78
n
t
2
t
1
t
t
MeMeMeet
n
21
...)(
A
Ф
.
Здесь
n
ij
1i
ij
n
ij
1i
i
j
1A
M
)(
])[]([
– все разности для других корней,
– все разности этого корня с другими.
Особенности метода – коэффициенты сразу получаются в мат-
ричном виде, но обязательно нужно знать корни характеристического
уравнения. Приведенная формула пригодна для простых действитель-
ных корней характеристического уравнения, для кратных корней ис-
пользуется более сложная формула.
в) Наконец, Ф(t) вычисляется и как обратное преобразование
Лапласа от системной матрицы Ф(s), или }){()(
11
sLt
A1Ф .
Здесь также нужно обязательно знать корни, требуется много-
кратное поэлементное преобразование, но зато способ пригоден для
любых корней (комплексных, кратных, простых).
Пример 1. Определим матричную экспоненту для системы с
A
. Поскольку уже при k = 2 получена нулевая матрица
2
A
расчет далее можно не продолжать и результат записывается в виде
1 0 0 1 1
( ) 1
t t t
Ф A
.
Пример 2. Определить Ф(t) методом Сильвестра для системы
xx
43
10
.
Вычисляем характеристический полином, находим его корни
3s4s
4s3
1s
s
2
A1 ; s
1
= –1; s
2
= –3.
Вычисляем матрицы коэффициентов при собственных модах
системы