàêëþ÷åíèÿ. Ñðàâíèòå: â ïðàâèëàõ ââåäåíèÿ ëîãè-
÷åñêèõ ñâÿçîê ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñâÿçêà ïîÿâëÿåòñÿ èìåííî â çàê-
ëþ÷åíèè ëèáî ïðàâèëà (åñëè ïðàâèëî ïðÿìîå), ëèáî â çàêëþ÷å-
íèè ðåçóëüòèðóþùåé øòîïîð-ôîðìóëû (êàê â ïðàâèëàõ →â è ¬â).
(À → Â), ¬Â ⎟⎯ ¬À
1. (À → Â) – äîï.
2.¬Â – äîï.
3. À – äîï.
4. ¬Â– 2, ð
5. (À → Â), ¬Â, À ⎟⎯ ¬Â – 1-4, ⎟⎯â
6. Â – 3, 1, →ó
7. (À → Â), ¬Â, À ⎟⎯  – 1-3, 6 ⎟⎯â
8. (À → Â), ¬Â ⎟⎯ ¬À – 7, 5 ¬â
Øòîïîð-ôîðìóëà (À → Â), ¬Â ⎟⎯ ¬À äîêàçàíà: èìåÿ èìï-
ëèêàöèþ è îòðèöàíèå å¸ êîíñåêâåíòà, ìîæíî ñìåëî îòðèöàòü è
àíòåöåäåíò. Äîïóñòèì, ïðèíèìàþòñÿ ïîñûëêè «Åñëè òû ìåíÿ
óâàæàåøü, çíà÷èò, òû ìåíÿ áîèøüñÿ» è «Íî òû ìåíÿ íå áîèøü-
ñÿ». Ñëåäîâàòåëüíî, «Òû ìåíÿ íå óâàæàåøü». Èñòèííîñòü èìï-
ëèêàöèè çäåñü âåñüìà ñîìíèòåëüíà. Íî íèêòî è íå óòâåðæäàåò,
÷òî äàííûå ïîñûëêè è çàêëþ÷åíèå èñòèííû. Òåì íå ìåíåå, ðàñ-
ñóæäåíèå ïðàâèëüíîå, è ïðè èñòèííîñòè ïîñûëîê îíî îáåñïå-
÷èò èñòèííîñòü çàêëþ÷åíèÿ.
×òî êàñàåòñÿ ñàìîãî âûâîäà äàííîé øòîïîð-ôîðìóëû, òî â
åãî îñíîâå ëåæèò ïðàâèëî ââåäåíèÿ îòðèöàíèÿ. Èäåÿ òóò òàêîâà.
Òðåáóåòñÿ âûâåñòè îòðèöàíèå ¬À. Êàê ýòî ñäåëàòü, íàïðÿìóþ íå
âèäíî. Îäíàêî âñåãäà åñòü âîçìîæíîñòü ïîïûòàòüñÿ ðàññóæäàòü
êîñâåííî. Äàâàéòå ê èìåþùèìñÿ ïîñûëêàì äîáàâèì À. Åñëè
ïîñëå ýòîãî èç ïîñûëîê óäàñòñÿ âûâåñòè íåêîòîðîå Â è åãî îòðè-
öàíèå ¬Â, çàêëþ÷èì, ÷òî À âåä¸ò ê ïðîòèâîðå÷èþ è, ñëåäîâà-
òåëüíî, âåðíî ¬À. Òàê ìû è ïîñòóïèëè.
Áûòü ìîæåò, ìû çðÿ èñïóãàëèñü ïðîòèâîðå÷èÿ? – Íåò, íå
çðÿ. Â ñèñòåìå P
N
äîïóùåíèå ïðîòèâîðå÷èÿ âåä¸ò ê òàêèì æå
êàòàñòðîôè÷åñêèì ïîñëåäñòâèÿì, êàê è â ðàññìîòðåííûõ àêñèî-
ìàòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ. Ïîêàæåì, ÷òî òàê.
À, ¬À ⎟⎯ Â
1. À – äîï.
2. ¬À – äîï.
3. ¬Â – äîï.
4. À – 1, ð
5. À, ¬À, ¬Â ⎟⎯ À – 1-4, ⎟⎯â
6. ¬À– 2, ð
154
7. À, ¬À, ¬Â ⎟⎯ ¬À – 1-3, 6, ⎟⎯â
8. À, ¬À ⎟⎯ ¬¬Â – 5, 7, ¬â
9. ¬¬Â – äîï.
