Анисов А.М. Современная логика

Подождите немного. Документ загружается.

221

3-6 ÿâëÿåòñÿ âûâîäîì øòîïîð-ôîðìóëû À(α) ⎟⎯ (∃õÀ(õ) ∨

∃õÂ(õ)), ïîñêîëüêó, õîòÿ èìÿ α âçÿòî èç äîïîëíèòåëüíî ñïèñêà

èì¸í, α íå áûëî ââåäåíî â âûâîä 3-6 ïî ïðàâèëó ∃ó. Àíàëîãè÷-

íûì îáðàçîì, äîêàçàíà øòîïîð-ôîðìóëà Â(α) ⎟⎯ (∃õÀ(õ) ∨

∃õÂ(õ)), ÿâëÿþùàÿñÿ çàêëþ÷åíèåì âûâîäà 7-10. Ïîýòîìó ïîñëå-

äîâàòåëüíîñòü âûðàæåíèé 1, 2, 6, 10, 11, 12, 13, 14 óäîâëåòâîðÿåò

îïðåäåëåíèþ âûâîäà è ê íåé ìîæíî ïðèìåíèòü ïðàâèëî ⎟⎯â.

⎟⎯ (∀õ(À(õ) → Â(õ)) → (∀õÀ(õ) → ∀õÂ(õ)))

1.∀õ(À(õ) → Â(õ)) – äîï.

2.∀õÀ(õ) – äîï.

3. À(õ) – 2, ∀ó

4. (À(õ) → Â(õ)) – 1, ∀ó

5. Â(õ) – 3, 4, →ó

6.∀õ(À(õ) → Â(õ)), ∀õÀ(õ) ⎟⎯ Â(õ) – 1-5, ⎟⎯â

7.∀õ(À(õ) → Â(õ)), ∀õÀ(õ) ⎟⎯ ∀õÂ(õ) – 6, ∀â

8.∀õ(À(õ) → Â(õ)) ⎟⎯ (∀õÀ(õ) →

∀õÂ(õ)) – 7, →â

9. ⎟⎯ (∀õ(À(õ) → Â(õ)) → (∀õÀ(õ) → ∀õÂ(õ))) – 8, →â

Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íå ÿâëÿåòñÿ ëîãè÷åñêèì çàêîíîì.

Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé êîíòðïðèìåð, â êîòîðîì â êà÷åñòâå

óíèâåðñóìà áåðåòñÿ êëàññ âñåõ ëþäåé. Ïóñòü À(õ) – ýòî Äîëãî-

æèòåëü(õ), à Â(õ) – ýòî Ìóæ÷èíà(õ). Òîãäà èìïëèêàöèÿ (∀õÄîë-

ãîæèòåëü(õ) → ∀õÌóæ÷èíà(õ)) èñòèííà, ïîñêîëüêó å¸ àíòåöå-

äåíò «Âñå ëþäè äîëãîæèòåëè» (ò.å. ∀õÄîëãîæèòåëü(õ)) ëîæåí.

Íî óòâåðæäåíèå ∀õ(Äîëãîæèòåëü(õ) → Ìóæ÷èíà(õ)), êàê èç-

âåñòíî, ëîæíî. Òàêèì îáðàçîì, èç èñòèííîãî (∀õÄîëãîæè-

òåëü(õ) → ∀õÌóæ÷èíà(õ)) íå ñëåäóåò ëîæíîå ∀õ(Äîëãîæèòåëü(õ)

→ Ìóæ÷èíà(õ)).

Åñëè, îäíàêî, À íå ñîäåðæèò õ èëè õ ñâÿçàííà â À, òî áóäåò

äîêàçóåìà êàê øòîïîð-ôîðìóëà ⎟⎯ (∀õ(À → Â(õ)) → (À →

∀õÂ(õ))), òàê è îáðàòíàÿ øòîïîð-ôîðìóëà ⎟⎯ ((À → ∀õÂ(õ)) →

∀õ(À → Â(õ))). Äîêàæåì ïîñëåäíþþ øòîïîð-ôîðìóëó (ïåðâóþ

äîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî).

⎟⎯ ((À → ∀õÂ(õ))

→ ∀õ(À → Â(õ))), åñëè õ ñâÿçàííà â À èëè

â À íåò õ.

1. (À → ∀õÂ(õ)) – äîï.

2. À – äîï.

3.∀õÂ(õ) – 2, 1, →ó

4. Â(õ) – 3, ∀ó

5. (À → ∀õÂ(õ)), À ⎟⎯ Â(õ) – 1-4, ⎟⎯â

6. (À → ∀õÂ(õ)) ⎟⎯ (À → Â(õ)) – 5, →â

7. (À → ∀õÂ(õ)) ⎟⎯ ∀õ(À → Â(õ)) – 6, ∀â

8. ⎟⎯ ((À → ∀õÂ(õ)) → ∀õ(À → Â(õ))) – 7, →â

222

Ïðèìåíåíèå íà øàãå 7 ïðàâèëà ∀â ñòàëî âîçìîæíûì ïîòîìó,

÷òî â ïîñûëêó (À → ∀õÂ(õ)) ïåðåìåííàÿ õ âõîäèò ñâÿçàííî.

⎟⎯ (∀õ(À(õ) → Â) → (∃õÀ(õ) → Â))

1.∀õ(À(õ) → Â) – äîï.

2.∃õÀ(õ) – äîï.

