Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений

Подождите немного. Документ загружается.

Таблипл

Группа

[01.

мм

ЮЧ

1Ю11.

мм

ЮМ

О'/Г-

III

±?

-13

1368

2109

2823

526

1138

869

138

169

214

111

-9567

—3710

+6325

+818

+122

+3126

250

873

485

784

718 854

32 052

163 404

137

931

+1,0

-0,4

—0,6

+0,2

-0,5

-0,1

1,00

0,10

0,36

0,04

0,25

0,01

рез разделения

па группы

8833

795

-2886

1 789 498

106

1,82

Таблица

Группа

Общая

средняя

квадратпческая

ошибка

т, мм

Вероятная

ошибка

г, мм 1

Коэффици-

енты соотно-

шения

Эксцесс

и ого

ТОЧНОСТЬ

Показатель

асимметрия

его точность

Группа

Общая

средняя

квадратпческая

ошибка

т, мм

Вероятная

ошибка

г, мм 1

Коэффици-

енты соотно-

шения

•

Показатель

асимметрия

его точность

Группа

Общая

средняя

квадратпческая

ошибка

т, мм

Вероятная

ошибка

г, мм 1

•

III

7,7

10,5

11,3

5,0

9,0

8,9

6,0

8,9

9,7

4,7

7,9

7,6

5,3

7.6

8.7

4,3

6.8

5,9

1,28

1,18

1,17

1,19

1,14

1,17

1,45

1,38

1,30

1,32

1,51

+0,12

—0,89

—1,10

-2,98

—1,23

-0,99

1,02

1,12

1,05

1,19

1,31

1,48

0,82

0,03

0,037

0,008

0,0001

0,17

0,92

0,19

0,20

0,034

0,013

0,61

Без разде-

ления

на

группы

9Д

7,5

6,3

1,21

1,44

—0,55

0,48 0,0012 0,17

Условия \Е\

^ 3а

п Зо^

выполнены

во

всех группах.

34.

ПАРАМЕТРЫ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ

Известно,

что

ошибки измерений подчиняются нормальпому

за-

кону распределения, который

этом случае называется законом

Гаусса,

так как им он

впервые

был

установлен

для

ошпбок изме-

рений.

Если

ряд

ошибок получен

учетом возможного разнообразия

условий,

то

можно считать,

что

М (в)

= 0.

ИЗ

Тогда в формуле для плотности вероятности

1 Ч"

" • (И1.31)

значение

где т — средняя квадратическая ошибка, равная

величины — называют нор м п р о в а н н ы м п о щ и б -

к а м и. Если в измерениях заметно систематическое влияние, что

обиаобживается несоблюдением неравенства (III.29). то под I в фор-

г.

\г\Л1- (111.31) следует подразумевать 1

{

=• —, нрнчем величины Н,

'"д

вычисляют тю (111.26). Очевидно, такой же смысл переменная I имеет

в законе распределения результатов измерений.

При помощи прил. 2 легко установить, что число ошибок от О

до т (по абсолютной величине) следует ожидать около 68%; от О

до 2т — около 95%; от 0 до Вт — около 100%.

Ошибки, превышающие но абсолютной величине 3т. принято

считать грубыми.

Такое же распределение имеет место для уклонений по отно-

шению К 7Ид.

Б первом приближении указанное процентное соотношение до-

статочно для проверки нормального распределения.

§ 35. СРЕДНИЕ КВАДРАТИЧЕСКИЕ ОШИБКИ ФУНКЦИЙ

ИЗМЕРЕННЫХ ВЕЛИЧИН

13 геодезии искомые величины нередко находят вычислениями

как функции измеренных величин. Очевидно, что ошибка функции

зависит от ошибок аргументов, по которым она вычислена, и от вида

функции.

Истинные ошибки измеренных аргументов обычно остаются неиз-

вестными, и истинные ошибки функций могут быть найдены лишь

в случаях, когда известна теоретическая величина функции, напри-

мер: сумма изморенных углов треугольника,сумма превышений в зам-

кнутом высотном полигоне. В этих случаях ошибку функции можно

получить как разность между величиной функции, вычисленной с из-

меренными значениями аргументов, и ее теоретической велпчппон.

Эта разность в геодезии называется и е в я з к о и.

Рассмотрим вопросы вычисления средних квадратпческих оши-

бок функции но известным средним квадратичеекпм ошибкам аргу-

ментов. При решении этой задачи могут встретиться два случая:

к о р р г л и р о в п п и и с и и о к о р р с л н р о в а и и ы е а р -

Г V

е и т ы.