10. Â – 9, ¬ó
11.¬¬Â ⎟⎯  – 9-10, ⎟⎯â
12. À, ¬À ⎟⎯  – 8, 11, òð.
Äî âîñüìîãî øàãà âêëþ÷èòåëüíî âñ¸ øëî îáû÷íûì ïîðÿä-
êîì. Îäíàêî íà ýòîì øàãå ïîëó÷èëè øòîïîð-ôîðìóëó À, ¬À ⎟⎯
¬¬Â, âìåñòî òðåáóåìîé À, ¬À ⎟⎯ Â. Íî èç ¬¬Â íåïîñðåäñòâåí-
íî âûâîäèòñÿ  ïî ¬ó, ïîýòîìó íà îäèííàäöàòîì øàãå ïîëó÷àåì
øòîïîð-ôîðìóëó ¬¬Â ⎟⎯ Â. Ïðèìåíÿÿ ïðîèçâîäíîå ïðàâèëî
òðàíçèòèâíîñòè ê øòîïîð-ôîðìóëàì 8 è 11, äîêàçûâàåì èñêî-
ìóþ øòîïîð-ôîðìóëó À, ¬À ⎟⎯ Â.
Ëþäÿì, íå çíàêîìûì ñ ëîãèêîé, óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî èç
ïðîòèâîðå÷èâûõ ïîñûëîê âûâîäèòñÿ ëþáîå âûñêàçûâàíèå, êà-
æåòñÿ ñòðàííûì. Ðàññêàçûâàþò, ÷òî îäíàæäû ê Á.Ðàññåëó ïîäî-
ø¸ë íå èñêóø¸ííûé â ëîãèêå ôèëîñîô è íåäîâåð÷èâî ñïðîñèë:
«Âû äåéñòâèòåëüíî âåðèòå, ÷òî èç ïðîòèâîðå÷èÿ ìîæíî âûâåñòè
âñ¸, ÷òî óãîäíî?» – «Äà, ÿ â ýòî âåðþ», – îòâåòèë Ðàññåë. – «Òàê
÷òî æå, Âû âåðèòå, ÷òî èç 2 × 2 = 5 âûâîäèòñÿ, ÷òî Âû – ïàïà
ðèìñêèé?» – «Äà, âåðþ». – «È ìîæåòå ýòî äîêàçàòü?» – «Äà,
ìîãó. Ïóñòü 2 × 2 = 5. Òàê êàê òàêæå âåðíî 2 × 2 = 4, èìååì 5 =
2 × 2 = 4. Çíà÷èò, 5 = 4. Âû÷òåì èç îáåèõ ÷àñòåé ýòîãî ðàâåíñòâà
ïî 3. Ïîëó÷èì 2 = 1. Ïàïà ðèìñêèé è ÿ – íàñ äâîå. Íî 2 = 1.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïàïà ðèìñêèé è ÿ – îäíî ëèöî, è ÿ – ïàïà ðèìñ-
êèé». Íåëåïûé âûâîä ïîëó÷èëñÿ èç-çà òîãî, ÷òî äîïóùåíèå 2 × 2
= 5 ïðîòèâîðå÷èò òåîðåìàì àðèôìåòèêè, ÷òî ïîçâîëÿò âûâåñòè
íå òîëüêî ðàâåíñòâî 2 = 1, íî è âîîáùå ëþáóþ àðèôìåòè÷åñêóþ
ôîðìóëó.
Èñïîëüçóåì äîêàçàííóþ øòîïîð-ôîðìóëó À, ¬À ⎟⎯  äëÿ
äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùåãî âûðàæåíèÿ.
À ⎟⎯ ¬¬À
1. À, ¬À ⎟⎯  – äîê.
2. À, ¬À ⎟⎯ ¬Â – äîê.
3. À ⎟⎯ ¬¬À – 1,2, ¬â.
Çäåñü íà âòîðîì øàãå èñïîëüçîâàëè òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî â
À, ¬À ⎟⎯  ôîðìóëà  – ëþáàÿ, â òîì ÷èñëå îíà ìîæåò ïðèíÿòü
âèä ¬Â.
(À ∨ Â), ¬Â ⎟⎯ À
1. ¬Â – äîï.
155
2. À – äîï.
3. À – 2, ð.
4. ¬Â, À ⎟⎯ À – 1-3, ⎟⎯â
5. Â, ¬Â ⎟⎯ À – äîê.
6. ¬Â,  ⎟⎯ À – 5, ïï.