3. À(α)– 2, ∃ó

4. (À(α) → Â) – 1, ∀ó

5. Â – 3, 4, →ó

6.∀õ(À(õ) → Â), ∃õÀ(õ) ⎟⎯ Â –1-5, ⎟⎯â

7.∀õ(À(õ) → Â) ⎟⎯ (∃õÀ(õ) → Â) –6, →â

8. ⎟⎯ (∀õ(À(õ) → Â) → (∃õÀ(õ) → Â)) –7, →â

⎟⎯ ((∃õÀ(õ) → Â) → ∀õ(À(õ) → Â)), åñëè õ ñâÿçàííà â Â èëè

â Â íåò õ.

1. (∃õÀ(õ)

→ Â) – äîï.

2. À(õ) – äîï.

3.∃õÀ(õ) – 2, ∃â

4. Â – 3, 1 →ó

5. (∃õÀ(õ) → Â), À(õ) ⎟⎯ Â – 1-4, ⎟⎯â

6. (∃õÀ(õ) → Â) ⎟⎯ (À(õ) → Â) – 5, →â

7. (∃õÀ(õ) → Â) ⎟⎯ ∀õ(À(õ) → Â) – 6, ∀â

8. ⎟⎯ ((∃õÀ(õ) → Â) → ∀õ(À(õ) → Â)) –7, →â

Åñëè áû, ê ïðèìåðó, ïåðåìåííàÿ õ áûëà ñâîáîäíîé â Â, òî

øàã 7 áûë áû íåçàêîííûì.

Çàâåðøèì èçó÷åíèå íàòóðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ

äîêàçàòåëüñòâîì ÷åòûð¸õ âàæíûõ òåîðåì î âçàèìíîé îïðåäåëè-

ìîñòè êâàíòîðîâ ÷åðåç ñâÿçêó ¬.

⎟⎯ (∀õÀ(õ) → ¬∃õ¬À(õ))

1.∀õÀ(õ) – äîï.

2.∃õ¬À(õ) – äîï.

3.¬À(α)– 2, ∃ó

4. À(α)– 1, ∀ó

5. À(α), ¬À(α

)

⎟⎯ ¬À(õ) – äîê. (ñì. §9 ãë. 4)

6. À(α) ⎟⎯ (¬À(α) → ¬À(õ)) – 5, →â

7. ⎟⎯ (À(α) → (¬À(α) → ¬À(õ))) – 6, →â

8. (À(α) → (¬À(α) → ¬À(õ))) – 7, ⎟⎯ó

9. (¬À(α) → ¬À(õ)) – 4, 8, →ó

10.¬À(õ) – 3, 9, →ó

11.∀õÀ(õ), ∃õ¬À(õ) ⎟⎯ ¬À(õ) – 1-10, ⎟⎯â

12. À(õ) – 1, ∀ó

223

13.∀õÀ(õ), ∃õ¬À(õ) ⎟⎯ À(õ) – 1, 2, 12, ⎟⎯â

14.∀õÀ(õ) ⎟⎯ ¬∃õ¬À(õ) – 11, 13, ¬â

15. ⎟⎯ (∀õÀ(õ) → ¬∃õ¬À(õ)) – 14, →â

Îòìåòèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 1-3 íå îáðàçóåò âûâîäà

∀õÀ(õ), ∃õ¬À(õ) ⎟⎯ ¬À(α), ò.ê. èìÿ α â ¬À(α) ïîëó÷åíî ïî ∃ó.

Òî, ÷òî ïðè ýòîì èìåëè âûâîä ∀õÀ(õ), ∃õ¬À(õ) ⎟⎯ À(α) (øàãè 1,

2, 4), ïîìî÷ü óæå íå ìîãëî. Ðåøåíèå ïðîáëåìû íàøëîñü â òîì,

÷òîáû äîêàçàòü øòîïîð-ôîðìóëû ∀õÀ(õ), ∃õ¬À(õ) ⎟⎯ ¬À(õ) è

∀õÀ(õ), ∃õ¬À(õ) ⎟⎯ À(õ), â êîòîðûõ èìÿ α âîîáùå íå âñòðå÷àåò-

ñÿ. Äëÿ ýòîãî íàì ïîíàäîáèëèñü ôîðìóëû ¬À(α) è À(α) (ïîëó-

÷åííûå, ñîîòâåòñòâåííî, íà 3 è 4 øàãå âûâîäà 1-15), è ðàíåå

äîêàçàííàÿ (â §9 ãë. 4) øòîïîð-ôîðìóëà À, ¬À ⎟⎯ Â (òî÷íåå, å¸

ïðåäèêàòíûé âàðèàíò À(α), ¬À(α) ⎟⎯ ¬À(õ)).

⎟⎯ (¬∃õ¬À(õ) → ∀õÀ(õ))

1.¬∃õ¬À(õ) – äîï.

2.¬À(õ) – äîï.

3.∃õ¬À(õ) – 2, ∃â

4.¬∃õ¬À(õ), ¬À(õ) ⎟⎯ ∃õ¬À(õ) – 1-3, ⎟⎯â

5.¬∃õ¬À(õ) – 1, ð

6.¬∃õ¬À(õ), ¬À(õ) ⎟⎯ ¬∃õ¬À(õ) – 1, 2, 5, ⎟⎯â

7.¬∃õ¬À(õ) ⎟⎯ ¬¬À(õ) – 4, 6, ¬â

8.¬¬À(õ) ⎟⎯ À(õ) – äîê.