013

Две «лп несколько случайных величии называют коррели-

рован» ы м и, если коэффициенты корреляции парной статисти-

ческой связи не равны нулю; в противном случае они некорре-

л и р о в а и и ы е. Так, например, случайные величины а\ у, г счи-

таюгея некоррелированными, если коэффициенты корреляции г

ху

~ г

х2

— г

у2

= 0, и коррелированными, если г

ху

Ф 0, г

х2

ф О,

. Ф 0.

'и* ^

1. Средняя квадратическая ошибка функции

коррелированных аргументов

Пусть дана функция

у. и). (Ш.32)

где а

. У*

1 • • •»

— коррелированные аргументы, полученные пз

наблюдении со средними квадратнческимп

ошибками т

, т

, . . ., т

соответственно.

Предположим, что X, У, 2, ...,(/ — истинные (точные) значе-

ния аргументов. Необходимо определить среднюю квадратическую

ошибку тр функции Р.

Пусть 6

» • • 6ц — истинные ошибки аргументов, т. е.

=у-У

- г

(111.33)

Тогда истинная

шибка функции будет

= /(а;, у, г, . . и)—ДА", У", 2, . . ., С7).

В соответствии с (111.33)

е^=/(х,

У» = и)-/(*-0*. у-%у,

—6

,. . ., и-в

). (Ш.34)

Так как ошибки измерении — обычно величины малые по срав-

нению с самими измеренными величинами, то, применяя к формуле

(Ш.34) разложение в ряд Тейлора, получаем

вг=/(

> У> * «)—/ —У — Оу, : — вг, .... и —6

) =

/ дР \

=/ (Д-, у, г, . . .,

м)

-/ (X, у, 2, . . ., и) + ^-^тД 6x4*

где П — остаточный член разложения, раьиый сумме всех нелиней-

ных членов ряда Тейлора.

8* 115

Для подавляющего большинства случаев, встречающихся в гео-

дезической практике, остаточными членами Н в рядах Тэнлора при

оценке точности можно пренебречь н нанпсать

По аналогии с определением средней квадратическон ошибки

намерений определим средпюю квадратпческую ошибку функции

(III.32) через математическое ожидание квадрата ее истинной ошибки,

т. е.

»я|.-Л/(0>). (111.30)

Найдем М (в?).

Значения производных по соответствующим аргументам практи-

чески остаются постоянными п могут быть вычислены по приближен-

ным значениям аргументов аг

, у

, 2

, . . ., и

, в качестве которых

можпо взять любые результаты измерений. Для этих производных

достаточно сохранить в значениях уо, . . ., и

по две-три

зпачащпе цифры.

Определим, чему равны М (0

-6

Г/

), М (6

-6

) и т. д. в правой

части формулы (111.37). Из корреляционного анализа известно, что

коэффициент корреляции

М {(т-ЖУ-У))

с учетом чего, приравняв

= т

, Су — гп

, х — Х —

Ъхг

у—У~®у>

нмеем

М (0

вц)

*у т

Теперь формула (111.37) с учетом (Ш.36) и (Ш.38) примет вид

(111.38)

2 (

дР

V 2 , /

дГ

V о , ( 0Г V- а ,

Ы)о

*+Ы).

^+•

- •

+ (•Ж-)!

(1г)О (1г)п - - (111.39)

Окончательно

013

Для практического использования формулы (III 40) коэффи-

циенты корреляции должны быть определены из специальных ис-

следований

2. Средняя квадратическая ошибка функции

некоррелированных аргументов

При организации наблюдений одно пз основных требовании —

обеспечение таких условий, при которых результаты многократных

измерений одиой и тон же величины или разных величин, но возмож-

ности, были бы между собой незавпепмы. Любая методика геодези-

ческих измерений в той илп иной мере рассчитана на выполнение

этого требования.

Так как для некоррелированных аргументов коэффициенты корре-

ляции в формуле (III.40) равны нулю, то из формулы как частный

случай вытекает

Таким образом, средняя квадратическая ошиб-

ка функции и е к о р р е л и р о в а и н ы х аргументов

а в п а корню квадратному и з с у м мы к в адр а -

в п р о из в е де п ий частных производных

у н к цни по к а ждо му и з а р г у ментов па с ред-

ине к в а д р а т и ч е с к п о ошибки соответству-

ющих а р г у м е н тов.

3. Примеры подсчета средних

квадратических ошибок функций

Пример 1. Дапа линейпая функция в общем виде

/• = А

4-/Г

+к

+ к

, (111.42)

где'коэффпцгошты к{ — пскоторые постоянные числа, а х; — измерошше вели-

чины со средними квадратпчеекпмп ошибками т,- соответственно, к

— по-

стоянное.

Решение. Применив формулу (111.41), получим

/4=*=«*+А-И-ь

•

•с

••*»)

Еслп в выражении (111.42) = к

= . . . = к

= 1, т. е. если

(Ш.44)

то

1?1

= 1/т2 +

,«=

. . + «=. 0П.45)

Следовательно, средняя квадратическая ошибка ал-

гебраической суммы равна корню квадратному из

суммы квадратов средних квадратических ошибок

слагаемых при любых знаках последних.