7. ¬Â, (À ∨ Â) ⎟⎯ À – 4, 6, ∨ó
8. (À ∨ Â), ¬Â ⎟⎯ À – 7, ïï.
Èäåÿ äàííîãî âûâîäà ïðîñòà. Íàäî âûâåñòè À èç äèçúþíê-
öèè (À ∨ Â), èñïîëüçóÿ åù¸ ïîñûëêó ¬Â. Çíà÷èò, íàäî èñïîëüçî-
âàòü ïðàâèëî óäàëåíèÿ äèçúþíêöèè. Ïîäãîòàâëèâàÿ åãî ïðèìå-
íåíèå, òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü äâà âñïîìîãàòåëüíûõ âûâîäà Ã, À
⎟⎯ Ñ è Ã, Â ⎟⎯ Ñ. ßñíî, ÷òî âìåñòî Ñ íåîáõîäèìî âçÿòü À,
ïðè÷¸ì ðîëü à èãðàåò ïîñûëêà ¬Â. Ïîýòîìó ¬Â ñòàâèì íà ïåð-
âîå ìåñòî â âûâîäå. Ïîëó÷èòü âûâîä ¬Â, À ⎟⎯ À íå ñîñòàâëÿåò
òðóäà. Âòîðîé âûâîä ¬Â,  ⎟⎯ À ïîëó÷àåì ïî ïðîèçâîäíîìó
ïðàâèëó ïåðåñòàíîâêè ïîñûëîê ïï. Ïî ïðàâèëó ∨ó èìååì ¬Â, (À
∨ Â) ⎟⎯ À. Ýòî íå ñîâñåì òî, ÷òî íóæíî, îäíàêî åù¸ îäíî ïðè-
ìåíåíèå ïðàâèëà ïï. ñòàâèò ïîñûëêè íà ìåñòî.
Óæå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî êàæäûé âûâîä âèäà À
1
, À
2
, ... , À
n-1
,
À
n
⎟⎯ À n-êðàòíûì ïðèìåíåíèåì ïðàâèëà →â ïðåâðàùàåòñÿ â
äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ⎟⎯ (À
1
→ (À
2
→ ... → (À
n-1
→ (À
n
→
À))...)). Ïîýòîìó âñå ïîëó÷åííûå âûâîäû ìîæíî äîñòðîèòü äî
äîêàçàòåëüñòâ. Òàê, ïðÿìîé âûâîä ¬¬À ⎟⎯ À çà îäèí øàã ïðå-
âðàùàåòñÿ â äîêàçàòåëüñòâî.
1. ¬¬À ⎟⎯ À – äîê.
2. ⎟⎯ (¬¬À → À) – 1, →â
Ïðåîáðàçîâàíèå âûâîäà (À → Â), ¬Â ⎟⎯ ¬À â äîêàçàòåëü-
ñòâî ïîòðåáóåò äâóõ øàãîâ.
1. (À → Â), ¬Â ⎟⎯ ¬À – äîê.
2. (À → Â) ⎟⎯ (¬Â → ¬À) – 1, →â
3. ⎟⎯ ((À → Â) → (¬Â → ¬À)) – 2, →â
Òåïåðü âñå âàðèàíòû ýòîé òåîðåìû, ãäå âìåñòî À è Â ñòîÿò
ëþáûå ôîðìóëû, òàêæå äîêàçàíû. Íàïðèìåð, äîêàçàíû âàðè-
àíòû ⎟⎯ (((À → Â) → À) → (¬À → ¬(À → Â))) è ⎟⎯ ((¬(À & ¬Â)
→ (À → Â))→(¬
(À → Â) → ¬¬(À & ¬Â))), êîòîðûå ñêîðî íàì
ïîíàäîáÿòñÿ.
Äîêàæåì, ÷òî (À → Â) ↔ ¬(À & ¬Â). Íî â P
N
íåò ýêâèâàëåí-
òíîñòè, ïîýòîìó äàííàÿ çàäà÷à ðàñïàäàåòñÿ íà äâå: ⎟⎯ ((À → Â)
→ ¬(À & ¬Â)) è ⎟⎯ (¬(À & ¬Â) → (À → Â)).
⎟⎯ ((À → Â) → ¬(À & ¬Â))
156
1. (À → Â) – äîï.
2. (À & ¬Â) – äîï.