9.¬∃õ¬À(õ) ⎟⎯ À(õ) – 7, 8, òð.

10.¬∃õ¬À(õ) ⎟⎯ ∀õÀ(õ) –9, ∀â

11. ⎟⎯ (¬∃õ¬À(õ) → ∀õÀ(õ)) – 10, →â

⎟⎯ (∃õÀ(õ) → ¬∀õ¬À(õ))

1.∃õÀ(õ) – äîï.

2.∀õ¬À(õ) – äîï.

3. À(α)– 1, ∃ó

4.¬À(α)– 2, ∀ó

5. ⎟⎯ (À(α) → (¬À(α) → À(õ))) – äîê.

6. (À(α) → (¬À(α) → À(õ))) – 5, ⎟⎯ó

7. (¬À(α) → À(õ)) – 3, 6, →ó

8. À(õ) – 4, 7, →ó

9.∃õÀ(õ), ∀õ¬À(õ) ⎟⎯ À(õ) – 1-8, ⎟⎯â

10.¬À(õ) – 2, ∀ó

11.∃õÀ(õ), ∀õ¬À(õ) ⎟⎯ ¬À(õ) – 1, 2, 10, ⎟⎯â

12.∃õÀ(õ) ⎟⎯ ¬∀õ¬À(õ) – 9, 11, ¬â

13. ⎟⎯ (∃õÀ(õ) → ¬∀õ¬À(õ)) – 12, →â

⎟⎯ (¬∀õ¬À(õ) → ∃õÀ(õ))

1.¬∀õ¬À(õ) – äîï.

224

2.¬∃õ¬¬À(õ) – äîï.

3. ⎟⎯ (¬∃õ¬¬À(õ) → ∀õ¬À(õ)) – äîê.

4. (¬∃õ¬¬À(õ) → ∀õ¬À(õ)) – 3, ⎟⎯ó

5.∀õ¬À(õ) – 2, 4, →ó

6.¬∀õ¬À(õ), ¬∃õ¬¬À(õ) ⎟⎯ ∀õ¬À(õ) – 1-5, ⎟⎯â

7.¬∀õ¬À(õ) – 1, ð

8.¬∀õ¬À(õ), ¬∃õ¬¬À(õ) ⎟⎯ ¬∀õ¬À(õ) – 1, 2, 7, ⎟⎯â

9.¬∀õ¬À(õ) ⎟⎯ ¬ ¬∃õ¬¬À(õ) – 6, 8, ¬â

10.¬ ¬∃õ¬¬À(õ) ⎟⎯ ∃õ¬¬À(õ) – äîê.

11.¬∀õ¬À(õ) ⎟⎯ ∃õ¬¬À(õ) – 9, 10, òð.

12.∃õ¬¬À(õ) – äîï.

13.¬¬À(α) – 12, ∃ó

14. À(α) – 13, ¬ó

15.∃õÀ(õ) – 14, ∃â

16.∃õ¬¬À(õ) ⎟⎯ ∃õÀ(õ) – 12-14, ⎟⎯â

17.¬∀õ¬À(õ) ⎟⎯ ∃õÀ(õ) – 11, 16, òð.

18. ⎟⎯ (¬∀õ¬À(õ) → ∃õÀ(õ)) – 17, → â

Êàê âû ìîãëè óáåäèòüñÿ, ïîñòðîåíèå âûâîäîâ â ëîãèêå ïðå-

äèêàòîâ íå âñåãäà ïðîñòîå äåëî. Â îòëè÷èå îò ëîãèêè âûñêàçûâà-

íèé, ëîãèêà ïðåäèêàòîâ òðåáóåò òâîð÷åñêîãî ïîäõîäà. Ïðè ýòîì,

êîíå÷íî, â öåëîì ðÿäå òèïè÷íûõ ñèòóàöèé ñóùåñòâóþò õîðîøî

îòëàæåííûå ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ âûâîäîâ. Ñ íåêîòîðûìè èç íèõ

âû ïîçíàêîìèëèñü è ìîæåòå ñ óñïåõîì ïðèìåíÿòü ýòè ìåòîäû â

òåîðèè è íà ïðàêòèêå òàì, ãäå íåîáõîäèìà ëîãè÷åñêàÿ òî÷íîñòü

â ðàññóæäåíèÿõ.

×òî êàñàåòñÿ ìåòàñâîéñòâ ïîñòðîåííîãî èñ÷èñëåíèÿ K

, òî ìû

ëèøü óïîìÿíåì î âàæíåéøèõ èç íèõ áåç ïîäðîáíûõ ðàçúÿñíåíèé.

