Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений

Подождите немного. Документ загружается.

донсн»^-"'"""^

^шщы: 10,0-4 = 10,78 — 0,14 и 10.02 - 10,78 Ч- 0,14.

е. с вероятностью р = 0,99 можно утверждать, что математическое ожидание

наблюдаемой случайной величины находится в пределах 10,64 : 10,92.

2-й с луча и: имеется менее 20 результатов иаблюдеипй а стан-

дарт неизвестен.

Если известно, что наблюдаемая случайная величина подчинена

нормальному закону распределения, то в рассматриваемом случае

используется так называемое «распределение Стьюдепта» для без-

размерной случайной величины

1-==^. (11.1»

где

2 (*/-*)

(п— 1)«

Очевидно, что случайная величина I — функция трех случайных

величин: х, х н о' (х). Закоп Стьюдента вытекает из нормального-

закона. Плотность вероятности в законе распределения Стьюдента

выряжается формулой, которую приведем без вывода,

Г (4-) / ,1

, /,,-п Н7ГГ (1М«>

К(я-1)я у-)

со

где Г (.г) = 3 и

е~

с1и — «гамма-функция»,

о*

Таблица значений

Ф'(0 =

(П-1«)

дана в ирпл. 5-

Пр«ведем примеры использования закона распределения Стью-

дента.

Пример 2. Используя данные примера 1, получаем доверительные границы

по закону Стьюдепта.

Решение. Для Р = 0,99 и г = п — 1 = 19 в таблице Ф' (I) (прпл. 5>

находим = 2,86, откуда

//5

с' ф =

2.86 - 0.056

= 0.10.

Доверительные границы 10.62 п 10.94.

При пепользоваппп нормального закопа доверительные грашщы оказались

равными 10,64 и 10,92, т. е. оба распределения при п = 20 различаются мало.

Пример 3.

~х

— 23,64: о' (х) = 0,092; п = 7; доверительная вероятность

3 = 0.99.

Решение. По таблице прил. 5 получим

*р=3,71: 1

о'Й 0.34.

Доверительные границы 23,30 и 23.98.

Для нормального закона /3 = 2,57 п П а' (х) — 0,24, т. е. доверительный

интервал значительно меньше.

Таким образом, мы убедились, что И]щ п < 20 следует пользоваться рас-

пределением Стьюдента. При

^ 20 можно пользоваться нормальным законом

распределения.

Следует, одвако, учитывать, что прп п < 10 н распределение Стьюдента

не дает падежной оценки средиего.

Определение доверительных границ

для неизвестной вероятности события,

если известна его относительная частота

Рассмотрим такую задачу. Вероятность некоторого случайного

события определялась статистическим путем, прпчем было сделано

более 20 иаблюдеппй. Тогда р' = (>, где () — относительная частота

события:

Ъ {]>')**

на основании (1.174).

Доверительными границами будут

и (>-И

о0>')-

Пример. Произведено 100

опытов

и испытуемое событие совершилось 42 раза.

Тогда

=Ж

= 0

42;

, т/(1.42• 0.58

Г 0.244

лл

Задаваясь доверительной вероятностью р = 0,9, чему соответствует ^ «=

= 1.64, получаем доверительные грапицы: 0,42—1,64 0,049 = 0,42—0,08 =

= 0,34 и 0,42

—

0,08 = 0,50, т. е. с вероятностью 0,9 точное значение вероят-

ности появления исиытуемого события находится в пределах 0,34-4-0.50. Можно

нависать

р ~ 0.4.

§ 21. ОЦЕНКА ЭМПИРИЧЕСКОГО ЗНАЧЕНИЯ

ДИСПЕРСИИ

Здесь, как п в

20, предполагается, что наблюдаемая случайная

велпчипа распределена но нормальному закону.

Приведем без вывода формулу стандарта эмпирической диспер-

сии

= (N.18)

При п 20 для решения задачи достаточно формулы (11.18).