3. À – 2, &ó1
4. Â – 3, 1 →ó
5. (À → Â), (À & ¬Â) ⎟⎯  – 1-4, ⎟⎯â
6. ¬Â – 2, &ó2
7. (À → Â), (À & ¬Â) ⎟⎯ ¬Â – 1, 2, 6, ⎟⎯â
8. (À → Â) ⎟⎯ ¬(À & ¬Â) – 5, 7, ¬â
9. ⎟⎯ ((À → Â) → ¬(À & ¬Â)) – 8, →â
⎟⎯ (¬(À & ¬Â) → (À → Â))
1. ¬(À & ¬Â) – äîï.
2. À – äîï.
3. ¬Â – äîï.
4. (À & ¬Â) – 2, 3, &â
5. ¬(À & ¬Â), À, ¬Â ⎟⎯ (À & ¬Â) – 1-4, ⎟⎯â
6. ¬(À & ¬Â) – 1, ð.
7. ¬(À & ¬Â), À,
¬Â ⎟⎯ ¬(À & ¬Â) – 1-3, 6, ⎟⎯â
8. ¬(À & ¬Â), À ⎟⎯ ¬¬Â – 5, 7, ¬â
9. ¬¬Â ⎟⎯  – äîê.
10. ¬(À & ¬Â), À ⎟⎯  – 8, 9, òð.
11. ¬(À & ¬Â) ⎟⎯ (À → Â) – 10, →â
12. ⎟⎯ (¬(À & ¬Â) → (À → Â)) – 11, →â
 çàêëþ÷åíèå äîêàæåì â P
N
çàêîí Ïèðñà. Ïîïðîáóéòå ïî-
ëó÷èòü äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî çàêîíà â àêñèîìàòè÷åñêîé ñèñòåìå
(îñîáåííî â Ð
0
), è òîãäà âû îöåíèòå ïðåèìóùåñòâà íàòóðàëüíî-
ãî âûâîäà.
⎟⎯ (((À → Â) → À) → À)
1. ((À → Â) → À) – äîï.
2. ¬À – äîï.
3. ⎟⎯ (((À → Â) → À) → (¬À → ¬(À → Â))) – äîê.
4. (((À → Â) → À) → (¬À → ¬(À → Â))) – 3, ⎟⎯ó
5. (¬À → ¬(À → Â)) – 1, 4, →ó
6. ¬(À → Â) – 2, 5, →ó
7. ⎟⎯ (¬(À & ¬Â) → (À → Â)) – äîê.
8. (¬(À & ¬Â) → (À → Â)) – 7, ⎟⎯ó
9. ⎟⎯ ((¬(À & ¬Â) → (À
→ Â))→(¬(À → Â)→
→ ¬¬(À & ¬Â))) – äîê.
10. ((¬(À & ¬Â) → (À → Â)) → (¬(À → Â) →
→ ¬¬(À & ¬Â))) – 9, ⎟⎯ó
11. (¬(À → Â) → ¬¬(À & ¬Â)) – 8, 10, →ó
157
12. ¬¬(À & ¬Â) – 6, 11, →ó
13. (À & ¬Â) – 12, ¬ó
14. À – 13, &ó1
15. ((À → Â) → À), ¬À ⎟⎯ À – 1-14, ⎟⎯â
16. ¬À – 2, ð.
17. ((À → Â) → À), ¬À ⎟⎯ ¬À – 1-2, 16, ⎟⎯â
18. ((À → Â) → À) ⎟⎯ ¬¬À – 15, 17, ¬â
19. ¬¬À ⎟⎯ À – äîê.
20. ((À → Â) → À) ⎟⎯ À – 18, 19, òð.
21. ⎟⎯ (((À → Â) → À) → À) – 20, →â
Çàâåðøèì ïàðàãðàô êðàòêèì îáñóæäåíèåì ñåìàíòè÷åñêèõ
ñâîéñòâ ñèñòåìû P
N
, áåç ïîñòðîåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ìåòàäî-
êàçàòåëüñòâ. Âñå ïðÿìûå ïðàâèëà P
N
âîñïðîèçâîäÿò îòíîøåíèå
ëîãè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ: åñëè âìåñòî ÷åðòû, ðàçäåëÿþùåé ïî-
ñûëêè ýòèõ ïðàâèë è èõ çàêëþ÷åíèå, ïîñòàâèòü çíàê ⎥=, òî ïî-
ëó÷èòñÿ êîððåêòíîå óòâåðæäåíèå î ëîãè÷åñêîì ñëåäîâàíèè. Íà-
ïðèìåð, ïðàâèëó ââåäåíèÿ êîíúþíêöèè ñîîòâåòñòâóåò À, Â ⎥=
(À & Â). È ò.ä.