Âî-ïåðâûõ, âûñêàçûâàíèå À ÿâëÿåòñÿ òåîðåìîé â K

òîãäà, è

òîëüêî òîãäà, êîãäà À èñòèííî â ëþáîì óíèâåðñóìå ðàññóæäåíèé,

÷òî ìîæíî äëÿ âûñêàçûâàíèÿ À êîðîòêî çàïèñàòü â âèäå ⎟⎯ À ⇔

⎥= À. Èíà÷å ãîâîðÿ, âñÿêîå äîêàçóåìîå â K

âûñêàçûâàíèå áóäåò

ëîãè÷åñêèì çàêîíîì, è âñÿêîå âûñêàçûâàíèå, ÿâëÿþùååñÿ ëîãè-

÷åñêèì çàêîíîì, áóäåò äîêàçóåìî â K

. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî K

íåïðîòèâîðå÷èâî (âåäü âûñêàçûâàíèÿ À è ¬À íå ìîãóò áûòü âìå-

ñòå èñòèííûìè íè â îäíîì óíèâåðñóìå). Ïîñêîëüêó â ñèëó òåõ

æå ïðè÷èí, ÷òî è äëÿ ñèñòåìû Ð

, ïîíÿòèÿ ïðîòèâîðå÷èâîñòè è

àáñîëþòíîé ïðîòèâîðå÷èâîñòè äëÿ èñ÷èñëåíèå K

ñîâïàäàþò,

âåðíî òàêæå, ÷òî K

àáñîëþòíî íåïðîòèâîðå÷èâî.

Âî-âòîðûõ, ñîñòàâëåííàÿ òîëüêî èç âûñêàçûâàíèé øòîïîð-

ôîðìóëà Ã ⎟⎯ À áóäåò äîêàçóåìà â K

òîãäà, è òîëüêî òîãäà,

êîãäà â ëþáîì óíèâåðñóìå, åñëè âñå âûñêàçûâàíèÿ èç Ã èñòèííû, òî

âûñêàçûâàíèå À òàêæå áóäåò èñòèííî. Ò.å. äëÿ âûñêàçûâàíèé

èìååò ìåñòî Ã ⎟⎯ À ⇔ Ã ⎥= À. Äðóãèìè ñëîâàìè, èç ìíîæåñòâà

âûñêàçûâàíèé Ã â K

âûâîäèìî âûñêàçûâàíèå À â òîì, è òîëüêî

â òîì, ñëó÷àå, åñëè èç Ã ëîãè÷åñêè ñëåäóåò À.

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ èñ÷èñëåíèÿ K

âåðíû ìåòàòåîðåìû î

ñåìàíòè÷åñêîé êîððåêòíîñòè, íåïðîòèâîðå÷èâîñòè è ïîëíîòå.

226

ÃËÀÂÀ 6. ÀÊÑÈÎÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÒÅÎÐÈÈ

×òî òàêîå òåîðèÿ – âîïðîñ ñëîæíûé, åñëè ïîïûòàòüñÿ îòâå-

òèòü íà íåãî âî âñåé ïîëíîòå. Ìû óïðîñòèì ýòîò âîïðîñ, ïî-

ñìîòðåâ íà òåîðèþ ñ ñèíòàêñè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ. Òåîðèÿ –

ýòî ìíîæåñòâî âûñêàçûâàíèé, çàìêíóòîå îòíîñèòåëüíî âûâîäè-

ìîñòè. Âûðàæåíèå «çàìêíóòîå îòíîñèòåëüíî âûâîäèìîñòè» îç-

íà÷àåò, ÷òî âñå âûñêàçûâàíèÿ, êîòîðûå ëèáî âûâîäÿòñÿ èç êà-

êèõ-òî âûñêàçûâàíèé òåîðèè Ò, ëèáî âûâîäÿòñÿ èç ïóñòîãî ìíî-

æåñòâà ïîñûëîê, ïðèíàäëåæàò äàííîé òåîðèè Ò. Â ÷àñòíîñòè,

åñëè âûñêàçûâàíèå Â ïðèíàäëåæèò Ò (ñèìâîëè÷åñêè Â ∈ Ò) è èç

Â âûâîäèòñÿ âûñêàçûâàíèå À (ò.å. Â ⎟⎯ À), òî À òàêæå ïðèíàä-

ëåæèò Ò (À ∈ Ò). Åñëè æå âûñêàçûâàíèå À ÿâëÿåòñÿ òåîðåìîé

ëîãèêè ⎟⎯ À, òî À àâòîìàòè÷åñêè ïîïàäàåò â êàæäóþ òåîðèþ

Ò, ïîñêîëüêó À âûâîäèòñÿ èç ïóñòîãî ìíîæåñòâà ïîñûëîê.

Òàêèì îáðàçîì, êàæäàÿ òåîðèÿ ñîäåðæèò â ñåáå âñ¸ áåñêîíå÷-

íîå ìíîæåñòâî òåîðåì ëîãèêè, è ïîòîìó âñÿêàÿ òåîðèÿ áåñêîíå÷-

íà, õîòÿ ôàêòè÷åñêè ìû â ñîñòîÿíèè àêòóàëüíî ïðåäúÿâèòü ëèøü

êîíå÷íîå ìíîæåñòâî êîíêðåòíûõ âûñêàçûâàíèé òåîðèè. Ìèíè-

ìàëüíîé òåîðèåé, íà áàçå êîòîðîé ñòðîÿòñÿ âñå îñòàëüíûå òåîðèè,

ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî âûñêàçûâàíèé, ÿâëÿþùèõñÿ òåîðåìàìè ëî-

ãèêè. Ëþáîå íå ñîâïàäàþùåå ñ ýòèì ìíîæåñòâîì åãî ïîäìíîæå-

ñòâî óæå íå áóäåò çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî âûâîäèìîñòè è, ïî âû-

øåïðèâåä¸ííîìó îïðåäåëåíèþ, íå áóäåò òåîðèåé.