При п < 20 для построения довернтельиого интервала дисперсии

используют случайную величнпу

. ("-1)0'

1=8

Ъ '

(11.19)

имеющую так называемое «распределение уЧ

плотность которого

выражается формулой

п-З

(11.20)

т-(^)

Из (11.19) следует, что

•V *

и—1 *

(11.21)

К; М

Так как кривая к

(&•), согласно (11.20), иеспмметрична от-

носительно вершины (рис. 9), то пеобходнмо условиться о том, как

располагать доверительные границы в обе стороны относительно эм-

пирического значения В'(Х). Принято доверительный интервал

строить так, чтобы вероятности попада-

ния точной дисперсии за пределы дове-

рительных границ в сторону меньшую

п в стороиу большую были равиы

между собой. Для установления соот-

ветствующих доверительных границ

в прил. 6 дается таблица таких значе-

ний у?, вероятности которых удовле-

творяют условию (11.22),

(11.22)

Рис. 9

где р

{

— некоторая вероятность, о которой будет сказаио ниже.

Порядок действий при этом следующий.

Вычисляют значение а = 1 — |3, где

— заданная доверительная

вероятность. Далее в прил. 6 получают х! п соответствующие

вероятностям р

—-тг и />

= I—тг и числу «степеней свободы»

г = п — 1, где п — число наблюдений.

Довернтел ьные границы

(«-П Р'(п — \)

Пример. По даппым примера 1 § 20 пайти доверительные границы для

О' (X) = 0,064 и а' (X) = 0,253 с использованием: а) пормальпого ^закона;

6) распределения у\ Доверительная вероятность Р = 0,8.

Решение, а) по нормальному закону I = 1,28;

) = Л' У 1^5 = 0.021,

а (V

в соответствии с (11.18): Ьо(Д') = 0,027. Доверительные траншу

для И' (X) 0,037 и 0,091;

для а'(А) о.Ю н 0.30:

б) по закону распределения х

^ = 1.0-0.1=0.9.

в прпл.

6 находим у* ~ 27,2 и х| — 11.65 (по аргументам г = п

—

•= 19, с, = 0,1 и р

— 0,9) и вычисляем

Р'(п-1) 0.064 -И» Р'{п-{)

—

—гргп——0.04о и з

—

0.104.

хг и

Доверительные границы:

для дисперсии 0,045 н 0,104;

для стандарта 0.21 и 0,32.

Напоминаем: доверительные границы для'сг (.V) на основашш нормального

закона 0,19 и 0,30.

Как видим, при л = 20 доверительные границы для о (А"), полу-

чепные по нормальному закону распределения п по закону распре-

деления х

, практически почти не отличаются. Подводя нтогп всему

сказанному в § 20 п 21. можно сформулкровать следующие правила.

Прп П2*20

ДЛЯ

оценки эмпирических основных параметров нор-

мального распределения случайной величины .можно пользоваться

таблицами интегралов вероятностей Ф (I) в при л. 2, не прибегая

к распределениям Стьюдента и у}, которыми, однако, предпочти-

тельнее пользоваться прп п < 20. Однако нрп п < 10 надежных

оценок эмпирических параметров получить вообще нельзя.

§ 22. СРАВНЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

С ТЕОРЕТИЧЕСКИМ

Заметим прежде всего, что если проверяется нормальное распре-

деление. то в большинстве случаев оказывается достаточным вычисле-

ние эксцесса (11.3) и асимметрии (11.6) и их оценка по формулам

(11.4) и (11.5). а также (II.7) н (11.8).

Б общем случае для сравнения эмпирического распределения

с теоретическим можно использовать таблицу у

в прил. 6. Исследо-

вание статистического ряда начинается с графического построения

эмпирической кривой распределения (см. § 18). Из построения по-

лученной кривой выдвигается гпнотеза о возможном теоретическом

распределении. Затем в равных между собой интервалах изменения

случайной величины подечнтывается число наблюдавшихся значе-

ний к

п число значений, соответствующих теоретическому распре-

делению, т. е. пр

где п — число всех наблюдений, р

— вероят-

ность попадания значения случайной величины в данный интервал.