×òî êàñàåòñÿ íåïðÿìûõ, êîñâåííûõ ïðàâèë, òî â íèõ çàìåíà
øòîïîðà ⎟⎯ íà äâîéíîé øòîïîð ⎥= ïðèâåä¸ò ê òàêîìó ðåçóëüòà-
òó: åñëè íà âõîäå ïðàâèëà óòâåðæäåíèÿ î ëîãè÷åñêîì ñëåäîâàíèè
âåðíû, òî íà åãî âûõîäå òàêæå ïîëó÷èì âåðíîå óòâåðæäåíèå î
ëîãè÷åñêîì ñëåäîâàíèè. Åñëè, íàïðèìåð, Ã, À ⎥=  è Ã, À ⎥=
¬Â, òî áóäåì èìåòü à ⎥= ¬À, òàê ÷òî ïðàâèëî ââåäåíèÿ îòðèöà-
íèÿ ñîõðàíÿåò ñëåäîâàíèå. Ýòèì æå ñâîéñòâîì îáëàäàþò âñå îñ-
òàâøèåñÿ êîñâåííûå ïðàâèëà, òîëüêî ïðàâèëà ââåäåíèÿ è óäàëå-
íèÿ ⎟⎯ ñâîåîáðàçíû – âåäü â íèõ çíàê âûâîäèìîñòè ⎟⎯ âñòðå÷à-
åòñÿ ëèáî òîëüêî íà âûõîäå, ëèáî òîëüêî íà âõîäå.
Ïðàâèëî ⎟⎯â ïðèìåíÿåòñÿ ê êîððåêòíûì âûâîäàì, â êîòîðûõ
êàæäûé øàã âîñïðîèçâîäèë ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå èëè áûë ïåðå-
õîäîì îò ñëåäîâàíèÿ îäíîãî âèäà ê ñëåäîâàíèþ äðóãîãî âèäà. Ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî åñëè â âûâîäå À
1
, ..., À
n
, ψ
n+1
, ..., ψ
m
, À ôîðìóëû À âñå
ïîñûëêè À
1
, ..., À
n
èñòèííû, òî âûðàæåíèÿ ψ
n+1
, ψ
n+2
è ò.ä., âïëîòü
äî À, òàêæå èñòèííû (ò.å. èñòèííû êàê âñòðå÷àþùèåñÿ â âûâîäå
ôîðìóëû, òàê è âñòðå÷àþùèåñÿ â í¸ì óòâåðæäåíèÿ î íàëè÷èè ñëå-
äîâàíèÿ). Ïîýòîìó èìååì ïðàâî çàêëþ÷èòü: À
1
, ..., À
n
⎥= À.
Ñîâñåì íåñëîæåí ñìûñë ïðàâèëà ⎟⎯ó. Åñëè èìååòñÿ âûâîä
òåîðåìû ⎟⎯ À, òî âåðíî óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî À ñëåäóåò èç
ïóñòîãî ìíîæåñòâà ïîñûëîê, ò.å. âåðíî óòâåðæäåíèå ⎥= À. Çíà-
÷èò, À èñòèííà â ëþáîé ñèòóàöèè, è ïîòîìó ïîìåùåíèå ôîðìó-
ëû À â âûâîä íå èñïîðòèò ïåðåõîäîâ îò èñòèí ê èñòèíàì. Òàêèì
îáðàçîì, äëÿ P
N
âåðíà òåîðåìà î ñåìàíòè÷åñêîé êîððåêòíîñòè.
Ìåòàòåîðåìà î ñåìàíòè÷åñêîé êîððåêòíîñòè ñèñòåìû Ð
N
. Åñëè
⎟⎯ A, òî ⎥= À.
Îòñþäà ñëåäóåò òåîðåìà î íåïðîòèâîðå÷èâîñòè.
Ìåòàòåîðåìà î íåïðîòèâîðå÷èâîñòè ñèñòåìû Ð
N
. Íå ñóùåñòâó-
åò òàêîé ôîðìóëû À, ÷òî è ⎟⎯ À, è ⎟⎯
¬
À â Ð
N
.
Âåðíà òàêæå òåîðåìà î ïîëíîòå Ð
N
.
Ìåòàòåîðåìà î ñåìàíòè÷åñêîé ïîëíîòå ñèñòåìû Ð
N
. Åñëè ⎥=
À, òî ⎟⎯ À.