Если в формуле (Ш.44) т

= т

= . . . = '"п =

т0

= т>'«. (41.46)

ИТ

Пример 2. Сродппя квадратпческая ошибка среднего арифметического.

Дана функция

причем я»! = /п, — . . . =» т

—

Решение. Так как

. .

то по формуле (ПЫ5) найдем

о I „

—— т-п

пли

(111.47)

| п

Следовательно, простое среднее арифметическое точ-

нее одного слагаемого в корень квадратный пз

числа слагаемых.

Нетрудно видеть, что формула (III.

47)

есть частный случай применения

формулы (1.201).

Пример X. Дана функция

Л" •

' (111.48)

где х, у, г — некоррелированные аргументы, получеппые пзмереппямп со сред-

ними квадратпческимп ошибками т

, ту, Требуется определить ту.

Решение. Прологарифмировав по основанию е, напишем

!п/' =

1пдг+1п

— 1п

* 1

Далее, учитывая, что — ш .г = — и т. д., получаем

их х

т-т+т+т-

т. е. к в а д р а т относительной ошибки функции вида

(111.18) р а в е п сумме квадратов относительных ошп-

бок аргументов.

Далее имеем

и, наконец,

Пример 4. Найти ш

для функции Р = х, где — десятичный логарифм.

Р е ш е п и е. Напишем

^'=111пх,

Дв р = 0,4343 — модуль десяпгпшх логарифмов;

т-

О О

-V

'"х

(111.50)

118

Пример 5. Коэффициент К нитяпого дальномера теодолита определяется

„. базисе длиной 5 = 250,00 м, измеренном со средней квадратпческой ошибкой

^ = 0,052 и.

Из многократных измерении получен сродшш дяльпомерный отсчет I =

240.0 см со средней квадратпческой ошибкой т/ = 0,30 см.

Определить К = -у (постояниое слагаемое дальномера с = 0) и т

Решение.

000

"~249~ ~

100,4

°-

Но формуле (111.49) папшпем

т-т+т-

откуда

или

0,12.

Пример 6. Определить среднюю квадратнческую ошибку превышения,

полученного по формуле

= 5

1С ос,

где горизонтальное проложеиие 5 = 143,5 м; угол наклона а = -{-2° 30';

—

0,27 м, еслп т

= 0,5 м; т

= 1,0'.

Решение.

'«А

\ / « Л*

"С*

- } 4,8

•

И»-^т-17,!«- Иг'.

от,, = 4,8

•

10 *- м, /»/,=4,8 см.

Пример 7. Определить среднюю квадратпческую ошибку вычисленной длины

с —

:тота

Решение. Так как

ТО

Л Г I ^ о

гли

II'.»

Теперь вычислим

.30 -

0,15

'"у 0,00045 1

«0.00045 м;

— = ' ' оТЩП '

С вероятностью 0.05 точиое значение длины волны будет находиться п пре-

делах 29,978 я? /. ^ 29,980 м.

Пример 8. Сторона треугольника вычислена по теореме синусоы

мп А

где Ь, А, В получены нз независимых измерении со средпими кпадратггческюш

ошибками га», т

, т

соответстоенио.

Определить среднюю квадратическую ошибку т

вычисленной стороны о.

Решение. Но формуле (П1.41) напишем

1 /

/8П1.1

, / СОзЛ

,1 \2 /

Ь 51П/1СР8 В

ц\"

{7ПГ»-"У +С"7шГ-Т) + ( 81Ц2и •

Пример 9. Известна средняя квадратпческая ошибка нзмерепня угла спо-

собом повторений = 6". Определить средпюю квадратпческую ошибку суммы

двух смежных углов р, н Р

;

Решение. Составим функцию

/(Ри

Р«)

= р1 + Ра-

Известно, что ошибки зиачепнн смежных углов, измеренных способом по-

вторений, коррелятивпо связаны (через систематическую ошибку общего напра-

вления). Коэффициент гр

(

= —0,25. Применяй для опенки точности фор-

мулу (Ш.39) для функции (Ш.44), записываем

НЛП

М{=У2т|-2.и.25т| =

шр

Без учета корреляции ошпбок получим

§ 36. ОШИБКИ ОКРУГЛЕНИЙ

Ошибки округлений возинкаюг при вычислениях и измерениях.

При вычислениях результаты округляют до удерживаемого и каж-

дой вычислительной операции десятичного знака. Еслп отбрасыва-

емая часть меньше или больше 0,5 единицы удерживаемого (послед-

него) десятичного знака, то округление производят соответственно

с сохранением нлп увеличением цифры этого знака на единицу.

