89
Ясно, что если игроки договорились бы играть оба, скажем,
первую чистую стра тегию, причем игрок 2 за получение большего вы-
игрыша, чем игрок 1, заплатил бы ему 1/2, то выигрыш каждым полу-
тора единиц можно было бы считать и выгодным, и справедл ивым.
Однако в рамках теории бескоалиционных игр такого рода дележи не
рассматриваются. Они изучаются в кооперативной теории игр, о кото-
рой будет говориться в следующем разделе.
5.9. Упрощение бескоалиционных игр
Упрощение бескоалиционных игр основано на тех же принци-
пах, что и упрощение матричных игр, а именно на вычеркивании дуб-
лирующих друг друга и доминируемых стратегий. При этом, если в
игре участвует более 2 лиц, вычеркивание какой-либо стратегии одно-
го из участников с удалением целого слоя в N-мерном параллелепипе-
де ситуаций, и поэтому следует тщательно следить, чтобы слои повто-
ряли или должным образом доминировали друг друга поэлементно.
Для биматричных игр это легко выполнимо.
Для некоторого класса биматричных игр может быть использо-
ван прием приведения игры к антагонистической матричной игре.
Действительно, если биматричная игра ес ть игра с постоянной суммой,
то она стратегически эквивалентна игре с нулевой суммой, а такая иг-
ра попадает под класс матричных игр. В этом случае достаточно ре-
шить матричную игру на любой из матриц A или B биматричной игры,
а затем подсчитать выигрыш для каждого игрока по своей матрице:
T
2
12
T
2
11
BXXH,AXXH ==
. (5.30)
По существу, игра в примере 2.1 0 была игрой с постоянной
суммой, в которой элементу (h
ij
)
1
=p
ij
N матрицы H
1
соответствовал
элемент (h
ij
)
2
=(1-p
ij
)N матрицы H
2
и (h
ij
)
1
+(h
ij
)
2
=N=const.
Осуществив неявно переход к стратегически эквивалентной иг-
ре, производственно-торговый конфликт в примере 2.10 мы смодели-
ровали антагонистической матричной игрой.
Попутно заметим, поскольку это не было сделано своевременно,
что интерпретация ξ
*
и η
*
в примере 2.7 не как вероятностей или час-
тот, а как долей выпуска продукции приводит к понятию физической
смеси стратегий (в отлич ие от чисто вероятностной).
Биматричные игры с постоянной суммой достаточно легко ре-
шаются для любого формата, а не только 2×2, так как оказывается
применим метод линейного программирования, которым пользуются
при решении матричных игр.
Можно воспользоваться еще одним способом упрощения реше-
ния бескоалиционной игры для произ вольного конечного числа участ-
ников, если каждый игрок располагает лишь двумя чистыми страте-
гиями. Такие бескоалиционные игры называют диадическими.