Îáúåäèíÿÿ ìåòàòåîðåìû êîððåêòíîñòè è ïîëíîòû, ïîëó÷àåì
⎥= À ⇔ ⎟⎯ À.
È ñíîâà (êàê è â àêñèîìàòèêå) ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå ìîæ-
íî óñèëèòü. Ïóñòü À
1
, À
2
, ..., À
n
– ôîðìóëû. Òîãäà â P
N
À
1
, À
2
, ..., À
n
⎥= À ⇔ À
1
, À
2
, ..., À
n
⎟⎯ À.
Çíà÷èò, åñëè èç ïîñûëîê À
1
, À
2
, ..., À
n
ëîãè÷åñêè ñëåäóåò À, òî
ñóùåñòâóåò âûâîä â P
N
èç ïîñûëîê À
1
, À
2
, ..., À
n
ôîðìóëû À. È
íàîáîðîò, åñëè ïîñòðîåí âûâîä â P
N
èç ïîñûëîê À
1
, À
2
, ..., À
n
ôîð-
ìóëû À, òî èç À
1
, À
2
, ..., À
n
ëîãè÷åñêè ñëåäóåò À. Îáîçíà÷èì ïðîèç-
âîëüíîå (âîçìîæíî, ïóñòîå) ìíîæåñòâî ïîñûëîê ãðå÷åñêîé áóêâîé
Γ. Òîãäà äëÿ P
N
îáà óòâåðæäåíèÿ ìîæíî îáúåäèíèòü â îäíî:
Γ ⎥= À ⇔ Γ ⎟⎯ À.
Ïîä÷åðêí¸ì, ÷òî íè îäíó èç ìåòàòåîðåì ìû äëÿ P
N
íå äîêà-
çûâàëè èç-çà òåõíè÷åñêîé ãðîìîçäêîñòè äîêàçàòåëüñòâ, â òî âðå-
ìÿ êàê äëÿ àêñèîìàòè÷åñêîé ñèñòåìû P
0
ìåòàòåîðåìû î ñåìàí-
òè÷åñêîé êîððåêòíîñòè è íåïðîòèâîðå÷èâîñòè áûëè äîêàçàíû
äîñòàòî÷íî ïðîñòî è êîðîòêî. Ýòî ëèøíèé ðàç ñâèäåòåëüñòâóåò
î òîì, ÷òî àêñèîìàòè÷åñêèå ñèñòåìû óäîáíåå â îòíîøåíèè ë¸ã-
êîñòè èçó÷åíèÿ èõ ìåòàñâîéñòâ, ÷åì ñèñòåìû íàòóðàëüíîãî âû-
âîäà. Çàòî ñòðîèòü âûâîäû è äîêàçàòåëüñòâà â íàòóðàëüíûõ ñèñ-
òåìàõ íàìíîãî ïðîùå, ÷åì â àêñèîìàòè÷åñêèõ.
159
ÃËÀÂÀ 5. ËÎÃÈÊÀ ÏÐÅÄÈÊÀÒÎÂ
 ýòîé ãëàâå áóäåò ïðîàíàëèçèðîâàíî âíóòðåííåå ñòðîåíèå
âûñêàçûâàíèé ñ ó÷¸òîì è òàêèõ èõ ÷àñòåé, êîòîðûå ñàìè âûñêà-
çûâàíèÿìè íå ÿâëÿþòñÿ. Â ñîâðåìåííîé ëîãèêå ñðåäè ýëåìåí-
òîâ âíóòðåííåé ñòðóêòóðû âûñêàçûâàíèé, íàðÿäó ñ óæå çíàêî-
ìûìè âàì ëîãè÷åñêèìè ñâÿçêàìè, âûäåëÿþò èìåíà, ïîíÿòèÿ è
êâàíòîðû. Ðàñïîëàãàÿ ñâÿçêàìè, èìåíàìè, ïîíÿòèÿìè è êâàíòî-
ðàìè, ìîæíî îñóùåñòâëÿòü íàìíîãî áîëåå òîíêèé àíàëèç ðàñ-
ñóæäåíèé, ÷åì ýòî áûëî âîçìîæíî â ëîãèêå âûñêàçûâàíèé. Íå-
èçáåæíîé öåíîé çà ïðîäâèæåíèå âïåð¸ä â äåëå ïîñòèæåíèÿ çà-
êîíîâ ïðàâèëüíûõ ðàññóæäåíèé áóäåò ñóùåñòâåííîå óñëîæíåíèå
ñèíòàêñèñà ëîãè÷åñêîãî ÿçûêà è åãî ñåìàíòèêè. Äàííûé ðàçäåë
ëîãèêè ìîæíî áûëî áû íàçâàòü ëîãèêîé ïîíÿòèé. Îäíàêî íå
ìíîãî íàéä¸òñÿ ëîãè÷åñêèõ òåðìèíîâ, êîòîðûå áû èñïîëüçîâà-
ëèñü â ñòîëü ìíîãî÷èñëåííûõ ñìûñëàõ, êàê ñëîâî «ïîíÿòèå».