Если же отбрасывают точно 0,5 единицы удерживаемого знака, то

но предложенному Гауссом правилу округление .производят до чет-

ной цифры. Правило Гаусса исключает одностороннее накопление

120

ошибок за округление и позполяст иметь совершенно идентичные

результаты, когда одни и те же вычислении выполняют разные лица.

Ошибку округления содержит каждый результат вычислительных

оп

срйцки с дробными числами.

11 ри

измерениях ошибки округлений возникают прп отсчетах

о мерным шкалам отсчетных приборов в случаях, когда десятые

доли деления шкалы отбрасываюг и отсчет производят с округле-

нием до ближайшего целого деления шкалы. Но если десятые доли

редсния шкалы определяют на глаз, т. е. еслп их глазомерно изме-

ряют, то ошибка отсчета будет ошибкой измерения, а но округления.

Опытом установлено, что ошибки округлений характеризуются

следующими свойствами:

1) предельная ошибка одного округления а

—

0,5 единицы послед-

вего удеряшваедгого десятичного знака;

2) положительные и отрицательные ошибки округлений равно-

яозмоншы;

3) математическое ожидание ошибок округлений Д равно пулю,

т. е. М (А) = 0;

4) большие п малые ошибки округлении равновозможны.

Последнее свойство ошибок округлеппй существенно отличает

пх от случайных ошибок измерений. Ошибки округлений полностью

подчиняются за копу равномерного распределения, с центром распре-

деления а = 0. В § 45 установлено, что сгапдарт равномерного рас-

пределения, т. е. в данном случае среднее квадратическое значение

ошибки округления, может быть найден по формуле

= (111.51)

где а — предельная ошпбка округления.

Рассмотрим еще один путь вывода соотпошеипя (111.51).

Очевидно, что ошибки округления могут принимать любые значения от О

до

±а. Выберем достаточно малый интервал е, чтобы записать возможные значе-

ния ошибок. Пусть

|а|

где к — целое число, которое можно выбрать как угодно большим. Напишем

ряд ошибок округлении от —а до 4-а: —Ы, — (к — 1) е, . . — Зе,—2е, —е,

О,-{-е, . . ., +(к — 1) е,Ч-Ае. Написанный ряд — ряд пстиппых зна-

чений ошибок, поэтому среднюю квадратпческую ошибку т

одного округле-

нии получим так:

2[е2+(2..-НАч-УМ __ ,

л»- 2А+

(1-г2-+3- + ... -Г А-).

Так как

то

А-

(А--Ь 1)

Но

Так как число к можно выбрать сколь угодно большим, то — может быть

сколь угодно малой величиной. Поэтому можно папнсать окончательно

При округлении результатов вычислительных операций, выпол-

няемых при математической обработке результатов измерений, воз-

никает вопрос о рациональном соотношении между точностью вычис-

лении п точностью измерений. Удержание лишнего числа знаков при

вычислениях сопряжено с большими затратами средств и времени,

а при недостаточном количестве знаков можно снизить точность ко-

нечных результатов. Практикой выработано но этому вопросу про-

стое правило: ошибка, привносимая в конечные результаты вычис-

ления

мп,

должна быть пе более

—

суммарного ВЛИЯНИЯ ошибок из-

мерешш.

Если, например, влияние ошибок измерении при определении

пекоторой вельчины характеризуется величиной

тп

— 0,5 см, то при

округлениях следует удерживать миллиметры, и предельная ошибка

округления будет равна 0,5 мм (т. е. 0,5 единицы последнего знака).

Тогда средняя квадратическая ошибка одного округления

0,5 мм

= 0,20 мм.

I о .

Совместное влияние ошибок измерений и округлений будет вы-

ражаться величиной

т, =

У5

+ (0,2У)з =

V •

5,01 мм,

где

— коэффициент, зависящий от алгоритма вычислений.

Как видно; го, не будет существенно отличаться от характери-

стики влияния ошибок измерений.

Ко всему сказанному выше об ошибках округления следует до-

бавить, что если закон их распространения при обработке измере-

ний одной и той же величины легко проследить, то при совместной

обработке многих зависимых величин, в частности — по методу наи-

меньших квадратов, законы распространения и накопления ошибок

округлений изучены слабо вследствие чрезвычайной трудности этой

задачи.

Пример. Для иллюстрации свойств ошибок округлении проведено следу-

ющее исследование: из таблиц семизначных логарифмов выбрано 500 значений

мантисс логарифмов чисел от 1000 до 1Г»00 и все эти мантиссы округлеиы до

пяти значащих цифр. Составлены разности «округленное мииус точное», т. е.

получено 500 значений ошибок округлении.

Результаты исследований приведены н табл. 13.