108
- симметричной, если
ji
jiij
aa
;
- диагональной, если
ji
ij
0a
, обозначается ],...,,[
nn2211
aaadiag ;
- единичной, если
ji
ji
1
0
a
ij
при
при
, обозначается E, I, 1, пример
10
01
1
.
Размер единичной и нулевой матриц всегда может быть выбран
в соответствии с выполняемой операцией.
Матрице можно поставить в соответствие специальные числа:
определитель, след, ранг, норму, собственное значение и т.п.
След матрицы равен сумме ее диагональных элементов. Обозна-
чение SpA или TrA, пример:
43
21
A
,
.
Правильным называется произведение n элементов квадратной
матрицы с последовательно возрастающими индексами строк и
столбцов. При нарушении последовательности индексов строк или
столбцов произведение берется с минусом.
Определителем матрицы называется алгебраическая сумма всех
ее правильных произведений с учетом знака. Определитель (детерми-
нант) обозначается D, Δ, detA, |A|. Пример:
23241
43
21
det
.
Определитель существует только для квадратной матрицы, он
не изменяется при транспонировании матрицы. Определитель произ-
ведения матриц равен произведению их определителей. Матрица, оп-
ределитель которой равен нулю, называется особой (вырожденной,
сингулярной), матрица с ненулевым определителем соответственно
регулярной (неособой, невырожденной).
Вычеркнем в матрице А i-строку и j-столбец. Определитель по-
лученной матрицы (n-1)-го порядка называют минором элемента a
ij
в
определителе матрицы А и обозначают через M
ij
. Алгебраическое до-
полнение элемента a
ij
равно
ij
ji
ij
M1A
)( .
Порядок наибольшей подматрицы, минор которой не равен ну-
лю, называется рангом матрицы А (обозначается RangA или RankA).
Матрица является неособой, если имеет полный ранг, равный ее по-
рядку. Ранг матрицы не изменяется при транспонировании. Пример:
определитель матрицы
21
21
A
равен Δ
2
= 0, однако есть минор пер-
вого порядка Δ
1
= 2 ≠ 0, поэтому ранг матрицы RankA = 1.