Ðàçâå ÷òî ñàìî ñëîâî «ëîãèêà» ìîæåò çäåñü áûòü ñîïåðíèêîì.
Âèäèìî, ïîýòîìó â ñîâðåìåííîé ëîãèêå ïðåäïî÷èòàþò âìåñòî
òåðìèíà «ïîíÿòèå» èñïîëüçîâàòü áîëåå íåéòðàëüíûé òåðìèí
«ïðåäèêàò». Ìû òîæå ñîãëàñíû íàçûâàòü ïîíÿòèÿ ïðåäèêàòàìè,
íî íå âèäèì ðåçîíà îòêàçûâàòüñÿ îò ïðèâû÷íîãî ñëîâà «ïîíÿ-
òèå», è ïîòîìó áóäåì òàêæå ïðåäèêàòû íàçûâàòü ïîíÿòèÿìè.
§1. Èìåíà è ïîíÿòèÿ
 ñîñòàâå âûñêàçûâàíèé âñòðå÷àþòñÿ èìåíà. Èìÿ – ýòî çíàê,
äåíîòàòîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ èíäèâèä. ×òî òàêîå èíäèâèä – ñëîæ-
íûé ôèëîñîôñêèé âîïðîñ
7
. Ìû íå áóäåì ïûòàòüñÿ òî÷íî íà íåãî
îòâåòèòü. Âìåñòî ýòîãî îáðàòèìñÿ ê ïðàêòèêå èñïîëüçîâàíèÿ òàê
íàçûâàåìûõ ñîáñòâåííûõ èì¸í, êîòîðûå ïèøóòñÿ ñ çàãëàâíîé áóê-
âû. Òàê âîò, âñ¸, ÷åìó ìîæíî äàòü ñîáñòâåííîå èìÿ, ÿâëÿåòñÿ
èíäèâèäîì. «Ñîêðàò», «Àðèñòîòåëü», «Ìîñêâà», «Áåðëèí», «Íèæ-
íèé Íîâãîðîä» «Âåíåðà», «Ìàðñ», «Ïîëÿðíàÿ çâåçäà», «Ñîçâåç-
äèå Àíäðîìåäû», «Çåâñ», «Ãåðàêë», «Ðîññèÿ», «Êèòàé», «Åâðî-
ïà», «Àçèÿ», «Ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò ãóìàíèòàðíûõ íàóê»,
«Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì. Ëîìîíîñî-
âà», «4», «IV» – âñ¸ ýòî ñîáñòâåííûå èìåíà ñàìûõ ðàçíîîáðàç-
íûõ è ðàçíîðîäíûõ èíäèâèäîâ. È ýòîò ïåðå÷åíü ìîæíî ïðîäîë-
æàòü äî áåñêîíå÷íîñòè.
160
Íå âñåì îáúåêòàì äàþò ñîáñòâåííûå èìåíà. Íàïðèìåð, ýëå-
ìåíòàðíûå ÷àñòèöû íå óäîñòîèëèñü ýòîé ÷åñòè. Íèêòî íå íàçî-
â¸ò êàêîé-ëèáî ýëåêòðîí, ôîòîí èëè ïðîòîí ïî èìåíè. Ýòî ïî-
òîìó, ÷òî, ñ òî÷êè çðåíèÿ ñîâðåìåííûõ ïðåäñòàâëåíèé, òàêèå
îáúåêòû ëèøåíû èíäèâèäóàëüíîñòè. Ó íàóêè íåò ñïîñîáà îòëè-
÷èòü îäèí ýëåêòðîí îò äðóãîãî ïî êàêèì-òî èíäèâèäóàëüíûì
ïðèçíàêàì. Òåì íå ìåíåå, ýëåêòðîíû è äðóãèå ýëåìåíòàðíûå
÷àñòèöû òàêæå ñ÷èòàþòñÿ èíäèâèäàìè.