Âûñêàçûâàíèÿ, ÿâëÿþùèåñÿ òåîðåìàìè ëîãèêè, èñòèííû â

ëþáîì óíèâåðñóìå. Íî ïîçíàþùåãî ñóáúåêòà ìîãóò èíòåðåñî-

âàòü ñèòóàöèè, ñêëàäûâàþùèåñÿ íå âî âñåõ, à ëèøü â íåêîòîðûõ

óíèâåðñóìàõ. Òîãäà òåîðèè äîëæíû, íàðÿäó ñ òåîðåìàìè ëîãèêè,

×ÀÑÒÜ III. ËÎÃÈÊÀ Â ÏÐÈËÎÆÅÍÈßÕ

227

ñîäåðæàòü èñòèííûå ïðèêëàäíûå âûñêàçûâàíèÿ, îïèñûâàþùèå

ïîëîæåíèÿ äåë â òîëüêî ýòèõ (à íå âî âñåõ) óíèâåðñóìàõ. Â ðå-

çóëüòàòå ñîçäàþòñÿ ïðèêëàäíûå òåîðèè, âûõîäÿùèå çà ðàìêè ÷è-

ñòîé ëîãèêè.

Êîíêðåòíî, ïîñòðîåíèå ïðèêëàäíîé òåîðèè áóäåò ïðîõîäèòü

ñëåäóþùèì ïóò¸ì. Ê èñ÷èñëåíèþ ïðåäèêàòîâ K

äîáàâëÿåòñÿ

íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ïðèêëàäíûõ âûñêàçûâàíèé, èãðàþùèõ ðîëü

àêñèîì, çàòåì ñðåäñòâàìè K

îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðîöåññ âûâåäåíèÿ

ñëåäñòâèé èç àêñèîì. Ýòî òðåáóåò äîáàâëåíèÿ ê ïîíÿòèþ íàòó-

ðàëüíîãî âûâîäà ïóíêòà, ðàçðåøàþùåãî ëþáóþ àêñèîìó ïîìåùàòü

â âûâîä. Â ÷àñòíîñòè, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âûðàæåíèé, ñîñòîÿ-

ùàÿ èç îäíèõ àêñèîì, áóäåò êîððåêòíûì âûâîäîì. Ïîëó÷åííûå

ýòèì ñïîñîáîì àêñèîìàòè÷åñêèå òåîðèè è áóäóò ïðåäìåòîì íà-

øåãî âíèìàíèÿ â äàííîé ãëàâå.

§1. Òåîðèè ýêâèâàëåíòíîñòè è ñõîäñòâà

Ïåðâûì ïðèìåðîì ïðèêëàäíîé àêñèîìàòè÷åñêîé òåîðèè

áóäåò òåîðèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè. Îíà çàäà¸òñÿ ñëåäóþùèì íàáî-

ðîì ïðèêëàäíûõ àêñèîì.

À1. ∀õ(õ ~ õ)

À2. ∀õ∀ó((õ ~ ó) → (ó ~ õ))

À3. ∀õ∀y∀z(((x ~ y) & (y ~ z))→ (x ~ z))

Çàïèñü áèíàðíîãî îòíîøåíèÿ (õ ~ ó) ÷èòàåòñÿ «õ ýêâèâàëåí-

òåí ó». Àêñèîìà À1 íàçûâàåòñÿ àêñèîìîé ðåôëåêñèâíîñòè. Ñìûñë

å¸ ïðîñò: âñÿêèé èíäèâèä ýêâèâàëåíòåí ñàìîìó ñåáå. Ñëåäóþ-

ùàÿ àêñèîìà À2 èìåíóåòñÿ àêñèîìîé ñèììåòðè÷íîñòè. Ñîãëàñ-

íî À2, äëÿ ëþáûõ õ è ó, åñëè (õ ~ ó), òî (ó ~ õ). Ïîñëåäíÿÿ

àêñèîìà À3 íàçûâàåòñÿ àêñèîìîé òðàíçèòèâíîñòè. Ïîñðåäñòâîì

òðàíçèòèâíîñòè äëÿ ëþáûõ õ, ó è z ðàçðåøàåòñÿ ïåðåõîä îò ((x ~

y) & (y ~ z)) ê (x ~ z).

Âñÿêîå áèíàðíîå îòíîøåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå äàííûì òð¸ì

àêñèîìàì, çàêîííî ìîæåò áûòü íàçâàíî îòíîøåíèåì ýêâèâàëåí-

òíîñòè. Âìåñòî ïðåäúÿâëåíèÿ àêñèîì ìîæíî óïîìÿíóòü èõ íà-

çâàíèÿ. Ïîýòîìó ãîâîðÿò, ÷òî ëþáîå ðåôëåêñèâíîå, ñèììåòðè÷íîå

è òðàíçèòèâíîå îòíîøåíèå åñòü îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè.

Îäíàêî çàïèñàòü âûäåëåííûå êóðñèâîì ñëîâà íà ÿçûêå ïåðâî-

ïîðÿäêîâîé ëîãèêè ïðåäèêàòîâ íåëüçÿ, ïîòîìó ÷òî äàííîå âû-

228

ðàæåíèå ññûëàåòñÿ íà âòîðîïîðÿäêîâûå ñâîéñòâà îòíîøåíèé (ñâîé-

ñòâî îòíîøåíèÿ «Áûòü ðåôëåêñèâíûì», «Áûòü ñèììåòðè÷íûì» è

ò.ä.), à íå èíäèâèäîâ. Ïîýòîìó çäåñü âîëüíîñòü ðå÷è, äîïóñòèìàÿ â

åñòåñòâåííîì ÿçûêå, íî íå äîïóñòèìàÿ â ñòðîãîé òåîðèè.