Для получения вероятностей р

необходимо предварительно вы-

числить г и о' (X) и поставить условие, чтобы = 1, т. с. чтобы

крайние интервалы охватывали все оставшиеся значения. Далее

вычисляют

тп

'-1

л «число степеней своооды»

г—т — 3,

где т — число интервалов (разрядов), 3 — число поставленных ус-

ловий (совпадение х с Л\ о' (X) с а (X) и У р = 1).

1-1

Степень согласованности эмпирического распределения с теоре-

тическим («критерии согласия») оценивается вероятностью р. шыу-

чеиной из прил. О но аргументу г и табличной величине у} (значе-

ние р — один из входов в таблицу). Если р <0,1, то согласие счи-

тается неудовлетворительным. В этом случае выдвигается другая

гипотеза пли проверяется правильность эксперимента.

Пример Произведено 500 измерении боковой ошибки при стрельбе с само-

лета по наземной цели. Результаты измерении (в тысячных долях радиана)

сведены в статистический ряд, показаппын в первой п второй строках таол. (1.

Таблица 6

—

—V.

-3

-3;

—2

-2. —1

-1; 0

0; +1 + 1: +2

+2".

4-3

тЗ: +4

ПР1

к-:

— пр1

6,2

-0,2

26,2

-1,2

71,2

+0,8

133

122,2

+10,8

120

131,8

-11,8

90,5

-2,5

38,2

+7,8

10,5

—0,5

г=0,108; а'(Х)=ШЬ.

Значения х; разбивают па разряды /, так, чтобы в любой разряд попало

не менее пяти наблюденных значений, а чпело разрядов было не менее восьми.

Значение х в примере вычислено по приближенной формуле

* 500 500

Значение о' (X) вычислено по формуле

=0.168.

о' (А')= Г /)' (.V).

где

VII

Я' (Л) = У

'-^;)

= — 500

— (аг)2

= 2,126 —0.028 = 2,098.

• Заимствовал из книги Е. С. Вептцеля «Теория вероятностей». М., «Наука»

1969. 576 с. с пл.

Упрощение заключается с том, что в каждом разряде все значения счи-

таются одинаковыми п равными Уз + *,-»,).

Далее получаем

прг

число степеней свободы

г = 8—3=5.

По таблице у- (прпл. б) находим в строке г — 5 для */

— 3,00 значение

р = 0.70 и для

%•

— 4,35 значение р — 0,50. Интерполируя, получаем для

у~ = 3,75

зпачениё р =* 0,59.

Так как р > 0,5, то согласие эмпирического распределения

с нормальным следует признать отличным. Прп 0,3 ^ р < 0,5 со-

гласие признают хорошим, прп 0,1 р < 0,3 — удовлетворитель-

ным. Напоминаем, что прп[р < 0,1 согласие считается неудовлетворп.

тельным.

§ 23. ПОНЯТИЕ О СТАТИСТИЧЕСКИХ СВЯЗЯХ

При математической обработке результатов наблюдении, произ-

водимых прп исследовании новых инструментов и методов работ,

а также прп решении ряда других научно-технических задач часто

приходится устанавливать зависимость получепиых результатов от

какой-либо главной причины (фактора) или от главного источника

ошпбок. Если зависимость между результатами наблюдении уста-

новлена и выражена формулой, то ее можно использовать прп пред-

вычпеленпп ожидаемой точности исследуемого прибора или для над-

лежащей организации наблюдении и обработки их результатов. При

атом могут встретиться две формы связи между количественными или

качественными признаками: функциональная и статистическая.

Ограничимся рассмотрением связей лишь между двумя величинами.

Между двумя переменными величипами хну функциональной

связью называют такую, прп которой каждому значению х соответ-

ствуетТопределенное значение у. Так. например, между объемом

шара V и его радиусом II существует функциональная связь

Сч

атпстической связью между двумя переменными х и у называют

такую связь, при которой каждому значению х соотвотствует распре-

деление значении у. изменяющееся вместе с изменением х.