×òîáû íå çàïóòàòüñÿ â ýòîé ñèòóàöèè, óñëîâèìñÿ îòíîñèòü ê
èíäèâèäàì ëþáûå îáúåêòû, î êîòîðûõ ìû ðàññóæäàåì. Êîðî÷å,
ìîæíî ñêàçàòü òàê: èíäèâèä – ýòî îáúåêò ðàññóæäåíèÿ.
Ìû ðàññóæäàåì îá èíäèâèäàõ ïðè ïîìîùè ïîíÿòèé. Ïîíÿ-
òèå – ýòî çíàê, äåíîòàòîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ñîâîêóïíîñòü èí-
äèâèäîâ. Äåíîòàòû ïîíÿòèé áóäåì åù¸ íàçûâàòü îáú¸ìàìè ïîíÿ-
òèé. Òåðìèí «îáú¸ì ïîíÿòèÿ» ïðèíÿò â òðàäèöèîííîé ëîãèêå è
íåðåäêî èñïîëüçóåòñÿ â ïðàêòèêå ðàññóæäåíèé.
Íåñìîòðÿ íà âíåøíþþ ïðîñòîòó, îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ â äåé-
ñòâèòåëüíîñòè òðåáóåò ðàçúÿñíåíèé. Ïðåæäå âñåãî ïðèâåä¸ì ïðè-
ìåðû ïîíÿòèé. Ñëîâà «÷åëîâåê», «÷èñëî», «çåë¸íûé», «õðàáðûé»
è ìíîãèå, ìíîãèå äðóãèå óêàçûâàþò íå íà îòäåëüíûå èíäèâèäû –
íà îòäåëüíîãî ÷åëîâåêà, îòäåëüíîå ÷èñëî, îòäåëüíûé çåë¸íûé
ïðåäìåò èëè îòäåëüíîãî õðàáðåöà, à íà ñîâîêóïíîñòü âñåõ ëþäåé,
ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë, ñîâîêóïíîñòü âñåõ îáúåêòîâ çåë¸íîãî öâå-
òà è ñîâîêóïíîñòü âñåõ õðàáðûõ èíäèâèäîâ. Âîçüì¸ì èíäèâèäà
ïî èìåíè «Ñîêðàò». Êàæäûé ñîãëàñèòñÿ, ÷òî Ñîêðàò ÷åëîâåê,
ìíîãèå áóäóò íàñòàèâàòü, ÷òî îí õðàáðûé, íî íèêòî â çäðàâîì óìå
íå áóäåò ñ÷èòàòü åãî ÷èñëîì èëè îáúåêòîì çåë¸íîãî öâåòà. Ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî Ñîêðàò ïðèíàäëåæèò ñîâîêóïíîñòè ëþäåé è, ñêîðåå
âñåãî, áîëåå óçêîé ñîâîêóïíîñòè õðàáðûõ ëþäåé, íî íå ïðèíàäëå-
æèò íè ìíîæåñòâó ÷èñåë, íè ñîâîêóïíîñòè çåë¸íûõ ïðåäìåòîâ.
Êàæäàÿ èç óïîìÿíóòûõ ñîâîêóïíîñòåé ñîäåðæèò ìíîãî èí-
äèâèäîâ, à ñîâîêóïíîñòü ÷èñåë – äàæå áåñêîíå÷íî ìíîãî. Íó, à
÷òî, åñëè â ñîâîêóïíîñòè ìàëî èíäèâèäîâ? È ìîæåò ëè ñîâîêóï-
íîñòü ñîäåðæàòü òîëüêî îäèí èíäèâèä? Èëè âîîáùå íè îäíîãî?
Îòâåòû íà ïîñòàâëåííûå âîïðîñû äèêòóþòñÿ ïðàêòèêîé ïî-
çíàâàòåëüíîé äåÿòåëüíîñòè ëþäåé. ×åëîâå÷åñêîå ïîçíàíèå â îáÿ-
çàòåëüíîì ïîðÿäêå ïðåäïîëàãàåò èñïîëüçîâàíèå êàêèõ-ëèáî èìå-
þùèõñÿ ïîíÿòèé èëè ôîðìèðîâàíèå íîâûõ ïîíÿòèé. Îáðàçîâà-
íèå íîâûõ ïîíÿòèé ñâîéñòâåííî íå òîëüêî íàóêå. Äàæå åñëè
ðå÷ü èä¸ò îá îáûäåííîì ïîçíàíèè, ìû íå òîëüêî èñïîëüçóåì
ãîòîâûå ïîíÿòèÿ, íî è ââîäèì íîâûå.