Â äåéñòâèòåëüíîñòè, áèíàðíîå ïîíÿòèå «ýêâèâàëåíòíîñòü»

íå áûëî îïðåäåëåíî íàìè ÿâíî. Îïðåäåëåíèå ýòîãî ïîíÿòèÿ áûëî

äàíî íåÿâíûì îáðàçîì, ïîñðåäñòâîì àêñèîìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ

ïîâåäåíèÿ ýêâèâàëåíòíûõ èíäèâèäîâ. Àêñèîìàòè÷åñêèå ïåðâî-

ïîðÿäêîâûå òåîðèè (à òîëüêî òàêèå òåîðèè ìû áóäåì çäåñü ðàñ-

ñìàòðèâàòü) íå ñîäåðæàò ÿâíûõ îïðåäåëåíèé èñõîäíûõ ïîíÿòèé.

Âìåñòî ýòîãî îíè íåñóò èíôîðìàöèþ îá ýòèõ ïîíÿòèÿõ, ðàñêðû-

âàþùóþñÿ â âûñêàçûâàíèÿõ, ÿâëÿþùèõñÿ ñëåäñòâèÿìè àêñèîì.

Äàëåêî íå âñÿêîå áèíàðíîå îòíîøåíèå óäîâëåòâîðÿåò ïðèâå-

ä¸ííûì àêñèîìàì. Íàïðèìåð, îòíîøåíèå áîëüøå > íàðóøàåò ïåð-

âûå äâå àêñèîìû, ïîñêîëüêó îáà âûñêàçûâàíèÿ ∀õ(õ > õ) è ∀õ∀ó((õ

> y) → (y > x)) ëîæíû ïðè îáû÷íîé èíòåðïðåòàöèè ýòîãî îòíîøå-

íèÿ. Çàòî àêñèîìà òðàíçèòèâíîñòè âûïîëíÿåòñÿ äëÿ îòíîøåíèÿ >:

âûñêàçûâàíèå ∀x∀y∀z(((x > y) & (y > z))→ (x > z)) èñòèííî.

Ñìûñë îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè – â ïðèðàâíèâàíèè èí-

äèâèäîâ óíèâåðñóìà ïî îòíîøåíèþ ê êàêîìó-ëèáî ïðèçíàêó. Íà-

ïðèìåð, íà óíèâåðñóìå ëþäåé âîçüì¸ì â êà÷åñòâå ïðèçíàêà îòíî-

øåíèå «õ ðîäèëñÿ â òîì æå ãîäó, ÷òî è ó». Ïðîâåðèì àêñèîìû.

ßñíî, ÷òî äëÿ êàæäîãî ÷åëîâåêà âåðíî, ÷òî îí ðîäèëñÿ â òîì

æå ãîäó, â êîòîðîì îí ðîäèëñÿ. Îòñþäà èñòèííî âûñêàçûâàíèå

∀õ(õ ðîäèëñÿ â òîì æå ãîäó, ÷òî è õ). Ñòîëü æå î÷åâèäíî, ÷òî

åñëè õ ðîäèëñÿ â òîì æå ãîäó, ÷òî è ó, òî ó ðîäèëñÿ â òîì æå

ãîäó, ÷òî è õ. Çíà÷èò, èñòèííî ∀õ∀ó(õ ðîäèëñÿ â òîì æå ãîäó,

÷òî è ó → ó ðîäèëñÿ â òîì æå ãîäó, ÷òî è õ). Íàêîíåö, åñëè õ

ðîäèëñÿ â òîì æå ãîäó, ÷òî è ó, à ó ðîäèëñÿ â òîì æå ãîäó, ÷òî è

z, òî õ òàêæå ðîäèëñÿ â òîì æå ãîäó, ÷òî è z. Òàê ÷òî èñòèííî è

âûñêàçûâàíèå ∀õ∀ó∀z((x ðîäèëñÿ â òîì æå ãîäó, ÷òî è y & y

ðîäèëñÿ â òîì æå ãîäó, ÷òî è z) → (x ðîäèëñÿ â òîì æå ãîäó, ÷òî

è z)). Èòàê, âñå òðè àêñèîìû âûïîëíÿþòñÿ äëÿ îòíîøåíèÿ «õ

ðîäèëñÿ â òîì æå ãîäó, ÷òî è ó». Ñëåäîâàòåëüíî, îòíîøåíèå «õ

ðîäèëñÿ â òîì æå ãîäó, ÷òî è ó» åñòü îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñ-

òè. Åñëè êòî-òî íà ñàìîì äåëå çàíÿò èçó÷åíèåì âîïðîñà î òîì,

êòî êîãäà ðîäèëñÿ, îí ìîæåò âìåñòî äëèííîãî «õ ðîäèëñÿ â òîì

æå ãîäó, ÷òî è ó» èñïîëüçîâàòü êîðîòêîå (õ ~ ó).

