102
Метод арбитражных схем эффективен не только в экономиче-
ских приложе ниях и менеджменте, но и в чисто технических задачах
многокритериа льной оптимизации проектов.
В том случае, если конфликт описан в традиционной игровой
форме, то есть посредством матриц или параллелепипедов выигры-
шей, за точку status quo ante может быть выбран либо вектор гаранти-
рованных, то есть максиминных результатов каждого участника (срав-
ни с критерием Вальда), либо точка равновесия. Результаты арбитр аж-
ного решения в том и другом случае будут, вообще говоря, неодинако-
выми, но достаточно близкими.
Если же многокритериальная задача поставлена не в традици-
онной форме, метод арбитражных схем оказывается также легко при-
меним в том смысле, что векторный критерий преобразуется в скаляр-
ный посредством свертки (6.9), и далее задача решается методом ма-
тематического программирования (линейного, нелинейного, парамет-
рического и др.). Для решения многокритериальной задачи все ло-
кальные целевые функции сводятся к максимизируемым и принимаю-
щим в рабочей области параметров неотрицательные з начения. В ка-
честве точки status quo ante выбирается вектор, составленный из ми-
нимальных значений каждой локальной целевой функции при любых
значениях остальных целевых функций. При состав лении данного век-
тора следует принимать во внимание, что подавляющее большинство
экономически осмысленных максимизируемых целевых функций ог-
раничены снизу условиями неотрицательности переменных, реже –
функциональными условиями-ограничениями.
6.3. Парето-оптимальные решения кооперативных игр
Проиллюстрируем суть арбитражного решения меджу двумя
конфликтующими сторонами (см. рис. 5.1).
В случае кооперативной игры двух лиц предполагается, что два
игрока не мог ут воздействовать друг на друга, пока не придут к неко-
торому соглашению.
Криволинейный сектор в 1-м ортанте системы u
1
0u
2
отсекает
множество U допустимых решений, предс тавляющее выигрыши игро-
ков (рис. 6.1). Обычно предполагают, что множество U является замк-
нутым, выпуклым и ограниченным сверху.
Вертикальная и горизонтальная касательные (h
1
и h
2
на рис. 6.1)
ограничивают точками касания область Парето-оптимальных решений
РО или Парето-оптимальное множество, то есть множество точек,
принадлежащих U, для которых увеличение выигрыша одного из иг-
роков возможно только за счет уменьшения выигрыша его партнера.
Очевидно, множество таких точек образует северо-восточную границу
множества U.