Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств
Подождите немного. Документ загружается.
X Y XY = I
L
i
(X, Y ) < 0,
i = 1, 2 X Y
λ
min
= min{λ : X − Y
−1
< λI, X > 0, Y > 0, L
i
(X, Y ) < 0, i = 1, 2, 3} ,
L
3
(X, Y ) =
−X I
I −Y
!
.
L
3
(X, Y ) < 0
X > Y
−1
A1 λ
min
= 0 X Y
A
A1
X − Y
−1
< λI
A1
A1
λ
min
= min{λ : Γ(X, Y, G
1
, G
2
) < λI, X > 0,
Y > 0 , L
i
(X, Y ) < 0, i = 1, 2, 3},
Γ(X, Y, G
1
, G
2
) = (I G
1
)
X I
I Y
!
I
G
1
!
+
+(G
2
I)
X I
I Y
!
G
2
I
!
,
G
i
= G
T
i
, i = 1, 2
A2 A1
Γ(X, Y, G
1
, G
2
) < λI
Γ(X, Y, G
1
, G
2
) = (G
1
+ Y
−1
)Y (G
1
+ Y
−1
) + (G
2
+ X
−1
)X(G
2
+ X
−1
)+
+(X − Y
−1
) + (Y − X
−1
) ≥ 0
L
3
(X, Y ) < 0 X > Y
−1
λ
min
=
0 X Y A G
1
=
−Y
−1
G
2
= −X
−1
j = 0
G
1
= G
(j)
1
G
2
= G
(j)
2
A2
λ
j+1
, X
j
, Y
j
G
(j+1)
1
= −Y
−1
j
G
(j+1)
2
= −X
−1
j
j = j + 1
G
(0)
1
G
(0)
2
λ
j
lim
j→∞
λ
j
= λ
∗
≥ 0 , lim
j→∞
X
j
= X
∗
, lim
j→∞
Y
j
= Y
∗
.
Γ(X, Y, G
1
, G
2
)
∆ρ = ρ(Γ(X
j+1
, Y
j+1
, G
(j+1)
1
, G
(j+1)
2
)) − ρ(Γ(X
j
, Y
j
, G
(j)
1
, G
(j)
2
))
∆ρ = ∆ρ
1
+ ∆ρ
2
=
[ρ(Γ(X
j+1
, Y
j+1
, G
(j+1)
1
, G
(j+1)
2
)) − ρ(Γ(X
j
, Y
j
, G
(j+1)
1
, G
(j+1)
2
))]+
+[ρ(Γ(X
j
, Y
j
, G
(j+1)
1
, G
(j+1)
2
)) − ρ(Γ(X
j
, Y
j
, G
(j)
1
, G
(j)
2
))] .
(j + 1) λ
X = X
j+1
Y = Y
j+1
Γ(X
j
, Y
j
, G
(j+1)
1
, G
(j+1)
2
) − Γ(X
j
, Y
j
, G
(j)
1
, G
(j)
2
) =
= (G
(j+1)
1
+ Y
−1
j
)Y
j
(G
(j+1)
1
+ Y
−1
j
) + (G
(j+1)
2
+ X
−1
j
)X
j
(G
(j+1)
2
+ X
−1
j
)−
−(G
(j)
1
+ Y
−1
j
)Y
j
(G
(j)
1
+ Y
−1
j
) − (G
(j)
2
+ X
−1
j
)X
j
(G
(j)
2
+ X
−1
j
) .
G
(j+1)
1
= −Y
−1
j
G
(j+1)
2
= −X
−1
j
Γ(X
j
, Y
j
, G
(j+1)
1
, G
(j+1)
2
) − Γ(X
j
, Y
j
, G
(j)
1
, G
(j)
2
) =
−(Y
−1
j
− Y
−1
j−1
)Y
j
(Y
−1
j
− Y
−1
j−1
) − (X
−1
j
− X
−1
j−1
)X
j
(X
−1
j
− X
−1
j−1
) ≤ 0 .
A − B ≤ 0 ρ(A) ≤ ρ(B)
∆ρ ≤ 0 ρ
j
λ
∗
= 0 X
∗
Y
∗
= I X
∗
Y
∗
A
λ
∗
> 0
A
G
(0)
1
G
(0)
2
H
∞
ˆ
X = (X, S)
ˆ
Y = (Y,
P
) G
(0)
1
G
(0)
2
λ
j
< ε |λ
j+1
− λ
j
| < ε
¨ϕ − ϕ = u
y = ϕ + ˙ϕ
A =
0 1
1 0
!