Âòîðîé ïðèìåð ðåàëèçàöèè àáñòðàêòíûõ àêñèîì ýêâèâàëåí-

òíîñòè íà êîíêðåòíîì ìàòåðèàëå – ðàçáèåíèå ñòóäåíòîâ íà ãðóï-

ïû â çàâèñèìîñòè îò óñïåâàåìîñòè. Â ðîññèéñêèõ ÂÓÇàõ óñïåâà-

229

åìîñòü ñòóäåíòîâ îöåíèâàåòñÿ ïî ÷åòûð¸õ áàëüíîé øêàëå: íå-

óäîâëåòâîðèòåëüíî (2), óäîâëåòâîðèòåëüíî (3), õîðîøî (4) è îò-

ëè÷íî (5). Îáû÷íî âûäåëÿþò ãðóïïû äâîå÷íèêîâ, òðîå÷íèêîâ,

õîðîøèñòîâ è îòëè÷íèêîâ. Òîãäà áèíàðíîå îòíîøåíèå «õ èìååò

îäèíàêîâóþ óñïåâàåìîñòü ñ ó» ìîæíî ïîíèìàòü êàê ïîïàäàíèå õ

è ó ðîâíî â îäíó èç ïåðå÷èñëåííûõ ÷åòûð¸õ ãðóïï. Â ýòîì ñëó-

÷àå äàííîå îòíîøåíèå ñòàíîâèòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñ-

òè (ïðîâåäèòå ñîîòâåòñòâóþùåå ðàññóæäåíèå ñàìîñòîÿòåëüíî).

Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî åñëè ïîíÿòèÿ äâîå÷íèêîâ, òðî-

å÷íèêîâ, õîðîøèñòîâ è îòëè÷íèêîâ îïðåäåëåíû íåàêêóðàòíî, òî

îäèí è òîò æå èíäèâèä õ ìîæåò ïîïàñòü ñðàçó â íåñêîëüêî ãðóïï

ïî óñïåâàåìîñòè. Íàïðèìåð, åñëè ìû îïðåäåëèì äâîå÷íèêà êàê

ñòóäåíòà, èìåþùåãî îöåíêó «íåóäîâëåòâîðèòåëüíî» ïî êàêîìó-

ëèáî ïðåäìåòó, à òðîå÷íèêà êàê ñòóäåíòà, èìåþùåãî îöåíêó «óäîâ-

ëåòâîðèòåëüíî», òî â ðåçóëüòàòå íåêîòîðûå ñòóäåíòû îêàæóòñÿ

îäíîâðåìåííî è äâîå÷íèêàìè, è òðîå÷íèêàìè. Â ýòîì ñëó÷àå ãðóï-

ïû äâîå÷íèêîâ è òðîå÷íèêîâ «ñêëåÿòñÿ» ìåæäó ñîáîé.

Äåéñòâèòåëüíî, åñëè äëÿ íåêîòîðîãî ó îäíîâðåìåííî âåðíî

«Äâîå÷íèê(ó)» è «Òðîå÷íèê(ó)», òî ïðèä¸òñÿ ïðèçíàòü, ÷òî ó

îäèíàêîâî óñïåâàåò ñ ñàìûì îòúÿâëåííûì äâîå÷íèêîì õ (ïîòî-

ìó ÷òî îáà îíè äâîå÷íèêè), è ó îäèíàêîâî óñïåâàåò ñ áûâøèì

îòëè÷íèêîì z, ïîëó÷èâøèì åäèíñòâåííóþ òðîéêó èç-çà íåëþá-

âè ê ëîãèêå (ïîòîìó ÷òî îáà îíè òðîå÷íèêè). Â ñèëó òðàíçèòèâ-

íîñòè, èç «õ èìååò îäèíàêîâóþ óñïåâàåìîñòü ñ ó» è «ó èìååò

îäèíàêîâóþ óñïåâàåìîñòü ñ z» âûâîäèòñÿ «õ èìååò îäèíàêîâóþ

óñïåâàåìîñòü ñ z», ÷òî ÿâíî íåñïðàâåäëèâî. Çíà÷èò, íàäî òàê

îïðåäåëèòü êàòåãîðèè ñòóäåíòîâ â çàâèñèìîñòè îò óñïåâàåìîñ-

òè, ÷òîáû êàæäûé ñòóäåíò ïîïàë ðîâíî â îäíó êàòåãîðèþ.

Ýòîò ïðèìåð âûâîäèò íàñ íà îäíó îáùóþ õàðàêòåðèñòèêó

îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè. Âîçüì¸ì êàêîé óãîäíî óíèâåðñóì

ðàññóæäåíèé U. Ñ ëîãè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, ýòîìó óíèâåðñóìó

ñîîòâåòñòâóåò óíèâåðñàëüíîå ïîíÿòèå (òî÷íåå, ñâîéñòâî) U(õ).

Åñëè ïðàâèëüíî îñóùåñòâèòü îïåðàöèþ äåëåíèÿ îáú¸ìà äàííîãî

ïîíÿòèÿ, òî â ðåçóëüòàòå äîëæíû ïîëó÷èòüñÿ íåïóñòûå è íåïå-

ðåñåêàþùèåñÿ ìíîæåñòâà èíäèâèäîâ U

, U

, …, â ñîâîêóïíîñòè

îáðàçóþùèå èñõîäíîå ìíîæåñòâî U. Òåïåðü äëÿ âñåõ õ è ó ïîëî-

æèì (õ R ó) ⇔ õ ∈ U

è ó ∈ U

äëÿ íåêîòîðîãî U

. Ìû óòâåðæäà-

åì, ÷òî R áóäåò îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè.