Пример. При испытании светодальномера СВВ-1 в 1953 г. были

получены результаты, приведенные в табл. 7.

Еслп бы вместо табл. 7 привести все значения ошибок для каж-

дою наблюдения, связь между

и Л вообще не усматривалась бы.

Но данным табл. 7, в которой выписапы средние зиачепня ошпбок,

можно видеть, что с увеличением О от 0,4 до 2.7 ошибка А рас-

кт п только прп переходе И от 2,7 к 4,5 умепьшается. Следовательно,

несмотря па имеющееся отклонение от выявленной закономерности,

Таблица 7

—

.\1 серий

Чпсло наблю-

дений

ССрИП

Расстояние, 1

измеренное I

СВВ-5, О. км

Средняя ошибка одного

приема, вычисленная как

срсдисс арифметическое

па абсолютных зпачениЛ

ошибок п серил, А, см

0,4

106

0,8

1,0

131

2,7

4,5

можно утверждать, что с увеличением измеряемого расстояния аб-

солютное значение средпеи ошибки имеет тенденцию увеличиваться.

Выше рассмотрен пример, когда между срединми значениями двух

переменных величии существует статистическая корреляционная

связь. Задача хгсследователя сводится к тому, чтобы установить тес-

ноту связи, т. е. оценить степень близости корреляционной связи

к функциональной и установить форму этой связи, выражаемую

формулой, позволяющей предвычислять средние значения одпой пере-

менной по заданпмм значепиям другой. Различают линейные и нели-

нейные корреляционные связи; рассмотрим пока только линейпые

связи; О нелинейных связях будет сказапо в конце второй части

курса.

§ 24. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ

Коэффициент корреляции является мерой тесноты л и н е ц н о й

корреляционной связи и вычисляется по формуле

где

(ю-»)•

1-1

~ (п—

о' (А) о' (У) '

х,- 1 х^оТз . . . х

У1 I

УгУйУя

• • -Уп

(II 24)

— различные зпачеппя переменных х

и у

полученные из наолю-

денпц

х=-~

среднее арифметическое величины ^Х;

среднее арифметическое величины ); п — число наблюдений

* Величину (ц — ж) (у,- — у) | : (п — 1) называют «корреляционным

моментом».

(значений х,, у.); о'

(А") —

эмпирическое среднее квадратическое откло-

нение Л" (стандарт А'); с' (У) — эмпирическое среднее квадратическое

отклонение )" (стандарт )').

Величины о' (Л') и о' (К) вычисляют по формуле (11.2)

1 «»1

о'(Л') =

^ (1/1-У)

4-1

«—I

Таким образом, если предварительные графические построения

покажут, что связь между А' и У близка к линейной (точки на гра-

фике располагаются вблизи прямой линии), то вычисляют средние

арифметические х и у, разности х

{

— х и у

(

— у и по ним, пользуясь

формулой (11.2). вычисляют средппе квадратические отклонения

а' (А") и а' (К) и, накопец, по формуле (11.24) вычисляют коэффи-

циент корреляции.

§ 26. СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ.

УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ

Рассмотрим осповпые свойства коэффициента корреляции.

1. Коэффициент корреляции изменяется в пределах от —1 до т. е.

-1 ^ г ^ -И*.

2. Когда коэффициент корреляции равен -М пли — 1, между X и

У*

суще-

ствуют точные прямолинейные связи, т. е.

У = а.\+с,

Х'^ЬУ-Ы.

* Из (11.24) легко^получить формулу

где ~ Х{ — х И Т], = у; — у.

Но в алгебре доказывается неравенство

откуда следуют неравенства

—1 -и.

существует (нелинейная связь может существовать).

Чем ближе коэффициент корреляции г к -И или —1, тем ближе корреля-

ционная связь между переменными X и V к функциональной; чем ближе коэф-

фициент корреляции к 0, тем соответственно мепсе связаны между собой

переменные X и У.