, B =
0
1
!
, C = (1 1) .
L
i
(X, Y ) < 0, i = 1, 2
G
(0)
1
G
(0)
2
G
(0)
1
=
0.8709 −0.1795
−0.1795 0.7873
!
, G
(0)
2
=
−0.8842 0.6263
0.6263 −0.9803
!
.
10
−4
ε = 10
−3
λ = 8 · 10
−6
X =
0.8425 0.0028
0.0028 0.6975
!
, Y =
1.1869 −0.0047
−0.0047 1.4337
!
Θ = −2.2263
¨ϕ − ϕ = u
y = ϕ
A =
0 1
1 0
!
, B =
0
1
!
, C = (1 0) .
x
r
∈ R
1
L
i
(X, Y ) < 0, i = 1, 2
W
T
C
0
(A
T
0
X + XA
0
− βX)W
C
0
< 0 , X > 0 ,
W
T
B
T
0
(Y A
T
0
+ A
0
Y − βY )W
B
T
0
< 0 , Y > 0 ,
A
0
B
0
C
0
β/2 = 0, 005
G
(0)
1
= G
(0)
2
[−1, 1]
1000 996
λ
ε = 10
−5
4 −6
˙x = Ax + Bu
y = Cx ,
x ∈ R
n
x
(A, B) (A, C)
u = Ly .
k
k 6= 0
˙
¯x = A
0
¯x + B
0
¯u ,
¯y = C
0
¯x ,
A
0
B
0
C
0
(n
x
× n
x
) X = X
T
> 0 Y = Y
T
> 0
W
T
C
(A
T
X + XA)W
C
< 0 ,
W
T
B
T
(Y A
T
+ AY )W
B
T
< 0 ,
X I
I Y
≥ 0 ,
(I − XY ) ≤ k ,
(k = 0) Y = X
−1
XY
n
x
(XY ) ≈ + (Y
0
X + X
0
Y )
(X
0
, Y
0
)
(X
0
, Y
0
) X = X
0
Y = Y
0
j = 0
V
j
= Y
j
W
j
= X
j
X
j+1
Y
j+1
min
X,Y
(V
j
X + W
j
Y ) = (Y
j
X
j+1
+ X
j
Y
j+1
) = t
j
|t
j
− t
j−1
| < ε
j = j + 1
t
j
2n
x
t
min
≥ 2n
x
XY = I
t
j
t
j
≤ (Y
j
X
j−1
+ X
j
Y
j−1
) = (Y
j−1
X
j
+ X
j−1
Y
j
) = t
j−1
.
(V X + W Y )
X I
I Y
≥ 0 ,
V I
I W
≥ 0 .
(AB) = (BA)
(V X+W Y ) = (V X
1/2
X
1/2
+W Y
1/2
Y
1/2
) = (X
1/2
V X
1/2
+Y
1/2
W Y
1/2
).
W ≥ V
−1
, Y ≥ X
−1
.
Y
1/2
W Y
1/2
≥ Y
1/2
V
−1
Y
1/2
(V X + W Y ) ≥ (X
1/2
V X
1/2
+ Y
1/2
V
−1
Y
1/2
) =
= (X
1/2
V X
1/2
+ V
−1/2
Y V
−1/2
) ≥ (X
1/2
V X
1/2
+ V
−1/2
X
−1
V
−1/2
) =
= (X
1/2
V X
1/2
+ X
−1/2
V
−1
X
−1/2
) .
A n
(A + A
−1
) =
n
X
i=1
(λ
i
(A) + λ
−1
i
(A)) ≥ 2n .
(V X + W Y ) ≥ 2n
x
.
t
j
2n
x
t
min
= (Y
∗
X
∗
+ X
∗
Y
∗
) = 2 (X
1/2
∗
Y
∗
X
1/2
∗
) = 2n
x
.
Y
∗
≥ X
−1
∗
S
∗
= X
1/2
∗
Y
∗
X
1/2
∗
≥ I
S
∗
S
∗
= n
x
S
∗
= I X
∗
Y
∗
= I
t
2
− 4 ≤ 10
−3
X =
0.9478 0.2770
0.2770 0.9478
!
, Y =
1.1536 −0.3371
−0.3371 1.1536
!
Θ = −1.4390
t
3
= 6.0399