Â ñàìîì äåëå, äëÿ ëþáîãî õ áóäåò (õ R õ), ïîñêîëüêó åñëè

õ ∈ U

, òî, êîíå÷íî, õ ∈ U

. Ñèììåòðè÷íîñòü (õ R ó) → (ó R õ)

âûïîëíÿåòñÿ, ïîñêîëüêó åñëè õ ∈ U

è ó ∈ U

, òî è íàîáîðîò, ó ∈

230

è õ ∈ U

. Îñòàëîñü ïðîâåðèòü òðàíçèòèâíîñòü. Ïóñòü (õ R ó) è

(ó R z). Òîãäà íàéäóòñÿ U

, U

òàêèå, ÷òî õ ∈ U

, ó ∈ U

è ó ∈ U

z ∈ U

. Íî èíäèâèä ó íå ìîæåò ïðèíàäëåæàòü îäíîâðåìåííî

ðàçíûì ÷ëåíàì äåëåíèÿ, ò.ê. ðàçíûå ÷ëåíû äåëåíèÿ íå ïåðå-

ñåêàþòñÿ ìåæäó ñîáîé. Çíà÷èò, U

= U

, îòêóäà õ ∈ U

è z ∈ U

Â èòîãå èìååì (õ R z), ÷òî è òðåáîâàëîñü.

Ñëåäîâàòåëüíî, îñóùåñòâèâ äåëåíèå íåêîòîðîãî íåïóñòîãî

ïîíÿòèÿ, âû ïîðîæäàåòå (óêàçàííûì òîëüêî ÷òî ñïîñîáîì) íå-

êîòîðîå îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. Èíäèâèäû, ïîïàâøèå â

îäèí è òîò æå ÷ëåí äåëåíèÿ, áóäóò ýêâèâàëåíòíû ìåæäó ñîáîé;

åñëè æå äâà èíäèâèäà ïîïàëè â ðàçíûå ÷ëåíû äåëåíèÿ, òî îíè

íå áóäóò ýêâèâàëåíòíû. Â ïðåäûäóùèõ ðàññìîòðåíèÿõ ìû ðàç-

áèëè ìíîæåñòâî ëþäåé íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ ãðóïïû ðîäèâøèõñÿ

â îäíîì è òîì æå ãîäó, à ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ íà ÷åòûðå íåïå-

ðåñåêàþùèåñÿ ãðóïïû ïî óñïåâàåìîñòè. Â êàæäîì ñëó÷àå, êàê

ìû âèäåëè, ïîëó÷èëèñü îòíîøåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå àêñèîìàì

ýêâèâàëåíòíîñòè.

Âåðíî è îáðàòíîå. Åñëè íà êàêîì-ëèáî óíèâåðñóìå êîððåê-

òíî çàäàíî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè, òî îíî ïîðîæäàåò äåëå-

íèå ýòîãî óíèâåðñóìà íà íåïóñòûå íåïåðåñåêàþùèåñÿ ÷àñòè.

Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà ìû îïóñêàåì.

Â ðàññóæäåíèÿõ íàì ïðèõîäèòñÿ íå òîëüêî ïðèðàâíèâàòü èí-

äèâèäû ïî êàêèì-òî ïðèçíàêàì, ââîäÿ îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíî-

ñòè, íî è âåñòè ðå÷ü î ïîõîæèõ èëè ñõîäíûõ èíäèâèäàõ. Àêñèî-

ìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ñõîäñòâà î÷åíü ïðîñòà. Îíà ïîëó÷àåòñÿ èç òå-

îðèè ýêâèâàëåíòíîñòè îòáðàñûâàíèåì àêñèîìû òðàíçèòèâíîñòè.

À1. ∀õ(õ ≈ õ)

À2. ∀õ∀ó((õ ≈ ó) → (ó ≈ õ))

Âûðàæåíèå (õ ≈ ó) ÷èòàåòñÿ êàê «õ ïîõîæ íà ó» èëè «õ ñõîäåí

ñ ó». ßñíî, ÷òî êàæäûé èíäèâèä ïîõîæ íà ñàìîãî ñåáÿ. Îòñþäà

ïåðâàÿ àêñèîìà. Äàëåå, åñëè ïåðâûé èíäèâèä ïîõîæ íà âòîðîãî,

òî è âòîðîé ïîõîæ íà ïåðâîãî. Îäíàêî, ñ èíòóèòèâíîé òî÷êè çðå-

íèÿ, åñëè ïåðâûé èíäèâèä ïîõîæ íà âòîðîãî, à âòîðîé íà òðåòüå-

ãî, òî ñõîäñòâà ìåæäó ïåðâûì è òðåòüèì óæå ìîæåò è íå áûòü.

Íàïðèìåð, äîãîâîðèìñÿ ñ÷èòàòü äâà ñëîâà ñõîäíûìè, åñëè

îíè ñîäåðæàò îäèíàêîâîå ÷èñëî áóêâ è ðàçëè÷àþòñÿ íå áîëåå,

÷åì îäíîé áóêâîé. Îäèíàêîâûå ñëîâà ñîäåðæàò îäèíàêîâîå êî-

ëè÷åñòâî áóêâ è ðàçëè÷àþòñÿ íå áîëåå, ÷åì îäíîé áóêâîé (íà

ñàìîì äåëå âîîáùå íå ðàçëè÷àþòñÿ ïî áóêâàì). Ñëåäîâàòåëüíî,

ñëîâî õ ñõîäíî ñî ñëîâîì õ. È åñëè ìåæäó ñëîâàìè õ è ó, ñî-