Естестнеиио возникает вопрос, с какой надежностью вычисляется само

значен не коэффициента корреляции п при каком минимальном абсолютном его

значении еще можно считать связь существующей.

При числе наблюдений п^ 50 В. И. Романовский [47, с. 184] рекомендует

для среднего квадратического отклонения коэффициента корреляции применять

формулу

вг. (11.25)

I п

Связь считается установленной, если выполняется условие

И ^Зо (г). (11.26)

Пример. Пусть при вычислениях коэффициент корреляции оказался рав-

ным г = +0,26; п = 394.

Оценим ^точность коэффициента корреляции

1 —(0.26)2

«и—р®—®"

так как | г| > За (г) (0,26 > 0,14), тсГиа.ипшс линейной корреляционной связи

можно считать^ установленным.

Для оценки надежности коэффициента корреляции нрн п < 50

пользуются специальной функцией, так называемым критерием Фи-

шера [23, с. 242]

г = \ {1п(1 + |г|)-1п(1-|г|)}. (11.27)

которая подчиняется закону нормального распределения. Среднее

квадратическоо отклонеипе величины с вычисляют по формуле

Значения величин г по вычисленным из опыта значениям коэф-

фициента корреляции г могут быть вычислены непосредственно по

формуле или по таблицам, приведенным в прил. 7. Применение кри-

терия Фишера покажем на примере.

Пример. В табл. 8 помещены результаты испытания СВВ-1 в 1955 г. Опре-

делить коэффициент корреляции, характеризующий тесноту связп между изме-

ренными длппа.ми линий Ъ и их ошибками | т

и оцетггь точность коэффициента

корреляции, используя крптерпй Фишера. На основании данных табл. 8 имеем

о' (О) =2.25; о' (т) = 1,85; Г=0.60; ;=0.69

(найдено по таблицам прил. 7)

'а (г) = -—===- = 0,41.

' 1 У—3

Таблицу §

Результаты наблюдений

I». км

3,0

3.6

4.2

4,6

5.6

5.7

5.8

8.0

10,2

I I, см

2,0

5,0

3,0

4,0

6.0

3,0

4.0

8,0

Вычисление

—2,6

—2,0

-1,4

-1,0

0,0

+0,1

+0,2

+2,4

+4,6

{т=т

—- т

бО*

бтя*

-2,2

+0,8

-1,2

-0,2

+1,8

-1,2

-0,2

+3,8

Суммы 2 вычислены па ариф-

мометре набором результатов

/> - 5,6

>1 = 4,2 -7,0

+7,3

-6,2

+6,4

У, 40.1

27.6

•22.6

С вероятностью 0,68 (1=1) величина = может принять значения

0,28 ; ^ 1,10. (11.29)

По той же таблице (прпл. 7), пользуясь крайними значениями г из (11.29),

находим соответствующие им значения коэффициента корреляции

+0,27 г ^ +0,50-

(11.30)

Так как доверительный интервал, равный 0,80—0,27 = 0,53,

меньше абсолютного значения коэффициента корреляции (0,60), то

наличие линейной корреляции можно считать установленным. Ра-

зумеется, ири п — 9 вопрос нельзя считать решенным достаточно

надежно. Вообще прп п < 20 трудно говорить о надежном устано-

влении корреляционных связей.

Для вывода эмпирической формулы, отражающей прямолиней-

ную корреляционную связь между переменными X п У, применяется

уравнение

Ру

1х

(х

{

— х), (11.31)

гдер

/у

—коэффициент регрессии У па А', вычисляемый по формуле

о'(У)

РуIX-

о' (X)*

Прп прямолинейной корреляционпой связи между переменными

существует уравнение регрессии, имеющее вид

Х1—Х =

Х/Г

(У1

— У),

где р

;у

— коэффициент регрессии X на У, равный

о' (X)

(Н-32)

Р .\- у =

о' (У)